Thông tin tài liệu
Giáo án BDHSG toán BUỔI : HẰNG ĐẲNG THỨC A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao kiến thức phép nhân đa thức – đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải toán phép nhân đa thức – đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trình học nâng cao mơn tốn B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại nội dung học: Nhân đa thøc víi ®a thøc: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Những đẳng thức đáng nhớ: Bình phơng tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phơng hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phơng: A2 B2 = (A + B)(A B) (3) II Bài tập áp dụng: Hoạt động GV Hoạt động HS Bài 1: Rút gọn biểu thức HS ghi đề, thực hiÖn theo nhãm a) (x + 1) (x + 2x + 4) HS cïng GV thùc hiƯn lêi gi¶i Thùc hiƯn phÐp nh©n råi rót gän a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x + = x3 + 3x2 + 6x + b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bµi 2: T×m x biÕt: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 HS ghi đề giải theo nhóm phút áp dụng H.đẳng thức để giải áp dụng H.đẳng thức (1), (2), (3) Biến đổi, rút gọn vế trái 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 � 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + – 7(x2 – 9) = 172 � … � 8x = 96 � x = 12 Bµi 3: Cho x + y = a; xy = b tính giá trị biểu HS ghi đề bài, tiến hành giải thức sau theo a vµ b: Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x2 + y2; x4 + y4 x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 Bµi 4: chøng minh r»ng a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 y4 HS ghi đề, tiến hành giải cïng víi GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3- y4 = x4 – y4 = VP (®pcm) Giáo án BDHSG tốn b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy điều gì? c) Nếu: x + y + z = vµ xy + yz + zx = th× x = y = z Tõ : x + y + z = � (x + y + z)2 =? Tõ ®o ta cã ®iỊu g×? d) cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = c/m: a4 + b4 + c4 = HD cách giải tơng tự Bài 5: So sánh: a) A = 1997 1999 vµ B = 19982 b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 � a2 - 2ab + b2 = � (a – b)2 = � a – b = � a = b (®pcm) c) Tõ : x + y + z = � (x + y + z)2 = � x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = � x2 + y2 + z2 = ( v× xy + yz + zx = 0) � x=y=z d) Tõ a + b + c = � (a + b + c )2 = � a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = � ab + bc + ca = -1 (1) Ta l¹i cã: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = (2) Tõ (1) � (ab + bc + ca)2 = � a2b2 + b2c2 + c2a2 = (3) Tõ (2) vµ (3) suy a4 + b4 + c4 = a) A = 1997 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – < 19982 � A < B b) V× = b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 3128 - TÝnh theo 32 – 1? Khi ®ã A = ? áp dụng đẳng thức liên tiếp để so sánh A B 32 nên A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 32 = (3 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (3 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) = (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 64 1 = (3 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B 2 VËy: A < B Bµi 6: a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100…05( cã n – ch÷ sè 0) Cmr: ab + số phơng Ta có: b = 10n + = 9….9 + = 9(1…1) + = 9a + � ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 số phơng b) Cho Un = 111555 (có n chữ số n chữ sè 5) Ta viÕt: Un = n sè n sè + n sè n sè n sè Giáo án BDHSG toán Cmr: Un + số phơng = = 111.10n + 111 Đặt: a = 111 9a + = 10n Do ®ã : Un + = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III Bài tập nhà: Bài 1: cho x + y = Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + Bài 2: Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bài 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) Cmr: a = b = c Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu n tổng hai số phương 2n n2 củng tổng hai số phương Bài 5: So sánh: x y x2 y2 A= với B = (Víi < y < x ) x y x y2 Giáo án BDHSG toán BUỔI : HẰNG ĐẲNG THỨC ( Tiếp) A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao kiến thức đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải toán đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trình học nâng cao mơn tốn B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại nội dung học: Những đẳng thức đáng nhớ: Bình phương tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) Lập phương tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4) Lập phương hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5) Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ) (6) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) (7) Bình phơng tổng ba h¹ng