Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn căn thức bậc hai

MỤC LỤC Nội dung PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn chuyên đề II Mục đích nghiên cứu III Phạm vi nghiên cứu IV Đối tượng nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận II Cơ sở thực tiễn III Thực trạng IV Nội dung chuyên đề V Hiệu chuyên đề VI Bài dạy minh họa PHẦN III: KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Trang 2 3 4 5 21 22 26 27 Qua năm giảng dạy trường THCS Tôi nhận thấy rằng em học sinh, nhất lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử vào trường chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau Mà kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức không thể thiếu đó chương thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức thực phép tính Phần lớn em không làm bài, vì em chưa nhận thấy biểu thức đã cho có liên quan đến kiến thức rất quan trọng hằng đẳng thức mà em đã học lớp Trong đại số hằng đẳng thức đáng nhớ nội dung rất quan trọng cần thiết Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán nhu cầu không thể thiếu học chương đại số cho tất học sinh phổ thông Tuy nhiên vận dụng hằng đẳng thức học sinh thường gặp phải khó khăn mà đó có thể nguyên nhân hạn chế việc tiếp thu kiến thức tốn, ngun nhân dẫn đến tình trạng do: - Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức đã học lớp - Kỹ vận dụng hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa lớp chưa thành thạo - Kỹ biến đổi tính tốn giải tốn thức bậc hai đa số học sinh yếu Trong trình giảng dạy thực tế lớp số năm học, tơi đã phát rằng cịn rất nhiều học sinh thực hành kỹ giải toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai kém.Việc giúp học sinh nhận dạng giải thành thạo dạng toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai điều rất cần thiết cấp bách nó mang tính đột phá mang tính thời rất cao, giúp em có am hiểu vững trắc lượng kiến thức bậc hai tạo móng để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao sau Với ước vọng để tìm hướng khắc phục, chúng có suy nghĩ nhiều đến giải pháp mà thân đã tích cực áp dụng trình giảng dạy như: - Hướng dẫn chu đáo tập nhà - Tăng cường tập nhà kiểm tra thường xuyên - Cố gắng dành thời gian để hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng toán rút gọn biểu thức lớp Với giải pháp mang lại kết chưa cao Để thay đổi trạng trên, chuyên đề chúng đưa giải pháp đó “Sử dụng hằng đẳng thức, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai” nhằm phát huy lực lựa chọn phương pháp phù hợp cho dạng, kiểu khác nhau, đồng thời giúp em hiểu sâu sắc vận dụng có hiệu Để thực giải pháp này, giáo viên cần đưa dạng toán rút gọn biểu thức bản, thường gặp chương trình, hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải gọn, dễ hiểu, dễ nhớ đối với có nhiều cách giải Trên sở phân tích đề bài, giáo viên cần giúp đỡ cho học sinh giải quyết vấn đề mà em hay lúng túng, không xác định hướng giải Xuất phát từ tình hình đó, qua năm giảng dạy học hỏi đồng nghiệp, rút số kinh nghiệm cho thân để có thể truyền dạy cho em kiến thức để có thể giải quyết vấn đề khó khăn Chính vì tơi mới chọn chuyên đề "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai" II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu chuyên đề “ Sử dụng hằng đẳng thức, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai” giúp giáo viên quan tâm đến phương pháp dạy học tích cực rất rễ thực - Giúp giáo viên toán Trung học sở nói chung giáo viên dạy toán Trung học sở nói riêng có thêm thông tin phương pháp tích cực nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đưa biện pháp tối ưu áp dụng phương pháp vào dạy học - Qua chuyên đề tơi muốn giúp giáo viên tốn có thêm nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ thực hành giải toán bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu đào sâu suy nghĩ tư lôgic học sinh giúp học sinh phát triển khả tiềm tàng người học sinh - Qua sáng kiến tự đúc rút cho thân mình kinh nghiệm để làm luận cho phương pháp dạy học mới năm tiếp theo III PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Trong sáng kiến nêu số tập rút gọn biểu thức chứa mà học sinh thường làm chương I - Đại số Phân tích cách biến đổi để đưa dạng hằng đẳng thức đưa biểu thức dấu Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải toán bậc hai IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Chuyên đề áp dụng cho học sinh lớp học sinh khá, giỏi mơn tốn thực giờ luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10 giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức thực phép tính có chứa V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Đọc sách, tham khảo tài liệu Thực tế chuyên đề, thảo luận đồng nghiệp Dạy học thực tiễn lớp để rút kinh nghiệm Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước vốn kinh nghiệm thân đã rút số vấn đề có liên quan đến nội dung chuyên đề Trong trình thực chuyên đề đã sử dụng phương pháp sau: - Quan sát trực tiếp đối tượng học sinh để phát vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó - Điều tra toàn diện đối tượng học sinh lớp khối với tổng số 50 học sinh để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý em học mơn tốn, quan điểm em tìm hiểu vấn đề giải toán có liên quan đến bậc hai (bằng hệ thống phiếu câu hỏi trắc nghiệm) - Thực nghiệm giáo dục giải mới, tiết luyện tập, tiết trả kiểm tra , đã đưa vấn đề hướng dẫn học sinh trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh sai lầm giải tập Yêu cầu học sinh giải số tập theo nội dung sách giáo khoa đưa thêm vào đó yếu tố mới, điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức suy luận học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm giáo dục áp dụng nội dung nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy.Từ đó tổ chức có hiệu giờ dạy tiếp theo PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Đào tạo thế hệ trẻ trở thành người động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng thực giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xã hội thế giới khách quan vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã quan tâm.Vấn đề khơng nằm ngồi mục tiêu giáo dục Đảng Nhà nước ta giai đoạn lịch sử Để đáp ứng yêu cầu thời đại khoa học kĩ thuật phát triển Tại nghị quyết hội nghị lần thứ ban chấp hành Trung ương khóa VIII giải pháp chủ yếu giáo dục đào tạo đã rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Chính vì địi hỏi từng môn nhà trường THCS phải có cách nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với từng đối tượng học sinh Một yêu cầu đặt cải cách phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, dưới tổ chức hướng dẫn giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát giải quyết nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học vào tập thực tiễn II CƠ SỞ THỰC TIỄN Trong trường THCS mơn Tốn mơn nhiều học sinh cho khó từ đó khơng thích học Qua trình giảng dạy gần gũi học sinh nắm học sinh thường chưa hiểu công thức không dám hỏi bạn bè thầy cô giáo Với học sinh lớp thì việc giải dạng toán “Tìm x dấu để giải phương trình, toán bậc hai, toán rút gọn “gặp nhiều sai xót em khai phương không lấy giá trị tuyệt đối, không chú ý đến điều kiện tồn bậc hai, biểu thức liên hợp toán trục thức mẫu , nên dẫn đến kết sai bỏ xót nghiệm Chính vì mà gặp dạng tốn học sinh thường ngại, lúng túng khơng tự tin hay né tránh nên kết kiểm tra phần thường thấp III THỰC TRẠNG Ở kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào trường chuyên, học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức thực phép tính có chứa thức bậc hai Muốn giải tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học lớp phải biết vận dụng chúng vào từng loại tập Cái khó em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ lớp viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà lớp tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học lớp Chính vì số em cịn ́u khơng nhận thấy điểm nên không làm tập rút gọn Vì ta phải cho học sinh nhận thấy mối quan hệ qua lại hằng đẳng thức đáng nhớ lớp hằng đẳng thức lớp để em có thể tự mình phát vận dụng nó vào việc giải tập IV NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Lý Thuyết Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp (theo thứ tự): 1) Bình phương tổng: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2) Bình phương hiệu: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 3) Hiệu hai bình phương: a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) Lập phương tổng: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lập phương hiệu: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) Tổng hai lập phương: a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) 7) Hiệu hai lập phương: a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) Biết vận dụng nó để đưa những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp (theo thứ tự) viết dưới dạng có dấu căn: 1) a  ab  b  2) a  a     a b  a 1  2  a    b    a  b   4) a a  b b   a    b   ( a  5)1  a a   1   a   (1  a )   3) a  b  2 3 3 a b   b ) a  ab  b a a   6) a b  b a  ab ( a  b ) 7) a  a  a ( a  1) * Chú ý: +a;b>0 + Hằng đẳng thức số 4; lớp sử dụng lớp 9, nên không đưa vào phần ghi nhớ lớp + Khi làm điều học sinh có để giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai Bài tập vận dụng *Sách giáo khoa lớp và sách bài tập tập đưa rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai sau: Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức sau: � � � 1 a a 1 a �  a a) � � � �1  a � �1  a � � � � � � Với a ≥ 0; a ≠ Nhận xét đề