Chuyên đề toán 8 sử dụng hằng đẳng thức trong giải toán

Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên MỤC LỤC PHẦN Trang PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn chuyên đề 01 Phạm vi 02 Mục đích PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ 02 I Cơ sở lý luận, khoa học chuyên đề 03 II Phương pháp nghiên cứu 05 III Một số dạng toán cụ thể: 05 IV Hiệu việc sử dụng chuyên đề PHẦN III: KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 18 20 22 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên CHUYÊN ĐỀ ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ -1 Lí chọn chuyên đề Giáo dục bậc THCS có vai trị quan trọng GDPT n ước ta Nó cầu nối cấp học Giáo dục THCS góp phần hình thành cho học sinh phẩm chất, lực người lao động là: động, sáng tạo, thích ứng với phát triển đa dạng với tốc độ nhanh xã hội Vì vậy, học sinh phải học tiếp cận với tất mơn khoa học bản, mơn tốn đóng vai trị then chốt.Với mục tiêu việc dạy mơn toán trường THCS em cần cung cấp kiến thức, phương pháp toán học phổ thơng, bản, thiết thực Chính em cần tăng cường luyện tập, rèn luyện kỹ tính tốn vận dụng kiến thức tốn học vào đời sống vào môn học khác Trong chương trình mơn tốn THCS, mơn Đại số có nhiều ứng dụng Các toán đại số giúp em giải nhiều toán cách thuận lợi đặc biệt nhiều toán liên hệ với thực tiễn sống Trong chương trình tốn THCS, bảy đẳng thức có tầm quan trọng đặc biệt Nó khơng giúp cho phương pháp tính nhanh, phép biến đổi để rút gọn biểu thức, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,… Đầu học kỳ I lớp 8, học sinh học “Bảy đẳng thức đáng nhớ” Các đẳng thức quan trọng nội dung kiến thức mơn tốn khơng lớp mà cịn lớp sau Học đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu “Bảy đẳng thức đáng nhớ”, đồng thời phải biết sử dụng đẳng thức vào giải số dạng tập : Rút gọn biểu thức, tìm x, chứng minh đẳng thức,… Tuy nhiên, để nhìn nhận đẳng thức số trường hợp học sinh cịn lúng túng Để giúp học sinh có phương pháp biến đổi thành thạo biểu thức có liên quan đến đẳng thức việc cần thiết, thao tác giúp em khơng mặt kiến thức mà cịn rèn luyện tư tốn học tốt Trong khn khổ chun đề này, chúng tơi đưa số ví dụ minh hoạ với tình từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ biến đổi biểu thức có vận dụng đến đẳng thức CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên Phạm vi - Môn Đại số lớp - Chương I: Phép nhân phép chia đa thức - Các tốn: Rút gọn, tính tốn, chứng minh,… - Các tập sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo Mục đích - Nâng cao chất lượng dạy học - Học sinh hiểu vận dụng đẳng thức vào giải tập - Góp phần nâng cao chất lượng dạy học bậc Trung học sở - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống dạng tốn áp dụng đẳng thức, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng tốn - Học sinh có khả phân tích, phán đốn làm tốt toán áp dụng đẳng thức - Phát huy khả suy luận, phán đoán tính linh hoạt học sinh - Rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm kiến thức mới, khơng tìm phương pháp làm tốn dạng bản, phương pháp thơng thường mà cịn phải dùng số phương pháp khó - Rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học mơn tốn - Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng tri thức vào thực tiễn sống CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên PHẦN II : NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ I Cơ sở lý luận, khoa học chuyên đề Ngành giáo dục triển khai thực công tác đổi giáo dục phổ thông bao gồm: đổi sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi chương trình sách giáo khoa, đổi cơng tác quản lý, đổi phương pháp dạy học, đổi cách kiểm tra đánh giá v.v…nhằm giúp học sinh phát triển cách tồn diện Trong hệ thống mơn học đưa vào đào tạo trường THCS, môn Tốn đóng vai trị quan trọng, lẽ qua học toán học sinh phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với hoàn cảnh, phù hợp với xu phát triển đất nước ta Học tốt mơn Tốn giúp học sinh học tốt môn học khác Xưa nay, mơn học mà khơng học sinh phải ngại ngùng nhắc đến, việc học toán học sinh điều khó khăn Hơn nữa, sức để xóa bỏ tình trạng học sinh ngồi nhầm lớp Tất lý xuất phát từ nguyên nhân khách quan chủ quan như: Học sinh chưa nắm phương pháp học tập, giáo viên cịn ơm đồm kiến thức giảng dạy, khó khăn sở lý luận việc dạy học môn,… Học toán đồng nghĩa với giải toán.Trong học tập muốn làm tập ngồi việc có phương pháp suy luận đắn đòi hỏi học sinh phải nắm công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, đinh lý,… Đặc biệt giai đoạn phát triển khoa học cơng nghệ nay, trình độ tri thức người phát triển rõ rệt Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập người dân, nguồn lực phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học nhân dân Vì dạy học người giáo viên cần phát triển học sinh “Những lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề góc độ khác Tìm tịi cũ mới” Để phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào tình có vấn đề tạo cho em thách thức trước vấn đề Để góp phần hình thành phẩm chất lao động khoa học cần thiết người lao động môn tốn có vai trị quan trọng Học sinh học tốn hình thành rèn luyện kỹ tính tốn, biến đổi, đo đạc, vẽ hình, Các em rèn luyện khả suy luận hợp lý hợp lơgic, khả quan sát dự đốn, bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt, độc lập sáng tạo Bước đầu hình thành khả vận dụng kiến thức toán học vào đời sống mơn học khác Do việc dạy học tốn cần đạt yêu cầu sau: - Đảm bảo tính hệ thống, khoa học - Học đôi với hành - Tích cực, tự lực, say mê học tập CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên - Rèn luyện kỹ tính tốn, vận dụng kiến thức tốn học vào đời sống vào mơn học khác Để áp dụng đẳng thức vào giải tập toán yêu cầu học sinh phải nắm đẳng thức sau:  Bảy đẳng thức đáng nhớ: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a + b)(a – b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Hoặc : (a + b)3 = a3 + b3+ 3ab(a + b) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Hoặc : (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Ta có đẳng thức mở rộng: (a + b + c)2 = a2 + b2+c2 +2ab +2ac + 2bc (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc Một số đẳng thức tổng quát: (a1+ a2+… + an)2 = a12 + a22 +…+an2 + 2a1a2 +….+2a1an +….+2an-1an an – bn = (a - b)(an-1+ an-2b +an-3b2 + … + abn-2 + bn ) (với n nguyên dương) n 10 a + bn = (a + b)(an-1- an-2b +an-3b2 - … – abn-2 + bn ) (với n lẻ) 11 (a + b)n = an +c1 an-1b +c2 an-2b2 + … +cn-1 abn-1 + bn Khi khai triển (a + b)n ta đa thức có n+1 hạng tử, hạng tử đầu a n, hạng tử cuối bn, hạng tử khác chứa a b; Bậc hạng tử tập hợp biến a, b n Các hệ số c 1, c2 , … cn-1 xác định bảng tam giác Pascal sau: CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên Hình Hình Nhận xét : - Mỗi dòng bắt đầu kết thúc - Cộng số với số liền sau bên phải số đứng hàng số liền sau ấy, hình II Phương pháp nghiên cứu - Xuất phát từ tập sách giáo khoa kiến thức học để học sinh làm dạng tập: Rút gọn biểu thức, tính giác trị biểu thức, chứng minh đẳng thức,… - Để hình thành kỹ cho học sinh giảng dạy giáo viên phải tạo tình có vấn đề Học sinh phải thực