tỷ số h v đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 604421 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS PHẠM CHÍ VĨNH Hà Nội - Năm 2012 Lời cảm ơn Lời đầu tiên trong bản luận văn này, cho phép em được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua, đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và các anh chị trong "nhóm xêmina" đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. 1 Mục lục Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén được 7 1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng trước, không nén được 19 2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng trước, chịu ràng buộc trong tổng quát 25 3.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 Xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V 36 4.1 Sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào biến dạng trước . . . . . . . . . . 36 4.1.1 Môi trường nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.2 Môi trường không nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.3 Môi trường chịu ràng buộc trong tổng quát . . . . . . . . . 44 4.2 Tìm ứng suất trước khi đo được tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . 48 2 4.2.1 Môi trường nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.2 Môi trường không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.3 Môi trường chịu ràng buộc trong tổng quát . . . . . . . . . 51 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 3 LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay vật liệu có ứng suất trước (vật liệu dự ứng lực) đã và đang được sử dụng rộng rãi trong thực tế, nên việc xác định ứng suất trước trong các kết cấu công trình trước và trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết và quan trọng, và vận tốc sóng Rayleigh là một công cụ thuận tiện để thực hiện nhiệm vụ này (xem [2], [4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]). Trong các nghiên cứu (xem [2], [4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) để đánh giá ứng suất trước bằng vận tốc sóng Rayleigh các tác giả đã thiết lập các công thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh. Chúng phụ thuộc tuyến tính (xem [2], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) hoặc là các đa thức bậc hai [4] đối với biến dạng trước (hay ứng suất trước) nên rất thuận tiện khi sử dụng. Mặc dù vậy, vì chúng thu được bằng phương pháp nhiễu nên các công thức này chỉ đúng khi biến dạng trước là nhỏ. Khi biến dạng trước là không nhỏ, chúng hoàn toàn mất tác dụng. Gần đây, các công thức chính xác, đúng cho biến dạng trước bất kỳ đã được tìm ra bởi Vinh [19] cho các môi trường đàn hồi chịu ứng suất trước nén được, Vinh [18] cho các môi trường đàn hồi chịu ứng suất trước không nén được, Vinh & Giang [29] cho các môi trường đàn hồi có ứng suất trước chịu một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát. Chú ý rằng, sự tồn tại của sóng mặt Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng được Rayleigh [30] chứng minh từ hơn 100 năm trước, năm 1885, và từ đó đến nay có một số lượng rất lớn các nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh trong các môi trường đàn hồi khác nhau, do những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ. Công cụ tìm kiếm google scholar cho khoảng một triệu đường link với từ khóa "Rayleigh waves", xem [34]. Mặc dù vậy, các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh chỉ mới được tìm ra gần đây, bởi Nkemzi [15], Malischewsky [12], Vinh & Ogden [26] cho môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, bởi Vinh & Ogden [27, 28] cho môi trường đàn hồi trực hướng nén được, bởi Ogden & Vinh [17] cho môi trường đàn hồi trực hướng không nén được, bởi Vinh [19, 18] cho môi trường đàn hồi có biến dạng trước nén được và không nén được, bởi Vinh & Giang [29] cho môi trường đàn hồi có biến dạng trước chụi một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát, Vinh & Linh [25] cho môi trường đàn hồi chụi ảnh hưởng của trọng trường. Nhờ các 4 công thức này, bằng phương pháp bình phương tối thiểu, một số công thức xấp xỉ với độ chính xác rất cao của vận tốc sóng Rayleigh, xem [20]-[24], đã được tìm ra. Chúng có dạng đơn giản nên rất tiện lợi khi sử dụng. Trong một bài báo gần đây [9], Junge và các cộng sự chỉ ra rằng, so với vận tốc sóng Rayleigh tỷ số H/V (tỷ số giữa các giá trị cực đại của môđun chuyển dịch ngang và môđun chuyển dịch thẳng đứng tại biên của bán không gian của sóng Rayleigh) có hai ưu điểm: (i) nhạy cảm hơn đối với ứng suất trước (ii) không phụ thuộc vào việc đo khoảng cách giữa điểm kích động và điểm nhận tín hiệu, và thời gian chuyển động của sóng Rayleigh trên đoạn đường này. Tức là, để đánh giá ứng suất trước trong các kết cấu công trình, so với vận tốc sóng, tỷ số H/V là công cụ tốt hơn. Cho đến nay, theo hiểu biết của tác giả, chưa có một công thức chính xác nào được thiết lập cho tỷ số H/V đối với các môi trường đàn hồi có ứng suất trước. Do vậy, việc tìm ra công thức này là rất có ý nghĩa, về cả phương diện lý thuyết và ứng dụng thực tế. Mục đích chính của luận văn này là thiết lập các công thức chính xác của tỷ số H/V đối với các môi trường đàn hồi có ứng suất trước (biến dạng trước), nén được, không nén được và môi trường chịu ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát. Ứng dụng các công thức thu được, khảo sát một số ví dụ đơn giản về việc xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V. Cần nhấn mạnh rằng tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc sóng. Để thu được công thức chính xác của nó, trước hết cần tìm ra các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh. Trong các kết quả thu được, tác giả đã sử dụng các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh tìm ra gần đây bởi Vinh [19] cho môi trường nén được, Vinh [18] cho môi trường không nén được, và Vinh & Giang [29] cho môi trường chịu ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát. Nội dung của luận văn bao gồm 4 chương : • Chương 1: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén được. Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén được. Từ công thức thu được, suy ra công thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13] biểu diễn tỷ số H/V đối với 5 môi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, không có ứng trước. • Chương 2: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, không nén được. Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, không nén được. • Chương 3: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, chịu ràng buộc trong tổng quát. Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, trong trường hợp có ràng buộc trong tổng quát. Từ công thức thu được ta đưa được về trường hợp công thức H/V đã được thiết lập ở chương 2. • Chương 4: Xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V. Mục đích của chương này là sử dụng các công thức thu được khảo sát một số ví dụ đơn giản về sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào biến dạng trước, và xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V. 6 Chương 1 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén được 1.1 Các phương trình cơ bản Xét một vật thể đàn hồi đẳng hướng, nén được mà ở trạng thái tự nhiên (không có ứng suất) chiếm bán không gian X 2 ≤ 0. Giả sử vật thể chịu biến dạng ban đầu thuần nhất, tức là: x 1 = λ 1 X 1 , x 2 = λ 2 X 2 , x 3 = λ 3 X 3 , λ j = const, j = 1, 2, 3, (1.1) trong đó các hằng số λ j (λ j > 0, j = 1, 2, 3) được gọi là các độ dãn chính. Sau khi chịu biến dạng ban đầu (1.1) vật thể chiếm bán không gian x 2 ≤ 0. Xét chuyển động phẳng trong mặt phẳng (x 1 , x 2 ) với các thành phần nhiễu chuyển dịch như sau: u j = u j (x 1 , x 2 , t), j = 1, 2, u 3 = 0, (1.2) trong đó t là thời gian. Khi đó, bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động là [16, 6]: A 1111 u 1,11 + A 2121 u 1,22 + (A 1122 + A 2112 )u 2,12 = ρ ¨u 1 , (A 1122 + A 2112 )u 1,12 + A 2121 u 2,11 + A 2222 u 2,22 = ρ ¨u 2 , (1.3) 7 trong đó ρ là mật độ khối lượng của vật liệu ở trạng thái ban đầu, dấu chấm (trên) chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến không gian (x j ), các thành phần khác không của tenxơ hạng bốn A ijkl được xác định bởi công thức [6, 16]: JA iijj = λ i λ j ∂ 2 W ∂λ i ∂λ j , (1.4) JA ijij =          (λ i ∂W ∂λ i − λ j ∂W ∂λ j ) λ 2 i λ 2 i − λ 2 j , (i = j, λ i = λ j ) 1 2 (JA iiii − JA iijj + λ i ∂W ∂λ i ) (i = j, λ i = λ j ) (1.5) JA ijji = JA jiij = JA ijij − λ i ∂W ∂λ i (i = j), (1.6) với i, j ∈ {1, 2, 3}, W = W (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) là hàm năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích, J = λ 1 λ 2 λ 3 . Khi môi trường không có biến dạng trước, các thành phần A ijkl trở thành: A iiii = λ + 2µ, A iijj = λ, A ijij = A ijji = µ, (1.7) trong đó λ, µ là các hằng số Lame. Nhiễu ứng suất trên mặt x 2 = const được tính bởi công thức trong [6]: s 21 = A 2121 u 1,2 + A 2112 u 2,1 , s 22 = A 2222 u 2,2 + A 1122 u 1,1 . (1.8) Ứng suất Côsi được xác định bởi [6, 31]: Jσ j = λ j ∂W ∂λ j . (1.9) Để đơn giản trong trình bày, ta sử dụng các ký hiệu sau: α ij = JA iijj (α 11 = JA 1111 , α 22 = JA 2222 , α 12 = α 21 = JA 1122 ), γ 1 = JA 1212 , γ 2 = JA 2121 , γ ∗ = JA 2112 , ρ 0 = Jρ. (1.10) trong đó ρ 0 là mật độ khối lượng ở trong trạng thái tự nhiên. Khi đó hệ phương trình (1.3) trở thành: α 11 u 1,11 + γ 2 u 1,22 + (α 12 + γ ∗ ) u 2,12 = ρ 0 ¨u 1 , γ 1 u 2,11 + α 22 u 2,22 + (α 12 + γ ∗ ) u 1,12 = ρ 0 ¨u 2 . (1.11) 8 [...]... Công thức (1.48) trong đó P , S v ρ0 c2 xác định bởi (1.46) v (1.49) hoặc (1.52) biểu diễn chính xác v hoàn toàn tường minh, tỷ số H/ V như là h m của các tham số v t liệu v biến dạng trước (ứng suất trước) Bằng phương pháp làm tương tự như trong trường h p truyền sóng theo h ớng x1 v tắt dần theo h ớng x2 ta cũng tìm được tỷ số H/ V trong trường h p truyền sóng theo h ớng x3 v tắt dần theo h ớng... γ2 ¯ (1.58) Công thức (1.53) trong đó P , S v ρ0 c2 xác định bởi (1.54), v (1.55) hoặc (1.58)biểu diễn chính xác v hoàn toàn tường minh, tỷ số H/ V như là h m của các tham số v t liệu v biến dạng trước (ứng suất trước) Bằng phương pháp làm tương tự như trên ta cũng tìm được tỷ số H/ V trong trường h p truyền sóng theo h ớng x1 v tắt dần theo h ớng x3 Công thức H/ V được viết như sau: (13) χ √ ¯... √ Trường h p 2: Nếu δ3 = 0 v − δ1 < 2δ2 < 1, khi đó x(32) được xác định bởi r công thức: (32) xr 2 = 4− δ1 − 8δ2 + 4 − δ1 /4 (2.37) Công thức (2.32) trong đó P , S , ρc2 xác định bởi (2.33), (2.35) hoặc (2.37) biểu diễn chính xác v hoàn toàn tường minh tỷ số H/ V như là h m của các tham số v t liệu v biến dạng trước (ứng suất trước) 24 Chương 3 Công thức H/ V đối v i môi trường đàn h i, chịu biến dạng. .. dấu chấm chỉ đạo h m theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo h m theo các biến không gian xj , v các thành phần nhiễu ứng suất sij liên h bởi v i các thành phần nhiễu chuyển dịch bởi các công thức (xem [1]): ∗ sij = Bijkl uk,l + pN ij , (3.10) Ở đây p là nhiễu động của P Tenxơ đàn h i tuyến tính bậc bốn B∗ được tính như sau: ∗ Bijkl = Bijkl + P Bijkl 26 (3.11) Các thành phần khác không của Tenxơ B v ... Trường h p 2: Nếu δ3 = 0 v − δ1 < 2δ2 < 1, khi đó x(12) được xác định bởi r công thức: (12) xr 2 = 4− δ1 − 8δ2 + 4 − δ1 /4 (2.31) Công thức (2.27) trong đó P , S v ρc2 xác định bởi (2.26) v (2.29) hoặc (2.31) biểu diễn chính xác v hoàn toàn tường minh tỷ số H/ V như là h m của các tham số v t liệu v biến dạng trước (ứng suất trước) Xét truyền sóng theo h ớng x3 v tắt dần theo h ớng x2 , v i phương... θy) (1.71) Sử dụng (1.71) v o (1.70) ta có : √ √ 4 u1 (x2 = 0) 2 1−y 1−y = = √ 4 u2 (x2 = 0) 2−y 1 − θy V y công thức H/ V được xác định bởi: √ 4 1−y √ χ= 4 1 − θy Đây chính là công thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13] 18 (1.72) Chương 2 Công thức H/ V đối v i môi trường đàn h i, chịu biến dạng trước, không nén được 2.1 Các phương trình cơ bản Xét một v t thể đàn h i đẳng h ớng, không nén được... được tính bởi công thức: a= ¯ ¯ 2β ∗ + 2δ ∗ − α∗ ¯ , ∗ γ ¯ b= ¯ δ ∗2 γ ∗2 ¯ (3.56) Công thức (3.52) trong đó P , S v ρc2 xác định bởi (3.53), v (3.54) biểu diễn chính xác v hoàn toàn tường minh tỷ số H/ V như là h m của các tham số v t liệu v biến dạng trước (ứng suất trước) Trong trường h p ràng buộc không nén được: Γ = λ1 λ2 λ3 − 1 = 0 (3.57) Xét v i trường h p σ2 = 0, ta tính toán được các đại... trường h p môi trường đàn h i đẳng h ớng không có biến dạng trước, khi đó: λ1 = λ2 = λ3 = 1, J = λ1 λ2 λ3 = 1 Từ (1.4)-(1.7)ta có: α12 = A1122 = λ; α11 = α22 = λ + 2µ, γ1 = A1212 = µ; γ2 = A2121 = µ; γ∗ = A2112 = µ, (1.65) Sử dụng (1.65) v o (1.48) v tính đến phương trình tán sắc của sóng Rayleigh đối v i môi trường đàn h i đẳng h ớng nén được, không có ứng suất trước, ta suy ra được các công thức (7)... (1.63) ¯ Trường h p 2: Nếu α13 + γ∗ = 0 thì v n tốc sóng x(13) được tính bởi công thức r sau: (13) xr = ¯ ρ0 c2 1 α11 + γ1 − = ¯ ¯ ¯ 2γ1 2γ1 γ1 ¯ (α11 − γ1 )2 + 4 4α13 ¯ α33 γ2 (1.64) Công thức (1.59) trong đó P , S v ρ0 c2 xác định bởi (1.60) v (1.61) hoặc (1.64)biểu diễn chính xác v hoàn toàn tường minh, tỷ số H/ V như là h m của các tham số v t liệu v biến dạng trước (ứng suất trước) Xét trong trường. .. thể đàn h i đẳng h ớng, không nén được mà ở trạng thái tự nhiên (không có ứng suất) chiếm bán không gian X2 ≤ 0 Giả sử v t thể chịu biến dạng ban đầu thuần nhất (1.1) Sau khi chịu biến dạng ban đầu (1.1) v t thể chiếm miền không gian x2 < 0 v i biên là x2 = 0 Xét trạng thái biến dạng phẳng (1.2) Khi đó, bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động có dạng [5]: B1111 u1,11 + (B1122 + B2112 )u2,21 + B2121 . 2012 ĐẠI H C QUỐC GIA H NỘI TRƯỜNG ĐẠI H C KHOA H C TỰ NHIÊN LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/ V ĐỐI V I CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN H I CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC V ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cơ h c v t thể rắn Mã số: 604421 LUẬN V N. ĐẠI H C QUỐC GIA H NỘI TRƯỜNG ĐẠI H C KHOA H C TỰ NHIÊN ————————— LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/ V ĐỐI V I CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN H I CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC V ỨNG DỤNG LUẬN V N THẠC SĨ KHOA H C H Nội - Năm. chương : • Chương 1: Công thức H/ V đối v i môi trường đàn h i, có biến dạng trước, nén được. Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/ V đối v i môi trường đàn h i, có biến dạng trước, nén