Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 6: Luật số lớn cung cấp cho người học các kiến thức: Tập trung Định lý giới hạn trung tâm, bất đẳng thức Trebusep (Chebyshev), định lý Trebusep, định lý Bernoulli, định lý giới hạn trung tâm. Mời các bạn cùng tham khảo.
BÀI LUẬT SỐ LỚN ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Tập trung Định lý giới hạn trung tâm Bất đẳng thức Trebusep (Chebyshev) Định lý Trebusep Định lý Bernoulli Định lý giới hạn trung tâm LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 128 Định lý giới hạn trung tâm ▪ Xét X1, X2,…, Xn BNN độc lập có quy luật phân phối xác suất, kỳ vọng phương sai hữu hạn n Y − E (Y ) ▪ Đặt Y = X i U = V (Y ) i =1 ▪ Thì U hội tụ quy luật N(0, 1) n → ▪ Trong ứng dụng, n ≥ 30 coi đủ lớn để áp dụng quy luật Chuẩn (dù biến ngẫu nhiên gốc không phân phối chuẩn) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 129 BÀI – MẪU NGẪU NHIÊN ▪ ▪ ▪ ▪ 7.1 Các khái niệm 7.2 Trung bình mẫu 7.3 Phương sai mẫu 7.4 Tần suất mẫu ▪ [1] Chương 6, trang 295 – 347, 361 – 363, 367 – 369 ▪ [2] Chapter 7, pp.298 – 306, 310 – 328, 337 – 339 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 130 7.1 CÁC KHÁI NIỆM ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Tổng thể Tham số đặc trưng tổng thể Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể Thống kê (tham số đặc trưng mẫu) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 131 Tổng thể ▪ Tập hợp toàn phần tử đồng theo dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng gọi tổng thể (population) ▪ Kích thước tổng thể (population size): số phần tử 𝑵 ▪ Dấu hiệu lượng hóa được: 𝑿- Biến ngẫu nhiên gốc ▪ 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁 } ▪ Các tham số đặc trưng 𝑋 tham số đặc trưng tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 132 Mô tả tổng thể ▪ ▪ ▪ ▪ Nếu 𝑋 gồm k giá trị khác nhau: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 Số lượng tương ứng 𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁𝑘 𝑁𝑖 gọi tần số tổng thể 𝑥𝑖 Đặt 𝑝𝑖 = 𝑁𝑖 / 𝑁 gọi tần suất tổng thể Giá trị Tần số Tần suất 𝑥1 𝑁1 𝑝1 𝑥2 𝑁2 𝑝2 … … … 𝑥𝑘 𝑁𝑘 𝑝𝑘 N N i k i =1 Ni = N 0 pi k i =1 pi = LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 133 Tham số đặc trưng tổng thể ▪ Trung bình tổng thể (population mean): m N m = xi N i =1 • Chứng minh được: 𝑚 = 𝐸(𝑋) ▪ Phương sai tổng thể (population variance): σ2 N σ = ( xi − m)2 N i =1 • Chứng minh được: 𝜎2 = 𝑉(𝑋) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 134 Tham số đặc trưng tổng thể ▪ Độ lệch chuẩn tổng thể: σ σ= σ ▪ Tần suất tổng thể (population proportion): p • Số phần tử chứa dấu hiệu (hay biến cố) A MA MA p= N • Dễ thấy: 𝑝 = 𝑃(𝐴) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 135 Nhận xét ▪ Nghiên cứu Tổng thể: nghiên cứu tham số đặc trưng tổng thể, nghiên cứu toàn phần tử: gặp nhiều khó khăn: • Chi phí lớn, khơng khả thi • Sai sót thu thập, phá hủy tập hợp ▪ Nghiên cứu số phần tử đại diện: Mẫu • Từ tổng thể rút n phần tử (mẫu kích thước n) • Xác định tham số đặc trưng mẫu (thống kê) • Rút kết luận liên quan đến tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 136 Mẫu ngẫu nhiên ▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước n tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 thành lập từ biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 có quy luật phân phối xác suất với 𝑋 ▪ Ký hiệu: 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) ▪ 𝐸(𝑋𝑖 ) = 𝐸(𝑋) = 𝑚 ▪ 𝑉(𝑋𝑖 ) = 𝑉(𝑋) = 𝜎2 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 137 Mẫu cụ thể ▪ Gồm n quan sát (n số): 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ▪ Nếu gồm k giá trị khác nhau: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 với số lần xuất tương ứng : 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 ▪ 𝑛𝑖 tần số mẫu 𝑥𝑖 (frequency) ▪ Đặt pො i = 𝑛𝑖 / 𝑛 : tần suất mẫu (sample proportion) Giá trị Tần số Tần suất 𝑥1 𝑛1 pො 𝑥2 𝑛2 pො … … … 𝑥𝑘 𝑛𝑘 pො k i =1 ni = n k 𝑘 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 𝑖=1 𝑝Ƹ 𝑖 = 138 Ví dụ ▪ Nghiên cứu khối lượng sản phẩm (𝑋) ▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước n=10, ▪ 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋10) • 𝐸(𝑋1) = 𝐸(𝑋2) = ⋯ = 𝐸(𝑋10) = 𝐸(𝑋) • 𝑉(𝑋1) = 𝑉(𝑋2) = ⋯ = 𝑉(𝑋10) = 𝑉(𝑋) ▪ Mẫu cụ thể 𝑤 = ( 20,21,20,23,23,24,22,24,22,22) Khối lượng (g) Số sản phẩm 20 21 22 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 23 24 139 Thống kê đặc trưng mẫu ▪ Một hàm biến ngẫu nhiên Xi mẫu thống kê (statistic) 𝐺 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) ▪ Vì mẫu ngẫu nhiên nên 𝐺 ngẫu nhiên với phân phối xác suất xác định ▪ Mẫu cụ thể: thống kê số cụ thể, giá trị quan sát 𝐺𝑞𝑠 = 𝑔 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ▪ Thống kê mẫu thường tương ứng với tham số tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 140 7.2 TRUNG BÌNH MẪU ▪ Trung bình mẫu ngẫu nhiên (sample mean) n X = Xi n i =1 ▪ 𝑋ത biến ngẫu nhiên: E(X ) = m; σ σ V (X ) = ; σX = n n ▪ Nếu 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) thì: ሜ 𝑋~𝑁 𝜎2 𝜇, 𝑛 (𝑋ሜ − 𝜇) 𝑛 𝑍= ~𝑁(0,1) 𝜎 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 141 7.3 PHƯƠNG SAI MẪU ▪ Độ lệch bình phương trung bình (mean of squares) 𝑛 ሜ 𝑀𝑆 = (𝑋𝑖 − 𝑋) 𝑛 𝑖=1 ▪ Phương sai mẫu (sample variance) S2 𝑛 𝑆2 ሜ = (𝑋𝑖 − 𝑋) 𝑛−1 Hay 𝑖=1 n S = MS n−1 ▪ Độ lệch chuẩn mẫu: 𝑺 = 𝑺𝟐 ▪ Ta có : 𝐸(𝑆2) = 2 n−1 E (MS ) = σ n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 142 7.4 TẦN SUẤT MẪU ▪ Trong mẫu kích thước n có XA phần tử có dấu hiệu (biến cố) A 𝑋𝐴 ▪ Tần suất mẫu: pො = 𝑛 𝑝(1 − 𝑝) ▪ Nếu 𝑃(𝐴) = 𝑝 thì: 𝐸 pො = 𝑝 𝑉(ොp) = 𝑛 ▪ 𝑋 ~ 𝐴(𝑝), mẫu kích thước n 100, tần suất mẫu pො Thì: 𝑍 = (ොp − 𝑝) 𝑛 𝑝(1 − 𝑝) ~𝑁(0,1) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 143 ... suất mẫu ▪ [1] Chương 6, trang 295 – 347, 361 – 363 , 367 – 369 ▪ [2] Chapter 7, pp.298 – 3 06, 310 – 328, 337 – 339 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn... kích thước n) • Xác định tham số đặc trưng mẫu (thống kê) • Rút kết luận liên quan đến tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 1 36 Mẫu ngẫu nhiên... Số sản phẩm 20 21 22 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN – BỘ MƠN TỐN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 23 24 139 Thống kê đặc trưng mẫu ▪ Một hàm biến ngẫu nhiên Xi mẫu thống kê (statistic)