Dãy số

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên; hệ thống và phân tích các bài tập về dãy số một cách logic từ khó đến rất khó; qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích.

Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng      I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu               Với 13 năm đứng trên bục giảng năm nào tơi cũng được tham gia  giảng dạy cho học sinh lớp 11 và có một số năm được dạy cho học sinh ơn thi  Học sinh giỏi. Khi dạy chương dãy số  tơi thấy có một số  vấn đề  sau cần   phải giải quyết:               Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương  trình dạy học nên nội dung của chương dãy số  đã được giảm tải đáng kể   Tuy nhiên việc giảm tải chỉ  tập trung vào bài tập cịn lí thuyết thì giảm tải  khơng đáng kể  vì đó là u cầu tối thiểu. Nên khi giáo viên dạy lí thuyết  chương này khá vất vả, học sinh học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm  bài tập trong Sách giáo khoa học sinh thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó   đã được giảm tải, các bài tập cịn lại đều tương tự  ví dụ  đã có trong phần lí  thuyết nên hầu hết học sinh làm bài theo cách rất máy móc ít hiểu rõ vấn đề  do đó khi đề bài chỉ thay đổi một chút là học sinh sẽ cảm thấy khó khăn, chán   ngán              Hai là: Các vấn đề về dãy số hầu như khơng xuất hiện trong các đề  thi tuyển sinh Đại học nên nhiều học sinh khơng hứng thú với nội dung này.  Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm   hiểu sau thêm về dãy số  hoặc những học sinh có ý đinh ơn thi Học sinh giỏi  rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu dễ đọc.  Những vấn đề trên chính là lý do để tơi chọn đề tài: Dãy số 2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm              Những vấn đề tơi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:              Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn tồn diện về dãy số  theo quan điểm của học sinh trung học phổ thơng khơng chun. Hệ thống và   phân tích các bài tập về dãy số một cách logic từ khó đến rất khó              Hai là: Qua việc luyện tập các bài tốn về dãy số ta sẽ thấy nó là các  phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp  tổng qt là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích              Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài   tốn về dãy số chánh sự gượng ép máy móc.                3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu              Để hồn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tơi đã phải  nghiên cứu trên các bài tốn về dãy số: phương pháp quy nạp tốn học, cấp số  cộng, cấp số nhân và giới hạn của dãy số                       Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà                Ph ạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào chương dãy số,   Hưng  giới hạn của dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun và       các bài tập thi Học sinh giỏi cấp thành phố 4 . Kế hoạch nghiên cứu                Trong q trình dạy học với những trăn trở  như  đã trình bày trong   phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tơi thấy khi cho các em học  sinh lớp 11 khi làm bài tập về  dãy số  hầu hết đề  rất máy móc hiểu vấn đề  rất lờ mờ khơng hệ thống một số ít học sinh có hứng thú với phần dãy số thì  rất khó tìm được một tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ  thơng  khơng chun nhưng trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cấp thành phố đều  có ít nhất một bài về dãy số.               