hành nhiều sở vận dụng kiến thức học vào việc giải tập - Về nguyên tắc phải từ biết đến chưa biết, từ đơn giản đến phức tạp, từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng - Phương pháp nghiên cứu là: + Tiến hành giảng dạy theo phương pháp đổi + Bước đầu áp dụng thử nghiệm với học sinh lớp trường THCS Trung Kiên + Tổng kết rút học kinh nghiệm III Một số dạng toán cụ thể Dạng toán 1: Rút gọn biểu thức * Cách làm : - Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng đẳng thức học để rút gọn - Các đẳng thức vận dụng theo hai chiều ngược Chẳng hạn: CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên * Các ví dụ: Ví dụ : Rút gọn biểu thức: a A = (x2 + 2)2 – (x + 2)(x – 2)(x2 + 4) b B = (x2- xy + y2)(x - y)(x + y)(x2 + xy + y2) c D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b – c - a)2 + (c - a - b )2 Giải: a, A = (x2+2)2 – (x +2)(x – 2)(x2 + 4) = x4 + 4x2+4 – (x2 - 4)(x2 + 4) = x4 + 4x2+4 - x4 +16 = 4x2 + 20 = 4(x2 +5) b, B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2) = [(x+y)(x2-xy + y2)].[(x- y)(x2 + xy+y2)] = (x3- y3)(x3+y3) = x6 – y6 c, C = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2 = a2 +b2+c2 +2ab + 2ac + 2bc + a2 +b2+c2 -2ab - 2ac + 2bc +a2 +b2+c2 - 2ab – 2bc + 2ac + a2 +b2+c2 - 2ac - 2bc + 2ab = 4(a2 +b2+c2) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau em biết Sự kiện ngày 1/11/2013 D = (3x + 2.104)2 – 2(3x + 2.104)(3x +104 ) + (3x + 104)2 – 107 Giải: D = (3x + 2.104)2 – 2(3x + 2.104)(3x +104 ) + (3x + 104)2 – 107 = [(3x + 2.104) – (3x + 104)]2 – 107 = (3x + 2.104 – 3x – 104)2 – 107 = (104)2 – 107 = 108 – 107 = 90000000 � D = 90000000 (Thời khắc 02h45 phút ngày 01/11/2013 vào lịch sử phát triển nhân học lịch sử phát triển dân tộc Việt Nam với đời công dân thứ 90 triệu ) Dạng tốn 2: Tính giá trị biểu thức * Cách làm: Để tính giá trị biểu thức ta làm theo hai cách: CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên + Thay trực tiếp giá trị biến vào để tính + Rút gọn biểu thức sau thay giá trị biến vào để tính * Các ví dụ: Ví dụ 1: Tính nhanh: A = 2632 + 74 263 + 372 B= 63  47 215  105 C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) D = (502 + 482 + 462 +….+22) – (492 + 472 +… +12) Giải : A = 2632 + 2.37 263 + 372 = (263 + 37)2 = 3002 = 90000 (63  47)(63  47) 110 16 16   B = (215  105)(215  105) = 320.110 320 20 C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) 2C = (3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) = (32-1) )(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) =(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) = (38-1)(38+1)(316+1)(332+1) = (316-1)(316+1)(332+1) = (332-1)(332+1) = 364-  C 64  D = (502 + 482 + 462 + … +22) – (492 + 472 + … +12) = (502- 492) +(482-472) + … +(22 – 1) = 50 + 49 + 47 + … +2 +1 = (50  1).50 = 1275 CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên Ví dụ 2: a Cho x = -2 Tính giá trị biểu thức: A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1) b Cho x – y = Tính giá trị biểu thức : B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65 c Cho x+y = a , x2+y2 = b Tính x3+y3 theo a b Giải : a) A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1) = x3 – 3x2 + 3x – – 4x(x2-1) + 3(x3 – 1) = x3 – 3x2 + 3x – – 4x3 + 4x + 3x3 – = – 3x2+7x – Thay x = -2 vào biểu thức, ta : A = -3(-2)2 + 7.(-2) – = -30 b) B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65 = x2 + 2x + y2 – 2y – 2xy +65 = (x – y)2 + 2(x- y) +65 = (x – y + 1)2 + 64 Thay x – y = vào biểu thức, ta : B = (5+1)2 + 64 = 100 c) Ta có : x3+y3 = (x +y)(x2- xy +y2) = (x +y)[( x2+y2) – xy] = a(b – xy) (1) Từ x+y = a , x2+y2 = b  (x +y)2 = a2  x2+ 2xy + y2 = a2  2xy + b = a2 a2  b (2) a2  b 3ab  a 3 x  y  a ( b  )  Từ (1) (2) ta có : 2  xy  Dạng toán : Chứng minh đẳng thức * Cách làm : Để chứng minh đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi: + Biến đổi VT VP ngược lại + Biến đổi VT VP biểu thức + Xét hiệu VT – VP = VP – VT = CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên * Các ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) b (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2 c 20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20062 Giải: a a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) VP = (a+b)3 – 3ab(a+b) = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 – 3a2 b – 3ab2 = a3+ b3 Vậy VT = VP, đẳng thức chứng minh b (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2 VT = (a2+b2) (c2+d2) = a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (1) VP = (ac + bd)2+(ad – bc)2 = a2c2+2abcd + b2d2 + a2 d2 – 2abcd + b2c2 = a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (2) Từ (1) (2) suy VT = VP, đẳng thức chứng minh c 20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20072 Xét hiệu VT – VP , ta : (20032- 20022) +(20052 - 20042 ) - (20012- 20002 ) – (20072 – 20062) = 4005 + 4009 – 4001 – 4013 = VT - VP = 0, đẳng thức chứng minh Ví dụ : Chứng minh : a Nếu a + b + c = a3+b3+c3 = 3abc b Nếu a2 – b2 – c2 = (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 Giải : a Nếu a + b + c = a3+b3+c3 = 3abc Do a + b + c =  a = - (b +c) Ta có a3+b3+c3 = [- (b+c)]3 +b3+c3 = - b3- 3b2c – 3bc2 -c3 +b3+c3 = - 3b2c – 3bc2 = -3bc(b+c) = -3bc(-a) = 3abc Vậy a + b + c = a3+b3+c3 = 3abc b Nếu a2 – b2 – c2 = (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên Từ a2 – b2 – c2 =  c2= a2 - b2 Ta có (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (5a – 3b) – (4c)2 = 25a2 – 30ab +9b2 – 16c2 = 25a2 – 30ab +9b2 – 16(a2 – b2) = 25a2 – 30ab +9b2 – 16a2 +16b2 = 9a2 – 30ab +25b2 = (3a – 5b)2 Vậy a2 – b2 – c2 = (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 Dạng tốn : Tìm số chưa biết Ví dụ 1: Tìm x, y biết a (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15 b (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15 c x2 – 2x + y2 + 4y +5 = Giải : a (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15 x3 + - x3 – 2x = 15 2x = -7 x =  b (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15 x3 – 6x2 + 12x – - x3 + 27 + 6x2 + 12x +6 = 15 24x = -10 x= 5 12 c x2 – 2x + y2 + 4y +5 = (x2 – 2x+1) +( y2 + 4y +4) = (x-1)2 +(y+2)2 = Vì (x-1)2 ≥ với x, (y+2)2 ≥ với y nên để (x-1)2 +(y+2)2 =  ( x  1) 0    ( y  2) 0  x 1   y  Ví dụ Tìm x biết : 4x2- 20x + 25 = (1) Lời giải: (1)  (2x)2- 2.2x.5 + 52 =  (2x- 5)2 =  2x- =  x  Vậy : x  5 Ví dụ Tìm x biết : ( x2 +2x )( x2 + 2x- ) + = (2) CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 10 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên (2)  ( x2 +2x )[( x2 + 2x)- ] + =  ( x2 +2x )2 – 6.( x2 +2x ) +9 =  (x2 +2x – 3)2 =  x2 +2x – 3=  (x-1)(x+3) =  x =1 x= -3 Vậy x =1 x= -3 Ví dụ Tìm x biết : 2  x2  �x  � �x  � � �+ � � -  x  �x  � �x  �  4  =0  (3) Lời giải: Điều kiện x 1  x 2  x  2  =y;   = z lúc (3) có dạng : y2 + z2 - 2yz =  x 1   x 1 Đặt   (y - z)2 =  y = z  x2 x2 = x 1 x  ( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )  x2 - 3x + = x2 + 3x +  - 6.x =  x= ( Thỏa mãn ) Vậy x = Ví dụ : Tìm x biết : x4 = 40x + 96 (4) Lời giải: a) Thêm 4x2 + vào hai vế phương trình (4) ta được: x4 + 4x2 + = 4x2 +40x + 100  ( x2 + 2)2 = ( 2x +10 )2  � � x   x  10 