Hướng dẫn học sinh học tốt phần phương trình lượng giác

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các công thức lượng giác; giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác Hay rút gọn một biểu thức lượng giác; giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng công thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải.

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN  ĐỀ TÀI:HƯỚNG DẪN HỌC SINH   HỌC TỐT PHẦN  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN     GV : TRÁ C  THỊ HUY Ø NH LIÊ N    NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM                              A/ PHẦN MỞ ĐẦU  I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI    :       Lượng giác là một bộ phận trong chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác  tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lịng cơng thức thì học sinh rất dễ nhầm  lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng  đều có ít nhất một câu giải  phương  trình lượng giác và câu này học sinh dễ lấy điểm nếu các em biết cách học và cách nhớ      Theo tơi khi dạy phần lượng giác thì giáo viên cần thực hiện những cơng việc sau:          1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các cơng thức lượng giác          2/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác  hay rút gọn một biểu thức lượng giác          3/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng  cơng thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải          4/ Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện       Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài cách nhớ cơng thức lượng giác và một  số phương pháp giải phương trình lượng giác vi tơi nhận thấy cơng thức lượng giác học  sinh thường khơng nhớ  và đa số  học sinh   rất e ngại phương trình lượng giác có điều   kiện.  Vì vậy để giúp em học sinh đạt điểmtối đa phần lượng giác trong các kỳ thi mạnhdạnviếtđềtài Tơi mongnhậnđược ý kiến đónggóp chânthànhcủaq thầycô đồngnghiệpđểbài viếtđược tổngquáthơn,hayhơn  II/ N Ộ    I DUNG       : Bài viết gồm các phần sau:            1/ Cách học và ghi nhớ cơng thức lượng giác            2/ Bài tốn tìm ngọn cung khi biết cung và tìm cung khi biết ngọn cung            3/ Một số phương pháp biến đổi phương trình lượng giác            4/ Cách nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện                                                                   Đồng Xồi, ngày 21 tháng 2 năm 2011                                                                                         Giáo viên NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM                                                                              TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN B/ PHẦN NỘI DUNG   I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC          1/HỆ THỨC CƠ BẢN :( phần này ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị lượng giác ) sin x 1/ 2sin x + cos x =1 2/ tanx = cos x cos x 3/ cotx = 4/ tanx cotx = sin x 1 5/ + tan2x = 6/ + cot2x = cos x sin x B x M K A A' O H y B' Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc  α , giáo viên lưu ý  tọa độ điểm ngọn cung M là (x;y) và sin α = y,  x y cos α = x, tan α =  ( x 0)  , cot α =  ( y 0) y x Từ đó giáo viên cho học sinh tìm toạ độ điểm ngọn cung M ở  π một vài vị trí đặc biệt, ví dụ :  α = 1500 ;  α = ­3900,  α =  ,… Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu cơng thức 1,2,3  từ định nghĩa , cơng thức 4,5,6 học sinh phải chứng minh  được, xem như một ví dụ để giáo viên đi đến dạng tốn  chứng minh một đẳng thức lượng giác        2 /CUNG LIÊN KẾT : ( để học thuộc cơng thức này trước hết các em phải thuộc định nghĩa các          cung đối , bù ,phụ , hơn kém …Sau đó thuộc phần cách nhớ và áp dụng vào bài tập)          Hai cung đối nhau là x và – x                              Hai cung bù nhau là x và   ­ x cos ( - x) = - cosx