bài: Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau:  a     a    a  a    a     a    a   a a  13   a  12 tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3; lớp Áp dụng vào toán, ta biến đổi vế trái: Giải � � � 1 a a 1 a � VT  �  a � � �1  a � �1  a � � � � � �    �1  a  a  a �� � 1 a � � � �   a � ��1  a  a � 1 a � �� �      � �   a  a � � 1 a � � Đến ta lại thấy xuất hđt:   a  a     a  tương tự hđt số lớp Tiếp tục biến đổi ta kết quả: b) ab a 2b a b2 a  2ab  b  VT   a  1 a    VP ðpcm với a+b >0 b �0 Nhận xét: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 hđt số lớp Áp dụng vào toán ta biến đổi vế trái: Giải VT  ab a2b4 ab  2 2 b a  2ab  b b a 2b4  a  b 2 a  b ab ab b a    a  VP ab a b b b ðpcm Bài toán 2: Rút gọn biểu thức: Vi a  b  P a  b  ab : a b a b * Nhận xét: a  b  ab  a  ab  b   a b  Giải P  a  b  ab : a b a b a  ab  b : a b a b  a     ab   b a b a b  : a b a b � a b  a  b  � a  b    a  b  2  ab Vậy P = a – b (với a > 0, b > 0, a ≠ b) Bài toán 3: Cho biểu thức: � �� � 1 a a 1 a a P�  a  a � � � �1  a ��1  a � � �� � a) Rút gọn P b) Tìm a để P   * Nhận xét:  a    1 a   1 a  1  a    1 a   1 1 a a  1 1 a 3 Giải ĐKXĐ: a ≥ 0; a ≠  a  a a a � �� � 1 a a 1 a a P� � �1  a  a � � �1  a  a � � � �� � 3 � �� � 1 a 1 a �  a �� �  a� �1  a ��1  a � � �� � � �� � �1  a  a  a ��1  a  a  a �  a �� �  � �� 1 a 1 a � ��          a a a �  1 a  a    1 a  a � 1 a  a  1 a  � 1 a  �  1 a  �  1 a  � � �  1 a   � a� � � 2  1 a Vậy P =   a  Bài tốn 4: Rút gọn rời so sánh giá trị của M với 1, biết: � a 1 � M �  �: a  �a  a  �a  a Nhận xét: a  a  a ( a  1) a  a 1    a 1 với a,b ≥ a ≠ có dạng hđt số lớp Áp dụng vào toán: Giải � � � 1 � a 1 1 � � M �  :   : � a 1�a  a 1 � a a 1 a 1� �a  a � �  � � 1 a � � M  : � a a 1 � � �  M  a 1 a    1 a    � � a 1 1 a � a 1 �  � a a 1 � a 1 a 1 � �  1    a 1  a 1 2 Vi # a  Bài toán 5: Cho biểu thức: P x 1 x 25 x   4 x x 2 x 2 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = Với x ≥ ; x ≠ Nhận xét: Bài toán cho có hằng đẳng thức:     x   x  x dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P Giải x 1 a) P  P P P x 2  x   x 2  x 1  x 1 x 2 x  x 2   x 2  25 x   25 x x4 x4 x   2x  x   x x4 3x  x  x4 x   x 2 x  25 x  4x x 2 2 x x2 x  b) P  �  x 2 x 2     x  2 x 2 2�3   x  x  2 � x 2 x  � x  16 Bài toán 6: Chứng minh đẳng thức sau a) a b b a :  ab ab a b Với a, b > ; a ≠ b � a  a �� a  a � b) � 1 � 1 � � � � � �  a a  a  � �� � Với a ≥ a ≠ Nhận xét: Hai câu gồm có hđt số & lớp 9: a b  b a  ab a� a  a   a b   a �1 Áp dụng vào toán, ta biến đổi vế trái gặp thêm dạng hđt số lớp 8: Giải c)VT  a b b a ab : a b ab  a b � a  a �� a  d )VT  � 1 � 1 � � � � � a  a 1 � � �� �� �       a  b ab � �� � a � � a  a  1 �� a  a  1 �  1 1    a  a  12   a  a b  a 1 �� ��   a  VP a 1 ðpcm Bài toán 7: Cho biểu thức Q � a � 1 2 a  b � a  b2 a � b �: 2 �a  a  b a) Rút gọn Q 10 Với a > b > � �  a  b  VP ðpcm  A a b   ab a b a ) ÐK : a; b  ; a �b  b) A  A A a b   ab a b a  ab  b a b     a b    a b b a ab  a b b a ab  a b   a  ab  b  ab  a b  a b ab   a b  a  b  a  b  a  b  2 b Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào a Bài toán 11: Cho biểu thức: � � �2 x  � x  x3 B�   x � � Với x ≥ ; x ≠ � � x3  x  x  � �1  x � � � � � a) Rút gọn B b) Tìm x để B = Nhận xét: Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau:  x  1  x   1 x  1 x3    x3  Áp dụng vào toán ta có: x  x x 1 Giải � � �2 x  � x  x3 a) B  �   x � � � � � �1  x � � x 1 x  x 1� � �  � � �1  2x  x � � B�  � x 1 x  x 1 � x  x 1� � � �    �2 x   x  x  1 � � B� 1 � � x  1  x  x  1 � � � 2x   x  x B� � x 1 x  x 1 � � x  x 1 B� � x 1 x  x 1 �   b)    B3�    x x x  � �1  x  x � � � �1  x  x  � �   x 1  �   x  � x  16 13  x 1 1 x xx   a b ab a b   � x� � �  Bài toán 12: Cho biểu thức: � x x  ��3 x  1 � C � :  �Với x > ; x ≠ �3  x   x �� �� x� � ��x  x � a) Rút gọn C b) Tìm x cho C < -1 Nhận xét: Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau:   9 x  3 x 3 x x3 x  x  x 3   Áp dụng vào toán ta có: Giải � x x  ��3 x  1 � a )C  �  :  �� � �  x  x �� x� � ��x  x � � x C �  � 3 x 3 �   �� � x 1 � �� :  x� x �� x x 3 �� � x9 x   3     � �� � � �3 x  x  x  �� : �3  x    x  ��      � � � �� �  x  3 �� � � �� x  x  3 � x 4 � � � � � C � :�  � � � � � � � �   x    x  �� x  x  3 � �  x  ��2  x   � � � � �� x  x  3 � 3 � � 3 x C � � � � � x  2  x  3 ��2  x   � � �  � x  x  x  �� x 1 x  �� C � : �  x  x �� x x 3 � �� C  1 � b) � 4 x  x 2   3 x x 2  Vi    1 �  3 x x 2  1  � 3 x  2   x2 x 2  � x  3� � x 3 � x 1 x    0  x   ( x  ) nên :  x  � x  16 Bài toán 13: Rút gọn: P x xy y x y   x y  Với x ≥ 0; y ≥ x2 + y2 > Nhận xét: toán có hđt sau: x x  y y   x  y   x  xy  y  Áp dụng vào toán 14 Giải P x xy y x  P  x y   x y      x y x x  xy  y  x  xy  y  x  xy  y y  x2 xy  y xy  y  x  xy  y   xy Bài toán 14: Chứng minh đẳng thức � a 1 a 1 �   � �: a  �a  a  a �a  a Với a > ; a ≠ Nhận xét: toán cho gồm có hđt sau: a a  a  a  a 1   a 1   a 1 Áp dụng vào toán, ta biến đổi vế trái: Giải � � � a 1 1 � � � VT  �    : �: a  �a  a  � a a  a 1 � �a  a � �  � � 1 a � � VT  : � a a 1 � � �  a 1    a 1     � x 2 x  �  x  P� �x 1  x  x 1� � � �  x 1 x  x 1      x 1  x 1 2 Nhận xét: toán cho gồm có hđt sau:   a 1 � � 1 a � a 1 a 1 �    VT � a a 1 � a 1 a � � Bài toán 15: Rút gọn biểu thức: x 1  a 1 Áp dụng vào toán ta có lời giải: Giải 15 ðpcm ÐK : x �0 ; x �1 � � x 2 x  �  x  x 2 � P�    � � �x 1 x  x 1� x  x  � � � �   � x 2 P� � � �     x  2  x  1  x  1  � � x  x  x   x  x  x  �  x  � P� � � � x 1 x 1 � � � 2 x P� � x  1 x  �        x 1 �  1 x � � � � x 1   � x  �  x  � x 1 � �  �  x  x x 1  x     �   � x 1 �     x 1    x 1  x 1 x    x 1  x 1 x  MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH Bài 1: Rút gọn a b a b 4b   a b a  b a b Với a, b >0 ; a ≠ b Nhận xét: toán cho có hằng đẳng thức: ab   a b  a b  Áp dụng vào toán ta có: Giải a b a b     a b a b  4b ab    a  b   4b  a  b  a  b a b 2 a  ab  b  a  ab  b  4b  a b  a b    2a  2b a b  a b    a  b a b 2 Bài 2: Cho biểu thức �a  a � � a a� P� 2 � � � a 1  � � � � � � � 1 a � a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Trong điều kiện đó, hãy rút gọn P Nhận xét: Bài toán cho có hđt: a  a  a ( a  1) Áp dụng vào toán ta có: Giải 16 �a  a � � a a� P�  2  � � � a 1 � � 1 a � � � � � � a) ÐK : a �0 ; a �1 �a  a � � a a� b) P  �  2  � � � a 1 � � 1 a � � � � � � � a a 1 � � a 1 a � � P  �2  � a 1 � � 1 a � � �    � � �    a  2  a  22  �  a Bài 3: Cho biểu thức x   x2  M  2x   x2  a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tính giá trị M x = -5 Nhận xét: Bài toán cho có hđt sau: x   x  x  x3  x3  �x �3 voi Áp dụng vào toán ta có: Giải M  a) b) x   x2  2x   x2  ÐK : �x �3 Rút gon : * Nêu x �3   x  3  x  3   x    x   2x   x  x  3 �  x  3 �  x  3  x  3�  x  3  � �  � M  2 x  3   x  3  x  3  x  3 �  x  3  �  x  3  x  M   x  3 x  M  x   x2    x3  2  x3 17 x  3� � x  3� �  4a * Nêu x �3 M  M  x   x2  2x          x  3   x    x    x  3   x    x   x  � x   x  3�  � �  x  3 2 M  x2        x  3  x3 x3  x3         x  � x   x  3� � � � � x 3 x3 2 x3 � �  x3 x 3 c) Khi x  5 ta co : M  5  2 1    5  8 Bài 4: Cho biểu thức M  a  a2  a  a2   a  a2  a  a2  a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị M a = Nhận xét: Bài toán cho có dạng hđt số ; ; lớp Áp dụng hđt, ta có lời giải Giải ÐK : �a �1 a)M  a  a 1 a  a2  a M  a2   a  a 1 a  a2   a a   a  1 a2        1  a  a  a2  a a2  a  a2  a2    2  a  2a a   a   a  a a   a   4a a  1 b) Khi a  Ta co : M  4a a   4.9 80  36 16.5  144 Bài 5:Cho biểu thức � � x �� x P�  :  �� � x  �� x  x x  x  x  � � � �� � voi x �0 ; x �1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P < c) Tính giá trị P nếu x  2002  2001 Nhận xét: Sau phân tích đa thức thành nhân tử quy đồng mẫu thức ta có hđt dạng số lớp 9: 18 Giải � � �x   x �� x �� x a) P  � 1 :  :�  � �� � � � � �� � � � � x  �� x  x x  x  x  � � x  �� x  �x   x �� x P� :�  � x 1 � � x   x  1 x 1 � �� �    x x  x  1   x  1 �� �� x   x � � �x   x � � :� � �� � � x  x  x    �� �� �   � � x   x �  x  1  � � �  x  1 x  �x   x �� P� � � x 1 � � � �� x 1 �  b) P  � x 1 x   x 1 1� x 1 x   x 1 Vi : x 2 �0 nên : x x c) Voi x  2002  2001 ta co P  P  2002  2001     1  � 2001     x 1 0�  x 1  x 1 0  2002  2001   2002  2001 2002  2001   2001   2002  2001   2001  2002  2001  2001   2001  Bài 6: Cho biểu thức � 1 �� � A�  � 1 � �  a  a �� a � � a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị A a = 1/4 Nhận xét: Sau quy đồng ta có hđt sau:   a    a    a Áp dụng vào toán ta có lời giải: Giải ÐK : a  ; a �1  x2 x x 1 x  x 1 x  x 1      � � � 1 �� � �1  a   a ��a  � a) A  �    � � � ��  a  a �� a � �  a  a �� a � � � �  � 1 a 1 a � �a  � a �a  � A�    � � � � � � � 1 a a � a � 1 a � a � � � 2 b) Khi a  ta co : A       4 a 19  � � � � Bài 7: Rút gọn cho biểu thức Y x2  x 2x  x 1 x  x 1 x Với x >0 Nhận xét: Sau đặt nhân tử chung thì xuất hđt sau:   x2  x  x � x � �  1� x � �    x 1 x  x 1 Áp dụng vào toán ta có lời giải Giải Y x2  x x  x 1 Y x  1 2x  x   x  x    1 x  x 1 x  x 1 x  x 1   x 1 x x 1   x 1  x  x 1  x 1  x  x Bài 8: Rút gọn biểu thức � a �� � K �  � � a 1  a  a � �: � � �� a  a  � Nhận xét: Bài toán cho có hđt: a    a  1  a  1 Áp dụng vào toán ta có Giải ÐK : a  ; a �1 � �� � a �� �� a 1 �� K �   :  � � � a 1  a  a � �: � a a  �� a  a 1 a 1 � �� a  a  � � a  �� � �� �� � a    � � a  a   a  a  a 1 �� � � � K � :  � � a a  �� a  a  � � a a  �� a � a  � a  a  1 � �� �� �          Bài 9: Rút gọn biểu thức A x2 x  x2 x  x3  3x x 6 Nhận xét: Bài toán cho gồm có hđt sau:   x  x   x  x  x  x  3 x    x  3 x2 x x2   x Áp dụng vào toán ta có lời giải Giải 20  x2x     � � � � ÐK : x �0 A A A x2 x  x2 x  x3  x x 6 x2 2 x 2 x2 2 x x  x2 x x   x  x   x 2 x   x     x2 x x2 x x2 x     x2 x x2 x    2 x  x  3 x 3  x   2x 2 x   x x2x   4 V HIỆU QUẢ CỦA CHUYÊN ĐỀ - Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh rất bở ngỡ vì không biết phải xuất phát từ đâu gặp số mà đã trình bày Nguyên nhân em chưa thuộc hằng đẳng thức có thuộc thì thuộc lòng, không biết cách vận dụng chúng thế để giải tập dạng nêu Chính vì phần lớn em rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai thực phép tính có chứa dấu không đến kết cuối - Sau áp dụng đề tài nhận thấy rằng em bắt đầu hiểu biết cách áp dụng chúng cách triệt để Nhờ tỉ lệ em hiểu bài, làm tăng lên rõ rêt Sau bảng thống kê kết kiểm tra rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai thực phép tính có chứa dấu căn: Kết quả điểm kiểm tra Khá Trung bình Yếu Giỏi Kém Năm học Áp dụng đề tài 2019 -2020 Chưa áp dụng 2018 -2019 Đã áp dụng 15% 20% 45% 17% 3% 2017 -2018 Đã áp dụng 20% 30% 40% 10% 0% Qua việc áp dụng đề tài nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều khâu phải giải tập cho học sinh(phần lớn em giải không được)mà kết đem lại không nhiều, giáo viên phải làm việc nhiều học sinh, học sinh biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau sử dụng đề tài thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát kiến thức biết áp dụng chúng, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học 21 VI BÀI DẠY MINH HOẠ Ngày soạn: Ngày giảng: CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I MỤC TIÊU Kiến thức - Nắm vững hằng đẳng thức đã học ở lớp 8, từ đó đưa những hằng đẳng thức lớp - Biết áp dụng các hằng đẳng thức vào giải toán Kĩ - HS có kĩ quan sát, phân tích, tư duy, tổng hợp tìm lời giải - Rèn cho HS kĩ tính toán, biến đổi xác Thái độ HS có thái độ say mê, u thích mơn học II CHUẨN BỊ GV: Thước kẻ, máy vi tính, máy chiếu, sưu tầm các bài tập có liên quan HS: Ôn lại hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp Các phép biến đổi bậc hai chương I (Toán 9) III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Tổ chức lớp: Sĩ số: 9A: 9B: Kiểm tra bài cũ: HS1 Viết bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp HS2 Chứng minh các đẳng thức sau: � � � 1 a a 1 a �  a � � � �1  a � �1  a � � với a ≥ 0; a ≠ � � � � GV và HS nhận xét Bài mới: Hoạt động của thầy và trò * Hoạt động 1: Nội dung I Nhắc lại bảy hằng đẳng thức đáng nhớ HS nhắc lại hằng đẳng thức học lớp đáng nhớ đã học ở lớp Từ đó 22 GV đưa các hằng đẳng thức lớp (Dùng máy chiếu) * Hoạt động 2: * Hoạt động 2.1: II Một số bài toán liên quan Giáo viên đưa ND bài tập Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức sau: ab a 2b  a với a+b > Bài toán 1: b2 a  2ab  b b �0 * Nhận xét: a  2ab  b   a  b  Giải Biến đổi vế trái: GV: Em có nhận xét giải bài toán VT   HS: Ngoài nhận xét bạn nào có nhận xét khác khơng? ab a 2b � b2 a  2ab  b ab a 2b � b2  a  b 2 �a  b � a b  � �� �b �  a  b  GV: Từ nhận xét yêu cầu HS lên bảng trình bày lời giải bài toán  GV: Cho HS khác nhận xét bài bạn GV: Nhận xét, cho điểm  a  b b4 a 2b �  a  b  a2 a Vậy VT = VP (với a+b > b �0 ) 23 * Hoạt động 2.2: Bài toán 2: Giáo viên đưa ND bài tập * Nhận xét: Bài toán 2: Rút gọn biểu thức: P a  b  ab  a  ab  b  a  b  ab : a b a b HS: Ngoài nhận xét bạn nào có nhận xét khác không? GV: Từ nhận xét yêu cầu HS lên bảng trình bày lời giải bài toán a b  Giải P GV: Em có nhận xét giải bài toán   a  b  ab : a b a b a  ab  b : a b a b  a     ab   b a b a b  : a b � a b a b  a  b  � a  b    a  b  2  ab GV: Cho HS khác nhận xét bài Vậy P = a – b (với a > 0, b > 0, a ≠ b) bạn GV: Nhận xét, cho điểm Bài toán 3: * Nhận xét: * Hoạt động 2.3: Giáo viên đưa ND bài tập 1 a Bài toán 3: Cho biểu thức: � �� � 1 a a 1 a a P�  a  a � � � �1  a ��1  a � � �� �  a    1 a   1 a  1  a    1 a   1 1 a a  1 3 Giải ĐKXĐ: a ≥ 0; a ≠ a) Rút gọn P b) Tìm a để P   HS: Quan sát, nhận xét 24  a  a a a GV: Cho HS hoạt động theo nhóm � �� � 1 a a 1 a a P�  a  a � � � �1  a ��1  a � � �� � 3 � �� � 1 a 1 a � ��   a �  a� �1  a ��1  a � � �� � � �� � �1  a  a  a ��1  a  a  a � � ��   a �  a� � �� � 1 a 1 a � �� �   HS: Các nhóm lên bảng trình bày lời giải bài toán           1 a  a �  1 a  a  1 a  � 1 a  �   a  �  a  � � �   a  a  a �1  a  a  a HS: Cho các nhóm nhận xét GV: Nhận xét cho điểm  2   1 a Vậy P =   a  Củng cố - GV khắc sâu cho HS các bài tập đã chữa - HS nghe, áp dụng Hướng dẫn nhà - HS làm các bài tập cịn lại tài liệu (Đính kèm) - Buổi học sau thầy hướng dẫn các em phương pháp khác - Hướng dẫn: bài toán Bài toán 11: Cho biểu thức: � � �2 x  � x  x3 B�   x � �với x ≥ 0; x ≠ � � x3  x  x  � �1  x � � � � � a) Rút gọn B b) Tìm x để B = * Nhận xét: x3    x  x3   1     x 1 x  x   x    1 x   1 xx  PHẦN III: KẾT LUẬN 25  Khi áp dụng đề tài vào trình giảng dạy, nhận thấy học sinh rất có hứng thú học tập, giảng huy động nhiều học sinh tham gia, học sinh yếu ó thể làm tập đơn giản Bên cạnh đó giáo viên đỡ phải vất vả thuyết trình mà gợi ý cho em tự suy nghĩ tự phát kiến thức sau đó vận dụng Trước nhu cầu đáng muốn vương lên học tốt học sinh hịa vào khơng khí thi đua dổi mới phương pháp dạy học nay, xin góp số kinh nghiệm mình để trao đổi với đồng nghiệp, mục đích nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường Bài viết chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong giúp đỡ góp ý đồng nghiệp để đề tài áp dụng rộng rãi học sinh Xin chân thành cảm ơn! Hồng Phương, ngày 05 tháng 11 năm 2019 Người viết Đỗ Văn Phồn 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa toán 9,tập1;2 - Sách bài tập toán 9,tập1;2 - Sách giáo viên toán 9,tập1;2 - 500 bài toán chọn lọc (Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Quang Hanh, Ngô Long Hậu) - Để học tốt đại số (Nguyễn Vĩnh Cận - Vũ Thế Hựu - Hoàng Chúng) 27 ... học 21 VI BÀI DẠY MINH HOẠ Ngày soạn: Ngày giảng: CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I MỤC TIÊU Kiến thức - Nắm vững hằng đẳng thức đã học... đẳng thức đáng nhớ lớp viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà lớp tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức. .. học sinh thực hành kỹ giải toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai kém.Việc giúp học sinh nhận dạng giải thành thạo dạng toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai điều rất cần thiết cấp bách nó