Từ những khúc mắc nói trên tơi đã nghiên cứu đề tài dãy số qua một   số giờ tự chon nâng cao tại lớp 11A2 năm học 2011 – 2012 và  lớp 11A1 năm  học 2012 – 2013 từ đó xây dựng, hồn thiện bài viết của mình                       Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng      II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận a) Phương pháp quy nạp toán học  b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn * Dãy số  ( un )  gọi là dãy số tăng nếu  un < un+1 , ∀n ﾥ * * Dãy số  ( un )  gọi là dãy số giảm nếu  un > un+1 , ∀n ﾥ * Vậy: Nếu  un+1 − un > 0, ∀n ﾥ * suy ra  ( un )  là dãy số tăng         Nếu  un+1 − un < 0, ∀n ﾥ * suy ra  ( un )  là dãy số giảm * Nếu tồn tại số  M  sao cho  un M , ∀n ﾥ * thì  ( un )  bị chặn trên * Nếu tồn tại số  m  sao cho  un m , ∀n ﾥ * thì  ( un )  bị chặn dưới * Nếu dãy số  ( un )  bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số  ( un )  là cấp số cộng  � un+1 = un + d  với  ∀n ﾥ * , trong đó  d   là số khơng đổi gọi là cơng sai của cấp số cộng * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số cộng thì  un = u1 + ( n − 1) d * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số cộng thì tổng                          S n = u1 + u2 + + un = d) Cấp số nhân n ( u1 + un )      * Dãy số   ( un )  là cấp số nhân  � un+1 = un q  với  ∀n số khơng đổi gọi là cơng bội của cấp số nhân * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số nhân thì  un = u1.q n−1 * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số nhân vơi  q                       1, q ﾥ * , trong đó  q  là   thì tổng Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng  − qn                          S n = u1 + u2 + + un = u1      1− q     e) Một số đinh lí về giới hạn ­ Nếu  q < 1 thì  lim q n = ­ Nếu  q >  thì  lim q n = + ­   Nếu     dãy   số   an lim bn = L bn cn , ∀n ﾥ *   lim an = lim cn = L   thì  ­ Nếu dãy số  ( un )  tăng và bị chặn trên thì  ( un )  có giới hạn    Nếu dãy số  ( un )  giảm và bị chặn dưới thì  ( un )  có giới hạn   2. Thực trạng của vấn đề       Để thực hiện được đề tài của mình tơi đã thực hiện khảo sát thực tế như  sau:        Trong năm học 2011 – 2012 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương III   và IV tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ  về  dãy số  và giới hạn của dãy số  theo chương trình trung học phổ  thơng khơng chun tơi cho học sinh lớp  11A2 và 11A5 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong giờ  tự  chọn nâng cao  với đề kiểm tra như sau:      Câu I (3 điểm) Cho dãy số  ( un )  xác định bởi:  Hãy tìm giới hạn  lim u1 = un+1 = un + 2n − 3, n   un un+1 Câu II (3,5 điểm) Tìm cơng thức thu gọn tính  A  theo  n  biết:                                 A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + + n ( 2n + 1) Câu III (3,5 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  ( un )  xác định bởi:                                       u1 = un+1 = 2un + 5, n Với đáp án và thang điểm như sau :                 CÂU NỘI DUNG      I   Theo đề suy ra   u1 =  (3đ) u = u + 2.1 − u3 = u2 + 2.2 − …          …                       ĐIỂM 1.0 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   un = un−1 + ( n − 1) − Hưng      Cộng theo vế  n  đẳng thức trên ta được un = + � + + + ( n − 1) � � �− ( n − 1) � un = + ( n − 1) n − ( n − 1) = n − 4n + 1,0 � un+1 = un + 2n − = n − 2n + + un n − 4n + n n =1 lim = lim = lim 2 un+1 n − 2n + 1− + n n un =1 Vậy  lim un+1 1−   II (3,5đ) 1,0 Ta có  n ( 2n + 1) = 2n + n , thay  n  lần lượt bới 1, 2, 3, …, ta được : 1.3 = 2.12 + 2.5 = 2.22 + 3.7 = 2.32 + 1,5 …           … n ( 2n + 1) = 2n + n Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được  A = + + + n + ( 12 + 22 + + n ) Ta có 1 + + + n = n ( n + 1) Và 12 + 2 + + n =  (theo cấp số cộng) n ( n + 1) ( 2n + 1)  (học sinh phải  0,5 1,0 chứng minh đẳng thức này theo quy nạp) A=  III  (3,5 đ) n ( n + 1) + n ( n + 1) ( 2n + 1) = n ( n + 1) ( 4n + ) � 5� un + �  Theo đề bài  un+1 = 2un + � un+1 = � � 2� Ta nghĩ đến  un+1 + a = [ un + a ] � un+1 = 2un + a Mà  un+1 = 2un +  nên ta phải có  a = Đặt  = un + � v1 = u1 + =  và  vn+1 = 2vn                       0,5 2,0 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng      ( )  là cấp số nhân có cơng bội  q = � = v1.q n−1 = 6.2n−1 = 3.2n � un = − = 3.2n − 1,5 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là  un = 3.2n − Chó ý: NÕu thÝ sinh làm không theo cách nêu đáp án mà đợc đủ điểm phần nh đáp án quy