x  x   (*)  �2 �2 x   (2 x  10) x  x  12  (**) � � (*) có hai nghiệm phân biệt : x = -2 x= (**) vô nghiệm Vậy x = -2 x= Ví dụ Tìm x biết : x4 = -104x + 105 (5) Lời giải: Thêm 16x2 + 64 vào hai vế phương trình ( ) ta được: CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 11 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên x4 + 16x2 + 64 = 16x2 + 64 -104x + 105  (x2)2 +2.8.x2 + 82 = (4x)2 – 2.4x.13 + 132  (x2+8)2=(4x-13)2 �x + = 4x- 13 �� �x + = - (4x- 13) � �x -4x + 21=0 (*) �� �x + 4x- 5=0 (**) � (*) vô nghiệm (**) Có hai nghiệm : x= x= -5 Vậy x= x= -5 Ví dụ Tìm x, y biết : x2 + y2 + = xy + 2.x + 2.y (6) Lời giải: (5)  2x2 + 2y2 + 2.22 = 2xy+2.2x+2.2y  (x2 -2xy+ y2) +(x2 -2x.2 + 22 ) + (y2 -2y.2 + 22 ) =  ( x- y)2 +( x- 2)2 +( y- 2)2 = Vế trái tổng ba biểu thức không âm nên khi: � ( x  y)2  �x  y  �x  y � � �  � ( x  2)  � �x   � �x  � x  y  � � �y  ( y  2)  �y   � � Vậy x=y=2 Ví dụ 8: Tìm x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = 4x + 6y + 8z -29 (7) Lời giải: (7)  x2 + y2 + z2 - 4x - 6y - 8z +29 =  (x2 – 2.2x +4 )+ (y2 – 2.3y+ 9) +( z2 - 8z +16) =  (x – 2)2 + (y– 3)2 +( z - 4)2 = Vế trái tổng ba biểu thức không âm nên khi: CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 12 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên � ( x  2)  �x   �x  � � �  � ( y  3)  � �y   � �y  � �z   � ( z  4)  � �z  � Vậy ( x, y, z)= ( 2, 3, 4) Dạng tốn : Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: I Các bước giải toán cực trị: Để tìm GTNN biểu thức A(x) tập xác định D ta làm sau : + Chứng minh A(x) ≥ m với m số + Chỉ A(x0) = m (x0 D) + Kết luận GTNN A m  x = x0 Để tìm GTLN biểu thức A(x) tập xác định D ta làm sau : + Chứng minh A(x) ≤ m với m số + Chỉ A(x0) = m (x0 D) + Kết luận GTLN A m  x = x0 II Các kiến thức cần sử dụng : x2 ≥ 0; x2n ≥ (n N*) với x Do để tìm GTNN (GTLN) đa thức, ta thường phải sử dụng đẳng thức bậc hai (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 để biến đổi đa thức dạng bình phương tổng bình phương hiệu III.Các ví dụ : Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a A = x2 + 2x + b B = 2x2 – x +5 c C = (x-3)2 + (x+1)2 d D = x2 - 2x + y2 – 4y + Giải : a A = x2 + 2x + = (x+1)2 + Vì (x+1)2 ≥ với x nên A≥ với x Dấu “=” xảy x= -1 b B = 2x2 – x +5 B = 2(x2 - x)+5 CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 13 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên 1 ) + – 16 16 = 2(x - ) + 4 Vì (x - ) ≥ với x nên A ≥ với x Dấu “=” xảy x= = 2(x2 – x + c C = (x-3)2 + (x+1)2 = x2 – 6x + + x2 + 2x + = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + = 2(x-1)2 + Vì (x- 1)2 ≥ với x nên A≥ với x Dấu “=” xảy x= d D = x2 - 2x + y2 – 4y + = (x – 1)2 + (y- 2)2 + Vì (x- 1)2 ≥ với x ; (y- 2)2 ≥ với y nên A≥ với x, y Dấu “=” xảy x= y = Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức: a A = - x2 + 6x - b B = - 3x2 +2x +4 c C= - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y- Giải : a A = - x2 + 6x – = - (x2 - 6x + 9) +4 = – (x – 3)2 Vì (x- 3)2 ≥ với x nên A ≤ với x Dấu “=” xảy x=3 b B = - 3x2 +2x +4 1 x+ )+4+ 13 = - 3(x - )2 3 13 Vì (x- )2 ≥ với x nên A ≤ với x 3 Dấu “=” xảy x = = -3(x2 – CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 14 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên C = - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y- = - (x2 - 2xy + y2) – 3(y2 – 4y + 4) + 2(x – y) + = - [(x- y)2 - 2(x –y) +1] – 3(y – 2)2 + = – [(x – y – 1)2 + 3(y – 2)2 ] Vì (x- y - 1)2 ≥ với x,y ; (y- 2)2 ≥ với y nên A≤ với x, y c  x  y  0  x 3   y  0  y 2 Dấu “=” xảy  Dạng toán : Giải số toán chia