Bài 4 GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của MÔĐUN số PHỨC

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững định nghĩa số phức phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số phức; phép chia hai số phức + Nắm vững toán cực trị liên quan yếu tố: Điểm, đường tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình trịn, … + Nắm vững bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức bất đẳng thức Cauchy – Schwarz  Kĩ + Biết thực thành thạo định nghĩa, phép toán số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Biết thực thành thạo việc chuyển đổi ngôn ngữ số phức sang ngôn ngữ hình học + Giải thành thạo tốn cực trị liên quan yếu tố: Điểm, đường tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình trịn, … + Vận dụng linh hoạt bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức bất đẳng thức Cauchy – Schwarz vào giải tốn max, mơđun số phức Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức thường dùng a Cho số phức z1 , z2 ta có: +) z1  z2 �z1  z2 (1) z1  � Đẳng thức xảy � z1 �0,γk �, k � 0, z2 kz1 0, z2 kz1 +) z1  z2 � z1  z (2) z1  � Đẳng thức xảy � z1 �0,Σk �, k � b Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho số thực a, b, x, y ta có: ax  by �  a  b   x  y  Đẳng thức xảy ay  bx Một số kết biết a Cho hai điểm A, B cố định Với điểm M ln có bất đẳng thức tam giác: +) MA  MB �AB , dấu “=” xảy � M nằm hai điểm A, B +) MA  MB �AB , dấu “=” xảy � B nằm hai điểm A, M b Cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA  MB �AB , dấu “=” xảy � Ba điểm A, M , B thẳng hàng +) Gọi A�là điểm đối xứng với A qua d , ta có , M , B thẳng hàng MA  MB  MA�  MB �A� B , dấu “=” xảy � Ba điểm A� c Cho hai điểm A, B nằm khác phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA  MB �AB , dấu “=” xảy � M nằm hai điểm A, B +) Gọi A�là điểm đối xứng với A qua d , ta có MA  MB  MA�  MB �A� B , dấu “=” xảy � Ba điểm A� , M , B thẳng hàng d Cho đoạn thẳng PQ điểm A không thuộc PQ , M điểm di động đoạn thẳng PQ , max AM  max  AP, AQ Để tìm giá trị nhỏ AM ta xét trường hợp sau: +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ nằm đoạn PQ AM  AH +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ khơng nằm đoạn PQ AM   AP; AQ e Cho đường thẳng  điểm A không nằm  Điểm M  có khoảng cách đến A nhỏ hình chiếu vng góc A  Trang f Cho x, y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A1 A2 An Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F  ax  by ( a, b hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với số thực a, b, x, y ta có Các bất đẳng thức ax  by �  a  b   x  y  thường dùng Dấu “=” xảy a b  x y Bất đẳng thức tam giác z1  z2 �z1  z2 Dấu “=” xảy z1  kz2  k �0  z1  z2 �z1  z2 Dấu “=” xảy z1  kz2  k �0  z1  z2 � z1  z2 Dấu “=” xảy z1  kz2  k �0  z1 z2 z1 Dấu “=” xảy z1  kz2  k �0  z2 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp hình học Phương pháp giải Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn     2 z  z  i z  z Giá trị nhỏ z  3i A B C D Hướng dẫn giải Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ toán số phức Giả sử z  x  yi  x, y �� � z  x  yi Khi sang ngơn ngữ hình học    zz i zz  �  yi   x 2i � y  x Gọi M  