Bài giảng lớp12... Nhận xét: Người ta chứng minh được các hàm số liên tục trên 1đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó... Quy tắc tỡm đạo hàm của hàm số liờn
Trang 1Bài giảng lớp12
Trang 2XÐt c¸c hµm sè:
1) f(x) = cosx trªn tËp c¸c sè thùc
ThÊy : x th×
*) -1 cosx 1
*) cosx = 1 x=2k , k
*) cosx = -1 x=(2k+1) , k
Ta nói hàm số y = cosx đạt giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ
nhất là (-1) trên
2
ThÊy x -1; 2 th×
0 x 4.
vµ g(x) = 0 víi x=0 -1; 2 ; g(x) = 4 víi x=2 -1; 2
Ta nói hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4 trên tập D và đạt giá trị nhỏ nhất là 1 trên tập D
2 g(x) x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1 2 3 4 5
x
g(x) = x 2
o
y
2 2) g(x) = x trªn D = -1; 2
Trang 31 Định nghĩa
0 0
0 x
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D,(D
a Nếu tồn tại một điểm x D sao cho
f(x) f(x ) với mọi x D
thì số M = f(x ) đ ợc gọi là của hàm số f trên D
Kí hiệu: M = max
).
)
giá trị lớn nhất
D f x
( ).
0 0
0
x D
b Nếu tồn tại một điểm x D sao cho
f(x) f(x ) với mọi x D
thì số m = f(x ) đ ợc gọi là của hàm số f trên D
Kí hiệu: m = min f x
)
giá trị nhỏ nhất ( ).
* Muốn chứng minh số M (hoặc m) là giỏ trị lớn nhất (hoặc giỏ trị nhỏ nhất) của hàm số f trờn tập hợp D , ta cần chứng minh 2bước:
b1) f(x) M ( ) với mọi x D
b
h 2) x D: f(x ) = M
oặc f(x) m
hoặc f(x ) = m
trờn tập nào thỡ ta hiểu đú là giỏ trị lớn nhất hay nhỏ nhất trờn tập xỏc định của hàm số
Trang 42 Ví dụ
3 2
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:
f(x) 2x 3x +1 trªn ®o¹n -2; 1
Ví dụ1
Nhận xét:
Người ta chứng minh được các hàm số liên tục trên 1đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
Trang 5Quy tắc tỡm đạo hàm của hàm số liờn tục trờn 1đoạn
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm trên khoảng (a; b), có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a; b) thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm f trên
đoạn a; b nh sau:
Quy tắc:
1 2 m
) Tìm các điểm x , x , , x thuộc (a; b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm
) Tính f(x ), f(x ), , f(x ) , f(a) và f(b)
) So sánh các giá trị tìm đ ợc
- S
b
ố
1
b2
b3
nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn a;b
- Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn a;b
Trang 6Vớ dụ 2:
2
3
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) f(x) x 2x 5 trên đoạn -2; 3
x b) f(x) = 2x 3x 4 trên đoạn -4; 0
3
1
c) f(x) = x + trên khoảng (1; + )
Nhúm 2
Nhúm 1
Nhúm 3
Quy tắc tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất trờn đoạn [a; b]
1 2 m
) Tìm các điểm x , x , , x thuộc (a; b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm
) Tính f(x ), f(x ), , f(x ) , f(a) và f(b)
) So sánh các giá trị tìm đ ợc
* S
b
ố
1
b2
b3
nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn a;b
* Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn a;b
Trang 7Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = sin x cos x
Vớ dụ 3: Tỡm sai lầm trong lời giải cỏc bài toỏn:
Lời giải
x
x :sin x 0 và cos x 0 nên f(x) 0
Do đó min f(x)=0
x
Vì sin x 1 và cos x 1 với mọi x nên f(x) 1+1=2
Do đó max f(x) 2
Kết luận: giỏ trị nhỏ nhất của hàm số là 0, giỏ trị lớn nhất của hàm số là 2
tồn tại x để f(x) = 0 hoặc f(x) = 2
1 Biến đổi: f(x) = (sin x+cos x) 2 sin x cos x 1 sin 2x
2 1
Từ đó dễ dàng thấy kết quả: max f(x) 1; min f(x)
2
Bài 1
Trang 8Bài 2
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = trên đoạn ;
Lời giải
2 2
2
1 3
x ;
2 2
2x(x-1)-x x 2x
(x 1) (x 1)
1 3 Xét g(x) = x 2x, dễ thấy g(x) < 0 với mọi x ;
2 2
1 3
Do đó: y' < 0 , x ;
2 2
1 3 Hàm số đơn điệu giảm trên ;
2 2
1 1 max f(x) f( ) ; m
2 2
1 3
x ;
2 2
3 9
in f(x) f( )
2 2
3
; 2
Ng
1 Hàm số không liên tục tại điểm x = 1 nên không thể
2
áp dụng quy tắc tìm GTLN, G
uyên
TNN
nhân s
trên mộ
ai l
t
ầm:
đoạn
Trang 9Ghi nhớ:
1) Định nghĩa giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số
0 0
0 x
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D,(D
a Nếu tồn tại một điểm x D sao cho
f(x) f(x ) với mọi x D
thì số M = f(x ) đ ợc gọi là của hàm số f trên D
Kí hiệu: M = max
).
)
giá trị lớn nhất
D f x
( ).
0 0
0
x D
b Nếu tồn tại một điểm x D sao cho
f(x) f(x ) với mọi x D
thì số m = f(x ) đ ợc gọi là của hàm số f trên D
Kí hiệu: m = min f x
)
giá trị nhỏ nhất ( ).
b1) f(x) M (hoặc f(x) m) với mọi x D
b2) x D: f(x ) = M (hoặc f(x ) = m )
2) Muốn chứng minh số M (hoặc m) là giỏ trị lớn nhất (hoặc giỏ trị nhỏ nhất) của hàm số f trờn tập hợp D , ta cần chứng minh 2bước:
3) Sử dụng đạo hàm vào bài toỏn tỡm GTLN, GTNN :
* Lập bảng biến thiờn
* Dựng quy tắc tỡm GTLN, GTNN của hàm số liờn tục trờn một đoạn
Trang 10BÀI TẬP VỀ NHÀ
Về nhà: làm bài tập 17d), e); 21,22.
Xem lại bài vừa học
Chuẩn bị bài kết tiếp