cos( ­ x) = cosx       sin ( - x) = sin ( - x) = - sinx sinx tan(- x) = - tanx tan ( - x) = - tanx cot (- x) = - cotx cot ( - x) = - cotx      Hai cung phụ  nhau là x và  cos( - x) = sinx – x                        Hai cung hơn kém nhau  cos (  là x và   + x + x) = - cosx NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM sin ( tan( 2 cot ( - x) = cosx - x) = co tx sin ( tan( 2 tan ( cot ( + x) = - sinx + x) = tanx + x) = cotx - x) = tanx    Hai cung hơn kém nhau  cos( sin ( + x) = - sinx + x) = + x) = - co tx     là x và   + x CÁCH NHỚ : Giáo viên đóng khung những trường hợp  đặc biệt  và ghi nhớ trường hợp đặc biệt đó , trường hợp  nào khơng được nhắc đến thì thêm dấu trừ vào cos đối , sin bù, phụ chéo Hơn ta có tang cotang cot( + x) = - tanx Hơn , chéo , sin 2     3/CÔNG THỨC CỘNG :(phần này các em học thuộc cách ghi nhớ , lưu ý ta ln viết cung a           trước , cung b sau theo đúng thứ tự )       cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb CÁCH NHỚ : cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb cos cos cos , sin sin sin ( a + b) = sina.cosb +sinb cosa Sin sin cos , cos sin sin ( a – b) = sina.cosb – sinb cosa tan a tan b Cos đổi , sin không tan ( a – b) = tan a tan b tan a tan b tan ( a + b) = tan a tan b cot b cot a cot ( a + b) = ( công thức tan ( a   b)  và cot( a   b) học sinh tự chứng  cot b cot a minh)  cot b cot a cot ( a – b) = cot b cot a 4/CÔNG THỨC NHÂN: ( phần này các em tự chứng minh , xem như bài  tập) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a cos3a = cos3a – 3cosa sin 2a = sina.cosa sin 3a = 3sina – 4sin3a tan a tan a tan a tan 2a = tan3a = tan a tan a   5/CÔNG THỨC HẠ BẬC NÂNG CUNG  cos 2a cos 2a cos 2a cos2 a = sin2a = tan2a = 2 cos 2a a   6/CÔNG THỨC TÍNH sina , cosa , tana THEO t = tan  NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2t 2t t2 sina = , cosa = , tan a = t t2 t2   7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI : ( phần này các em học thuộc cách nhớ cho cơng thức biến tổng  thành     tích , sau đó suy ngược lại cơng thức biến tích thành tổng )        BIẾN TÍCH THÀNH TỔNG : cosa.cosb = cos a b cos a b cos a b cos a b sina.sinb = sina.cosb = sin a b sin a b         BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH a b a b cos cosa + cosb = cos 2 a b a b sin cosa - cosb = - sin 2 a b a b cos sina + sinb = sin 2 a b a b sin sina - sinb = cos 2 sin( a b) tan a + tanb = cos a cos b sin(a b) tan a - tanb = cos a cos b CÁCH NHƠ : Ù 1/ Cos cộng cos hai cos cos Cos trừ cos trừ hai sin sin Sin cộng sin hai sin cos Sin trừ sin hai cos sin 2/ cos nhân cos cos cộng cos CÁCH NHỚ : tang cộng với Bằng sin hai đứa chia cos ta cos II/ BÀI TỐN TÌM NGỌN CUNG KHI BIẾT CUNG  Ví d ụ :Tìm số cung cung x : π 1/ x = + 2kπ (k Z ) π 2/ x = + kπ (k Z ) π kπ (k Z ) 3/ x = + Giải:  NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM      Phương pháp: Vì k Z nên ta l ần l ượt chọn các giá trị k = 0,1,2, sau đó biểu diễn ngọn cung trên  đường trịn lượng giác đến khi ngọn cung vừa biểu diễn trùng với ngọn cung đầu tiên thì ta dừng laị ,  y đếm số ngọn cung đã biểu diễn trên đường trịn lượng giác và kết luận π π 1/ Khi k = 0 thì x =     ngọn cung của x nằm ở M ( ) π 6 M( ) π π O     Khi k == 1 thì x =  + 2π  ngọn cung của x quay lại M ( ) 6 π π + 2kπ (k Z )chỉ có 1 ngọn cungnằm M ( ) Kết luận : x = x 6 π π y    ngọn cung của x nằm ở M ( ) 6 M() π   Khi k = 1 thì x =  + π  ngọn cung của x nằm ở N O (N là điểm đối xứng của M qua O) x π π    Khi k == 2 thì x =  + 2π  ngọn cung của x quay lại M ( ) 6 N π + kπ (k Z có 2 ng ) Kết luận : x = ọn cung nằm ở M và N π π 3/ Khi k = 0 thì x =     ngọn cung của x nằm ở M ( ) 6 P π π M() Khi k = 1 thì x =  +  ngọn cung của x nằm ở P  π O Khi k = 2 thì x =  + π  ngọn cung của x nằm ở N x (N là điểm đối xứng của M qua O) π 3π Khi k = 3 thì x =  +  ngọn cung của x nằm ở Q N Q (Q là điểm đối xứng của N qua O) π π Khi k = 4 thì x =  + 2π  