định Ktquthucvicỏcmcimctớnhtlphntrmnhsau: im 12,5 Lp Lp11A2 4,0% ( 50 HS ) Lớp 11A5 6,1% ( 49 HS ) 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10 20% 60% 12% 4,0% 30,6% 51,3% 10% 2% Học sinh có điểm kiểm tra thấp như trên vì các lí do sau : Câu I. – Một số học sinh khơng có lời giải ­ Một số học sinh có lời giải tương tự đáp án nhưng tính tốn khơng chính xác Câu II. – Nhiều học sinh khơng có lời giải ­  Một số  học sinh có các giải tương tự  đáp án trên nhưng tính tốn khơng   chính xác hoặc chưa đi đến kết quả cuối cùng hoặc  Câu III. – Hầu hết học sinh khơng có lời giải ­ Một số ít học sinh rất chăm học đã làm nhiều bài tập trong Sách bài tập Cơ  bản và Nâng cao đã có dự đốn và chứng minh theo quy nạp được đẳng thức  như đáp án ­ rát ít học sinh có cách giải như đáp án 3. Các phương pháp đã tiến hành              Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do  chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong q trình dạy lớp 11A2 năm  học 2012 – 2013 khi dạy chương III và IV tức là phần dãy số và giới hạn của   dãy số với một số tiết tự chọn nâng cao tội đã tiến hành triển khai việc thực  hiện đề tài sáng kiến này. Nhưng vì thời gian khơng có nhiều, hơn thế để học                        Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   sinh ch Hưng  ủ  động chiếm lĩnh kiến thức nên  ứng với mỗi phần tôi cho học sinh  một số  bài tập để  các em thảo luận, trao đổi  và về  nhà nghiên cứu tìm lời       giải. Trên lớp tơi cho một số  học sinh lên bảng làm bài và một số  học sinh  khác nhận xét lời giải. Sau đó tơi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm  được lời giải tối  ưu và nhấn mạnh một số  điểm quan trọng trong mỗi bài,  qua mỗi dạng              Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tơi chia nội dung bài viết   của mình thành ba phần sau: ­ Dãy số với phương pháp quy nạp tốn học ­ Dãy số quy về cấp số cộng và cấp số nhân ­ Bài tập về dãy số trong một số đề thi Học sinh giỏi.  PHẦN I: DÃY SỐ VỚI  PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Bài 1.  ∀n ﾥ *  hãy chứng minh các đẳng thức sau:  n ( n + 1) a)    1 + + + + n =                        (1)                                                n ( n + 1) ( 2n + 1) b)    12 + 22 + 32 + + n =   (2) � n n + � ( ) c)    13 + 23 + 33 + + n = � �            (3) � �              Ba bài tập trên là các bài toán rất cơ bản dễ dàng giải quyết theo  phương pháp quy nạp.  Ta thực hiện lời giải cho ý b) Bước 1: Khi  n = thì (2) � 12 = 1( + 1) ( 2.1 + 1) � 1=1 Vậy (2) đúng với  n = Bước 1: Giả sử đẳng thức (2) đúng với  n = k ( k 1) tức là                  12 + 22 + 32 + + k =  (giả thiết quy nạp) k ( k + 1) ( 2k + 1) Ta phải chứng minh (2) đúng với  n = k +  tức là phải chứng minh:                       Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng  ( k + 1) ( k + ) ( 2k + 3)   (*)                1 + 22 + 32 + + ( k + 1) =     Thật vậy. Vế trái của (*) bằng  [ 12 + 22 + 32 + + k ] + ( k + 1) = = k ( k + 1) ( 2k + 1) + ( k + 1) ( k + 1) [ 2k + 7k + 6] = k ( k + 1) ( 2k + 1) + ( k + 1)   ( k + 1) [ 2k + k + 6k + 6] ( k + 1) ( k + ) ( 2k + 3)  suy ra (*) đúng = = 6 Theo nguyên tắc quy nạp suy ra đẳng thức (2) đúng  ∀n ﾥ * Các ý a) và c) được chứng minh hồn tồn tương tự              Từ bài tập trên ta có lời giải khá đẹp cho các bài tập sau đây: Bài 2. Rút gọn các biểu thức biểu thức   a)     A = + + + 10 + + n ( n + 1) b)    B = + + + + ( 2n − 1) 3 Giải a)    ∀k ﾥ * ta có   k ( k + 1) = [ k + k2] = [ n + n ]     2 Khi  k = � = [ + 12 ] Khi  k = � = [ + 2 ]                  Khi  k = � = [ + 32 ]     …                         … Khi  k = n � n ( n + 1) Cộng theo vế  n  đẳng thức trên ta được 1 [ + + + + n] + [ 12 + 22 + 32 + + n ] 2 n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) � A= + 2 � A = n ( n + 1) ( n + ) A=                       Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   ﾥ * ta có   ( 2k − 1) = 8k − 12k + 6k − Khi  k = � 13 = 8.13 − 12.12 + 6.1 − Khi  k = � 33 = 8.23 − 