Bài giảng Giải tích 12 chương 1 bài 3: Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bi ging lp12 08/11/19 Xét hàm số: 1) f(x) =cosx tập số thực Ă Thấy: x ¡ th× *) -1≤ cosx ≤ *) cosx =1 ⇔ x=2kπ , k ∈ ¢ *) cosx =-1 ⇔ x=(2k+1)π , k ∈ ¢ Ta nói hàm số y = cosx đạt giá trị lớn giá trị nhỏ y ¡ (-1) 2) g(x) =x2 trªn D = [ -1; 2] g(x) = x2 ThÊy ∀x ∈ [ -1; 2] x2 g(x) =0 ví i x=0∈ [ -1; 2] ; g(x) =4 ví i x=2∈ [ -1; 2] Ta nói hàm số g(x) = x đạt giá trị lớn tập D đạt giá trị nhỏ tập D -4 -3 -2 -1 o -1 08/11/19 x Định ngha Giả sử hàm số f xác định tập hợ p D,(D Ă ) a) Nếu tồn mét ®iĨm x0 ∈ D cho f(x) ≤ f(x0 ) ví i mäi x ∈ D th×sè M =f(x0 ) đợ c gọi giá trịlớ n hàm số f D Kíhiệu: M = max f (x) xD b) Nếu tồn điểm x0 D cho f(x) ≥ f(x0 ) ví i mäi x D thìsố m =f(x0 ) đợ c gọi giá trịnhỏ hàm số f D KÝhiÖu: m = minf (x) x∈D * Muốn chứng minh số M (hoặc m) giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D , ta cần chứng minh 2bước: b1) f(x) ≤ M (h c f(x) ≥ m) ví i mäi x ∈ D b2) ∃x0 ∈ D: f(x0 ) =M (h c f(x0 ) =m ) Quy ước: Khi nói giá trị lớn hay nhỏ hàm số mà khơng nói rõ tập ta hiểu giá trị lớn hay nhỏ tập xác định hàm số 08/11/19 Ví dụ Vớ d1 Tì m giá trịlớ n giá trịnhỏ hàm số: f(x) = 2x3 + 3x2 +1 đoạn [ -2; 1] Nhn xột: Ngi ta chứng minh hàm số liên tục 1đoạn đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn 08/11/19 Quy tắc tìm đạo hàm hàm số liên tục 1đoạn Gi¶ sử hàm số f liên tục đoạn [ a; b] có đạo hàm khoảng (a; b), có thểtrừ số hữu hạn điểm Nếu f'(x) =0 chỉtại số hữu hạn điểm thuộc (a; b) thìta có quy tắ c tì m giá trịlớ n giá trịnhỏ hàm f đoạn [ a; b] nh sau: b1) Tì m điểm x1,x2, ,xm thuộc (a; b) hàm số f có đạo hàm hoặ c đạo hàm b2) TÝnh f(x1tắc: ), f(x2 ), , f(xm) , f(a) vµ f(b) Quy b3) So sánh giá trịtì m đợ c - Số lớ n giá trịđó giá trịlớ n f đoạn [ a;b] - Số nhỏ giá trịđó giá trịnhỏ f đoạn [ a;b] 08/11/19 Ví dụ 2: Nhóm Nhóm Nhóm Tì m giá trịlớ n giá trịnhỏ nhÊt cđa hµm sè: a) f(x) = x2 + 2x đoạn [ -2; 3] x3 b) f(x) = + 2x2 + 3x đoạn [ -4; 0] c) f(x) =x + trªn kho¶ng (1; +∞) x-1 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đoạn [a; b] b1) T× m điểm x1,x2, ,xm thuộc (a; b) hàm số f có đạo hàm hoặ c đạo hàm b2) Tính f(x1), f(x2 ), , f(xm) , f(a) f(b) b3) So sánh giá trịtì m đợ c * Số lớ n giá trịđó giá trịlớ n f đoạn [ a;b] * Số nhỏ giá trịđó giá trịnhỏ f đoạn [ a;b] 08/11/19 Ví dụ 3: Tìm sai lầm lời giải tốn: Bài T× m giá trịlớ n hàm số: f(x) =sin4x + cos4 x Lời giải ∀x ∈ ¡ :sin4 x ≥ cos4x nên f(x) Do minf(x)=0 xĂ Vìsin4x cos4x ví i mäi x ∈ ¡ nªn f(x) ≤ 1+1=2 Do ®ã maxf(x) = x∈¡ Kết luận: giá trị nhỏ hàm số 0, giá trị lớn hàm số Nguyên nhân sai lầm: dấu không xảy ra, tức không tồn x để f(x) = f(x) = Gợi ý lời giải: BiÕn ®ỉi: f(x) =(sin2x+cos2x)2 − 2sin2 x.cos2 x = 1− sin2 2x Tõ ®ã dễdàng thấy kết quả: maxf(x) = 1;minf(x) = xĂ xĂ 08/11/19 Bi Tìm giá trịlớ n giá trịnhỏ hàm số: Li gii x2 y= đoạn x1 ;   2x(x-1)-x2 x2 − 2x Cã: y' = = 2 (x − 1) (x − 1)  3 XÐt g(x) =x2 − 2x, dÔthÊy g(x)