Tỷ số H/V đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng : Luận văn ThS. Cơ học: 60 44 21

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUNG PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ DUNG PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐÀO HUY BÍCH Hà Nội - Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận em nhận đƣợc giúp đỡ tận tình thầy giáo hƣớng dẫn, ủng hộ thầy giáo khoa Tốn – Cơ – Tin học động viên gia đình bạn bè Với tất tình cảm em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hƣớng dẫn GS.TSKH Đào Huy Bích tận tình giúp đỡ hƣớng dẫn em suốt thời gian thực khóa luận Đồng thời em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Tốn– Cơ – Tin học nhiệt tình bảo ban, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho em suốt năm đại học Cuối em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, anh chị bạn bè giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Dung MỤC LỤC Trang Mở đầu………………………………………………………………… Chƣơng 1: Các phƣơng trình hệ thức sở 1.1: Quan hệ biến dạng chuyển vị vỏ cầu………………………… 1.2: Quan hệ nội lực biến dạng vỏ cầu…………………………… 1.3: Phƣơng trình cân bằng……………………………………… 10 Chƣơng 2: Phân tích ổn định vỏ cầu 2.1: Trạng thái màng trƣớc ổn định……………………………12 2.2: Phƣơng trình ổn định………………………………………………13 2.3: Phƣơng pháp giải ………………………………………………….15 Chƣơng 3: Khảo sát số ổn định vỏ cầu vật liệu có tính biến thiên 3.1: Khảo sát ổn định vỏ cầu chịu tác dụng lực tới hạn .25 3.2: Khảo sát ổn định vỏ cầu chịu tác dụng lực tới hạn q 27 3.3: Khảo sát ổn định vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời p q 30 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 32 Phụ lục…………………………………………………… ……….… Mở đầu : VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ( FGM ) Vật liệu có tính biến thiên (FGM) lớp vật liệu đƣợc tạo nhằm để cải thiện tính kết cấu cấu trúc khơng gian FGM loại vật liệu composite có đặc điểm thuộc tính chúng thay đổi từ từ liên tục từ mặt sang mặt khác kết cấu làm giảm ứng suất tập trung, giảm ứng suất nhiệt ứng suất dƣ Những vật liệu thƣờng đƣợc sản xuất từ hỗn hợp gốm kim loại tổ hợp nhiều kim loại khác Loại vật liệu chịu đƣợc thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mịn hay rung động Với đặc điểm ƣu việt mà lớp vật liệu đƣợc nghiên cứu ứng dụng rộng rãi thực tế đặc biệt nghành cơng nghiệp đóng tàu, hàng khơng, vũ trụ, khí, xây dựng v.v Đáp ứng đòi hỏi thực tiễn, năm gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu cho kết ổn định kết cấu loại vật liệu Đối tƣợng đƣợc nghiên cứu nhiều ổn định dao động thƣờng vỏ V Birman [13] đƣa hệ thức ổn định composite FGM, E Feldman J Abouli [5] nghiên cứu ổn định đàn hồi FGM bị nén, J N Reddy [6] đƣa phƣơng pháp nghiên cứu uốn tròn hình vành khăn FGM Đối với vỏ nón, Tani nghiên cứu tính ổn định động vỏ nón cụt đẳng hƣớng dƣới tải dọc trục tuần hồn bỏ qua biến dạng uốn trƣớc ổn định [10] dƣới áp lực thay đổi chu kỳ có tính đến biến dạng [11] việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell phƣơng pháp sai phân hữu hạn Cũng sử dụng phƣơng pháp ông phân tích ảnh hƣởng độ võng ban đầu đến ổn định nhiệt vỏ nón cụt đẳng hƣớng [12] Xu đồng sử dụng phƣơng pháp Galerkin phƣơng pháp cân điều hòa để nghiên cứu dao động tự vỏ nón cụt dày vật liệu composite lớp [14] Paczos Zielnica áp dụng phƣơng pháp Ritz để nghiên cứu ổn định panel vỏ nón có lớp kép đàn hồi dẻo dƣới tác động tải nén áp suất [9] Đào Huy Bích đồng sử dụng phƣơng pháp Bubnov – Galerkin giải toán theo chuyển vị nghiên cứu ổn định panel nón FGM dƣới tác dụng lực nén áp suất [1] Nath Alwar [7] sử dụng phƣơng pháp khai triển chuỗi Chebyshev để nghiên cứu phân tích đáp ứng phi tuyến tĩnh động vỏ cầu đƣợc ngàm Dumir tìm đƣợc đáp ứng cực đại tức thời dao động phi tuyến chỏm cầu đàn hồi dƣới tác dụng tải phân bố song song với trục đối xứng [8] Phân tích phi tuyến ổn định vỏ cầu thoải FGM chịu áp suất ngồi phƣơng pháp giải tích gần đƣợc trình bày cơng trình Đào Huy Bích [3] Gần đây, Đ H Bích Đ.V.Dũng L.K Hịa tiến hành phân tích ổn định phi tuyến tính tĩnh động vỏ cầu FGM có tính đến ảnh hƣởng nhiệt độ [4] Trong viết đó, tác giả sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển phƣơng pháp Bubnov – Galerkin để xác định lực tới hạn tác dụng lên vỏ trƣờng hợp ổn định tĩnh phƣơng pháp số Runge – Kutta để nghiên cứu ổn định động vỏ Ngồi ra, Đ.H.Bích H.V Tùng cơng bố kết phân tích phi tuyến vỏ cầu đối xứng trục vật liệu có tính biến thiên dƣới tác dụng lực phân bố đồng thời chịu ảnh hƣởng nhiệt độ [2] Luận văn nghiên cứu ổn định vỏ cầu nhẫn có tính biên thiên dƣới tác dụng lực song song với trục đối xứng áp suất Phƣơng pháp đƣợc sử dụng phƣơng pháp Bubnov – Galerkin áp dụng tiêu chuẩn tĩnh ổn định từ xác định lực tới hạn vỏ cầu Tác giả sử dụng phần mềm Matlab để tính toán số nhằm khảo sát lực tới hạn yếu tố tính chất vật liệu, kích thƣớc kết cấu thay đổi đƣa vài nhận xét tƣơng ứng Chương 1: CÁC PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ Trong phần trình bày mối quan hệ biến dạng, chuyển vị, mối quan hệ nội lực biến dạng, phương trình cân tốn vỏ cầu nhẫn chịu lực phân bố song song trục đối xứng áp suất 1.1 Quan hệ biến dạng, chuyển vị vỏ cầu Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy , bán kính vỏ cầu R Vỏ cầu đƣợc làm từ hỗn hợp kim loại gốm Gắn hệ trục tọa độ φ, theo hƣớng kinh tuyến vĩ tuyến tƣơng ứng z theo hƣớng bán kính vỏ cầu nhƣ hình Hình Chất liệu bề mặt ngồi bề mặt vỏ cầu tƣơng ứng gốm kim loại Cấu tạo gốm vật liệu cải thiện đƣợc khả chịu nhiệt độ cao nhờ tính dẫn nhiệt thấp Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bị đứt gẫy ứng suất nhiệt gây biến thiên nhiệt độ cao thời gian ngắn Hỗn hợp gồm phân tố thể tích vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo độ dày vỏ Theo Javaheri Eslami, modul đàn hồi E hệ số Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa Gọi tƣơng ứng phân tố thể tích kim loại gốm Chúng liên hệ với hệ thức: : với k số mũ đặc trƣng tỉ phần khối lƣợng (k≥0) Modul đàn hồi Để đơn giản ta chọn const khác biệt hệ số Poison vật liệu khơng lớn Trong tốn với vỏ cầu thoải để tính tốn thuận tiện ta đặt: với r bán kính hình trịn song song với mặt đáy Khi đó: φ nhỏ nên , điểm mặt đƣợc biểu diễn theo tọa độ Bằng cách Theo lý thuyết Kirchoff-Love mối quan hệ tuyến tính chuyển vị biến dạng đƣợc biểu diễn bởi: đó: với: u, v, w chuyển vị điểm mặt theo hƣớng tọa độ , 𝜃 z tƣơng ứng ; ; biến dạng mặt tƣơng ứng thay đổi độ cong độ xoắn 1.2 Quan hệ nội lực biến dạng vỏ cầu Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng vỏ cầu: Tích phân phƣơng trình sức căng momen theo độ dày vỏ cầu ta đƣợc biểu thức nội lực momen tổng hợp đó: Với: 23 Chƣơng 3: KẾT QUẢ TÍNH TỐN SỐ Mặc dù xác định dạng hiển lực tới hạn việc tìm giá trị nhỏ gặp nhiều khó khăn mặt tốn học để khắc phục tiến khảo sát tính tốn số phần mềm Matlab trường hợp riêng: Khi vỏ cầu chịu tác dụng lực p, chịu tác dụng áp suất q chịu tác dụng đồng thời hai lực p, q 3.1 Khảo sát lực tới hạn vỏ cầu chịu tác dụng lực p Để nghiên cứu tính ổn định vỏ cầu ta xét vỏ cầu vật liệu hỗn hợp nhôm (kim loại) có modun đàn hồi (gốm) có modun đàn hồi oxit nhôm , để đơn giản ta lấy hệ số Poiison ;cho kích thƣớc vỏ ; 24 R/h = 1000 Sử dụng phần mềm Matlab ta xây dựng chƣơng trình tìm giá trị nhỏ lực p (xem phụ lục), từ tìm đƣợc lực p đạt giá trị nhỏ (m, n) = (4, 1) Lực p ứng với n = đƣợc biểu thị hình bảng Hình Đồ thị biểu diễn lực p theo m n=1 với R/h = 1000; ; Bảng Giá trị cực tiểu lực tới hạn k p (m,n), GPa 1,0852 (2,1) 0,6580 (3,1) 0,6233 (4,1) 0,7378 (5,1) 0,9392 (6,1) 0,6358 (2,1) 0,3710 (3,1) 0,3350 (4,1) 0,3834 (5,1) 0,4790 (6,1) 0,4908 (2,1) 0,2871 (3,1) 0,2601 (4,1) 0,2983 (5,1) 0,3732 (6,1) 0,4200 (2,1) 0,2492 (3,1) 0,2298 (4,1) 0,2671 (5,1) 0,3366 (6,1) 25 Nhận xét: Từ hình giá trị bảng cho thấy với n = giá trị lực nhỏ tƣơng ứng với m = Khi số mũ đặc trƣng k tăng tức tỉ phần thể tích gốm giảm nên lực tới hạn p giảm Khảo sát ảnh hƣởng tỉ số R/h đến lực tới hạn p thu đƣợc kết thể bảng Bảng Ảnh hƣởng tỷ số R/h đến lực tới hạn với ; p (m,n), GPa R/h 800 1000 1200 1400 1500 0,7660 (4,1) 0,4197 (4,1) 0,3253 (4,1) 0,2854 (4,1) 0,6233 (4,1) 0,3350 (4,1) 0,2601 (4,1) 0,2298 (4,1) 0,5458 (4,1) 0,2890 (4,1) 0,2246 (4,1) 0,1997 (4,1) 0,4991 (4,1) 0,2613 (4,1) 0,2032 (4,1) 0,1815 (4,1) 0,4824 (4,1) 0,2514 (4,1) 0,1956 (4,1) 0,1750 (4,1) k Nhận xét: Kết khảo sát bảng cho thấy tỷ số R/h tăng lực tới hạn p giảm Trên thực tế tỉ số tăng tức bán kính vỏ cầu tăng độ dày giảm vỏ cầu dễ bị biến dạng Điều phù hợp với tính chất kết cấu Tiếp tục khảo sát ảnh hƣởng tỉ số ; tới lực tới hạn p ta nhận đƣợc kết thể bảng 3: Bảng Ảnh hƣởng tỷ số ; n với đến lực tới hạn 26 theo m, p (m,n), GPa r1/R 0,3 0,4 0,5 0,1 0,7083 (4,1) 1,2307 (6,1) 1,9021 (2,22) 0,15 0,4126 (4,1) 0,5949 (4,1) 0,8763 (6,1) 0,2 0,2105 (2,1) 0,3350 (4,1) 0,4993 (6,1) 0,1772 (2,1) 0,2467 (4,1) r0/R 0,3 Nhận xét: Qua khảo sát ta thấy tỉ số r1/R mà tỉ số r0/R tăng có nghĩa bề rộng cầu nhẫn hẹp lại dẫn đến lực tới hạn p giảm 3.2 Khảo sát lực tới hạn vỏ cầu chịu tác dụng áp suất q Khi vỏ cầu chịu tác dụng áp suất q, với R/h = 1000; ; Trong R = 5m; h = 0.005m, sử dụng chƣơng trình Matlab tìm giá trị nhỏ ta tìm đƣợc lực q đạt nhỏ m = 2, n = 18 (với k = k = 2) n = 17 (với k = k = 3) Kết khảo sát đƣợc thể cụ thể hình bảng 27 Hình Đồ thị biểu diễn lực tới hạn q theo n m=2 với R/h = 1000; ; Bảng Giá trị cực tiểu lực tới hạn 1000; theo n với m = 2; R/h = ; q (m,n), 105 k 4,0403 (2,16) 2,2063 (2,16) 1,7127 (2,16) 1,5066 (2,16) 4,0394 (2,18) 2,1760 (2,18) 1,6916 (2,18) 1,4968 (2,18) 4,0221 (2,17) 2,1812 (2,17) 1,6945 (2,17) 1,4951 (2,17) 4,0882 (2,19) 2,1882 (2,19) 1,7023 (2,19) 1,5102 (2,19) 4,1652 (2,20) 2,2161 (2,20) 1,7250 (2,20) 1,5342 (2,20) Nhận xét: Do tính chất vật liệu thấy số k giảm giá trị lực tới hạn q tăng lên Tƣơng tự nhƣ khảo sát lực p, ta kiểm tra ảnh hƣởng đại lƣợng ; ; thu đƣợc kết bảng bảng Bảng Ảnh hƣởng tỷ số đến lực tới hạn ; theo m, n; q (m,n), 105 R/h k 800 1000 1200 1400 1500 6,1301 (2,19) 4,0251 (2,17) 2,8718 (2,15) 2,1673 (2,14) 1,9160 (2,13) 28 3,3278 (2,20) 2,5871 (2,20) 2,2848 (2,20) 2,1776 (2,18) 1,6929 (2,18) 1,4961 (2,17) 1,5471 (2,16) 1,2023 (2,16) 1,0641 (2,16) 1,1647 (2,15) 0,9053 (2,15) 0,8.010 (2,14) 1,0263 (2,14) 0,7974 (2,14) 0,7066 (2,14) Từ kết đạt đƣợc ta thấy giá trị lực tới hạn giảm tăng tỉ số R/h tăng số k Trong trƣờng hợp k = 0, vỏ cầu vật liệu đồng chất oxit nhôm (gốm) có modun đàn hồi cao Đây nguyên nhân làm cho giá trị lực tới hạn có giá trị cao Bảng Ảnh hƣởng tỷ số ; đến lực tới hạn với ; k=1 q (m,n), 105 r1/R r0/R 0,1 0,15 0,2 0,3 0,3 0,4 0,5 2,4942 (2,12) 2,3904 (2,13) 3,2905 (2,15) 2,6911 (4,13) 2,3831 (2,17) 2,1760 (2,18) 3,2942 (2,23) 2,6874 (8,3) 2,6255 (2,21) 2,3023 (2,22) 2,0201 (2,24) Từ bảng ta thấy thay đổi tỉ số lực tới hạn không thay đổi theo quy luật xác định 3.3 Khảo sát lực tới hạn vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời lực p q Bằng cách đặt đó, tiếp tục khảo sát ổn định vỏ cầu theo q ta thu đƣợc kết bảng α k thay đổi Bảng Giá trị cực tiểu lực tới hạn ; α k ; theo m, n α thay đổi với p,q (m,n), 105, 𝜆=1/2 29 ∞ (0;4,0221) (2,17) (0;2,1760) (2,18) (0;1,6916) (2,18) (0;1,4951) (2,17) (4,0236;4,0236) (2,17) (2,1768;2,1768) (2,18) (1,6923;1,6923) (2,18) (1,4956;1,4956) (2,17) (8,0502;4,0251) (2,18) (4,3552;2,1776) (2,18) (3,3858;1,6929) (2,18) (2,9922;1,4961) (2,17) Bảng cho kết lực tới hạn (0,6233;0) (4,1) (0,3350;0) (4,1) (0,2601;0) (4,1) (0,2298;0) (4,1) vỏ chịu tác dụng đồng thời tỉ số R/h với α=1,5 thay đổi Bảng Ảnh hƣởng tỷ số R/h đến lực tới hạn với ; q (m,n), 105, α=1,5 R/h k 800 1000 1200 1400 1500 6,1286 (2,19) 3,3270 (2,20) 2,5864 (2,20) 2,2842 (2,20) 4,0243 (2,17) 2,1772 (2,18) 1,6926 (2,18) 1,4959 (2,17) 2,8715 (2,15) 1,5469 (2,16) 1,2021 (2,16) 1,0639 (2,16) 2,1671 (2,14) 1,1646 (2,15) 0,9052 (2,15) 0,8009 (2,14) 1,9158 (2,13) 1,0262 (2,14) 0,7973 (2,14) 0,7065 (2,14) Rõ ràng trƣờng hợp quy luật thay đổi lực tới hạn tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp tác dụng đơn lực, có nghĩa lực giảm số k tăng tỉ số R/h tăng Bảng Ảnh hƣởng tỷ số ; ; k=1 30 đến lực tới hạn với q (m,n), 105, α=1,5 r1/R 0,3 0,4 0,5 r0/R 0,1 0,15 0,2 0,3 2,4950 (2,12) 2,3912 (2,13) 3,2902 (2,15) 2,6912 (4,13) 2,3842 (2,17) 2,1772 (2,18) 3,2945 (2,23) Bảng biểu diễn ảnh hƣởng tỉ số 2,6868 (8,3) 2,6266 (2,21) 2,3037 (2,22) 2,0215 (2,24) ; đến lực tới hạn q với α=1,5 So sánh với trƣờng hợp vỏ cầu chịu tác dụng lực q, trƣờng hợp lực tới hạn có giá trị nhỏ Điều hồn tồn phù hợp vỏ chịu tác dụng lực p áp suất q vỏ dễ bị biến dạng NHẬN XÉT CHUNG: Bài toán ổn định vỏ cầu vật liệu có tính biến thiên chịu tác dụng lực phân bố song song với trục đối xứng áp suất dần đến tốn tìm nghiệm khác khơng hệ phƣơng trình (2.14) Phƣơng pháp chung để giải toán ta chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện biên, sau thay vào phƣơng trình ổn định vỏ cầu từ điều kiện tồn nghiệm không tầm thƣờng suy phƣơng trình xác định lực tới hạn Giá trị nhỏ lực tới hạn cần tìm.Trong tốn sử dụng tiêu chuẩn tĩnh ổn định ( tiêu chuẩn tồn dạng cân lân cận ) để nghiên cứu phần mềm Matlab để tính tốn số KẾT LUẬN: Trong luận văn đạt đƣợc kết nhƣ sau: 31 - Sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh trình bày chi tiết hệ phƣơng trình ổn định tuyến tính vỏ cầu nhẫn vật liệu có tính biến thiên dƣới tác dụng lực phân bố song song với trục đối xứng áp suất Sử dụng phƣơng pháp Bubnov – Garlerkin dẫn đến hệ thức hiển xác định lực tới hạn vỏ cầu nhẫn - Tính tốn số lực tới hạn trƣờng hợp vỏ cầu chịu tác dụng lực p, chịu tác dụng áp suất q trƣờng hợp có đồng thời hai lực tác dụng Tƣơng ứng với trƣờng hợp riêng khảo sát ảnh hƣởng tỉ số thay đổi - Từ kết nhận đƣợc đƣa nhận xét phù hợp ảnh hƣởng yếu tố nhƣ số k vật liệu, tỉ số kích thƣớc hình học vỏ, tìm giá trị lực tới hạn trƣờng hợp tác dụng đơn lực tác dụng đồng thời hai lực - Đã trình bày báo cáo khoa học Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX, Hà Nội 12/2012 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bich D.H, Tung H.V, Phuong N.T Buckling of functionally graded conical panels under mechanical loads Composite Structure 94 (2012); 1379 - 1384 Bich D.H, Tung H.V Nonlinear axisymmetric response of functionally graded shallow spherical shells under uniform external pressure including temperature effects Int J Nonlinear Mech (2011); 46: 1195 – 1204 Bich D.H, Non – linear buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 31, No (2009), pp 17 – 31 Bich D.H, Dung D.V, Hoa L.K Nonlinear static and dynamic buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells including temperature effects Composite Structures 94 (2012) 2952 – 2960 E Feldman, J Aboudi, Buckling analysis of FGM plates subjected to uniaxial loading, Composite Structures 38 (1997) 29 – 36 J N Reddy et al., Axisymmetric bending of FGM circular and annular plates, European J of Mech 18 (1999) 185 – 199 N Nath, R.S Alwar, Non-linear static and dynamic response of spherical shells, Int J Non-linear Mech 13(1978) 157-170 P.C Dumir, Non-linear axisymmetric response of orthotropic thin spherical caps on elastic foundations, Int J Mech Sci 27(1985) 751-760 Paczos P Zielnica J Stability of ortrotropic elastic – plastic open conical shells Thin – Wall Struct (2008); 46: 530 – 540 10.Tani J Dynamic instability of truncated conical shells underperiodicaxial load Int J Solid Struct (1974); 10:169 – 176 11 Tani J Influence of deformations before instability on the parametric instability of conical sheels under periodic pressure J Sound Vib (1976); 45(2): 253 – 258 33 12 Tani J Influence of axisymmetric initial deflections on the thermal buckling of truncated conical shells Nucl Eng Des (1978); 48: 393 – 403 13 V Birman, Buckling of functionally graded hybrid composite plates, Proc of Conf on Eng Mech Boulder, USA, (1995) 14 Xu CS, Xia ZQ Chia CY Non – linear theory and vibration analysis of laminated truncated, thick conical sheels Int J Nonlinear Mech (1996); 31(2): 139 – 54 15 Đào Huy Bích, Lý thuyết đàn hồi, NXB ĐHQG HN, 2000 34 PHỤ LỤC CHƢƠNG TRÌNH MATLAB TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT min=6E+12; for n=1:1:50 for l=1:1:50 ec=380*10^9; em=70*10^9; h=0.005; nuy=0.3; R=800*h; r1=2; r0=1; k=1; alpha=2; landa=r0/r1; csi=r1/R; m=2*l; denta=h/r1; E1=em+(ec-em)./(k+1); E2=(ec-em).*k./(2*(k+1).*(k+2)); E3=em/12+(ec-em).*(1./(k+3)-1./(k+2)+1./(4*k+4)); %m=[1:1:1000];n=[1:1:1000]; a111=-((m*pi).^2*(r1.^4-r0.^4)./(r1-r0).^2/8+3*(r1.^2-r0.^2)/8+(1nuy)*n.^2*(r1.*r1-r0.*r0)/8)/(r1^2); a121=-(m.*n*pi^2*(r1.^3-r0.^3).*(1+nuy)./(r1-r0)./12/pi+4*n.*(r1r0).^2/8./m/pi)/(r1^2); 35 a131=E2/E1*denta*((m*pi).^3*(1-landa^4)/8/(1-landa)^3+3*(m*pi)*(1landa^2)/8/(1-landa)+m.*n.^2*pi*(1+landa)/4)-(1+nuy)/8*csi*(m*pi*(1landa^4)/(1-landa)+3*(1-landa)*(1-landa^2)./m/pi); a211=(1+nuy)*m.*n.*pi*(1-landa^3)/12/(1-landa)+n.*(1-nuy).*(1landa)^2/4./m/pi; a221=(1-nuy).*(1-landa^2)/16+m.^2.*pi^2*(1-nuy).*(1-landa^4)/16/(1landa)^2+n.^2*(1-landa^2)/4; a231=-E2*denta/E1*(n.^3*(1-landa)/2+n.*m.^2*pi^2*(1-landa^3)/6/(1landa)^2-n.*(1-landa)/4+n.*(2-nuy)*(1-landa)/4)+csi*(n.*(1+nuy)*(1landa^3)/6-n.*(1+nuy)*(1-landa)^3/4./m.^2/pi^2); a311=E2*denta/E1*(m.^3*pi^3*(1-landa^5)/10/(1landa)^3+m.*n.^2*pi*(1-landa^3)/6/(1-landa)-(1-landa)^2/2./m/pi+m.*pi*(1landa^3)/6/(1-landa))-csi*(1+nuy)*(m.*pi*(1-landa^5)/10/(1-landa)- (1-landa)*(1-landa^3)/4./m/pi+3*(1-landa)^4/8./m.^3/pi^3); a321=E2*denta/E1*(n.*m.^2*pi^2*(1-landa^4)/8/(1-landa)^2-7.*n.*(1landa^2)/8+n.^3*(1-landa^2)/4)+csi*(1+nuy)*(3*n*(1-landa)^2*(1landa^2)/8./m.^2/pi^2-n.*(1-landa^4)/8); a331=-E3*denta^2/E1*(m.^4*pi^4*(1-landa^5)/10/(1landa)^4+m.^2.*n.^2*pi^2*(1-landa^3)/3/(1-landa)^2-3*n.^2*(1+nuy)*(1landa)/2+m.^2*pi^2*(1-landa^3)/6/(1-landa)^2-(1-landa)/2+n.^4*(1-landa) /2)+(1+nuy)*E2*denta*csi/E1*(m.^2*pi^2*(1-landa^5)/5/(1landa)^2-(1-landa^3)/2+3*(1-landa)^3/4./m.^2/pi^2+n.^2*(1-landa^3)/3n.^2*(1-landa)^3/2./m.^2/pi^2)-(1+nuy)*csi^2*((1-landa^5)/5- (1-landa)^2*(1-landa^3)./m.^2/pi^2+3*(1-landa)^5/2./m.^4/pi^4); a341=(1-nuy^2)/4/denta/csi*(n.^2*(1-landa^3)/3-n.^2*(1landa)^3/2./m.^2/pi^2+n.^2*landa^2*(1-landa)-(1-landa^3)/2+3*(1landa)^3/4./m.^2/pi^2+landa^2*(1-landa)+m.^2*pi^2*(1-landa^5)/5/(1landa)^2-m.^2*pi^2*landa^2*(1-landa^3)/3/(1-landa)^2); 36 a351=(1-nuy^2)*landa^2/2*(m.^2*pi^2*(1-landa^3)/3/(1-landa)^2(n.^2+1)*(1-landa)); %[m,n]=meshgrid([1:1:30],[1:1:30]); A=(a311.*(a121.*a231-a131.*a221)+a321.*(a131.*a211a111.*a231)+a331.*(a111.*a221-a121.*a211))./(a121.*a211-a111.*a221); p1=abs(A./a351*E1); q1=abs(A./(a341+alpha.*a351)*E1); if q1