ngọn cung của x quay lại M ( ) 6 π kπ + ( k Z có 4 ng ) Kết luận : x = ọn cung nằm ở đỉnh hình vng MNPQ nội tiếp trong đường trịn  lượng giác 2/ Khi k = 0 thì x =  Tổng qt:  Nếu x  =  α + 2kπ  ( k,n   Z) thì x có n ngọn cung nằm ở đỉnh đa giác đều n cạnh  nội  n tiếp trong đường trịn lượng giác NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM III/ BÀI TỐN TÌM CUNG KHI BIẾT NGỌN CUNG  Phương pháp: Để viết được cung x ta càn nhớ phần tổng qt ở bài tốn tìm ngọn cung khi biết  cung , do đó ta nhóm những ngọn cung nào tạo thành một đa giác nội tiếp trong đường trịn lượng  giác lại và viết thành một cung, cịn các ngọn cung khác nếu khơng gom lại được thì ta viết riêng Ví dụ : Cho cung x có các ngon cung nằm trên đường trịn lượng giác như hình vẽ .Hãy tìm cung x ? y Hình 1 M() N O A/ P A x Q Bốn đỉnh M,N,P,Q tạo thành một hình vng nội  tiếp trong đường trịn luợng giác nên ta gom  chung, hai đỉnh A, A/ đối xứng nhau qua O nên ta  viết chung thành một cung được  Vậy các cung x ở hình 1  là  π kπ x= + (k , h Z ) x = hπ y Hình 2 B Bốn đỉnh A,B,A/,B/ tạo thành một hình vng nội  tiếp trong đường trịn luợng giác nên ta gom  chung, Hai đỉnh M,N hợp với đỉnh B/ tạo thành  tam giác đều nội tiếp trong đường trịn luợng  giác nên ta viết chung thành một cung được.Vậy  kπ x= (k , h Z ) các cung x ở hình 2  là  π hπ x= + M() N x / A A O B/ PHƯƠNG PHÁP THU GỌN NGHIỆM :  1/ Nếu x x k2 với h2 x k 2/ Nếu x m h n ta ghi x = ) Z (1) với m ngọncungcủa(1) hợp với n ngọncungcủa(2) lậpthànhmột (2) đagiácđềucó m +n cạnhthì ta ghi x = Z ( kl , h , l (k , h , l,n , m ) l2 n m NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM x k (1) m 3/ Nếu với m cung (1) tập hợp n x h (2) n cung (2) ta ghi x = β + h 2Π m (k , h,n , m Z) IV/ MỘT  VÀI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số : 1/ Khi hai vế phương trình có những thừa số giống nhau và có chứa x thì ta  phải chuyển về một vế và đưa về phương trình tích  Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( cosx +1 ) = cos2x.sinx  Gi ả    i  :     sinx ( cosx -1 ) = cos2x.sinx sinx ( cos2x – 2cosx – ) = sin x = cos x − 2cos x + = Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  x = kπ sin x = cos x = ( k  Z ) x = kπ � x = kπ x = 2hπ 2/ Nếu các góc trong phương trình có dạng u , 2u ,  thì ta thường dùng công  thức nhân đôi hoặc công thức hạ bậc nâng cung để đưa về phương trình chỉ   theo một góc  Ví dụ2 : Giải phương trình : sin 2x = cos2x  Gi ả    i  :     sin 2x = cos2x sinx cosx - cos2x = 2cosx ( sinx – cosx ) = cos x = cos x = π sin x − cos x = sin( x − ) = π x = + kπ π x = + hπ NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM π x = + kπ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  ( k,h  Z ) π x = + hπ hoặc sin 2x = cos x sin2x = + cos2x sin2x – cos2x = Ví dụ2 : Giải phương trình : cos4x - sin4x + cos4x = 4  Gi ả    i  :     cos x - sin x + cos4x = (cos2x + sin2x)( cos2x – sin2x) + cos4x = cos2x + cos4x = 2cos3x.cosx = π kπ x= + cos3 x = � ( k , h �Z ) cos x = π x = + hπ 3/ Nếu trong phương trình có chứa cos2x , sin2 x thì ta dùng công thức hạ bậc  nâng cung  Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x  Gi ả    i  :     sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x − cos x − cos x − cos x − cos8 x + = + 2 2 cos2x + cos4x = cos6x + cos8x cos3x cosx = cos7x cosx cosx ( cos7x – cos3x) = π + kπ x = x + 2hπ x = −3x + 2hπ x= cos x = cos x = cos3 x π + kπ hπ x= hπ x= x= hπ hπ x= x= NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM hπ x= Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  ( k,h  Z ) hπ x= 4/ Nếu trong phương trình có dạng tổng thì ta biến thành tích hoặc ngược lại  Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x =0  Gi ả    i  :     sinx + sin 2x + sin 3x = ( sin3x + sinx) + sin2x = 2sin2x cosx + sin2x = sin2x ( cosx + 1) = kπ sin x = x= 2π cos x = − x= + hπ kπ x= Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :   ( k,h  Z ) 2π x= + hπ Ví dụ 5: Giải phương trình : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x  Gi ả    i :     Cosx cos7x = cos 3x cos 5x 1 (cos8 x + cos x) = (cos8 x + cos x) 2 x = x + kπ cos6x = cos2x x = −2 x + k π kπ � x = kπ kπ x= x= Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  x = kπ ( k  Z ) Bài tập : Giải phương trình sau : 1)  sin 4x + sin 3x = sin 2x + sin x                  2)  sin x(1 + cosx) = 1 + cosx + cos x 3)  sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x                 4) cos x ( cosx − 1) sinx + cosx = ( + s inx ) 10 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM x = kπ π x = − + kπ x = 2kπ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  ( k  Z ) π x = − + kπ 4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = 0  Ta đặt t = tanx – cotx   tan2x + cot2x = t2 + 2 Ví dụ 4:Giải ph ương trình: (tan2x + cot2x ) + 2 (  - 1) ( tanx – cotx) – 4 ­  23 (1) Giải:   kπ Điều kiện : x     ( k  Z ) Đặt t = tanx – cotx     tan2x + cot2x = t2 + 2 Khi đó phương trình (1) trở thành:  ( t2 + 2) + 2 (  - 1)t – 4 ­  2 = t = −2 t= * t = -2 tanx – cotx = ­2     tanx – cotx =                                                                                                              - 1)t – = tan x = −1 − = tan α tan2x + 2tanx – = tan x = −1 + = tan β x = α + hπ x = β + hπ  * t =    t32 + 2 (  = Z( k, h  )( thỏa đk) − cos x = sin x π  cot2x = ­   = cot ( ­  ) 3 π π lπ π 2x = ­  + l   x = ­  +   ( l  Z )( thỏa đk) 2 sin x − cos x = sin x cos x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :  x = α + hπ π lπ  và x = ­  +  ( k, h, l  Z ) x = β + hπ Bài tập:A/ Giải các phương trình sau: 13 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM =             2/  s inx − cosx + 4sin 2x = 1/  3cos x + 4sin x + 3cos x + 4sin x + 3/  2(tan x − s inx) + 3(cotx  −  cosx) + 5 = 0            4/ 1 + s inx + cosx + sin2x + cos2x = 0   π� � π� � 4 sin � 3x − �− = 5/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0                               6/  cos x + sin x + cos �x − � 4� � 4� � ( cos6 x + sin x ) − sin x cos x x� � + tan x tan �=                          8/  7/  cot x + sin x � =0 2� � − 2sin x x 9/ 2 + cosx = 2tan                                                  10/ cotx = tanx + 2 tan2x  π π 11/ 1 + tanx = 2 sinx                                            12/  sin( 2x ­  ) = 5 sin( x ­  ) + cos 3x 3π x π 3x π − ) =  sin( + )                             14/ 2cos( x +  ) = sin3x – cos3x 13/ sin(  10 2 10 π m −1 B/ Tìm m để phương trình :  − 2m tan x − m + =  có đúng ba nghiệm thuộc ( ­  π ; ) 2 cos x π C/ Tìm m để phương trình : cos  x + 2 ( 1 – m)cosx + 2m – 1 = 0 có 4 nghiệm thuộc [0;  2 ] D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx – m + 1 = 0  π π có 4 nghiệm thuộc khoảng ( ­  ; ) 2 E/ Cho phương trình : 2(   + cos2x ) + m (   ­ cosx)  = 1 (1) cos x cos x         a/ Giải phương trình khi m = 9 π         b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) 4m F/ Cho phương trình : 4tan2x +   + 5  = 0  (1) cosx       a/ Giải phương trình khi m = ­ 1 π π       b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( ­  ; ) 2 3 G/ Cho phương trình : sin x – cos x = m   (1)       a/ Giải phương trình khi m = 1      b/  Tìm m để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc đoạn [ 0 :  π ]  H/ Cho phương trình : 4 ( cosx – sinx ) + sin2x = m   (1)             a/ Giải phương trình khi m = ­ 1             b/Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm  5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm : Khi giải một phương trình lượng giác nào đó mà q trình giải cuối cùng dẫn đến việc phải tìm giao của  hai tập hợp T1, T2, vấn đề đặt ra là làm sao một học sinh trung bình có thể  tìm T1 T2 được dễ dàng  Thơng thường ta có hai cách làm : C1: Dùng đường trịn lượng giác  C2: Tìm nghiệm ngun của phương trình vơ định  a/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh từ việc giải phương trình lượng giác khơng mẫu mực: 14 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ví dụ 5: Giải phương trình:  cos3x + − cos x = 2(1 + sin 2 x)   (1) Phân tích: Phương pháp bình phương hay đặt ẩn phụ đều khó khăn. Ta giải phương trình (1) bằng phương pháp  đánh giá miền giá trị 2 vế làm xuất hiện bất đẳng thức đối lập Giải:     VT (1)  12 + 12 cos x + − cos x =    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  − cos x = cos3 x                                                     cos3 x cos x = cos3 x − cos x = cos x � cos 3x =   VT (1)  = 2( 1 + 2sin22x)  2   vì sin22x  Đẳng thức xảy ra  Vậy (1)    khi và chỉ khi  1 + 2sin22x = 1  sin2x = 0 cos3 x =       (*) sin x = Để giải hệ (*) ta có nhân xét: a Ta có thể tìm nghiệm mỗi phương trình của (*). Nếu nghiệm tìm được đơn giản, ta tìm trên  đường trịn lượng giác các điểm ngọn cung thuộc các tập nghiệm mỗi phương trình. Chọn lấy  những điểm ngọn chung từ đó tìm được nghiệm của hệ cũng là nghiệm của phương trình ban  đầu. Với ý tưởng đó ta dùng C1 y Ta có (*)   k 2π M()        lπ                                                                           x= x= B (cần lưu ý với học  sinh là các tham số ngun  x A/ trong mỗi phương trình là khác nhau) A O Trên đường trịn lương giác các điểm ngọn cung  thuộc tập nghiệm của mỗi phương trình được biểu thị lần  N() B/ lượt bởi các dấu (.) chấm trịn và (□) ơ vng trên hình vẽ Chỉ có 1 điểm ngọn chung tại A Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:   (k    ) 15 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM b Ta cũng có thể chọn giao của hai nghiệm bằng cách tìm nghiệm ngun của phương trình vơ  k 2π x= định. Thật vậy:(*)   lπ x= Hệ có nghiệm chung nếu :   ∃k , l �Z : k 2π lπ = 4k k  ( nên rút   theo   vì hệ số đi với 1 nhỏ hơn)                                                � l = = k + k k Do   l , k �Z � �Z � = m �Z � k = 3m     3 Thay vào tập nghiệm đầu tiên của hệ ta có nghiệm của phương trình (1) là  Ví dụ 6: Giải phương trình: sin x(cos x − 2sin x) + cos x(1 + sin x − 2cos x) =   (1) Giải: Ta có: (1)  Do   (sin4x.cosx + sinx.cos4x) – 2( sin24x + cos24x) + cos4x = 0   sin x cos x Vậy (2)   sin5x + cos4x  = 2  (2) y  VT (2)  B sin x = (*)                                                      N()   cos x = M() Cách 1: Ta có (*)    x π kπ x= + 10    lπ x= / A A O P() Q() B/ Biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm  của hai phương trình trên đường trịn lượng giác chúng  có 1 điểm ngọn chung là B Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  x = π + m2π Nhận xét: Ta nghĩ tới C1 khi việc biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm mỗi phương trình trên  đường trịn lưỡng giác là ít vị trí. Trong trường hợp số điểm ngọn của chúng có q nhiều vị trí và phức  tạp thì ta sẽ nghĩ tới  C2. Bây giờ ta dùng C2 để chọn nghiệm thử 16 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cách 2: Hệ có nghiệm chung nếu :  ∃k , l �Z : Do    l , k �Z � π k 2π lπ l −1 + = � 4k = 5l − � k = l +        10 l −1 l −1 �Z � = m �Z � l = 4m + 4 Từ đó thay vào tập nghiệm thứ 2   nghiệm của phương trình là:  x = π + m2π   Ví dụ 7: Giải phương trình: sin4x.cos16x = 1     (1) Phân tích: Có thể biến đổi tích thành tổng hay đánh giá miền giá trị các vế. Mỗi nhận xét cho ta cách  giải riêng. Tuy nhiên việc biến đổi tích thành tổng cho lời giải ngắn gọn hơn Cách 1: Biến tích thành tổng Ta có: (1)   sin20x – sin12x = 2   � (1 − sin 20 x) + (1 + sin12 x) = π kπ x= + sin 20 x = 40 10 ��                    � � sin12 x = −1 π lπ x=− + 24 Hệ có nghiệm chung nếu :   ∃k , l �Z :                                           � k = Do  l , k �Z � π kπ π lπ + =− + 40 10 24 5l − 2(l − 1) = 1+ 3 l −1 l −1 �Z � = m �Z � l = 3m +    3 Thay vào tập nghiệm thứ 2 của hệ phương trình  nghiệm của phương trình (1) là:  x = π mπ + Cách 2: Đánh giá miền giá trị hai vế: / Ta có: Từ (1)  � sin x cos16 x = (1 )       (1’) Do   �sin