hết I Kiến thức sử dụng : Với số nguyên a, b số tự nhiên n : an - bn chia hết cho a – b ( a ≠ b) a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b ( a ≠ - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a bội a) Đặc biệt : (a + 1)n = BS a + (a - 1)2n = BS a + II Các ví dụ : Ví dụ : Chứng minh rằng: a 251 – chia hết cho b 1719 + 1917 chia hết cho 18 Giải : a Ta có 251 – = (23)17 – chia hết cho 23 – = b 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 – 1) Vì 1719 + chia hết cho 17+1 =18 1917 – chia hết cho 19 -1 = 18 nên 1719 + 1917 chia hết cho 18 Ví dụ : Tìm số tự nhiên n cho 2n – chia hết cho Giải : - Nếu n = 3k (kN) 2n – = 23k – = 8k – chia hết cho - Nếu n = 3k + (kN) 2n – = 23k+1 – = 2.( 23k – 1) + = BS + - Nếu n = 3k +2 (kN) 2n – = 23k+2 – = 4.(23k – 1)+3 = BS +3 Vậy 2n – chia hết cho n = 3k (kN) Dạng toán : Chứng minh số số phương Ví dụ : Cho M tích số nguyên liên tiếp Chứng minh M + số phương Giải : CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 15 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên Đặt M = n(n+1)(n+2)(n+3) (n Z)  M +1 = n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Vậy tích số nguyên liên tiếp cộng số phương Ví dụ : Chứng minh số sau số phương   44     (n N) A = 11 2n n Giải :  = a 9a + = 10n Đặt 11 n A = a 10n + a + 4a + = a(9a+1) + 5a +1    34 = (3a+1)2 = 33 n Vậy A số phương Các tập tự luyện: Bài : Rút gọn biểu thức: a x(x- a)(x + a) – (x + a)(x2 – ax + a2) b (a+b+c)3 + (a - b – c)3 + (b – c – a)3 + (c – a – b)3 c (x – y – 1)3 – (x – y +1)3 + 6(x –y)2 Bài :Chứng minh đẳng thức: a (a+b+c)3 - a3 - b3 – c3 = 3(a+b)(a+c)(b+c) b (a2- b2)2 + (2ab)2 = (a2+b2)2 Bài : Cho a + b +c = 2p Chứng minh : a a2 – b2 – c2 + 2bc = 4(p - b)(p - c) b p2+ (p – a)2 +(p – b)2 +(p – c)2 = a2 + b2 + c2 Bài : Chứng minh số sau số phương  155     (n N) B = 11 n n Bài : Tìm GTLN biểu thức: A = - x2 + 6x +1 B = - x2 + 4x C = - 3x2 – 2xy – 2x – y2 + 2y + D = - x4 + 16x2 + 12x + CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 16 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên Bài : Tìm GTNN biểu thức : A = x2 – 3x + B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) C = x4 + x2 – 6x + D = 2x2 + y2 – 2xy – 2x – 2y + 12 Bài : Cho số tự nhiên a b Chứng minh : a Nếu a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho b Nếu a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho Bài : Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Bài 9: Tính a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Bài 10: Tìm x, y, z biết 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Bài 11: Cho a  b  , biết a/ 3a  3b 10ab Tính P  b/ 2a  2b 5ab Tính Q  a b a b a b a b IV/ Hiệu việc sử dụng chuyên đề : Qua trình giảng dạy cho cho học sinh nhận thấy em ham học Các em tìm tịi, suy nghĩ, chủ động tiếp thu kiến thức hướng dẫn CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 17 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên giáo viên Các em rèn luyện khả tư tốn học kỹ tính tốn tương đối thành thạo Từ việc nắm chắc, ghi nhớ “Hằng đẳng thức” giúp em biết vận dụng lý thuyết vào giải tập đặc biệt biết vận dụng kiến thức học để giải tập có ứng dụng thực tế cách thành thạo Học sinh biết vận dụng đẳng thức để có lời giải ngắn gọn, khoa học Cũng từ việc nắm đẳng thức giúp em tiếp cận với dạng toán cách tự tin Bảng thống kê điểm kiểm tra chưa sử dụng chuyên đề lớp năm học 2012-2013 Từ bảng cho thấy điểm trung bình chung lớp đạt 4,8 điểm Số học sinh đạt điểm thấp nhiều, 14 em ( 41,2%) có điểm trung bình Bảng thống kê điểm kiểm tra Sau thực