T Ạ P C H Í K H O A H Ọ C N o - 1993 SONG LO V TRONG MOI T R Ư Ơ N G GOM N LƠ P NÁM THEN BAN KHONG GIAN ĐAN HOI PHI T Ư Y E N , CO Ư NG SƯAT BAN DAƯ TH UA N NIIAT Đào Vấn Dủng Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đạ i học Tổng hợp Hà Nòĩ Việc nghiên cứu sóng Lơvơ có ý nghĩa t h ự c tiễn lấn Vì sóng cổ điển n h ưn g nhiều nh học v ã n quan t â m nghiên cứu Ịl, 4] Tuy nhiên kết q u ả m ói chì n h ậ n đ ượ c cho m ột số trưcrng hợp đơn giản Trong [5] đ ã nghiên c ứ u sóng Lơvơ cho mơi trưcmg gồm n lớp nằ m bá n không gian, n h ậ n phưorng trình t n sắc cho trưcmg hợp x ấ p xỉ sóng dài Vấn đề cần nghiên cứu tiếp xây d ựn g phương trình t n sắc tổng q uá t ciia sóng Lô va t r o n g mỏi t r n g gồm n láp n ằ m bán không gian Kết nh ận đươc biểu t h ức giải tích c p h n g t ri n h tán sắc, t r n g h ợ p riêng t r kết q u i tro n g [1, 4, 5], BÀI T O Á N Xét môi t r n g đàn hồi phi tuyến có ứng s uấ t tr c gồm n lớp p h â n chia b a n g m ặ t p h ẳ n g song song, n ằ m bán không gian đàn hồi Đ a vào hệ tọ a độ: Hệ ( x [ J 1, X 2[ J 1, xí/ *) ( Z 1, Z'2 >z 3) t rạ n g t h i t ự nhiên ban đầu Độ dày lớp bán không gian nén v hiến dạng ban đầu t h u ầ n nh ấ t [2, 3] ( 1) ( 1.2 ) Khi p h n g trình chuyển động mơ tả bồri hệ sau: ( / = , 1, 2, , n; I, m, a , p = 1, 2,3, tổng theo I, /9) Ở đây: j = để chi đại lượng liên quan đến bán không gian Tải trọng m ặ t z = const có dạng (1.3) (1.4) S Ó N G M Ặ T L Ô V Ơ G i ằ s sóng tru yề n mơi t r n g vóri vểctơ sóng Ả: (Ả:, , ) Xét sóng p hâ n cực m ặ t p h ẳ n g Z \ O Z i đ ợ c đặc t r n g Ư2 * Ỷ 0) d n g sau: / - ( j) d \ 1221 d Z ị = 0, — ( y) 3223 d Z * p = Khi phưcrng trì nh (1.3) có d_Arr(j) r» dr* ) ~ /9 1^ () T h n h p hầ n lực m ặ t Z3 = const H l] = * K ^ f Để t ì m nghiệm (2.1) t a biểu diễn ( j = , 1, , , n) dạng = Ữ 2^ ( Z )e x p t(/cZi — wr) (2 2) (2.3) đ c xác dịnh n h sau: ữ ị * ] = ( Á \ )cia{ĩ)z> + A (2j ) r ịaiĩ)z^ (2.4) T h n h p hầ n lực m ặ t Z3 = const p ị i] = ẠỊy,(Z3) e x p »(JfcZ! - wr) (2.5) với ẠỊ,-Ỉ = i«(i,wịiaw a = k V ^3223 - AÍ,y)e-+1, (Ã1 + ■■• + *>) hj) = ẬỊ>+1,(Ã + ' (2.9) + hj) ( j = , 1, , n - 1) 0 T điều kiện Điều kiện t ắ t dần sóng Z — ♦ —00 ^ ——* Z3 láy suy i4j = a*°* t h u ầ n ảo Kết hợp với (2.7) suy r a ( 10) V < K ,0) Sa u s d ụ n g điều kiện biên đ ả nêu Trirớc hết chúng t a viết (2.4) v (2 ) d i d n g m a trận r - I •» * ể ì [Ừ2 p ị,ị[ J ì z * pị3 } = p - i a {j) z ì a _ ị a U ) J ^ 2J - ^ Z C hú ý r ằn g det [ C ( j , Ị / nên gọi [ c ^ * ] điều kiện (2.9) t a th u liên hệ sau: jj) [ j *, = [c * ] (j) ( 11 ) ỉà ma trận ngược [ c ^ ] Khi th ay (2.11) vào (>) ( J + 1) + 1) Ư) [ c ^ + I »(fc, + • + /»,)] + - + M ] ( j) ( 12) (; = , l , , n - 1) Biểu diễn m ộ t cách tưcmg t ự n hư liên tiếp n lần t a nhận đirợc mối liên hệ sau: ịn Ả\ (ri) [ c^ n](hi + • • • + /iu-i] [c*n l ^{hỵ + • ■ -f /in_i] [c,(Ã1)]"1[c,(1>(fc1)] • [ c (1)(o)]"i [ c (0)(o)] ,(0) (2.13) T h a y biểu t h ứ c (2.13) vào (2.8) v n h â n m a tr ậ n vóri nhau, kết q u ả t a nh ạn Fn s [ ^ ^ ] [ D i n - l ) ( k n , ) } [ D ^ ( h 2)} [ ỡ (1)(Ãi)] [c{0)(0) t rong đổ [ ỡ H ( M ] = [ c íê)(fci + ■• • + M ] [ c ('>(/n + • • + f c - i )] (0 ) -1 = (2.14) i sin a ’ °11 [D ^(h )) = d 22 {9) rf21 a 1’ 11^3223 s i n a ('*/i, a (' )‘Zl3223 COS a W fc (2.15) (5 = N h t (2.14) t a có th ể tìm phươ ng trình tán sắc toán Sau đâ y t a xây d ự n g công t c tru y chứn g phưư ng trình tá n sắc sờ tìm cơng t h ứ c tổng q u ấ t toấn C ôn g t h ứ c t r u y chứng G iầ s gọi Fnì Fn - 1, Fn - vế trái chưcmg trình tá n sắc (Fa = 0; a = n, n — 1, n — 2) môi trircrng gồm n láp n - 1, n — lớp nằ m bán khơng gian Khi t a có mối liên hệ giửa chúng n h sau: Fn = j g F n - i + - r 1)^,n - 2] 4ỉrì) + (2.16) ^21 C h ứ n g mi nh: Ký hiệu a c b d = [c,(0)] t= n - Khi (2.14) có dạng đơn giản n h sau (2.17) [ “ ‘ ỉ ’] t o ' — ] [ o ' " - « ] [ ‘ ] | o T sau n hâ n m a trậ n (2.17) với t điều kiện ^ 2°^ Ỷ 0, nh ậ n đ ợ c vế t r i c p h n g t rì n h t n sắc môi trưcmg gồm n lớp nằ m bán không gian Fn = { ^ [ d i r M + {4"'[ r ^ + d ỉ r ^ r 2’] + s ) [ r ỉ , r 2) + r 1, r 2,]}*> í r ^ i r 21 + ,(n-2)l ,(n) r V k[“ ?21~ 1)