Tỷ số H V đối với các bán không gian đàn hồi

Tỷ số H V đối với các bán không gian đàn hồi Tỷ số H V đối với các bán không gian đàn hồi Tỷ số H V đối với các bán không gian đàn hồi luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————— NGÔ ANH TUẤN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT VỀ CÁC LỚP CẦU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————— NGÔ ANH TUẤN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT VỀ CÁC LỚP CẦU Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 9460101.04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng HÀ NỘI - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận án Các kết luận án viết chung với đồng nghiệp nhận đồng ý để viết luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình khác Tác giả: Ngơ Anh Tuấn i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng, người thầy hướng dẫn, truyền đạt nhiều học quí báu công việc sống, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Tôi cảm ơn chân thành tới Ban Giám đốc Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Ban Giám hiệu Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình hồn thiện thủ tục bảo vệ luận án Tôi cảm ơn chân thành thầy, cô đồng nghiệp Bộ mơn Đại số-Hình học-Tơpơ, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, nhiệt tình giúp đỡ học tập, nghiên cứu tạo điều kiện cho làm việc môi trường chuyên nghiệp Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi ln u thương tơi để tơi n tâm hồn thành cơng việc ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn i Bảng kí hiệu Mở đầu I Kiến thức chuẩn bị 12 I.1 Đại số Steenrod 12 I.2 Lý thuyết bất biến đại số lambda 14 II Đồng cấu Lannes-Zarati thứ khơng, thứ thứ hai 20 II.1 Nhìn lại đồng cấu Lannes-Zarati 20 II.2 Đồng cấu Lannes-Zarati thứ bậc nhỏ 24 III Đồng cấu Lannes-Zarati: kết chung III.1 Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati III.2 Thương hóa đồng cấu Lannes-Zarati qua A-hệ sinh tối tiểu chu trình phức Singer III.3 Đồng cấu Lannes-Zarati toán tử squaring III.4 Đạo hàm riêng hình thức ứng dụng III.5 Tính hàm tử đồng cấu Lannes-Zarati III.6 Đồng cấu Lannes-Zarati phần tử phân tích 30 30 40 46 50 59 60 IV Về triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati mặt cầu S không gian xạ ảnh 67 IV.1 Đồng cấu Lannes-Zarati mặt cầu chiều: trường hợp cổ điển 68 IV.2 IV.3 IV.4 IV.5 Sự triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho RP∞ Sự triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho RP∞ Mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati cho RP∞ cho S Đồng cấu Lannes-Zarati không gian xạ ảnh hữu hạn chiều 72 75 80 82 Kết luận 83 Phụ lục 84 Tài liệu tham khảo 93 Bảng số kí hiệu F2 Trường với phần tử Sn Mặt cầu n-chiều GLs Nhóm ma trận cỡ s khả nghịch trường F2 RP∞ Không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều RPn Không gian xạ ảnh thực n-chiều H∗ (X) Đồng điều không gian tôpô X với hệ số F2 H∗ (X) Đồng điều rút gọn không gian tôpô X với hệ số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều không gian tôpô X với hệ số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều rút gọn không gian tôpô X với hệ số F2 A Đại số Steenrod (modulo 2) Ext∗A (F2 , F2 ) Đối đồng điều đại số Steenrod (modulo 2) TorA ∗ (F2 , F2 ) Đồng điều đại số Steenrod (modulo 2) π∗S (X) Nhóm đồng ln ổn định khơng gian tơpơ X TorA ∗ (F2 , F2 ) Đồng điều đại số Steenrod (modulo 2) ΣX treo không gian tơpơ X ΩX khơng gian đường khép kín không gian tôpô X QX QX = Ω∞ Σ∞ X = lim Ωn Σn X −→ n Mở đầu ∞ Cho X CW-phức có điểm gốc Gọi Q0 X = Ω∞ Σ X thành phần chứa điểm gốc QX = Ω∞ Σ∞ X Có tốn cổ điển chưa có lời giải xác định ảnh đồng cấu Hurewicz H : π∗S (X) = π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) Ở toàn luận án, đồng điều đối đồng điều lấy với hệ số F2 , trường với hai phần tử Giả thuyết cổ điển lớp cầu cho X = S khẳng định có lớp bất biến Hopf bất biến Kervaire phần tử π∗S (S ) ∼ = π∗ (Q0 S ) phát đồng cấu Hurewicz Nguyễn H V Hưng phát biểu giả thuyết tổng quát lớp cầu sau (xem [21]): Giả thuyết (Giả thuyết tổng quát lớp cầu) Cho X CWphức có điểm gốc Khi đồng cấu Hurewicz H : π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) triệt tiêu lớp π∗ (Q0 X) có lọc Adams lớn (Xem Curtis [8], Snaith Tornehave [34] Wellington [38] để thấy thảo luận cho X = S ) Một phiên đại số toán trình bày sau Gọi Ps = F2 [x1 , , xs ] đại số đa thức s biến x1 , , xs , biến có bậc Cho nhóm tuyến tính tổng quát GLs = GL(s, F2 ) đại số Steenrod modulo 2, A, tác động Ps theo cách thông thường Đại số Dickson s biến, Ds , đại số bất biến Ds := F2 [x1 , , xs ]GLs Vì tác động A GLs Ps giao hoán với nên Ds đại số A Cho M A-môđun không ổn định Xây dựng Singer Rs M M Ds -môđun Ps ⊗ M sinh Sts M , Sts ký hiệu cho đồng cấu Steenrod định nghĩa sau Cho trước phần tử z ∈ M có bậc |z|, theo quy ước ta đặt St0 (z) = z , định nghĩa quy nạp |z| x|z|−i ⊗ Sq i (z), St1 (x; z) = i=0 Sts (x1 , , xs ; z) = St1 (x1 ; Sts−1 (x2 , , xs ; z)) Chú ý Rs M A-môđun Ds ⊗ M Rs M A-môđun không ổn định (Xem [42, Định nghĩa-Mệnh đề 2.4.1].) Ta dùng s,s+i (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ ϕM s : ExtA để kí hiệu đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho A-môđun không ổn định M , định nghĩa [42] Khi M = H ∗ (X), đồng cấu tương ứng với phân bậc liên kết ánh xạ Hurewicz Chứng minh khẳng định khơng cơng bố, phác họa Lannes [41, Tiết 2] Goerss [10] Trong trường hợp M = H ∗ (X), đối đồng điều rút gọn không gian ∗ (X) tôpô X , đồng cấu Lannes-Zarati ϕH ký hiệu ϕX s s cho gọn Các lớp bất biến Hopf bất biến Kervaire đại 2,∗ diện tương ứng chu trình vĩnh cửu Ext1,∗ A (F2 , F2 ) ExtA (F2 , F2 ), mà đồng cấu Lannes-Zarati khác không (xem Adams [1], Browder [5], Lannes-Zarati [42]) Nguyễn H V Hưng phát biểu dạng đại số giả thuyết tổng quát lớp cầu cho M = H ∗ (S ) = F2 [13] cho A-môđun không ổn định M seminar VNU khoảng thời gian dài (xem [21]): Giả thuyết (Dạng đại số tổng quát giả thuyết lớp cầu) Đồng cấu Lannes-Zarati s,s+i ϕM (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ s : ExtA triệt tiêu gốc dương i với s > 2, với A-môđun không ổn định M Giả thuyết chứng minh cho trường hợp M = H ∗ (S ) với s = 3, Nguyễn H V Hưng (xem [14], [16]), với s = ông đồng nghiệp (xem [22]) Sự kiện đồng cấu Lannes-Zarati cho M = H ∗ (S ) triệt tiêu với s > phần tử phân tích ExtsA (F2 , F2 ) ảnh đồng cấu chuyển Singer chứng minh tương ứng Nguyễn H V Hưng-F P Peterson (xem [19]), Nguyễn H V Hưng-Trần N Nam (xem [17]) Trong luận án này, nghiên cứu Giả thuyết Cụ thể, nghiên cứu số vấn đề xung quanh đồng cấu Lannes-Zarati, từ đưa chứng minh cho Giả thuyết số trường hợp riêng Luận án bao gồm chương phần Phụ lục với nội dung sau Trong Chương I, chúng tơi trình bày số kiến thức dùng phần luận án, bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến, đại số lambda cơng trình Singer diễn đạt đại số lambda qua lý thuyết bất biến Các kết luận án trình bày từ Chương II đến Chương IV Trong Chương II, Tiết II.1 trình bày lại xây dựng tường minh đồng cấu Lannes-Zarati cho A-môđun không ổn định M Xây dựng tường minh trình bày [13] cho M = F2 Tiết cuối chương II dành cho việc nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati thứ bậc nhỏ Nghiên cứu nhằm giải thích lý giả thuyết tổng qt lớp cầu cần tới giả thiết lớp đồng luân có lọc Adams lớn i (F2 , F2 ) để kí hiệu phần tử Adams thứ i với i ≥ Ta dùng hi ∈ Ext1,2 A 0,2j ∗ ∞ hj ∈ ExtA (H (RP ), F2 ) phần tử mà ảnh đồng cấu Kahns ∗ ∞ ∗ Priddy g∗ : Exts−1 A (H (RP ), F2 ) → ExtA (H (S ), F2 ) hj với j > (xem Lin [24]) Mệnh đề sau đánh số Mệnh đề II.2.4 Chương II Mệnh đề (i) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian xạ ảnh, ∞ ϕRP , đẳng cấu Ext0A (H ∗ (RP∞ ), F2 ) ∞ (ii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho không gian xạ ảnh, ϕRP , đơn cấu Span{hi hj | i ≥ j} triệt tiêu Span{hi hj | i < j} ∞ (iii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho không gian xạ ảnh, ϕRP , triệt tiêu 2 gốc dương ExtA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) Điều đáng ý đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu gốc dương, đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho không gian khác không mệnh đề sau Mệnh đề đánh số Mệnh đề II.2.6 Chương II Mệnh đề Cho X CW-phức có điểm gốc mà đồng điều rút gọn H∗ (X) không tầm thường hữu hạn sinh bậc Khi đồng cấu LannesZarati thứ X khác không gốc dương .. .v3 4 v4 2 + v1 16 v2 8 v3 2 v4 2 + v1 16 v2 8 v3 4 , Q5,3 = (v1 12 v2 6 v3 3 v4 2 + v1 12 v2 6 v3 4 v4 + v1 12 v2 8 v3 2 v4 + v1 16 v2 4 v3 2 v4 )v5 + v1 12 v2 6 v3 4 v4 2 + v1 12 v2 8 v3 2 v4 2 + v1 16 v2 4 v3 2 v4 2 + v1 12 v2 8 ...theo Định lý III.1.1 Mặt khác, ta có Q5,2 = (v1 14 v2 7 v3 4 v4 2 + v1 14 v2 8 v3 3 v4 2 + v1 16 v2 6 v3 3 v4 2 + v1 14 v2 8 v3 4 v4 + v1 16 v2 6 v3 4 v4 + v1 16 v2 8 v3 2 v4 )v5 + v1 14 v2 8 v3 4 v4 2 + v1 16 v2 6 v3 4 ... điều không gian tôpô X v? ??i h? ?? số F2 H? ?? (X) Đồng điều rút gọn không gian tôpô X v? ??i h? ?? số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều không gian tôpô X v? ??i h? ?? số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều rút gọn không gian tôpô X v? ??i