x = cos16 x = sin x cos16 x 1  �sin x = sin x = �� Vậy (1’)  � �      cos16 x = cos16 x = Mặt khác do: sin4x.cos16x = 1 > 0 nên sin4x và cos16x cùng dấu 17 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM sin x = � sin x = −1 � Do đó  �   (2) � cos16 x = � cos16 x = −1 � Từ (1)   (2) nhưng nếu (2) thỏa thì (1) cũng thỏa. Vậy (1)  a/   (2) sin x =    (a) (ta giải hệ (a) bằng hai cách để thấy rõ ưu điểm của mỗi cách) cos16 x = Cách 1: Biểu diễn nghiệm mỗi phương trình trên đường trịn lương giác  π kπ +   lπ                                                            x= x= Ta có (a)  B N M() Biểu diễn các điểm ngọn cung của hai phương trình  trên đường trịn lượng giác. Có 4 điểm ngọn cung trùng  x A/ nhau là M,N,P,Q Vậy nghiệm của hệ (a) là:  x = P A O π mπ + B/ Q Cách 2: Tìm nghiệm ngun của phương trình vơ định: Hệ có nghiệm chung nếu :  ∃k , l �Z : π kπ lπ + = � l = 4k +   8 Thay vào tập nghiệm phương trình thứ 2 của hệ, nghiệm phương trình đã cho là:                             x = (4k + 1) sin x = −1 b/    � cos16 x = −1 π π kπ = +   8 π kπ x=− + � π lπ x= + 16 Hệ có nghiệm chung nếu :   ∃k , l �Z : − π kπ π lπ + = + � 2l = 8k − Vơ lí vì VT chẵn, VP lẻ    16   Hệ (b) vơ nghiệm Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là  x = π mπ +   18 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM b/ Việc chọn nghiệm phương trình được nảy sinh do giải phương trình lượng giác chứa tang,  cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu: Ví dụ 8: Giải phương trình:   tan x.tan x.tan x = tan x − tan x − tan x   (1) Phân tích: Ngun tắc giải phương trình loại này là:  Đặt điều kiện cho bài tốn có nghĩa Sau đó, giải phương trình và kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa điều kiện đặt ra hay khơng?  Kết luận nghiệm x cos x � � cos3 x �۹ + �x Giải:Điều kiện:   � � � cos5 x x Với điều kiện (1)  π π (2m 1)   π (2h + 1) 10 (2l + 1)   tan x(1 + tan x.tan x) = tan x − tan x   (2) Nhận xét: 1 + tan2x.tan3x  0   vì nếu: 1 + tan2x.tan3x = 0  tan2x = tan3x  (VT=0   VP=0)                      � + tan 2 x =    vô lý Vậy (2)    tan x = tan x − tan x = tan(− x) + tan x.tan x               � x = − x + kπ � x = kπ  Ta kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa các điều kiện hay khơng?  a/ Điều kiện (a) bị vi phạm nếu :   ∃k , l �Z : Vậy x =  k kπ π = (2l + 1) � 2k = 6l + (vơ lý vì ) π  thỏa điều kiện (a)  π π  = ( 2m + 1) k = 2m + 1 là số nguyên lẻ 6 19 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  b/ Điều kiện (b) bị vi phạm nếu  ∃k , m Z :  k TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM π Vậy điều kiện (b) thỏa nếu k = 2n , khi đó nghiệm pt là x =  n c/ Điều kiện (c) bị vi phạm nếu  ∃n, h Z :  n Vậy x =  n π π  = ( 2h + 1) 10 10n = 6h + 3 ( vơ lý vì n, h  Z) π π thỏa điều kiện (c) .Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là : x =  n 3 Ví dụ 9: Giải phương trình:  tan x = tan x ,    với  x −   (1) Giải:  π kπ + ( a) 10 (k , h Z ) Điều kiện : π hπ x + (b) x Với điều kiện trên thì    tan5x=tan3x Điều kiện (a) bị vi phạm ∃k , l 5x = 3x + l π   Z saocho x =  π kπ lπ + = 10 lπ k = 2l +  l −1 l −1 = m là số nguyên  l = 2m + 1 Suy ra điều kiện (a) không bị vi phạm nếu l = 2n nghiệm x = n π π hπ Điều kiện (b) bị vi phạm ∃h, n Z saocho n π  =  + 6n = 2h + 1 ( vơ lý) Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) và (b) là x = n π Vì k,l là số ngun nên  Do  x −   2  nπ , Vì n Z  nên ta chọn n = 1  Vậy phương trình có nghiệm x =  π Ví dụ 10: Giải phương trình:  ( cot x − 1) 2cot x − cos x.cot x = cos x   (1)  Giải:  cos x 0  Điều kiện : sin x �۹۹ sin x Với điều kiện trên thì (1)                                             sin x ( cos 2 x l x − sin x ) π sin x − cos x sin x.2cos x cos x(1 − cos x) = cos x sin x cos x = cos x sin x 20 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM π                                            sin4x = cosx = sin ( − x ) π k 2π x= + 