******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8****** Ngày soạn: 20/02/2010 Tuần dạy: 25 Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số A Mục tiêu: - HS nắm đợc đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt đẳng thức mở rộng, tam giác Pascal - Biến đổi thành thạo biểu thức nguyên - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập B Phơng tiện: - GV: giáo án, tài liệu Casio - HS: Máy tính Casio C Nội dung giảng: a biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a2 + + an )2 = = a12 + a22 + + a2n + 2(a1a2 + a1a3 + + a1an + a2a3 + + a2an + + an−1an); (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k –1 + b2k) ; II Bảng hệ số khai triển (a + b)n Tam giác Pascal Đỉnh Dòng (n = 1 1) Dßng (n = 2) Dßng (n = 3 3) Dßng (n = 4) Dßng (n = 10 10 5) Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn ë dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, Khai triÓn (x + y) n thành tổng hệ số hạng tử số dòng thứ n bảng Ngời ta gọi ******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8****** bảng tam giác Pascal, thờng đợc sử dụng n không lớn Chẳng hạn, với n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II Các ví dụ Ví dụ 1: Đơn giản biểu thøc sau: A = (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (y + z - x)3 - (z + x - y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 - [(x + y) - z]3 - [z - (x - y)]3 - [z + (x - y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] - [(x + y)3 - 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 - z3] - [z3 - 3z2(x - y) + 3z(x - y)2 - (x - y)3] - [z3 + 3z2(x - y) + 3z(x - y)2 + (x - y)3] = 6(x + y)2z - 6z(x - y)2 = 24xyz VÝ dô 2: Cho x + y = a, xy = b (a2 4b) Tính giá trị biÓu thøc sau: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) b) c) d) x2 + y2 = (x + y)2- 2xy = a2- 2b x3 + y3 = (x + y)3- 3xy(x + y) = a3- 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2- 2x2y2 = (a2 - 2b)2- 2b2 = a4- 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay: (a2- 2b)(a3- 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5- 5a3b + 5ab2 Chó ý: a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4)- a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5)- a2b2(a3 + b3) Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức: a) a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab- bc- ca); b) (a + b + c)3- a3- b3- c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3 + c3- 3abc- 3a2b- 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2- (a + b)c + c2]- 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2- (a + b)c + c2- 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab- bc- ca) b) (a + b + c)3- a3- b3- c3 = [(a + b + c)3- a3]- (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2]- (b + c)(b2- bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Ví dụ 4: Phân tích biểu thức sau thành nhân tö: A = x3- 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lời giải ******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8****** Đặt S = a + b P = ab, th× a2 + b2 = S2 - 2P ; a3 + b3 = S3 - 3SP V× vËy: A = x3- 3( S2 - 2P )x + 2( S3 - 3SP ) = (x3 - S3) - (3S2x - 3S3) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x2 + Sx + S2) - 3S2(x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x2 + Sx - 2S2 + 6P) = (x- a- b)[x2 + (a + b)x- 2(a + b)2 + 6ab] = (x- a- b)[x2 + (a + b)x- 2(a2 VÝ dô 5: Cho x + y + z = Chøng minh r»ng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i Vì x + y + z = nên x + y = -z ⇒ (x + y)3 = -z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = -z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã: 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2- 2xy = z2- 2xy (v× x + y = -z) T¬ng tù: y2 + z2 = x2- 2yz; z2 + x2 = y2- 2zx V× vËy: 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2- 2yz) + y3(y2- 2zx) + z3(z3- 2xy) = 2(x5 + y5 + z5)- 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm) Bài tập Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 + 4x2- 29x + 24; b) x4 + 6x3 + 7x2- 6x + 1; c) (x2- x + 2)2 + (x- 2)2; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x8 + x4 + 1; b) x10 + x5 + 1; c) x12 + Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z)3- x3- y3- z3; b) (x + y + z)5- x5- y5- z5 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thøc: A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thøc: B = (x- 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 Cho a2- b2 = 4c2 Chøng minh r»ng: (5a- 3b + 8c)(5a- 3b- 8c) = (3a- 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu (x- y)2+(y- z)2+(z- x)2 =(x+ y- 2z)2+(y + z2x)2+(z + x- 2y)2 th× x = y = z ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y a b khác = x y b) Chứng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + a b c cz)2 x, y, z khác = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng: a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5); b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2); c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) 10 Chứng minh đằng thức sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 11 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng: a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính giá trị biểu thức: C = a2 + b9 + c1945 13 14 Hai sè a, b lần lợt thỏa mÃn hệ thức sau: a - 3a2 + 5a- 17 = vµ b3- 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh: D = a + b Cho a3- 3ab2 = 19 vµ b3- 3a2b = 98 H·y tÝnh: E = a2 + b2 15 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh giá trị biểu thức sau: a) x3 + y3; b) x4 + y4; c) x5 + y5; d) x6 + y6; e) x7 + y7; f) x8 + y8; g) x2008 + y2008 ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG Toán 8****** Ngày soạn: 27/02/2010 Tuần dạy: 26 Chuyên ®Ị i: BiÕn ®ỉi biĨu thøc ®¹i sè A Mơc tiêu: - HS tiếp tục đợc củng cố đẳng thức đáng nhớ - Biến đổi thành thạo biĨu thøc h÷u tØ - RÌn tÝnh cÈn thËn, tÝnh sáng tạo, chủ động học tập B Phơng tiện: - GV: giáo án, tài liệu Casio - HS: Máy tính Casio C Nội dung giảng: biển đổi phân thøc h÷u tØ VÝ dơ 5: 3n + a) Chứng minh phân số phân số tối giản ∀n∈N ; 5n + b) n2 + Cho phân số A = (nN) Có số tự nhiên n nhỏ n+ 2009 cho phân sè A cha tèi gi¶n TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ số tự nhiên Lời giải a) Đặt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2)- 5(3n + 1) d hay d ⇒ d = 3n + VËy ph©n số phân số tối giản 5n + 29 29 b) Ta cã A = n- 5+ §Ĩ A cha tối giản phân số phải cha n+ n+ tèi gi¶n Suy n + phải chia hết cho ớc dơng lớn 29 Vì 29 số nguyên tố nªn ta cã n + 29 ⇒ n + = 29k (k ∈ N) hay n = 29k - Theo điều kiện đề ≤ n = 29k - < 2009 ⇒ ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69} VËy cã 69 số tự nhiên n thỏa mÃn điều kiện đề Tổng số là: 29(1 + + … + 69) - 5.69 = 69690 VÝ dô 6: Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn 1 1 + + = a b c a+ b + c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã hai sè ®èi Tõ ®ã suy r»ng: 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lời giải ******Giáo án Bồi dỡng HSG To¸n 8****** 1 1 1 1 + + = =0 ⇔ + + a b c a+ b + c a b c a+ b + c a+ b a+ b c(a+ b + c) + ab + = ⇔ (a+ b) =0 ⇔ ab c(a+ b + c) abc(a+ b + c) éa+ b = éa =- b ê ê b + c = ⇔ êb =- c ⇒ ®pcm ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ ê ê ê êc + a = êc =- a ë ë Ta cã: 1 1 1 + + = + + = a2009 b2009 c2009 a2009 (- c)2009 c2009 a2009 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 ⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009 a b c a + b2009 + c2009 VÝ dô 7: Đơn giản biểu thức: ổ 1ử ổ 1ử ổ 1ử ữ ữ ỗ ç ç A= + + + + + ÷ ÷ ữ ữ 3ỗ 3ữ 4ỗ 2ữ 5ỗ ữ ç ç ç (a+ b) èa b ø (a+ b) ốa b ứ (a+ b) ốa bứ Lời giải Đặt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2 - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 - 3SP 1 a+ b S 1 a2 + b2 S2 - 2P + = = ; Do ®ã : + = 2 = ; a b ab P a2 b2 ab P2 1 a3 + b3 S3 - 3SP + = 3 = a3 b3 ab P3 S3 - 3SP S2 - 2P S Ta cã : A = + + S P3 S P2 S P = 2 S - 3P 3(S - 2P) (S4 - 3S2P) + (3S2P - 6P2) + 6P2 S4 + + = = S2P3 S4P2 S4P S4P3 S4P3 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dơ 8: Cho a, b, c lµ ba số phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x: (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) Lêi giải Cách 1: x2 - (a+ b)x + ab x2 - (b + c)x + bc x2 - (c + a)x + ca S(x) = + + = Ax2- Bx + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) C Từ suy : ******Giáo án Bồi dìng HSG To¸n 8****** 1 + + ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) a+ b b+ c c+ a B= + + ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) ab bc ca C= + + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) b- a+ c- b + a- c = 0; Ta cã: A = (a- b)(b- c)(c- a) víi: B= A= (a+ b)(b- a) + (b + c)(c- b) + (c + a)(a- c) b2 - a2 + c2 - a2 + a2 - c2 = = 0; (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) ab(b- a) + bc(c- b) + ca(a- c) ab(b- a) + bc[(c- a) + (a- b)] + ca(a- c) = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(bc- ab) + (c- a)(bc- ca) (a- b)(b- c)(c- a) = = = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) VËy S(x) = 1x (đpcm) Cách 2: Đặt P(x) = S(x)- đa thức P(x) đa thức có bậc không vợt Do đó, P(x) có tối ®a hai nghiÖm NhËn xÐt: P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = ∀x Suy S(x) = ∀x ⇒ ®pcm VÝ dô 9: Cho x + = Tính giá trị biểu thức sau: x 1 1 a) A = x2 + ; b) B = x3 + ; c) C = x4 + ; d) D = x5 + x x x x Lêi gi¶i æ a) A = x + = ç x+ ÷ ÷ ç ÷ - = 9- = ; ỗ ố x xứ ổ 1ử ổ ữ ỗ b) B = x + = ỗ x+ ữ x+ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ= 27- = 18 ; ỗ ỗ ố xứ x ố xứ C= ỉ2 c) C = x + = ỗ x + 2ữ ữ ỗ ữ- = 49- = 47 ; ỗ ố x x ứ ỉ2 ỉ3 1 ÷ ç x + 2÷ x + = x + + x + = D + ⇒ D = 7.18 = 123 d) A.B = ỗ ữ ữ ç ç ÷ç ÷ ç è è x ø x3 ứ x x5 Ví dụ 10: Xác định số a, b, c cho: ax + b c = + (x +1)(x - 1) x + x - Lời giải ******Giáo án Båi dìng HSG To¸n 8****** ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x2 +1) (a+ c)x2 + (b- a)x + (c- b) + = = Ta cã: x +1 x - (x2 +1)(x - 1) (x2 +1)(x - 1) Đồng phân thức với phân thức , ta đợc: (x +1)(x - 1) ìï a+ c = ìï a =- ï ï - x- 1 ïí b- a = Û ïí b =- VËy = + ïï ïï (x2 +1)(x - 1) x2 + x - ïỵï c- b = ïỵï c = Bài tập Cho phân thức P = 16 n3 + 2n2 - n3 + 2n2 + 2n +1 a) Rót gän P ; b) Chøng minh n số nguyên giá trị phân thức tìm đợc câu a) n phân số tối giản 17 a) Chứng minh phân số sau tối giản với số tù nhiªn n: 12n +1 ; 30n + n3 + 2n ; n4 + 3n2 +1 b) Chøng minh r»ng ph©n sè n7 + n2 + n8 + n + 2n + 2n2 - không tối giản với số nguyên dơng n c) Tính tổng số tự nhiên n nhỏ 100 cho phân số cha tối giản 18 a) b) c) d) e) f) TÝnh c¸c tỉng sau : 2n +1 A= + + + ; (1.2)2 (2.3)2 [n(n +1)]2 1 1 B = 1+ + + + + 2n ; 2+1 +1 +1 +1 1 1 C= + + + ; 1.4 4.7 7.10 (3n +1)(3n + 4) 1 D= + + + ; 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 1 E= + + + + ; 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n- 1)n(n +1) 1.2! 