tư: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II Bài tập áp dụng: Hoạt động GV Hoạt ®éng cđa HS Bµi 1: Rót gän biĨu thøc: a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) HS ghi đề, tiến hành giải Cho HS ghi đề, tiến hành giải 1HS lên giải Ta thực phép tính nh nào? a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) = = 5x - HS thùc hiện, 1HS lên giải 2 b) (x - 2)(x - 2x + 4)(x + 2)(x + 2x + 4) b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) Ta nªn thùc hiƯn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 Bài 2: Tìm x biÕt (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = Để tìm x ta làm nào? HS ghi đề, tiến hành giải Thực phép tính, rút gọn vế trái 1HS lên bảng giải (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = � x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = � x3 - 27 - x(x2 - 4) = � x3 - 27 - x3 + 4x = � 4x = 28 � x = Bµi 3: Viết biểu thức sau dới dạng tổng ba bình ph¬ng: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 HS ghi đề, tìm cách giải Đại diện HS lên trình bày( Nếu không giải đợc th× theo Hd cđa GV) Giáo án BDHSG tốn Cho HS suy nghĩ, tìm cách giải Nếu HS cha giải đợc gợi ý: HÃy triển khai, tách tổng thành ba tổng có dạng: A2 + 2AB + B2 Bài 4: Tính giá trị Bt biết gi¸ tri Bt kh¸c a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 Tính giá trị Bt A = x3 + y3 Cho HS gi¶i ViÕt A thành tích Để tính giá trị A ta cần tính xy Tính xy nh nào? Từ : x + y = 2; x2 + y2 = 10 HÃy tìm cách tính xy b) Cho a + b + c = ; a2 + b2 + c2 = Tính giá trị Bt: B = a4 + b4 + c4 ? §Ĩ cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo? A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS gi¶i A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghĩ, tìm cách tính xy Từ x + y = � x2 + y2 + 2xy = � xy = - (2) Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề Bình phơng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = � a4 + b4 + c4 = - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) Nhiệm vụ làm gì? Tính: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) §Ĩ cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải làm gì? ta phải bình phơng Bt: (ab + bc + ca) Ta bình phơng Bt: a + b + c = 0, ta cã: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 1 Khi ®ã ab + bc + ca = ? � ab + bc + ca = � (ab + bc + ca)2 = � a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? � a2b2 + b2c2 + c2a2 = Từ đây, làm để tính giá trị Bt B Thay (2) vào (1) ta cã: Bµi 5: { ; b = 1 { vµ c = 6 { Cho a = 1 2n n 1 n Chøng minh r»ng: A = a + b + c + lµ mét số phơng Để chứng minh tổng số phơng, ta cần c/m gì? A=a+b+c+8=? B = - (2) 1 =1- = 2 HS ghi đề, tìm cách giải Để chứng minh tổng số phơng, ta cần c/m bình phơng mét sè { + 1 { + 6 { +8 A = 1 2n n 1 n Giáo án BDHSG toán 9 Ta cã: 11 ViÕt thµnh luü { (11 1) { n n thõa 10? 1 { { )+8 ( {2n ) + (1 ) + 6( 1 n n 9 102n 10n 1 10n = + + +8 9 102n 10n 1 10 n 64 102n 16.10n 64 = = 9 = 2 � � 10n � � 100 08 � � 33 36 =� � � � � � � � � � � n 1 Bài 6: Tồn hay không số x, y, z thoà mÃn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = HÃy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng tổng bình phơng? Có nhận xét hai vế đẳng thức? x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = � (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ = � (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + = Rõ ràng, vế trái đẳng thức số dơng với x, y, z; vế phải Vậy không tồn số x, y, z thoà mÃn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = Ta cã kÕt luËn g×? Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 có giá trị nhỏ x = ; y = vµ z =4 Bài tập nhà Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bài 2: a) Cho x - y = Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 Tính x3 + y3 theo a b Bài 3: Chứng minh Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = abc Giáo án BDHSG toán BUỔI : ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG A MỤC TIÊU: - Củng cố nâng cao kiến thức hình thang, đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang - Tiếp tục rèn luyện kỷ chứng minh hình học cho HS - tạo niềm tin hứng thú cho HS học nâng cao B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại số kiến thức học: Đường trung bình tam giác A * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác E gọi đường trung bình tam giác F - E trung điểm AB, F trung điểm AC thi EF đường trung bình ABC B C - Nếu E trung điểm AB EF // BC F trung điểm AC - EF đường trung bình ABC EF // BC EF = BC Đường trung bình hình thang: * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang gọi đường trung bình hình thang + Hình thang ABCD (AB // CD) có M trung điểm AD, N trung điểm BC MN đường trung bình hình thang ABCD + Nếu MA = MD, MN // CD // AB NB = NC + MN đường trung bình hình thang ABCD MN // AB // CD MN = (AB + CD) II Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho ABC cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB AC a) Tứ giác BCMN hình gì? sao? b) Tính chu vi tứ giác BCNM theo a HS ghi đề Viết GT, KL, vẽ hình Giáo án BDHSG tốn Cho HS tìm lời giải phút Dự đoán dạng tứ giác BCNM? Để c/m tứ giác BCNM hình thang cân ta cần c/m gì? Vì MN // BC �=C �? Vì B Từ ta có KL gì? HS suy nghĩ, tìm lời giải HS dự đoán c/m: MN // BC vµ A M �=C � B Tõ GT � MN đờng trung bình ABC N B C BC (2) �=C � 600 (3) ABC nên B MN // BC (1) vµ MN = Chu vi hình thang cân BCNM tính nào? Hãy tính cạnh BM, NC theo a BC = ? sao? Tõ (1) vµ (3) suy tứ giác BCNM hình thang cân Chu vi hình thang cân BCNM PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) 1 AB = BC = a 2 1 BC = a, MN = BC = a 2 BM = NC = Vậy: chu vi hình thang cân BCNM tinh theo a bao nhiêu? VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC Bài 2: Cho ABC có ba góc nhọn; AB > AC Gọi M, N, P trung điểm AB, AC, BC Vẽ đường cao AH a) C/m: MP = NH b) Giả sử: MH PN C/m: MN + PH = AH VÏ h×nh Để C/m MP = NH ta cần C/m gì? MP = Từ GT suy MP có tính chất gì? Ta cần C/m gì? Gọi I = MN �AH ta có điều gì? Vì =a+ 1 a+ a+ a= a 2 2 A M B N P H C Tø gi¸c MPHN hình thang cân C/m: MP NH đoạn MP đờng Tb ABC nên MP // AC AC Ta cÇn C/m NH = AC M trung điểm AB MI // BH ( MN đờng trung bình ABC) nên I trung điểm AH AI MN (Do AH BC ) Giáo án BDHSG toán sao? Hồn thành lời giải? Khi MH PN MH AB? Vì sao? AMH tam giác gì? sao? ABH tam giác gì? sao? Từ suy điều gì? Bài 3: Cho ABC Gọi I giao điểm tia phân giác kẻ IM AB; IN BC IK AC Qua A vẽ đường thẳng a // MN; đường thẳng b // NK A cắt NK E, b cắt NM D, ED cắt AC, AB P, Q Cmr: PQ // BC � ANH cân N NH = NA = AC VËy: MP = NH HS hoµn thµnh lời giải câu a Khi MH PN MH AB NP // AB AMH tam giác vuông cân M có AMH 900 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa � đờng cao MAH = AHM 450 � � ABH cã AHB 900 mµ AHM 450 nªn � HBM 450 � ABH vuông cân H Suy BH = AH Mà BH = BP + PH = MN + PH VËy: MN + PH = AH HS ghi đề, Vẽ hình, A D Q P M I L B N E K C H Y MNHA hình gì? Vì AMI = AKI (C huyÒn – g nhän) � AM = AK (1) BMI = BNI (C huyÒn – g nhän) � BM = BN (2) CNI = CKI (C huyÒn – g nhän) CN = CK (3) Y MNHA hình thang cân( có: = NHA MN//AH, MAH ) = BMN = BNM Ta suy điều gì? Y KNLA hình gì? Vì sao? Từ ta có điều gì? Ta KL Mqh ND, NE ALH DE có tính chất gì? EA = EH (7) vµ DA = DL (8) Từ (7) (8) suy ra: DE đờng trung b×nh cđa ALH � DE // LH � PQ // BC Gọi giao điểm BC AD L, BC AE H Để c/m: AM = AK ta c/m gì?, Tương tự c/m: BN = BM, CN = CK � NH = AM (4) Y KNLA hình thang cân NL = AK (5) Tõ (1), (4), (5) � NL = NH (6) NE, ND đờng trung bình ALH nên: HS vẽ hình Bi 4: Giỏo ỏn BDHSG tốn Cho ABC có AB = c, BC = a, AC = b Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác góc B góc C D E Từ A vẽ AP BD; AQ CE PQ cắt BE, CD M N Tính MN, PQ theo a, b, c E A D 1 M Q P N 2 C B PQ cã tÝnh chÊt g×? Suy tÝnh chÊt cđa MN Dự đoán: MN đờng trung bình hình thang BCDE Từ gt BCDE hình thang cã DE // BC � =B � mµ B � =D � (so le – BC // B 2 � � DE) � B1 = D1 BAD cân A mà AP BD � PB = PD; AB = AD = c Tơng tự CAE cân A Và AQ CE � QC = QE vµ AC = AE = b PQ đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo hình thang BCDE nên PQ // AB MN đờng trung bình hình thang BCDE nên: H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c MN = Dự đốn xem MN có tính chất gì? Hãy C/m BCDE hình thang Dự đốn c/m dạng ca BAD Từ ta có điều gì? BC + DE BC + AE + AD a + b + c = 2 BC + DE PQ = MN–(MQ + NP) = - BC AD + AE - BC b+c-a = 2 III Bµi tËp vỊ nhµ: Bµi 1: � = 900); AB = CD = AB Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD, A kỴ CH AB, Gäi giao điểm AC DH E, giao điểm BD CH F a) Tứ giác ADCH hình gì? b) C/m : AC BC c) EF = 1 DC = AB Bµi 2: Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai ®êng chÐo cđa h×nh thang th× song song víi hai đáy nửa hiệu hai đáy 10 ... 1)(x + 2) b) Đặt y = x2 + 8x + th× x2 + 8x + 15 = y + ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y2 + 8y +16 – = (y + 4)2 Yc HS... b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x - 18) 2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x - 18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x - 18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) ... vµ (3) suy a4 + b4 + c4 = a) A = 1997 1999 = (19 98 – 1)(19 98 + 1) = 19 982 – < 19 982 � A < B b) V× = b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 31 28 - TÝnh theo 32 – 1? Khi A = ? áp dụng đẳng thức
Ngày đăng: 09/09/2020, 10:49
Xem thêm:
