Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 8: Ước lượng tham số cung cấp cho người học các kiến thức: Ước lượng tham số tổng thể, ước lượng điểm, ước lượng bằng khoảng tin cậy. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
BÀI - ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 8.1 Ước lượng tham số tổng thể 8.2 Ước lượng điểm 8.3 Ước lượng khoảng tin cậy ▪ 1] Chương 7, trang 389 – 420, 431 – 437, 440 – 445 ▪ [2] Chapter 7, pp 306 – 309, 328 – 330 ▪ [3] Chapter 8, pp 342 – 365 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 144 8.1 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ TỔNG THỂ ▪ Trong tổng thể, X biết qui luật tham số (tham số tổng thể) chưa biết ▪ Sử dụng thông tin từ mẫu ̶˃ ước lượng tham số (parameter estimate) ̶˃ước lượng tham số tổng thể ▪ Mẫu ngẫu nhiên: xây dựng ước lượng ngẫu nhiên (estimator) ▪ Mẫu cụ thể: tính ước lượng cụ thể (estimate), hay giá trị quan sát (observed value) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 145 8.2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ▪ Khái niệm ▪ Tính chất ước lượng điểm ▪ Ước lượng hợp lý tối đa LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 146 Khái niệm ▪ Tham số tổng thể ( ) chưa biết ̶˃ Cần ước lượng ▪ Sử dụng mẫu 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 ) ̶˃ xác định thống kê 𝜃መ mẫu ▪ Dùng giá trị thống kê 𝜃መ để thay cho tham መ ước lượng điểm 𝜽 số 𝜃, giá trị kí kiệu 𝜃, LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 147 Tính chất ước lượng điểm ▪ Tính khơng chệch (unbiased) መ = • 𝜃መ ước lượng khơng chệch 𝐸(𝜃) መ : ước lượng chệch • Nếu 𝐸(𝜃) ▪ Tính hiệu (efficient) • 𝜃መ1 , 𝜃መ2 ước lượng không chệch • 𝑉(𝜃መ1 ) < 𝑉(𝜃መ2 ) 𝜃መ1 ước lượng hiệu 𝜃መ2 • 𝑉(𝜃መ1 ) nhỏ 𝜃መ1 ước lượng hiệu ▪ Ước lượng khơng chệch, hiệu → ước lượng tốtnhất ▪ Tính vững (consistent): 𝑛 tiến đến vơ ước lượng hội tụ đến tham số (theo nghĩa xác suất) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 148 Ví dụ ▪ Ví dụ 8.1 ▪ Tổng thể X có trung bình m, phương sai 2 ▪ Với mẫu kích thước n = 3, thống kê sau, đâu ước lượng không chệch, hiệu cho m: 1 1 1 G1 = X + X + X ; G2 = X + X + X 2 2 1 1 1 G3 = X + X + X ; G4 = X + X + X 4 3 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 149 Bất đẳng thức Cramer - Rao ▪ Nếu BNN X có cơng thức tính xác suất hàm mật độ f(x, ) với 𝜃መ ước lượng không chệch , ln có: V (θˆ) ln f ( x , θ ) nE θ ∗ ▪ Do 𝜃መ ước lượng khơng chệch có phương sai vế phải bất đẳng thức ước lượng hiệu LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 150 Một số kết luận ▪ Khi 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) • 𝑋ത ước lượng không chệch, hiệu • 𝑆2 ước lượng khơng chệch σ2 • 𝑀𝑆 ước lượng chệch σ2 ▪ Khi 𝑋 ~ 𝐴(𝑝) 𝑝Ƹ ước lượng khơng chệch, hiệu p ▪ Cách thay tham số đặc trưng tổng thể , p, σ2 ഥ, 𝒑 ෝ, S2 tương ứng tìm ước thống kê 𝑿 lượng điểm theo hàm ước lượng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 151 Ước lượng hợp lý tối đa ▪ Mẫu 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), giá trị cụ thể (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ▪ Hàm hợp lý: 𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, ) = 𝑓(𝑥1, ) 𝑓(𝑥2, ) … 𝑓(𝑥𝑛, ) ▪ 𝐿 gọi hàm hợp lý (likelihood function) ▪ Giá trị 𝜃መ làm L đạt max gọi ước lượng hợp lý tối đa (maximum likelihood estimator: MLE) ▪ Nếu hàm L khơng dễ tìm cực đại tính thơng qua hàm logarit L (maximum log-likelihood) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 152 Một số kết luận ▪ Khi 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) • 𝑋ത ước lượng hợp lý tối đa • MS ước lượng hợp lý tối đa σ2 ▪ Khi 𝑋 ~ 𝐴(𝑝) pො ước lượng hợp lý tối đa p LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 153 8.3 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY ▪ ▪ ▪ ▪ Các khái niệm Ước lượng trung bình tổng thể Ước lượng phương sai tổng thể Ước lượng tần suất tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 154 Các khái niệm ▪ Với mẫu ngẫu nhiên, tìm khoảng ngẫu nhiên (𝐺1, 𝐺2) để khả khoảng chứa mức xác suất cho trước: 𝑃(𝐺1 < < 𝐺2) = – ▪ Mức xác suất (1 – ) độ tin cậy (confidence level) ▪ (𝐺1, 𝐺2) khoảng tin cậy (confidence interval) ▪ 𝐼 = 𝐺2 – 𝐺1 độ dài khoảng tin cậy LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 155 Xây dựng khoảng tin cậy ▪ Xét thống kê G liên kết tham số thống kê mẫu, G có quy luật phân phối xác suất xác định ▪ Với − 𝛼 ̶˃ xác định 𝛼1 𝛼2 : 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 ▪ Xác định giá trị tới hạn 𝑔𝛼1 𝑔𝛼2 cho: 𝑃 𝑔1−𝛼1 < 𝐺 < 𝑔𝛼2 = − 𝛼 ▪ Biến đổi thu khoảng 𝐺1 , 𝐺2 thỏa mãn: 𝑃(𝐺1 < < 𝐺2) = – LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 156 Ước lượng trung bình tổng thể ▪ 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) với chưa biết ▪ Ước lượng khoảng cho với độ tin cậy (1 − 𝛼) ▪ Ước lượng ước lượng trung bình tổng thể qui luật chuẩn ▪ Mẫu 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) ▪ Chia hai trường hợp: • Khi 𝜎 biết dùng thống kê 𝑍 • Khi 𝜎 chưa biết Sử dụng S để thay, dùng thống kê ( X − μ) n T= ~ T (n − 1) S LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 157 Ước lượng biết σ2 ▪ Do 𝑋ሜ − 𝜇 𝑍= ~𝑁(0,1) 𝜎/ 𝑛 𝑃 𝑧1−𝛼1 < 𝑃 𝑋ሜ − 𝑧𝛼2 ሜ 𝑋−𝜇 𝜎/ 𝑛 với 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 < 𝑧𝛼2 = 1-α 𝜎 𝜎 < 𝜇 < 𝑋ሜ + 𝑧𝛼1 =1−𝛼 𝑛 𝑛 ▪ Có khoảng tin cậy thơng dụng tương ứng với: • (1) 𝛼1 = 𝛼, 𝛼2 = • (2) 𝛼1 = 0, 𝛼2 = 𝛼 • (3) 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼/2 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 158 Ước lượng biết σ2 ▪ Khoảng tin cậy tối đa (phía trái: left-tail) 𝜇 < 𝑋ሜ + 𝑧𝛼 𝜎 𝑛 ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu (phía phải: right-tail) 𝑋ሜ − 𝑧𝛼 𝜎 𝑛