Bài giảng Giải tích 12 - Bài 1: Nguyên hàm

Bài giảng Giải tích 12 - Bài 1: Nguyên hàm với những nội dung khái niệm nguyên hàm; nguyên hàm của một số hàm thường gặp; một số tính chất cơ bản của nguyên hàm.

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 09/12/20 Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 09/12/20 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : ' a)Ta có (x ) 2x nên F(x) = x ' b) Ta thấy (sin x ) cos x nên F(x) = sinx ta nói F(x) nguyên hàm f(x) 09/12/20 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng hay đoạn hay nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số y= cos x Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số y = x ln 10 09/12/20 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu F ( x) F (a ) lim x a x a f (a) hay F ( x) F (b) lim x b x b f (b) • Cho hai hàm số f F liên tục đoạn [a;b] Nếu F nguyên hàm f (a;b) chứng minh F’(a) = f(a) F’(b) = f(b) Do F nguyên hàm f đoạn [a;b] 09/12/20 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngược lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 09/12/20 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) họ nguyên hàm f(x) F(x) + C kí hiệu f ( x )dx = F ( x ) + C ,C ﾡ f(x)dx vi phân F(x) Ký hiệu dùng nguyên hàm hàm số f ( f ( x )dx )' = f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K 09/12/20 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 0dx dx x dx dx x 09/12/20 C 1dx x x C 1 ln x C( 1) C 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp cos( kx + b ) sin( kx + b )dx = − + C ,k k sin( kx + b ) cos( kx + b )dx = +C k x kx a e x kx a dx = + C( < α e dx = +C ln a k dx = tan x + C cos x 09/12/20 dx = − cot x + C sin x 1) 3./ Một số tính chất nguyên hàm Định lý 2: Nếu f,g hai hàm số liên tục K , với a số thực khác thì: [f ( x ) + g( x )]dx = � f ( x )dx + � g( x )dx � af ( x )dx = a � f ( x )dx � Chú ý: [ f ( x )dx ] ' = f ( x ) f ( t )dt = F ( t ) + C � f [u( x )]u'( x )dx = F [u( x )] + C 09/12/20 f ( u )du = F ( u ) + C 10 3./ Một số tính chất nguyên hàm Chú ý:                 Nêu  f ( x )dx = F ( x ) + C     thì f ( ax + b )dx = � f ( ax + b )d( ax + b ) � a                         = F ( ax + b ) + C a u ' ( x) dx u ( x) dx x 09/12/20 ln u ( x) x C C n x dx n n xn dx n x n n n n x n dx xn (n 1)11 xn 1 C C C Hỏi nhanh: mệnh đề sau sai: x A e dx e B 2dx 2x C C sin xdx cos x C x xdx C D 09/12/20 x C 12 Ví dụ 1: tìm ngun hàm hàm số: f( x)= Giải f ( x) f ( x)dx x + 3x + 5x x [x 2x 3 2 x 09/12/20 3x (3 x) 3 3 x 3 4 5x x (3 x) (5 x) (5 x) ]dx 3 x 3 x 4 C 13 x C Ví dụ 2: tìm nguyên hàm hàm số: f( x)=(3 +2 ) x Giải f ( x) (3 Vậy 09/12/20 x f ( x)dx x 2 ) x x x x x (3 ) 2.3 x x x 2.6 x ln ln x C ln 14 x (2 ) Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: sin x − f( x)= sin x Giải f ( x) sin x 2 sin x sin x dx sin x Vậy 09/12/20 sin x 2 sin x cos x cot x C 15 Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: x x f ( x ) = sin − sin 3 x x sin sin 3 Giải f ( x) Vậy x x 2(3 sin sin ) sin x 3 f ( x)dx ( sin x)dx 2( cos x) C cos x C 09/12/20 16 Bảng nguyên hàm mở rộng ∀a sin( ax b)dx cos(ax b) C a cos(ax b)dx sin( ax b) C a 1 dx tan(ax b) C cos (ax b) a (ax b) dx (ax b) a 1 dx sin (ax b) 09/12/20 C( dx ax b e ax b ln ax b a dx 1) cot(ax b) C a 17 ax e a b C C Ví dụ 4: tìm nguyên hàm hàm số: Giải f ( x) 2x2 x 1 ( x 1)( x f(x)= x2 + x − 3 ) 2 [( x ) ( x 1)] 1 ( ) 3 x ( x 1)( x ) x 2 1 [ dx dx] Vậy f ( x)dx x x [ln x ln x / C ] x ln C 09/12/20 18 x 3/ Ví dụ 5: tìm ngun hàm hàm số: f( x)= Giải f ( x) sin x cos x 09/12/20 f ( x)dx 2 cos( x 2[1 cos( x Vậy + sin x − cos x )] x 2 sin ( 2 dx 2 sin ( x ) 8 ) ) x cot( 2 19 ) C Ví dụ 6: tìm nguyên hàm hàm số: f(x)= e +e x Giải ex f ( x) −x x e f ( x) e Xét f ( x) e x x −x x x e −e e 09/12/20 e (e x −x f ( x)dx (e Xét e −�۳۳ e x x −x x − 2dx x 2 e ) x x |e x e x | x e )dx 2(e x x e ) C