10                                            π k 2π x= + π 2kπ π 2kπ lπ l −1 = a/ Nghiệm  x = + vi phạm điều kiện nếu  + k = l +  10 10 l −1 Do k,l  Z nên   = m  l = 4m + 1 π 2kπ Vậy  x = +  là nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + 1  10 của (1) với k  5m + 1 π 2kπ π 2kπ lπ k +1 = b/ Nghiệm  x = + vi phạm điều kiện nếu : + 1 + 4k = 3l  l = k +  6 3 k +1 Do k,l  Z nên   = n  k = 3n – 1 π 2kπ Vậy  x = + là nghiệm của (1) với k  3n – 1 π k 2π x= + (k 5m + 1) 10 Kết luận: Nghiệm của (1) là      ( k,m,n  Z ) π k 2π x= + (k 3n − 1) c/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh do biến đổi phương trình ban đầu về phương  trình hệ quả  Ví dụ 11: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x =    (1)  16 Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tích các cos mà góc sau gâp đơi góc trước nên ta thường  nhân hai vế của (1) cho sin góc nhỏ nhất Giải: a/ Xét sinx = 0  x = l π  khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx  0  x   l π  .Nhân hai vế của (1) cho sinx : (1)  sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x =  sinx 16 1          sin2x.cos2x.cos4x.cos8x =  sinx 16       1        sin4xcos4x.cos8x =  sinx 16 21 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM kπ x= 1 15        sin8xcos8x =  sinx   sin16x =  sinx  (2) π 2kπ 16 x= + 17 17 π Ta phải loại bỏ các nghiệm x = l  vì (2) là phương trình hệ quả của (1) kπ 15l l a/ Nghiệm x =   = l π   k =   = 7l +  15 2 l Do k,l  Z nên    = m  Z  l = 2m , suy ra k = 15m  2 kπ Vậy x =   là nghiệm của phương trình (1) với k  15m 15 π 2kπ l −1 b/ Nghiệm x =  +  = l π   k = 8l +  17 17 l −1 Do k,l  Z nên    = n  Z  l = 2n + 1 , suy ra k = 17n + 8 π 2kπ Vậy x =  +  là nghiệm của phương trình (1) với k  17n + 8 17 17 kπ x= (k 15m) 15 (k , m, n Z ) Kết luận : Nghiệm của phương trình (1) là :  π 2kπ x= + (k 17n + 8) 17 17 Ví dụ 12: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x  + cos10x = ­   (1)  Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tổng  các cos mà các góc tạo thành một câp số cộng với  d cơng sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin Giải:  a/ Xét sinx = 0  x = n π  khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx  0  x   n π  .Nhân hai vế của (1) cho sinx , ta có :  (1)  sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x  + sinxcos10x = ­ sinx 1    [(sin3x – sinx)+( sin5x – sin3x)+(sin7x – sin5x)+( sin9x – sin7x)+( sin11x – sin9x)] = ­ sinx 2 kπ    sin11x – sinx = ­sinx   sin11x  = 0  x =  11 22 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM kπ kπ Nghiệm x =   vi phạm điều kiện nếu  ∃ k,l  Z sao cho :   = n π   k = 11.n 11 11 kπ Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x =   với k  11.n    ( k, n  Z) 11  M Ộ    T S    Ố       ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN  Giải các phương trình : 1/ cos2x + cos x = 2        ĐHTM 97                          ĐS : x = 8n π                                       2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0     ĐS : ptvn                                       3/ sinx( cos x x  ­ 2sinx) + cosx( 1 + sin  ­ 2cosx) = 0         ĐS : x = 2 π  + 8n π 4                                       4/ sinx.sin2x.cos(3x +  π ) = 1                    ĐS : ptvn                                        6/ cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + 2     ĐS : x =   k π                                             5/ sinx.cos4x.cos8x = 1                              ĐS : x =  π  + k2 π                                7/ sin2000x + cos2000x = 1        TTĐTCBYT tp HCM 1999 23 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM π x = + 2kπ 1 + =                                      8/               ĐS :  5π cos x sin x sin x x= + 2kπ                                      9/ tan2x.tan7x = 1                         ĐS : x =  π kπ + 18 (k −5 − 9t ) C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO                                     