12.2 + 6.2 − Khi  k = � 53 = 8.33 − 12.32 + 6.3 − H ư∀ ngk  b)       …                                             … Khi  k = n � ( 2n − 1) = 8.n − 12.n + 6.n − Cộng  n  đẳng thức trên theo vế ta được B = 8[ 13 + 23 + + n ] − 12 [ 12 + 2 + + n ] + [ + + + n ] − n � B = n ( n + 1) − 12 n ( n + 1) ( 2n + 1) + n ( n + 1) 2 � B = 2n ( n + 1) − 2n ( n + 1) ( 2n + 1) + 3n ( n + 1) − n −n � B = n� ( n + 1) ( 2n − 2n + 1) − 1� � � Bài 3. Tìm cơng thức tính giá trị của các biểu thức sau theo  n a)    S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) b)    S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n ( n + 1) ( n + ) c)    S = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) d)    S k = 1.2 k + 2.3 ( k + 1) + + n ( n + 1) ( n + k − 1) Giải  a)   ∀k ﾥ * ta có   k ( k + 1) = k + k Khi  k = � 1.2 = + 12 Khi  k = � 2.3 = + 2 Khi  k = � 3.4 = + 32 …                    … Khi  k = n � n ( n + 1) = n + n Cộng  n  đẳng thức trên theo vế ta được S = [ + + + + n ] + [ 12 + 22 + 32 + + n ] n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) � S2 = + � S = n ( n + 1) ( n + ) b)  ∀k ﾥ * ta có   k ( k + 1) ( k + ) = k + 3k + 2k Khi  k = � 1.2.3 = 13 + 3.12 + 2.1 Khi  k = � 2.3.4 = 23 + 3.2 + 2.2 Khi  k = � 3.4.5 = 33 + 3.32 + 2.3                       Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   …                                    … Hưng   k = n � n n + n + = n + n + 2.n Khi  ( ) ( )     Cộng  n  đẳng thức trên theo vế ta được S3 = [ 13 + 23 + + n ] + 3[ 12 + 22 + + n ] + [ + + + n ] S3 = n ( n + 1) +3 n ( n + 1) ( 2n + 1) + � S3 = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) Vậy  S = n ( n + 1) ( n + )         S3 = n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) n ( n + 1) Từ đó dễ dàng dự đốn được cơng thức tính tổng  S và  S k n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + ) d)    S k = n ( n + 1) ( n + k ) k +1 Tổng  S và  S k  được chứng minh theo phương pháp quy nạp c)    S =              Trong q trình giải quyết các bài tốn trên ta đã khai thác khá sau các   đẳng thức (1), (2) và (3) đã nêu trong bài 1 nhưng có học sinh lại đặt ra câu  hỏi nếu khơng biết đến các đẳng thức (1), (2) và (3) thì bài tốn được giải   quyết như thế nào ? Vấn đề này có thể giải quyết như sau : Đặt  S1 = + + + n � S1 = 1.2 + 2.2 + 3.2 + + n.2 Và    S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) Trừ hai đẳng thức trên theo vế suy ra S − 2S1 = 1.2 + 2.3 + + ( n − 1) n � S − 2S1 = S − n ( n + 1) � S1 = Vậy  S1 = + + + n = n ( n + 1) n ( n + 1) 2 Tương tự như vậy S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) � 3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n ( n + 1) Và    S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n ( n + 1) ( n + )                       10 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng                           u1 = −1 un+1 = 2un ;n 1 + ( 3n + ) un Giải + ( 3n + ) un 1 = � = + n + ; n �1 un+1 2un un+1 2un 2 1 � v1 = = −1 và  vn+1 = + n + ; n Đặt  = un −1 2 Xét  g ( n ) = an + b  sao cho  vn+1 + g ( n + 1) = � + g ( n ) � � 2� � vn+1 + a ( n + 1) + b = [ + an + b ] 1 � vn+1 = − an − a − b 2 − a= a = −3 2 Mà  vn+1 = + n +  nên ta phải có  � � b =1 2 −a − b = 2 � g ( n ) = −3n +  và  vn+1 + g ( n + 1) = � + g ( n ) � � 2� Đặt  xn = + g ( n ) � x1 = v1 + g ( 1) = −3  và  xn+1 = xn n −1 1− n Do đó  ( xn )  là cấp số nhân có cơng bội  q =  nên  xn = x1 q = −3.2 � = xn − g ( n ) = −3.21−n + 3n − � un = −3.21−n + 3n − 1              Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là  un = −3.21−n + 3n − Theo đề bài suy ra                Theo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạng   tổng qt của các dãy số cho bởi cơng thức truy hồi có dạng sau: u1 = α                                                           un+1 = aun             ;n n b+� un �f ( n ) + g ( n ) β � � 32 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   H ưng  a, b,α , β  là các số thực cho trước,  α ;  f ( n )  và  g ( n ) là các đa  Trong đó  th    