x; y  ; A  0; 3 điểm biểu diễn Trang cho số phức z; 3i z  3i  MA Bước 2: Sử dụng số kết biết để giải toán hình học Parabol y  x có đỉnh điểm O  0;0  , trục đối xứng đường thẳng x  Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng parabol, nên ta có: MA �OA  Suy ra, MA  M �O Vậy z  3i  , z  Chọn A Bước 3: Kết luận cho tốn số phức Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Môđun lớn Nhận xét: OI  r �OM  z �OI  r số phức z A B C D Hướng dẫn giải Gọi M  x; y  , I  3;  điểm biểu diễn cho số phức z;3  4i Từ giả thiết z   4i  � MI  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I  3;  , bán kính r  Mặt khác z  OM Mà OM đạt giá trị lớn OI  r , M giao điểm đường thẳng OM với đường tròn tâm I  3;  , bán 18 24 � � kính r  Hay M � ; � �5 � Do đó, max z  OI  r    , z  18 24  i 5 Chọn B Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i , số phức z Trang có mơđun nhỏ Nhận xét: Trong tất đoạn A z   2i B z   i thẳng kẻ từ điểm O đến đường C z   2i D z   i thẳng d , đoạn vng góc OM Hướng dẫn giải ngắn Đặt z  x  yi  x, y �� Khi z   4i  z  2i � x  y    d Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng d Do z  OM nhỏ M hình chiếu O d Suy M  2;  hay z   2i Chọn C Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 Giá trị nhỏ z A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi F1  3;0  , F2  3;0  , có trung điểm O  0;0  Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến z  OM  Ta có MF  MF � MF1  MF2 2  MF12  MF2 F1 F2  2  50 Với số thực a, b ta có bất đẳng thức: a  b 2  a  b � 2 Đẳng thức xảy � M  4;0  �MF1  MF2 50 36 �� � z   4 , � M  4;0  �MF1  MF2  10 � Khi z  4i z  4i Cách 2: Gọi F1  3;0  , F2  3;0  , M  x; y  ;  x, y �� điểm biểu Với điểm M nằm elip, diễn số phức 3;3; z đoạn OM ngắn đoạn nối O Ta có F1 F2  2c  � c  Theo giả thiết ta có MF1  MF2  10 , tập với giao điểm trục bé với elip hợp điểm M đường elip có trục lớn 2a  10 � a  ; trục bé 2b  a  c  25   Trang Mặt khác OM  z nhỏ z  4i z  4i Vậy giá trị nhỏ z Chọn B Ví dụ 4: Xét số phức z thỏa mãn z  i  z  i  10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z A 60 49 B 58 49 C 18 D 16 Hướng dẫn giải Gọi A  0; 1 , B  0;1 , đoạn thẳng AB có trung điểm O  0;0  Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến z  OM  MA2  MB AB  Theo giả thiết MA  3MB  10 Đặt MA  a � MB  10  4a Khi 10  a MA � MB ��� AB �  � 10 7a a 16 10  4a �  5a    36 Ta có MA  MB  a  � � � � � 2 36 Do � �5a�8 2 24  5a �z �MA2  MB �4 � � � 260 � � 81 �MA  MB � �z � 49 � 49 � 8 z 576 nên 49 24 9 Đẳng thức z  z  �  i Đẳng thức z  z  i 25 25 7 Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16 Chọn D Ví dụ 5: Cho z số phức thay đổi thỏa mãn z   z   Trong mặt phẳng tọa độ gọi M , N điểm biểu diễn số phức z z Giá trị lớn diện tích tam giác OMN A B Trang C D 2 Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi  x, y �� � z  x  yi Gọi F1  2;0  , F2  2;0  , M  x; y  , N  x;  y  điểm biểu diễn số phức 2; 2; z; z Do M , N điểm biểu diễn số phức z z nên suy M , N đối xứng qua Ox Khi S OMN  xy Ta có F1 F2  2c  � c  Theo giả thiết ta có MF1  MF2  , tập hợp điểm M thỏa điều kiện elip có trục lớn 2a  � a  2 ; trục bé 2b  a  c    � b  Nên elip có phương trình  E  : Do  