1/ Bộ đề thi Đại Học của Bộ Giáo Dục                                      2/ Các đề thi Đại Học những năm vừa qua                                      3/ Sách chun đề lượng giác của Lê Hồng Đức, Phan Huy Khải                                     4/ Tạp chí Tốn học tuổi trẻ D/  PHẦN KẾT LUẬN            Kết quả thực  hiện       :            Nội dung đề tài này,tơi đã áp  dụng dạy cho học sinh lớp 10 , 11 trong thời gian 14   tiết, trong đó 8 tiết đầu tơi dạy và khắc sâu  phần cơng thức lượng giác, sau đó huớng   dẫn cho học sinh những phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác , phần  này  tơi dạy cho các học sinh từ trung bình yếu trở lên, phần phương trình lượng giác có nhận  loại nghiệm tơi dạy cho học sinh khá giỏi với thời gian 6 tiết.Khi dạy cho học sinh vấnđềnày,tôi thấycácemrấtthíchthú,khi gặpmộtđềbài tươngtự cácem đãvậndụngcáchgiải mộtcáchlinh hoạt,có cùngmộtđềcácemlại giải nhiềucáchkhácnhau.Tơi hy vọng với nội dung đề tài này tơi sẽ giúp ích được   cho học sinh một số kinh nghiệm học cơng thức và phương pháp giải phương trình lượng  giác để các em hiểu sâu và nắm bắt được vấn đề, qua đó các em sẽ  u thích mơn Tốn   hơn, sẽ tự tin hơn  trong phịng thi và kết quả các kỳ thi sẽ đạt cao hơn         Kết quả cá nhân đạt được trong các năm gần đây 24 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC MÔN TOÁN KHEN THƯỞNG KHỐI ĐIỂM TỪ – 10 ĐIỂM TỪ 8-10 2006-2007 182 Bằng khenUBND TỈNH217 2007-2008 Giấy khen SỞ GD-BP 192 2008-2009 CSTĐCS- SỞ GD-BP 2009=2010 202 CSTĐCS-Bằng khenBỘ GD 104 198 178 191 SL % 57,1 91,2 92,7 94,5 SL 18 21 20 24 % HOÏC SINH GIỎI TOÁN 17,3 9,6 10,4 11,8  Kiến nghị    : Nhiệm vụ hàng đầu người giáo viên dạy Toán cho học sinh yêu thích môn Toán, chăm nghe giảng dạy đạt kết cao kỳ thi Hiện có nhiều học sinh cảm thấy môn Toán trừu tượng, khó hiểu, khơng nhớ được cơng thức, ít liên quan đến đời sống thực Do trực tiếp giảng dạy môn Toán cố gắng tìm phương pháp hay để em tiếp cận vấn đề Toán học dễ hơn.nhiều Sángphương kiến làhay, phần nhỏ dàng tìm kiếm pháp trực quan, dễ hiểusuy đểnghó học sinh chúng ngày giỏita hơn, thi đậu nhiều Dù đã cố gắng rất nhiều trong việc phân tích các ví dụ nhưng cũng khó tránh khỏi những  sai sót.Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy cô để viết hoàn hảo                                            NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TOÁN _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 25 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM _ _ _ _ NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _                    NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC  SỞ GIÁO DỤC BÌNH PHƯỚC _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 26 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 27 NĂM HỌC 2010­2011                                                                                    GV  TRÁC TH Ị HUỲNH  LIÊN  ...       Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài cách nhớ cơng thức? ?lượng? ?giác? ?và một  số? ?phương? ?pháp giải? ?phương? ?trình? ?lượng? ?giác? ?vi tơi nhận thấy cơng thức? ?lượng? ?giác? ?học? ? sinh? ?thường khơng nhớ  và đa số ? ?học? ?sinh? ?  rất e ngại? ?phương? ?trình? ?lượng? ?giác? ?có điều... tiết, trong đó 8 tiết đầu tơi dạy và khắc sâu ? ?phần? ?cơng thức? ?lượng? ?giác,  sau đó huớng   dẫn? ?cho? ?học? ?sinh? ?những? ?phương? ?pháp cơ bản để giải? ?phương? ?trình? ?lượng? ?giác? ?,? ?phần? ? này  tơi dạy cho các? ?học? ?sinh? ?từ trung bình yếu trở lên,? ?phần? ?phương? ?trình? ?lượng? ?giác? ?có nhận ... TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG                                                                 SÁNG KIẾN? ?KINH? ?NGHIỆM b/ Việc chọn nghiệm? ?phương? ?trình? ?được nảy? ?sinh? ?do giải? ?phương? ?trình? ?lượng? ?giác? ?chứa tang,  cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu: Ví dụ 8: Giải? ?phương? ?trình:    tan