2.3! n.(n + 1)! F= + + + (k! = 1.2.3…k) 2 2n 19 (a2 + b2 + c2)(a+ b + c)2 + (bc + ca+ ab)2 Rót gän : A = (a+ b + c)2 - (ab + bc + ca) 20 (a+ 2b)3 - (a- 2b)3 3a4 + 7a2b2 + 3b4 : Rót gän : B = (2a+ b)3 - (2a- b)3 4a4 + 7a2b2 + 3b4 n2 + n +1 ******Giáo án Bồi dỡng HSG To¸n 8****** 21 Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh: x2 - yz y2 - zx z2 - xy + + y+z z+ x x+y ; a) 1+ 1+ 1+ x y z a(a+ b) a(a+ c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b) + + + a- b a- c + b- c b- a + c - a c- b b) ; 2 (b- c) (c- a) (a- b)2 1+ 1+ 1+ (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) (c- a)(c- b) c) a+ b- 2c b + c- 2a c + a- 2b + + 3 (a- b) (c- a)(c- b) (b- c) (a- b)(a- c) (c- a) (b- c)(b- a) + + + 3 3 3 a- b a + ab + b b- c b + bc + c c - a c + ca+ a2 22 a) BiÕt a – 2b = 5, hÃy tính giá trị biểu thức : 3a- 2b 3b- a P= + ; 2a+ b- b) BiÕt 2a – b = 7, h·y tính giá trị biểu thức : 5a- b 3b- 3a Q= ; 3a+ 2b- c) BiÕt 10a2- 3b2 + 5ab = vµ 9a2- b2 ≠ 0, h·y tÝnh: R= 23 2a- b 5b- a + 3a- b 3a+ b Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức sau : 1 + + a) A = ; 2 2 a +b - c b +c - a c + a2 - b2 a2 b2 c2 b) B = ; + + a - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2 1 1 + + + + A 1(2n- 1) 3(2n- 3) (2n- 3).3 (2n- 1).1 24 Rót gän biĨu thøc : = 1 B 1+ + + + 2n- a b c + + = Chøng minh r»ng b + c c + a a+ b a2 b2 c2 + + = b + c c + a a+ b 25 Cho 26 Cho a + b + c = 0, x + y + z = vµ r»ng a b c + + = Chøng minh x y z ax2 + by2 + cz2 = 27 Cho x2 - 4x + = Tính giá trị biĨu thøc A = x + 1 vµ B = x7 + x x ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** x x2 x2 = 2008 TÝnh M = 28 Cho vµ N = x - x +1 x + x2 + x - x2 +1 a1 - a2 - 29 Cho d·y sè a1, a2, a3, … cho : a2 = ; a3 = ;…; a1 +1 a2 +1 a - an = n- an- +1 a) Chøng minh r»ng a1 = a5 b) Xác định năm số đầu dÃy, biết a101 = 108 Ngày soạn: 06/03/2010 Tuần dạy: 27 Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử A Mục tiêu: - HS nắm đợc phơng pháp nâng cao phân tích đa thức thành nhân tử - Thực thành thạo dạng toán phân tích - Biết đợc mối liên hệ phơng pháp sử dụng hợp lý vào toán - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập B Phơng tiện: - GV: giáo ¸n, tµi liƯu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Nội dung giảng: I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2- 5x + 6; b) 3x 2- 8x + 4; c) x + 8x + 7; d) x 2- 13x + 36; e) x2 + 3x- 18 f) x2- 5x- 24; g) 3x2- 16x + 5; h) 8x 2+ 30x+ 7; i) 2x2- 5x- 12; k) 6x2- 7x- 20 Gi¶i: a) x2- 5x + = x2- 2x- 3x + = (x2- 2x)- (3x- 6) = x(x- 2)- 3(x- 2) = (x- 2)(x- 3) b) 3x2- 8x + = 3x2- 6x- 2x + = (3x2- 6x)- (2x- 4) = 3x(x- 2)- 2(x2) = (x- 2)(3x- 2) c) x2 + 8x + = x2 + x + 7x + = (x 2+ x) + (7x+ 7) = x(x+ 1) + 7(x+ 1) = (x+1)(x+ 7) d) x2- 13x + 36 = x2- x- 12x + 36 = (x2- 4x)- (9x- 36) = x(x- 4)- 9(x4) = (x- 4)(x- 9) e) x2 + 3x- 18 = x2- 3x + 6x- 18 = (x2- 3x) + (6x- 18) = x(x- 3)+ 6(x3) = (x- 3)(x+ 6) f) x2- 5x- 24 = x2 + 3x- 8x- 24 = (x2 + 3x)- (8x + 24) = x(x+ 3)8(x+3) = (x + 3)(x- 8) g) 3x2- 16x + = 3x2- 15x- x + = (3x 2- 15x)- (x- 5) = 3x(x- 5)- (x5) = (x- 5)(3x- 1) h) 8x2+ 30x+ = 8x2 + 28x + 2x + = (8x2 + 28x) + (2x + 7) ******Gi¸o ¸n Båi dỡng HSG Toán 8****** Ngày soạn: 27/03/2010 Tuần dạy: 30 Chuyên đề V: Tớnh chia ht vi s nguyờn A Mơc tiªu: Sau học xong chuyªn đề học sinh cã khả năng: 1.Biết vận dụng tÝnh chất chia hÕt