chuyên đề lớp năm học 2013-2014: + Từ bảng cho thấy điểm trung bình chung lớp đạt 5,4 điểm Số học sinh đạt điểm thấp ít, em ( 18,6%) có điểm trung bình CHUN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 18 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên - Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kì I năm học: 2012-2013 học kì I năm học: 2013-2014 lớp trường THCS Trung Kiên - Dựa vào bảng ta thấy rõ hiệu việc sử dụng chuyên đề : - Loại giỏi tăng: 0.3% - Loại tăng: 1.2% - Loại trung bình tăng: 24.2% - Loại yếu giảm: 14.5% - Loại giảm: 8.1% - Đặc biệt điểm trung bình chung lớp tăng 1.6 điểm CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 19 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên PHẦN III : KẾT LUẬN  Dạy học nghệ thuật, để đạt kết cao học người thầy phải đầu tư nhiều thời gian, với cần có phương pháp thích hợp riêng để trị tự tìm kiến thức cơng sức mình, em nhớ lâu vận dụng tốt Đối với học sinh yếu kém: Cần có q trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp, vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học tốn Mơn tốn nói chung phân mơn đại số nói riêng rộng, phong phú bổ ích, để tiếp cận tìm hiểu nhiều hay cịn tùy thuộc vào lực, lương tâm thầy cô giáo hàng ngày đứng bục giảng Đất nước cần đặt niềm tin vào nghiệp giáo dục Chính mà chúng ta, thầy cô giáo cần làm tốt nữa, thường xuyên học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy để nâng cao trình độ chun mơn góp phần đào tạo CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 20 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên hệ học trị có đức, có tài, xứng đáng với niềm tin yêu Đảng nhân dân Thông qua việc thực chuyên đề giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức hơn, phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học tập cho học sinh Giáo viên chuẩn bị hệ thống tập có chất lượng để tạo cho học sinh hứng thú học tập, tự tìm tịi, khám phá để khắc sâu kiến thức, nâng cao chất lượng mơn Các tập chun đề góp phần giúp học sinh thực tương đối thành thạo trình bày lời giải hợp lý Với cách khai thác từ tập sách giáo khoa nên áp dụng với tất đối tượng học sinh Có số tập nâng cao dành cho học sinh giỏi em vận dụng làm tốt Tuy nhiên áp dụng tránh khỏi khiếm khuyết Tơi mong đóng góp bổ sung đồng chí để chuyên đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Giáo viên báo cáo : NGUYỄN XUÂN THỊNH Giáo viên dạy thực hành : NGUYỄN THỊ THƯỜNG Tổ : KHTN Trung Kiên, tháng 12/ 2013      CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 21 Trường THCS Trung Kiên Tổ: Khoa học tự nhiên TÀI LIỆU THAM KHẢO - SGK Toán tập - NXBGD Ôn tập Đại số 8- Nguyễn Ngọc Đạm – Vũ Dương Thuỵ Toán nâng cao chuyên đề Đại số 8- Vũ Dương Thuỵ Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8- Bùi Văn Tuyên Nâng cao phát triển Toán – Tập – Vũ Hữu Bình  CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 22 ... nâng cao chuyên đề Đại số 8- Vũ Dương Thuỵ Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8- Bùi Văn Tuyên Nâng cao phát triển Tốn – Tập – Vũ Hữu Bình  CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN 22... Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng đẳng thức học để rút gọn - Các đẳng thức vận dụng theo hai chiều ngược Chẳng hạn: CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THCS Trung Kiên Tổ:... tốt Trong khuôn khổ chuyên đề này, đưa số ví dụ minh hoạ với tình từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ biến đổi biểu thức có vận dụng đến đẳng thức CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI