Chuyên đề sử dụng hằng đẳng thức

Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức 1. Bình phương của một tổng: ( ) 22 2 2 BABABA ++=+ = ( ) ABBA 4 2 +− 2. Bình phương của một hiệu: ( ) ( ) 22 22 2 BABAABBA +−=−=− = ( ) ABBA 4 2 −+ 3. Hiệu của hai bình phương: ( )( ) BABABA +−=− 22 4. Lập phương của tổng: ( ) ( ) BAABBABABBAABA +++=+++=+ 333 333223 3 5. Lập phương của hiệu: ( ) ( ) BAABBABABBAABA −−−=−+−=− 333 333223 3 6. Tổng hai lập phương: ( ) ( ) ( ) ).(3 3 2233 BAABBABABABABA −−+=+−+=+ 7. Hiệu hai lập phương: ( ) ( ) ).(3)( 32233 BAABBABABABABA −+−=++−=− * Một số hằng đẳng thức tổng quát 1. a n – b n = (a- b)(a n-1 + a n-2 b + … + ab n-2 + b n-1 ) 2. a 2k – b 2k = (a + b )(a 2k-1 – a 2k-1 b + … + a 2k-3 b 2 –b 2k-1 ) 3. a 2k+1 – b 2k+1 = (a + b )(a 2k – a 2k-1 b + a 2k-2 b 2 - … + b 2k ) 4. (a + b) n = a n + na n-1 b + 2.1 )1( −nn a n-2 b 2 +…+ 2.1 )1( −nn a 2 b n-2 +nab n-1 + b n 5. (a -b) n = a n - na n-1 b + 2.1 )1( −nn a n-2 b 2 - …- 2.1 )1( −nn a 2 b n-2 +nab n-1 - b n Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau : 1 ( ) ( ) ACBCABCBACBA +++++=++ 2 222 2 2. ( ) ( ) ( ) ( ) CACBBACBACBA ++++++=++ 3 333 3 3. ( ) ( ) ( ) 22 22 2 BABABA −++=+ 4. ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2222 . BYAXBYAXYXBA ++−=++ Bài tập 2. Tính : a/ A = 1 2 – 2 2 + 3 2 – 4 2 + … – 2004 2 + 2005 2 b/ B = (2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1) – 2 64 Giải a/ A = 1 2 – 2 2 + 3 2 – 4 2 + … – 2004 2 + 2005 2 A = 1 + (3 2 – 2 2 ) + (5 2 – 4 2 )+ …+ ( 2005 2 – 2004 2 ) A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015 b/ B = (2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1) – 2 64 B = (2 2 - 1) (2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1) – 2 64 B = ( 2 4 – 1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1) – 2 64 B = … B =(2 32 - 1)(2 32 + 1) – 2 64 B = 2 64 – 1 – 2 64 1 B = - 1 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A 2 – B 2 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a/ A = x 2 – 4x + 7 b/ B = x 2 + 8x c/ C = - 2x 2 + 8x – 15 Giải a/ A = x 2 – 4x + 7 = x 2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2) 2 + 3 > 3 Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2. b/ B = x 2 + 8x = (x 2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4) 2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4. c/ C = - 2x 2 + 8x – 15 = – 2(x 2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2) 2 – 7 < - 7 Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2. * Chú ý:  Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh A > m với m là một hằng số. - Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra. - Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )  Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh A < t với t là một hằng số. - Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra. - Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA ) Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c ) 2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c Giải ( a + b + c ) 2 = 3(ab + bc + ac )  a 2 + 2ab + b 2 + 2bc + 2ac + c 2 = 3ab + 3bc + 3ac  a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc – ac = 0  2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2bc – 2ac = 0  ( a 2 – 2ab + b 2 ) + ( b 2 – 2bc + c 2 ) + ( c 2 – 2ac + a 2 ) = 0  ( a – b) 2 + ( b – c) 2 + ( c – a) 2 = 0  ( a – b) 2 =0 hay ( b – c) 2 = 0 hay ( c – a) 2 = 0  a = b hay b = c hay c = a  a = b = c * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 2 (a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 Bài tập 5. Chứng minh rằng: a/ 7.5 2n + 12.6 n  19 ( n ∈ N) b/ 11 n+2 + 12 2n+1  133 ( n ∈ N) Giải a/ 7.5 2n + 12.6 n = 7.(25 n – 6 n ) + 19.6 n  19 Vì ( 25 n – 6 n )  ( 25 – 6) nên ( 25 n – 6 n )  19 và 19.6 n  19 Vậy 7.5 2n + 12.6 n  19 ( n ∈ N) b/ 11 n+2 + 12 2n+1  133 = 11 2 . 11 n + 12.12 2n = 12.( 144 n – 11 n ) + 133.11 n  133 Vì (144 n – 11 n )  (144 – 11) nên (144 n – 11 n )  133 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức a n – b n = (a- b)(a n-1 + a n-2 b + … + ab n-2 + b n-1 ) do đó (a n – b n )  (a- b) Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 Giải 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 ⇔ (x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x 2 + 10x + 25) + (y 2 + 6y + 9) = 0 ⇔ ( x + y + z) 2 + ( x + 5) 2 + (y + 3) 2 = 0 ⇔ ( x + y + z) 2 = 0 ; ( x + 5) 2 = 0 ; (y + 3) 2 = 0  x = - 5 ; y = -3; z = 8 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức (a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 Bài tập 7: Cho x =  1 soá chöõ n 15 .11 ; y =  1 soá chöõ n 19 .11 . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương. Ta có : y =  1 soá chöõ n 19 .11 =  1 soá chöõ n 15 .11 + 4 = x + 4 Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x 2 + 4x + 4 = ( x + 2 ) 2 hay xy + 4 =   1 soá chöõ n 2 17 .11 là số chính phương. B. Ứng dụng hằng đẳng thức Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc Ta có: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b) 3 – 3ab(a+b) + c 3 – 3abc = [(a+b) 3 +c 3 ] – 3ab(a+b+c) = (a+b+c) [(a+b) 2 –c(a+b)+c 2 ]– 3ab (a+b+c) = (a+b+c) (a 2 + 2ab + b 2 – ac- ab + c 2 - 3ab) 3 = (a +b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ac) = 2 1 (a + b + c) [(a-b) 2 + (b-c) 2 + (a-c) 2 ] Nhận xét: Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 3abc thì a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0 => 2 1 (a+b+c) [(a-b) 2 + (b-c) 2 + (a-c) 2 ] = 0 =>    =−+−+− =++ 0)()()( 0 222 cacbba cba =>    == =++ cba cba 0 Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức. DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức (x-y) 3 + (y – z) 3 + (z - x) 3 thành phân tử. Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có: (x-y) 3 + (y – z) 3 + (z - x) 3 = 3(x-y) (y-z) (z-x) Bài 2: Phân tích đa thức (x 2 + y 2 ) 3 + (z 2 – x 2 ) 3 – (y 2 + z 2 ) 3 thành nhân tử. Ta có (x 2 + y 2 ) 3 + (z 2 – x 2 ) 3 – (y 2 + z 2 ) 3 = (x 2 + y 2 ) 3 + (z 2 – x 2 ) 3 + (-y 2 - z 2 ) 3 Ta thấy x 2 + y 2 + z 2 – x 2 – y 2 – z 2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có: (x 2 +y 2 ) 3 + (z 2 -x 2 ) 3 + -y 2 -z 2 ) 3 = 3(x 2 + y 2 ) (z 2 –x 2 ) (-y 2 – z 2 ) = 3(x 2 +y 2 ) (x+z)(x-z)(y 2 +z 2 ) Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 thành nhân tử (x+y+z) 3 – x 3 -y 3 -z 3 =[(x +y) +z] 3 – x 3 – y 3 – z 3 . = (x+y) 3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x 3 -y 3 -z 3 = x 3 + y 3 +3xy(x+y)+z 3 +3z(x+y)(x+y+z) –x 3 -y 3 -z 3 . = 3(x+y) (xy+ yz +xz +z 2 ) = 3(x+y)(y+z)(z+x) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x+y+z) 3 –(x+y-z) 3 -(x-y+z) 3 -(-x+y+z) 3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c. =>x+y+z = a+b+c 4 =>(a+b+c) 3 - a 3 - b 3 -c 3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: Bài 1: Cho 0 111 =++ zyx tính P = 222 y zx x yz z xy ++ Từ 0 111 =++ zyx => xyzzyx 3111 333 =++ => P = 3 3111 333333222 ==         ++=++=++ xyz xyz zyx xyz y xyz x xyz z xyz y zx x yz z xy Bài 2: Cho abc ≠ 0, a 3 +b 3 +c 3 = 3abc tính A =       +       +       + a c c b b a 111 Từ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc =>    == =++ cba cba 0 Nếu a+b+c = 0 thì A = 1 −= −−− =       +       +       + α b c a b c c ca c cb b ba Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8 => A có 2 giá trị: -1 và 8 Bài 3: Cho xyz ≠ 0 thoả mãn x 3 y 3 + y 3 z 3 + x 3 z 3 = 3x 2 y 2 z 2 . Tính P =       +       +         + x z z y y x 111 Đặt a= xy, b = yz, c =zx. Ta có x 3 y 3 + y 3 z 3 + x 3 z 3 = 3x 2 y 2 z 2 => a 3 + b 3 + c 3 = 3abc =>    == =++ cba cba 0 Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz P = ( ) ( ) ( ) xy yzx zx xzy yz zyx x xz z zy y yx x z x y y x +++ =       +       +         + =       +       +         + 111 = ( )( )( ) 1 −= −−− yzxyzx zxyzxy Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c 3 + (b-c)a 3 +(c-a)b 3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c Ta được A = (a-b)c 3 + (b-a)a 3 + (a-c)b 3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c). Vì a+b+c=0 -> A=0 5 Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B = xzy zyx − ++ 333 vì x+y+z=0 => x 3 +y 3 +z 3 = 3xyz => B = 3 3 333 −= − = − ++ xyz xyz xyz zyx Bài 6: Cho a 3 +b 3 +c 3 = 3abc và a+b+c ≠ 0 tính giá trị biểu thức. M= ( ) 2 222 cba cba ++ ++ ta có a 3 +b 3 +c 3 - 3abc = (a+b+c) (a 2 +b 2 +c 2 –ab-bc-ca) = 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 2 1 222 =−+−+−++ accbbacba Mà a+b+c ≠ 0 => (a+b) 2 + (b-c) 2 + (c-a) 2 = 0 => a=b=c => M = ( ) 3 1 9 3 3 2 2 2 222 == ++ a a a aaa Bài 7: Cho a+b+c=0 (a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0) tính giá trị biểu thức A = 2 2 2 a b c cb ca ab + + ; B= 222 2 222 2 222 2 bac c acb b cba a −− + −− + −− Ta có A = abc cba 333 ++ vi a+b+c=0 => a 3 + b 3 + c 3 = 3abc A = 3 3 abc abc = B = 222 2 222 2 222 2 bac c acb b cba a −− + −− + −− Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a 2 +b 2 +2ab=c 2 -> c 2 -a 2 -b 2 = 2ab TT: a 2 -b 2 -c 2 =2bc; b 2 -c 2 -a 2 =2ac Nên B= abc cba ab c ac b bca a 2222 333222 ++ =++ ta có a+b+c=0 => a 3 +b 3 +c 3 = 3abc -> B = 2 3 2 3 = abc abc Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức: A = a b b c c a c a b − − −   + +           − + − + − ac b cb a ba c Đặt B = b ac a cb c ba − + − + − 6 Ta có B .       −+− − +=       − + − − += − ab aacbcb ba c b ac a cb ba c ba c 2 .11 = 1 + ( )( ) abc c ab c ab bacba ba c 32 2 1. 2 1. +=+= −−− − Tương Tự . B . ; 2 1 3 abc a cb a += − B. ; 2 1 3 abc b ac b += − Bậy A = ( ) abc cba abc b abc a abc c 333333 3 2 1 2 1 2 1 ++ =+++ Vì a+b+c = 0 => a 3 + b 3 + c 3 = 3abc => A = 3 + 9 3.2 = abc abc DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải phương trình (3x – 2) 2 – (x-3) 3 = (2x+ 1) 3 . (3x-2) 3 – (x-2) 3 = (2x+1) 3 => (3x-2) 3 – (x-3) 3 – (2x+1) 3 = 0 => (3x-2) 3 + (-x+3) 3 + (-2x-1) 3 = 0 => => Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 => Áp dụng nhận xét ta có (3x-2) 3 + (-x+3) 3 +(-2x-1) 3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 =>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2 Vì x;y ∈Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1) 2(-1) chỉ xảy ra trường hợp      −=− =+− −=+ 12. 22 1 y x yx ↔    −= = 1 0 y x Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vô nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1 Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 3 +y 3 +z 3 - 3xyz=1 Ta có x 3 +y 3 +z 3 -3xyz=1 <=> ⇔ (x+y+z) (x 2 +y 2 +z 2 -xy-xz-yz)=1 Ta xét x 2 +y 2 +z 2 -xy-xz= 2 1 [(x-y 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2 ] ≥ 0 nên chỉ có thể xảy ra    =−−−++ =++ )2(1 )1(1 222 zxyzxyzyx zyx 7 Từ 1 ta có: x 2 +y 2 +z 2 +2(xy+yz+xz) = 1 3 Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0 <2-3> Nên x 2 +y 2 + z 2 = 1 giả sử x 2 ≥ y 2 ≥ z 2 =>z = 0; y = 0; x = ± 1 Nếu =>      = = = 0 0 1 z y x không t/m Nếu =>      = = = 0 0 1 z y x T/m phương trình và TH: =>      = = = 0 1 0 z y x và      = = = 1 0 0 z y x DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a 3 +b 3 +c 3 = 3abc. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Ta có a 3 +b 3 +c 3 = 3abc    == =++ ⇔ cba cba 0 Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c ≠ 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => ABC ∆ Là tam giác đều. Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a 3 +b 3 +c 3 +d 3 = 3 (d+c) (ab-cd) Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a 3 +b 3 +x 3 = 3abx hay a 3 +b 3 +(c+d) 3 =3ab(c+d) => a 3 +b 3 +c 3 +d 3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b) = 3(c+d)(ab-cd) Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x 5 +y 5 +z 5 ) = 5xyz(x 2 +y 2 +z 2 ) từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z) 5 = -x 5 . =>y 5 +5y 4 z + 10y 3 z 2 + 10y 2 z 3 + 5yz 4 + z 5 = -x 5 =>x 5 +y 5 +z 5 +5yz (y 3 + 2y z z+2yz 2 +z 3 ) = 0 =>x 5 +y 5 +z 5 +5yz(y+z)(y 2 +yz+z 2 )= 0 => 2(x 3 +y 5 +z 5 )- 5yzx((y 2 +z 2 )+ (y+z) 2 )= 0 8 => 2(x 3 +y 5 +z 5 )- 5yzx((x 2 +y 2 +z 2 )= 0 2(x 5 +y 5 +z 5 )= 5yzx (x 2 +y 2 +z 2 ) => đpcm. C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất Bài tập 1 : Cho 0 >> ba , biết a/ abba 1033 22 =+ . Tính ba ba P + − = b/ abba 522 22 =+ . Tính ba ba Q − + = a. Xét 4 1 610 610 633 633 2 2 22 22 22 22 2 2 = + − = ++ −+ = ++ +− =       + − = abab abab abba abba baba baba ba ba P . Mà 2 1 0 =⇒> PP b. ( Tương tự ) Xét 39 2 =⇒= EE Bài tập 2: a/ Cho 0 =++ cba và 14 222 =++ cba . Tính 444 cbaA ++= b/ Cho 0 =++ zyx và 2222 azyx =++ . Tính 444 zyxB ++= theo a a/ Ta có: ( ) ( ) 222222444 2 2222 219614 accbbacbacba ++−=++⇒++= Ta có: ( ) 7 2 00 222 2 −= ++ −=++⇒=++⇒=++ cba acbcabcbacba ( ) 4949)(249 222222222222 2 =++⇒=+++++⇒=++⇒ cacbbacbaabccacbbaacbcab Vậy 9849.2196 444 =−=++= cbaA b/ ( ) ( ) ( ) 22 2 222222 2 2 42 zyzyxyzzyxzyxzyx =−−⇒=−−⇒+=⇒+−= ( ) ( ) 2 2222 4 4 2 222444222222444 a Bazyxzyxzxzyyxzyx =⇒=++=++⇒++=++⇒ Bài tập 3: Cho 0 ≠ x và a x x =+ 1 . Tính các biểu thức sau theo a 2 2 1 x xA += 3 3 1 x xB += 6 6 1 x xC += 7 7 1 x xD += Dể dàng chứng minh được, khi n>1, ta có:       +−       +       +=+ − − + + 1 1 1 1 1111 n n n n n n x x x x x x x x Ta tính được 2 2 −= aA aaB 3 3 −= 296 246 −+−= aaaC aaaaD 7147 3157 −+−= Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số a/ ( ) ( ) ( ) bacacbcba −+−+− 222 9 b/ 24294 23 +−+ aaa à c/ 1676 234 +−++ xxxx d/ 6116 23 +++ xxx e/ ( ) ( ) ( ) ( ) 157.5.3.1 +++++ xxxx f/ ( ) ( ) ( ) 333 xzzyyx −+−+− Gợi ý: a/ Thay )()( baaccb −−−−=− Sau khi thay, ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( )( )( ) bcacbaabacacbaabacacba −−−=+−+−−=−−+−− 2222 b/ Đáp số: ( )( )( ) 831 +−− aaa c/ Đáp số: ( ) 2 2 13 −+ xx d/ Đáp số: ( )( )( ) 321 +++ xxx e/ Đáp số: ( ) ( ) ( ) 2.6.108 2 ++++ xxxx f/ Đặt cxzbzyayx =−=−=− ( ) 3 3 0 cbacbacba −=+⇒−=+⇒=++⇒ ( ) abcbaabcbacbaabba 3)(33 333333 =+−=++⇒−=+++⇒ ( )( )( ) xzzyyxVT −−−= 3 10 . Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức 1. Bình phương của một tổng: ( ) 22 2. biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A 2 – B 2 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a/ A = x 2 – 4x