cđa sè nguyªn dể chứng minh quan hƯ chia hÕt, tìm số d tìm điều kiện chia hết Hiu cỏc bc phân tích toán, tìm hng chng minh Có kĩ vận dụng c¸c kiến thức c trang b gii toán B Phơng tiện: - GV: giáo án, tài liệu Casio - HS: Máy tính Casio C Nội dung giảng: Kin thc cn nhớ Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biĨu thøc phơ thc vµo n (n ∈ N n Z) a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m + Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số ®ã + Trong k sè liªn tiÕp bao giê cịng tồn số bội k b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n * VÝ dô1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n (n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cđa số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: - Tồn bội số (nên A M5 ) - Tồn bội (nên A M7 ) - Tồn hai bội (nên A M9 ) - Tồn bội có bội (nên A M16) Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi mét nguyªn tè cïng ⇒ AM 5.7.9.16= 5040 VÝ dơ 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a : a/ a3 a chia hết cho ******Giáo ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** b/ a5-a chia hÕt cho Giải: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) ã Cách 1: Ta xÕt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia a cho - NÕu a= k (k ∈ Z) th× A M (1) - NÕu a= 5k ± th× a -1 = (5k2 ± 1) -1 = 25k2 ± 10k M ⇒A (2) M - NÕu a= 5k ± th× a2+1 = (5k ± 2)2 + = 25 k2 ± 20k +5 ⇒ AM (3) Tõ (1),(2),(3) ⇒ A M 5, n Z Cách 2: Phân tích A thành tổng hai số hạng chia hết cho 5: + Một số hạng tích số nguyên liên tiếp + Một số hạng chứa thõa sè Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a24) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M (tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1) M 5 Do ®ã a -a M * Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a 5-a tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a M 5 ⇒ a -a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M ⇒ a5-a M Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M 5(TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét hiƯu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hết luỹ thừa ta sử dụng đẳng thức: an bn = (a b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1) (HĐT 9) - Sử dụng tam giác Paxcan: 1 1 1 3 1 Mỗi dòng bắt đầu kết thúc ******Giáo án Bồi dỡng HSG Toán 8****** Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền Do ®ã: Víi ∀ a, b ∈ Z, n ∈ N: an – bn chia hÕt cho a – b( a ≠ b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a ≠ -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16 n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n số chẵn Giải: + Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì: A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 16 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 – = 255 M 17 VËy A M 17 n - Nếu n lẻ : A = 16 – = 16n + – mµ n lẻ 16 n + 16+1=17 (HĐT 9) M A không chia hết cho 17 +Cách 2: A = 16n – = ( 17 – 1) n – = BS17 +(-1)n – (theo c«ng thức Niu Tơn) - Nếu n chẵn A = BS17 + – = BS17 chia hÕt cho 17 - Nếu n lẻ A = BS17 – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – chia hÕt cho 17 n số chẵn, n N d/ Ngoài dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết ã VD 4: CMR tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004.2004 Giải: Xét 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……………………… a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyên lý Dirichle, tồn hai số có cïng sè d chia cho 2003 Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( ≤ n