x2 y  1 xy x2 y x2 y  �2  � S OMN  xy �2 8 2 �x  Đẳng thức xảy � �y  Chọn D Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z  i  z   i Giá trị nhỏ P   i  1 z   2i A B C D Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi  x, y �� ; M  x; y  điểm biểu diễn số phức z Ta có z  i  z   i � x   y  1 i  x    y  1 i � x   y  1   x     y  1 2 � x  y 1    Ta có P   i  1 z   2i   i  1 z   2i  z 3i  i  1 Trang   x  3 2   y  1  2MA , với A   3;1 � Pmin  MAmin  2d  A,    1 1 12  12  Đẳng thức xảy M hình chiếu vng góc A đường �3 � thẳng  hay M � ; �� z   i 2 �2 � Chọn C Ví dụ 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z1  z2 Khi mơđun số phức M  mi A 76 B 76 C 10 D 11 Hướng dẫn giải Ta gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 uuu r uuur uur Từ giả thiết z1  z2  � OA  OB  � OI  với I trung điểm đoạn thẳng AB uuu r uuu r z1  z2  � OA  OB  � AB  AB Ta có OA  OB  2OI   20 2  P  z1  z2 2 OA OB P2 1 12   OA2 OB  40 Vậy max P  10  M uuu r uuur uuu r uuur Mặt khác, P  z1  z2  OA  OB �OA  OB  Vậy P   m Suy M  mi  40  36  76 Chọn A Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   3i  Giá trị nhỏ biểu thức P  z   4i A C B D Trang Hướng dẫn giải Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z ; gọi A  2; 1 , B  1;3 điểm biểu diễn số phức  i; 1  3i Ta có AB  Từ giả thiết z   i  z   3i  �  x  2   y  1   x  1 2   y  3  � MA  MB  � MA  MB  AB � MA  MB  AB Suy M , A, B thẳng hàng ( B nằm M A ) Do quỹ tích điểm M tia Bt ngược hướng với tia BA P  z   4i   x  1 2   y   , với C  1;  � P  MC uuur Ta có AB   3;  phương trình đường thẳng AB : x  y   CH  d  C , AB    1  3.4  Do P  CH  3 2  , CB   1  1    4  H giao điểm đường thẳng AB đường thẳng qua điểm C vng góc với AB Chọn B Ví dụ 9: Cho số phức z  x  yi  x, y �� thỏa mãn z   3i �z   i �5 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y  x  y Giá trị m  M A 60  20 10 C B 44  20 10 D 52  20 10 Hướng dẫn giải Gọi N  x; y  điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi Ta có z   3i �z   i � x  y  �0 ; 2 z   i �5 �  x     y  1 �25 (hình trịn tâm I  2; 1 bán kính r  ); Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   3i �z   i �5 thuộc miền  T  (xem hình vẽ với A  2;  , B  2; 6  ) Trang Ta có P  25   x     y  3 � P  25   x  4 2   y  3  NJ (với J  4; 3 ) Bài tốn trở thành tìm điểm N thuộc miền  T  cho NJ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Ta có IJ  r �NJ �JB � 10  � P  25 �3 � 40  20 10 �P �20 P đạt giá trị nhỏ N giao điểm đường thẳng JI với đường tròn tâm I  2; 1 bán kính r  NJ  10  P đạt giá trị lớn N �B Vậy m  M  60  20 10 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Gọi M m giá trị lớn nhất, nhỏ môđun số phức z thỏa mãn z   Giá trị M  m A B C D Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Giá trị M  m A M  m  17 B M  m  C M  m  D M  m  Câu 3: Cho số phức z thỏa z   2i  z   i Khi đó, z nhỏ A B C D 2 Câu 4: Cho số phức z thỏa z  Giá trị lớn P  z  z  z  z A 14 B C 2 Câu 5: Cho số phức z w biết chúng thỏa mãn hai điều kiện D   i  z   2; w  iz 1 i Giá trị lớn P  w  z A B 2 C D Câu 6: Cho số phức z thỏa   i  z   7i  Giá trị lớn z A B C D Bài tập nâng cao Trang 10 Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  z   i  Giá trị nhỏ biểu thức P  iz   4i A B C 13 D Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   2i  34 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z   2i Giá trị P  m.M A P  34 B P  10 C 14 85 17 D 14 170 17 Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   2i Biết z  a  bi  a, b �� biểu thức z   2i  z   i đạt giá trị lớn Giá trị T  3b  a B 2 A C D Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z  z   z  z  2i �6 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z   3i Giá trị M  5m A B 10 C D 10 Câu 11: Xét số phức z thỏa mãn z  z    z   2i   z   4i  Giá trị nhỏ z   i A B C D Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   2i  Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z   i Giá trị M  m2 A 39 B 137 10 C 157 10 D 33 2 Câu 13: Gọi M điểm biểu diễn số phức z1  a   a  2a   i ( với a số thực thay đổi) N điểm biểu diễn số phức z2 biết z2   i  z2   i Độ dài ngắn đoạn MN A B C D Câu 14: Cho hai số phức z w  a  bi thỏa mãn z   z   6; a  4b  20  Giá trị nhỏ z  w A 41 B 41 C 41 D 41 Câu 15: Cho hai số phức z w thỏa mãn z  w   6i z  w  Giá trị lớn biểu thức z  w Trang 11 A B 26 C 66 D Câu 16: Gọi S tập hợp số phức z thỏa mãn z   34 z   mi  z  m  2i (trong m �� ) Gọi z1 , z2 hai số phức thuộc S cho z1  z2 lớn nhất, giá trị z1  z2 A B 10 C Câu 17: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn A 2 B D 130 z1  i z i  1;  Giá trị nhỏ z1  z2 z1   3i z2   i C 1 D Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  z   3i Giá trị M  m A 10  34 C 10  58 B 10  58 D Câu 19: Gọi z  a  bi  a, b �� số phức thỏa mãn điều kiện z   2i  z   3i  10 có mơđun nhỏ Giá trị S  7a  b A B D 12 C Câu 20: Cho số phức z  x  yi  x, y �� thỏa mãn z   3i �z   i �5 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y  14 x  y Giá trị m  M A 118661  3000 34 B 3472  120 34 25 C 4732  120 34 D 3436  120 34 ĐÁP ÁN – Dạng Phương pháp hình học 1-C 11-B 2-D 12-A 3-C 13-B 4-C 14-A 5-C 15-C 6-C 16-A 7-A 17-A 8-D 18-D 9-A 19-A 10-D 20-C Dạng 2: Phương pháp đại số Phương pháp giải Các bất đẳng thức thường dùng: Cho số phức z1 , z2 ta có: a z1  z2 �z1  z2 (1) z1  � Đẳng thức xảy � z1 �0,γk �, k � 0, z2 kz1 0, z2 kz1 b z1  z2 � z1  z (2) z1  � Đẳng thức xảy � z1 �0,Σk �, k � Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho số thực a, b, x, y ta có ax  by �  a  b   x  y  Trang 12 Đẳng thức xảy ay  bx Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z  a   a  3 i,  a �� Giá trị a để khoảng Nhận xét: Lời giải có sử dụng đánh giá cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ nhỏ x �0, x �� A a  B a  2 C a  D a  Hướng dẫn giải z  a   a  3 2 � 3�  2� a  � � � 2� Đẳng thức xảy a  3 Hay z   i 2 Chọn A Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i , số phức z có mơđun nhỏ A z   2i B z  1  i C z   2i D z  1  i Hướng dẫn giải Gọi z  a  bi  a, b �� z   4i  z  2i �  a     b   i  a   b   i � a  b   � z    b   bi � z    b  b   b    �2 Suy z  2 � b  � a  � z   2i Chọn C Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1  , biết z   5i đạt giá trị z  2i nhỏ Giá trị z A B C D 17 Hướng dẫn giải Gọi z  a  bi  z �2i   a, b �� Trang 13 z 1  � z   z  2i � 2a  4b   � 2a   4b z  2i � z   5i   2b    b     b  1  20 �2 2 � a � Suy z   5i  � � � z   i 2 � b 1 � Vậy z  Chọn C Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   4i z1  z2  Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – z  z Giá trị lớn biểu thức Schwarz A B C 12 D Hướng dẫn giải  Ta có z1  z2   z z 2  z1  z2  52  32  42  50 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có  z1  z2 � z1  z2  50  Gọi z1  x  yi, z2  a  bi; a, b, x, y �� �z1  z2   4i � �z1  z2  Đẳng thức xảy � 2 �z1  z2  25 �z  z �1 � � x  a � � 1 � � �� � Hay z1   i; z2   i 2 2 �y  � b � � Thay z1 , z2 vào giả thiết thỏa mãn Vậy, giá trị lớn biểu thức z1  z2 Chọn D Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z  Giá trị lớn biểu thức bất đẳng thức Cauchy – P   z   z A 10 Nhận xét: Lời giải sử dụng Schwarz B Trang 14 C 15 D Hướng dẫn giải  Ta có P �  12  32   z   z 2   20  z  2 10 Đẳng thức xảy � �z  �x  y  x � � � � �� �z � i � 5x  z � �2 5 0 �1  z  �x  y   �y  �3 � � � Vậy max P  10 Chọn A Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị lớn Nhận xét: Lời giải sử dụng bất z   i A B C D đẳng thức z1  z2 �z1  z2 Hướng dẫn giải Ta có z   i   z   2i     3i  �z   2i   3i  � 13 16 �z   2i  k   3i  , k  �z  i Đẳng thức xảy � 5 �z   2i  Vậy giá trị lớn z   i Chọn B Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  Gọi M Nhận xét: Lời giải sử dụng m giá trị lớn nhỏ môđun số phức z Giá trị bất đẳng thức z1  z2 �z1  z2 M m A B 10 C 11 D 12 z1  z2 �z1  z2 Hướng dẫn giải Ta có z   z   4i     4i  �z   4i   4i     M � �k  � z   i  k  i , k      � � �� Đẳng thức xảy � �z  27  36 i �z   4i  � 5 Mặt khác z   z   4i     4i  � z   4i   4i     m Trang 15 � k   � � �z   4i  k   4i  ,  k   � �� Đẳng thức xảy � �z   4i  �z   i � 5 Chọn A Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z   z  z  2i  Giá trị nhỏ Chú ý: Với số phức z1 , z2 : z  i A B C D z1.z2  z1 z2 Hướng dẫn giải Ta có z   z  z  2i  �  z  2i   z  2i   z  z  2i  � z  2i z  2i  z z  2i �z  2i  z  2i � z  2i � �� �� �� z  a  i, a �� � �z  z  2i �z  z  2i �z  i  2i  i  � z   Do � � z  i  a  i  i  a  �   � Chọn C   Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn  z  1 z  2i số thực z đạt giá trị nhỏ A z   i 5 B z    i 5 C z    i 5 D z   i 5 Hướng dẫn giải Gọi z  a  bi; a, b ��    a  1 a  b   b  � Ta có  z  1 z  2i  � � �  2a  b   i   Do  z  1 z  2i số thực � 2a  b   � b   2a Khi z  a    2a  2 � 4�  5� a  � � � 5� Trang 16 � a � � Đẳng thức xảy � � b � � a � � z  �� Vậy z   i 5 � b � Chọn D Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   Tìm giá trị lớn biểu thức T  z  i  z   i A max T  B max T  C max T  D max T  Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi  x, y �� , ta có z   � x   yi  �  x  1  y2  �  x  1  y  � x  y  x  (*) Lại có T  z  i  z   i  x   y  1 i  x    y  1 i  x2  y  y   x2  y  x  y  Kết hợp với (*) ta T  2x  y    2x  y   x  y      x  y  Đặt T  x  y , T  f  t   2t    2t với t � 1;3 Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số Ta có f '  t   1  ; f�  t  � t 1 2t   2t Mà f  1  4, f  1  2, f  3  2 Vậy max f  t   f  1  Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có T  2t    2t �   1  Đẳng thức xảy t  Chọn B Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M m giá Trang 17 trị lớn giá trị nhỏ z   z  z  Khi giá trị M  m A C B D Hướng dẫn giải Đặt z  a  bi  a, b �� t  z  Khi   t   z  1 z   z   z  z   2a � a  t2  Ta có z  z   a  b2  2abi  a  bi   a    b   a  b  2a  1 i   2a  a   b  2a  1  a  2a  1    a   2a  1 2 2  2a   t  � z   z  z   t  t  (với �t �2 , a �1 ) Xét hàm số f  t   t  t  với t � 0; 2 �1 � 2 Trường hợp 1: t � 0;1 � f  t   t   t  t  t  �f � � �2 � � max f  t   � 0;1 có f    f  1  nên �  f  t   � � 0;1 Trường hợp 2: t � 1; 2 � f  t   t  t   t  t  1, f �  t   2t   0, t � 1; 2 �max f  t   f    � 1;2 Do hàm số đồng biến  1; 2 � � f  t   f  1  � � 1;2 �M  max f  t    0;2 � � M m  Vậy � m  f  t   � �  0;2 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  Giá trị nhỏ biểu thức P  z1   z2   z1 z2  Trang 18 A B Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  C D  a  a   Gọi M m giá trị lớn nhỏ z z Khi M  m A a B a  a  C a2  D   a2   a Câu 3: Trong số phức z thỏa mãn z    4i   , gọi z1 z2 số phức có mơđun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1 z2 A 8i B C 8 D Câu 4: Trong số phức z thỏa mãn z   i  z   4i , số phức z có mơđun nhỏ A z   2i B z  1  i C z   2i D z  1  i Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   z  2i z  Giá trị nhỏ z   i A z   i  B z   i  C z   i  D z   i  Bài tập nâng cao Câu 6: Số phức z thỏa mãn z   z  z  số phức w  z  có mơđun nhỏ Tổng phần thực số phức z thỏa mãn A B C 10 D 14 Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z  2i  Giá trị lớn P  z   i  z   3i A max P  26 B max P  13 C max P  13 D max P  13 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z   i Giá trị S  M  m A S  34 B S  82 C S  68 D S  36 Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z   z Ký hiệu M  max z , m  z Môđun số phức w  M  mi A w  B w  C w  2 D w   1 Câu 10: Trong số phức z thỏa mãn 2z  z  z  i , số phức có phần thực khơng âm cho z đạt giá trị lớn A z   i B z  i C z   i D z   i 8 z z 1 số thực Biết phần thực số thực dương Giá trị nhỏ phần thực z Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z số thực đồng thời số phức w  A B C D Trang 19 2 Câu 12: Cho số phức z  a  bi  a, b �� thỏa mãn điều kiện z   z Đặt P   b  a  Mệnh đề đúng? A P  12 B max P  12 C P  D max P  Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z  Giá trị nhỏ P   z   z   z A B C Câu 14: Cho số phức z w thỏa mãn   i  z  A B D z   i Giá trị lớn T  w  i w 1 C D Câu 15: Xét số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   z1   z2   z2   10 Giá trị lớn biểu thức z1  z2 A B 20 C 14 D 10 ĐÁP ÁN – Dạng Phương pháp đại số 1-B 11-A 2-C 12-A 3-D 13-B 4-B 14-B 5-C 15-D 6-D 7-A 8-C 9-A 10-D Trang 20 ... Gọi M m giá trị lớn nhất, nhỏ môđun số phức z thỏa mãn z   Giá trị M  m A B C D Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Giá trị M  m A M  m...  Trang Mặt khác OM  z nhỏ z  4i z  4i Vậy giá trị nhỏ z Chọn B Ví dụ 4: Xét số phức z thỏa mãn z  i  z  i  10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z A 60 49 B 58 49 C 18 D 16 Hướng dẫn... m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z   3i Giá trị M  5m A B 10 C D 10 Câu 11: Xét số phức z thỏa mãn z  z    z   2i   z   4i  Giá trị nhỏ z   i A B C D Câu 12: Cho số phức