ức theo biến số tự nhiên  n   Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt của các dãy số  ( un ) cho bới cơng thức truy hồi: u1 = a)   un+1 = un ;n 1 + 2n.un u1 = b)   un = un−1 ;n + ( n − n + 3n ) un−1 u1 = c)   un+1 = 3un ;n 2 + ( n − n + ) un u1 = d)   un+1 = un ;n + ( n + 1) 2n.un u1 = e)   un = un−1 ;n + ( 2n − 1) 3n.un−1 PHẦN III : MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ THI HỌC SINH GIỎI                                     33 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà                Sau đây là nh ững bài tập về dãy số được trích ra từ một số đề thi Học   Hưng  sinh giỏi để  học sinh tham khảo qua đó nhận thấy việc thực hiện lời giải      khơng q phức tạp trong khi nhìn đề bài có vẻ rất phức tạp Bài 1. (Học sinh giỏi Hà Nội 2012 – 2013) Cho dãy số  ( un )  xác định bởi  u1 = un +1 un2 = , n 1, n ﾥ 2un − 1) Chứng minh rằng dãy số  ( un )  giảm và bị chặn 2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  ( un ) Giải 1)    Ta có  u1 = ,  u2 = Giả sử  uk > 1, k 4 = � u2 > −1  (giả thiết quy nạp) Ta sẽ chứng minh  uk +1 > (*) uk2 > � uk2 > 2uk − 1 (vì  2uk − > ) Theo công thức truy hồi, (*)  � 2uk − � uk2 − 2uk + > � ( uk − 1) > đúng (vì  uk > ) Vậy  un > 1, ∀n ﾥ * suy ra  ( un ) bị chặn dưới un2 −un2 + un un ( − un ) − un = = < (vì  un > ) +) Xét hiệu  un+1 − un = 2un − 2un − 2un − ( un ) giảm � = u1 > u2 > u3 > > ( un ) bị chặn trên              Vậy dãy số  ( un )  giảm và bị chặn �1 � un2 1 � = − 2� − = − � − + 1� 2)     Từ  un+1 = 2un − un +1 un un un +1 �un un � �1 � � − = − � − 1� un +1 �un � 1 − � v1 = − = −  và  vn+1 = −vn2 Đặt  = un 2 −1 −2 −4 −8 Từ đó suy ra  v1 = −2 ,  v2 = −2 ,  v3 = −2 ,  v4 = −2 = −2 , n  (giả thiết quy nạp) � v = − ( ) = −2  Do đó  v = −2 , ∀n Gải sử  −2n−1 −2n−1 −2n−1 −2n n n +1                       34 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng  Mà      = 1 −1 � u = = u 1+ v 1− = 2n−1 −1              Vậy số hạng tổng quát của dãy số  ( u )  là  u = −1 n n −2n−1 2n−1 n 2n−1 n n 2n−1   Bài 2 . (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012) u1 = Cho dãy số  ( un )  thỏa mãn  un +1 = un + n; n  Hãy tìm  lim un un +1 Giải  Theo đề bài ta có  u1 = u2 = u1 + u3 = u +                              …     … un = un−1 + ( n − 1) Cộng theo về  n  đẳng thức trên ta được un = + + + + + ( n − 1) = + � un+1 = un + n = ( n − 1) n = 2 [ n + n + 2] 2 [n + un n −n+2 n n = 1  � lim = lim = lim un +1 n +n+2 1+ + n n un =1              Vậy  lim un +1 1− Bài 3. (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012) Cho dãy số  ( )  thỏa mãn:   v1 = 2015 +1 = − 2; n   vn+1 = 2011 v12 v22 vn2 Chứng minh rằng:  lim Giải Theo đề bài suy ra  vn2+1 = ( vn2 − ) = vn4 − 4vn2 +                       35 − n + 2] Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng vn2+1 vn2 4 � 2 = 2 − 2 + 2     v1 v2 v1 v2 vn−1 v1 v2 −1 v1 v2 vn2 vn2−1 4 � 2 = 2 − 2 + 2 v1 v2 vn−1 v1 v2 −2 v1 v2 vn−2 v1 v2 −1 vn2−1 vn2−2 4       2 = 2 − 2 + 2 v1 v2 vn−1 v1 v2 −3 v1 v2 vn−3 v1 v2 −2       …                                                … v42 v32 4       2 = 2 − 2 + 2 v1 v2 v3 v1 v2 v1 v2 v1 v2 v3 v32 v22 4       2 = − + 2 v1 v2 v1 v1 v1 v2 Cộng theo vế các đẳng thức trên theo vế ta được vn2+1 v22 4 v22 − 4 = − + = + v12 v22 vn2 v12 v12 v12 v22 vn2 v12 v12 v22 vn2 2 v22 − ( v2 + ) ( v2 − ) v1 ( v1 − ) Và  = = = 2011  v12 v12 v12 vn2+1 � lim 2 = 2011 + lim 2 v1 v2 v1 v2 Ta phải chứng minh  lim 2 = v1 v2 Ta sẽ chứng minh  ( )  tăng và khơng bị chặn trên +) Ta có  v1 = 2011; v2 = v12 − = 2013 > v1 Giả sử  vn+1 > , n 1 (giả thiết quy nạp) Xét      vn+ > vn+1  (*) 2 2 Bất đẳng thức (*)  � +1 − > − � +1 > � +1 > (vì  > 0; ∀n ) Vậy (*) đúng  Theo nguyên tắc quy nạp suy ra  ( ) tăng và  2011; ∀n +) giả sử  ( )  bị chặng trên  � ∃ lim  Đặt  lim x � lim vn+1 = x 2 Mà  vn+1 = − � lim vn+1 = lim ( − ) � x = x − � x = −1  hoặc  x =  (cả hai nghiệm này đều bị loại) Vậy  ( )  không bị chặng trên                        36 x = 2011     Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng  vn2+1 Do đó  lim = + � lim 2 = � lim 2 = 2011 v1 v2 v1 v2     Bài 4. (Học sinh giỏi Hà Nội 2010 – 2011) Cho dãy số  ( un )  xác định bởi  un = Tìm   limSn Giải  4n +  Đặt  S n = u1 + u + + un n n + 2n 2n 1 1� � n� � � S n = � + + + n �+ � + + + n � 2 � � 2 � � 1 +) Xét  an = + + + n  là tổng  n  số  hạng đầu của cấp số  nhân có số  2 1 hạng thứ nhất  a1 =  công bội  q = 2 n �1 � 1− � � n 2� �1 � � � an = = − � �� lim an = 1− �2 � 2 n −1 n +)  bn = + + + n−1 + n 2 2 n −1 n � 2bn = + + + + n −2 + n−1 2 2 1 n � 2bn − bn = + + + + n −1 − n 2 2 n � �1 �� n � bn = � − � ��− n −1 � �2 �� Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:  2n > n , ∀n n n � ∀n �5,  ta có  < n < � lim n = � lim bn = 2 n Vậy  limSn = Ta có  un = Bài 5. (Học sinh giỏi Hà Nội 2009 – 2010) Pn  trong đó  Pn  là số hốn vị của  n  phần  Ann+2 k tử,  An  là số chỉnh hợp chập  k  của  n  phần tử. Đặt  S n = u1 + u + + un Cho dãy số  ( un )  xác định bởi  un =                       37 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   H ưnglimS   Tìm   n Gi     ải Ta có  Pn = n!,  An+ = n ( n + 2) ! � u 2! n = n!.2! = ( n + ) ! ( n + 1) ( n + ) �1 � 1 � Sn = � + + + + � 2.3 3.4 4.5 n + n + ( ) ( ) � � � ( n + ) − ( n + 1) � 3− 4−3 5− � Sn = � + + + + � 2.3 3.4 4.5 n + n + ( ) ( ) � � 1 1 1 1 � � � S n = � − + − + − + + − 3 4 n +1 n + � � � 1 � � � Sn = � − � lim S n = � n + � � Bài 6. Cho dãy số  ( un )  xác định bởi  u1 = a un +1 = un + a , n Với  a  là số thực dương cho trước. Hãy tìm  lim un   Giải Theo đề bài  � u1 = a ,  u2 = a + a � u2 > u1 Giả sử  uk +1 > uk , k  (giả thiết quy nạp) Ta sẽ chứng minh   uk + > uk +1  (*) Theo đề bài (*)  � uk +1 + a > uk + a � uk +1 > uk  đúng (theo giả thiết quy  nạp) Vậy dãy số  ( un )  tăng và   un > 0, ∀n Vì  ( un )  tăng  � un+1 > un � un + a > un � un + a > un2 − + 4a + + 4a < un < 2 + + 4a Mà  un > 0, ∀n � < un < Do đó dãy số  ( un )  tăng và bị chặng trên  � ∃ lim un x  =và  lim un+1 = x Đặt  lim un x � un2 − un − a < � Mà  un+1 = un + a � lim un+1 = lim un + a � x = x + a                       38 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng  � x2 = x + a � x =     + + 4a + + 4a  (vì  x ).     Vậy  lim un = 2 Bài 7. (Học sinh giỏi Hà Tây 2004 – 2015) Cho dãy số  ( un )  xác định bởi  �u �u2 Hãy tìm  lim � + Giải u1 = un +1   un2 = un + ,n 2005 u � u1 + + n � u2 un+1 � 2005 ( un+1 − un ) �1 un un2 � = = = 2005 � − Ta có  � un+1 un+1 un un+1 un �un un+1 � �1 � u � = 2005 � − � u2 �u1 u2 �       �1 � u2 = 2005 � − � u3 �u2 u3 �      …                 … �1 un � = 2005 � − � un+1 �un un+1 � �1 � � u u u � � + + + n = 2005 � − = 2005 1− � � � u2 u un+1 u u �1 n +1 � � un+1 � �u u � u � � � lim � + + + n �= 2005 � − lim � un+1 � un+1 � �u2 u2 � Theo đề bài  � u1 = 1, u2 = + � u2 > u1 �1 2005 Giả sử  uk +1 > uk 1, k 1 (giả thiết quy nạp) Ta sẽ chứng minh  uk + > uk +1  (*) uk2+1 uk2 uk2+1 − uk2 Theo đề bài, (*)  � uk +1 + > uk + � uk +1 − uk + > 0  2005 2005 2005       đúng (theo giả thiết quy nạp).  Vậy dãy số  ( un ) tăng  Ta lại chứng minh  ( un )  không bị chặn trên                       39 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   H Giưảng  sử    ( un )  bị chặn trên  � ∃ lim un  Đặt  lim un x x 1 và  = lim un+1 = x     un2 lim un2 x2 Mà  un+1 = un + � lim un+1 = lim un + �x= x+ 2005 2005 2005 � x =  loại) suy ra giả sử  ( un )  bị chặn trên là sai  Do đó  lim un = +        �u u u �              Vậy  lim � + + + n �= 2005 un+1 � �u2 u2 u1 = a, u2 = b Bài 8. Cho dãy số  (un ) có :             2u + un−1 un+1 = n , n Tìm số hạng tổng quát  un Giải 2un + un−1 � 3un+1 = 2un + un−1 � 3un+1 − 3un = −un + un−1 � un +1 − un = − ( un − un −1 ) Đặt  vn−1 = un − un−1 � v1 = u2 − u1 = b − a  và  = − vn−1 Do đó  ( )  là một cấp số nhân có cơng bội  q = − n−1 �1� Nên  = v1.q n−1 = ( b − a ) � − � � 3� Mà  vn−1 = un − un−1  suy ra  u2 − u1 = v u3 − u2 = v u4 − u3 = v Theo đề bài  � un+1 = …        … un − un−1 = v n−1 Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được un − u1 = v1 + v2 + + vn−1 � un = u1 + v1 + v2 + + vn−1                       40 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng  n−1 − q n−1 3� �1� � � u = a + v1 = a + ( b − a) � 1− � − ��     n 1− q � � 3� � n � un = a + ( b − a ) � + ( −1) 31− n � � 4� Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là  un = a + n + ( −1) 31− n � ( b − a) � � � Bài 9. Cho dãy số  (un ) có:     (n + 1)un un+1 = , 2013n Tìm số hạng tổng quát  un u1 =          n Giải (n + 1)un u un � n+1 = 2013n n + 2013 n u u 1 Đặt  = n � v1 = =  và  vn+1 = n 2013 Suy ra  (vn ) là cấp số nhân có cơng bội  q = 2013 n −1 1�1 � 1− n Nên  = v1.q n−1 = � � = 2013 �2013 � u Mà  = n � un = n.vn = n.20131−n n Từ  un+1 =              Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là  un = n.20131−n Bài 10. (Học sinh giỏi Việt Nam 2001) Cho dãy số  ( xn )  xác định bởi:  x1 = với mọi  n Giải xn  và  xn+1 = ( 2n + 1) xn + ﾥ *  Hãy tính tổng 2001 số hạng đầu tiên của dãy số 2 , x2 = , x3 = 15 35 2 � x1 = , x2 = , x3 = 1.3 3.5 5.7 Cách 1.  Theo đề bài  � x1 =                       41 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng  x = , ∀n Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được  n n − n + ( ) ( )     2 + + + 1.2 3.5 4001.4003 −1 − 4003 − 4001                                       = + + + 1.3 3.5 4001.4003 1 1                                       = − + − + + − 3 4001 4003 4002                                       = − = 4003 4003 4002              Vậy  x1 + x2 + + x2001 = 4003 � x1 + x2 + + x2001 = Cách 2.  Từ  xn+1 = Nên ta có  xn 1 � = ( 2n + 1) + ( 2n + 1) xn + xn+1 xn = x1 1 = ( 2.1 + 1) + x2 x1 1 = ( 2.2 + 1) + x3 x2 …                 … 1 = 2� n − + � + ( ) � � x xn n−1 Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được 3 = + 4� + + + n − � + n − = + ( n − 1) n + ( n − 1) ( ) ( ) � � xn 2 1 2 � � = � n − � x = n � xn � ( 2n − 1) ( 2n + 1) 4002 Từ đó  � x1 + x2 + + x2001 = 4003 Bài 11. (Học sinh giỏi Việt Nam 1991) Cho dãy số  ( an )  xác định bởi:          a1 = 1.2.3,                       a2 = 2.3.4, an = n ( n + 1) ( n + ) 42 ﾥ * Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   H ưt ng S n = a1 + a2 + + an  Chứng minh rằng  4S n +  là một số chính  Đặ ph     ương Giải  S1 = a1 = 1.2.3 S = a1 + a2 = 1.2.3 + 2.3.4 = 2.3.5 S3 = a1 + a2 + a3 = 2.3.5 + 3.4.5 = 3.5.6 1 � S1 = 1.2.3.4, S2 = 2.3.4.5, S3 = 3.4.5.6 4 Giả sử  S k = k ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) , k  (giả thiết quy nạp) Ta sẽ chứng minh  S k +1 = ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + ) Thật vậy, theo đề bài  � S k +1 = S k + ak +1 = S k + ( k + 1) ( k + ) ( k + 3)    Theo giả thiết quy nạp  � S k +1 = k ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) + ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) � S k +1 = ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + ) Theo nguyên tắc quy nạp suy ra  S n = n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) � S n + = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) + = ( n + 3n ) ( n + 3n + ) + � S n + = ( n + 3n ) + ( n + 3n ) + = ( n + 3n + 1) 2 Và  ∀n �� ﾥ * n + 3n + �ﾥ                Vậy  4S n +  là một số chính phương Nhận xét:              Trong khi giải các bài tập về dãy số nêu trên ta thấy cách biến đổi khá   đa dạng, đội khi có phép biến đổi rất khéo khơng tự  nhiên. Nhưng việc tính  tốn một số  phần tử  đầu của dãy số  sau đó dự  đốn và chứng minh theo  phương pháp quy nạp xem ra khá tốt ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm              Trong q trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm  một số  bài tập người giáo viên có thể  nắm bắt được tình hình tiếp thu bài  học.       Nhưng để có được sự kết luận tồn diện nên giữa học kì II năm học  2012 – 2013 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài   viết này tơi đã cho các lớp 11A2, 11A5  làm bài kiểm tra 45 phút với đề  bài                         43 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   tHươ ng t ưng   ự  phần khảo sát thực tiễn chỉ thay đổi về  mặt số  liệu để  thuận tiện   cho việc đối chiếu so sánh kết quả thu được.                      Trong đó lớp 11A2 là  lớp thực nghiệm trong q trình triển khai đề  tài cịn lớp 11A5 là lớp đối chứng khơng tham gia trong việc triển khai đề tài.               Sau khi chấm bài kiểm tra tơi thu kết quả với mức điểm được tính   phần trăm như sau:  Lớp thực nghiệm 11A2 (50 học sinh)  Lớp đối chứng 11A5 (50 học sinh)         Điểm 1 1 – 2,53  3 – 4,5 5 – 6,5 Lớp 7 – 8,5 9 – 10    Lớp 11A2 0% 2% 18% 20% 60%    Lớp 11A5 4% 28% 52% 14% 2%              Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của   lớp thực nghiệm và lớp cịn lại khơng được tham gia thực nghiệm ta thấy:  Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp   11 có cái nhìn bao qt về cách giải các bài tốn về dãy số thuộc chương trình   trung học phổ thơng khơng chun giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các   bài tốn về  dãy số  đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn   nữa với mơn Tốn vì trong đó thường có các phép thế tuyệt đẹp các suy luận   rất rất logic                       44 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng      III. KẾT LUẬN               Với việc triển khai giảng dạy cho h ọc sinh l ớp 11 trong  m ột s ố gi ờ  tự chọn nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như  đã trình bày. Tơi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài tốn về  dãy số  và các phép biến đổi trong dãy số  sẽ  góp phần đáng kể  nâng cao khả  năng tư duy đó là một u cầu rất cần thiết đối với người học Tốn nói riêng   và học mơn tự nhiên nói chung              Tơi rất vui vì nhiều năm gần đây tơi và các bạn đồng nghiệp trong  trường và một số  trường lân cận đã viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận  thấy rằng việc chấm sáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc  phổ  biến sáng kiến trong nhà trường đều góp phần khích lệ  tinh thần làm  việc và say mệ nghiên cứu              Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhi ều nên việc thực hiện đề  tài   khó tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong sự góp ý của các thầy cơ giáo và  các bạn đồng nghiệp Xác nhận của Hiệu trưởng trường  Trung học phổ thơng Mĩ Đức A Hà Nội ngày 5 tháng 3 năm 2013 Tơi   xin   cam   đoan   sáng   kiến   kinh  nghiệm này do tôi tự viết chứ không  phải đi sao chép. Nếu sai tôi xin chịu  mọi trách nhiệm!                            Tác giả                                       45 Sáng kiến kinh nghiệm                                                             Nguy ễn Hà   Hưng                                      Nguyễn Hà Hưng                                                                                                                                      IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số, Giải tích 11 theo  chương   trình   chuẩn     chương   trình   nâng   cao     nhà   xuất   bản  Giáo Dục Chuyên đề chọn lọc Dãy số và áp dụng của tác giả Nguyễn Văn Mậu  (chủ biên) – Nhầ xuất bản giáo dục Rèn luyện khả năng sáng tạo tốn học ở trường phổ thơng của tác giả  Hồng Chúng – Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh                       46 ... a) Phương pháp quy nạp toán học  b)? ?Dãy? ?số? ?tăng,? ?dãy? ?số? ?giảm và? ?dãy? ?số? ?bị chặn *? ?Dãy? ?số? ? ( un )  gọi là? ?dãy? ?số? ?tăng nếu  un < un+1 , ∀n ﾥ * *? ?Dãy? ?số? ? ( un )  gọi là? ?dãy? ?số? ?giảm nếu  un > un+1 , ∀n ﾥ * Vậy: Nếu ... *? ?Dãy? ?số   ( un )  là cấp? ?số? ?nhân  � un+1 = un q  với  ∀n số? ?khơng đổi gọi là cơng bội của cấp? ?số? ?nhân * Nếu? ?dãy? ?số? ? ( un )  là cấp? ?số? ?nhân thì  un = u1.q n−1 * Nếu? ?dãy? ?số? ? ( un )  là cấp? ?số? ?nhân vơi ... của mình thành ba phần sau: ­? ?Dãy? ?số? ?với phương pháp quy nạp tốn học ­? ?Dãy? ?số? ?quy về cấp? ?số? ?cộng và cấp? ?số? ?nhân ­ Bài tập về? ?dãy? ?số? ?trong một? ?số? ?đề thi Học sinh giỏi.  PHẦN I: DÃY SỐ VỚI  PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC