GA bồi dưỡng HSG toán 8

Ngày soạn 15/01/2011 Ngày dạy: / /2011 Chuyên đề 1: MỘT SỐ BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG TỨ GIÁC Bài 1 : Cho tứ giác ABCD biết: µ µ µ µ : : : 1: 2:3: 4A B C D = . Tính các góc trong của tứ giác ? HD : + Loại bài không phải vẽ hình. + Từ µ µ µ µ : : : 1: 2:3: 4A B C D = cần hiểu là các góc A, B, C và D theo thứ tự Tỉ lệ thuận với các số 1, 2 , 3 và 4 . Từ đó viết thành µ µ µ µ 1 2 3 4 A B C D = = = + Dựa vào t/c dãy tỉ số bằng nhau và tổng các góc trong của một tứ giác để biến đổi như sau : µ µ µ µ 1 2 3 4 A B C D = = = = ( µ A + µ B + µ C + µ D ) : ( 1 + 2 + 3 + 4 ) = 360 0 : 10 = 36 0 + Tính được số đo của mỗi góc trong của tứ giác ABCD. Bài 2 : Trong hình vẽ sau có AM = MB, AN = NC, KB=KM và IC = IN. Hãy tính x ? HD : + Nêu các yếu tố để khẳng định MN Là đường TB của tam giác ABC, từ đó tính được dộ dài MN = 6cm + Nêu đủ các yếu tố để khẳng định tứ Giác BMNC là hình thang và KI là đường trung bình của hình thang này. Từ đó tính được KI = 9cm. A M N K x I B 12cm C Bài 3 : Trong hình vẽ dưới đây, ABCD là hình thang cân, cạnh bên AB = 2cm, đáy AD = 12cm ; µ A = 45 0 . Hãy tính độ dài x ? A I D x M N B C HD : + Kẻ BI // CD với I ∈ CD ta có · AIB = µ D ( đồng vị ). Vì µ D = µ A = 45 0 nên · AIB = µ A = 45 0 1 + ∆ABI có · AIB = µ A = 45 0 nên vuông cân tại B. Dùng định lý Pitago ta tính được độ dài AI. + Biết độ dài AI và AD ta tính được độ dài ID. + Nêu các yếu tố để khẳng định tứ giác BIDC là hình bình hành để có ID = BC + Nêu các yếu tố để khẳng định MN là đường TB của hình thang ABCD từ đó tính được độ dài Đoạn MN hay độ dài x A B Bài 4 : Tính x và y trong hình vẽ sau 55 0 x 2y 85 0 C y D HD : + Dựa vào t/c của cặp góc kề bù nhau để tính x + Dựa vào định lý tổng các góc trong một tứ giác để tính được y ĐS : x = 125 0 và y = 50 0 Bài 5 : Cho ∆ABC cân tại A, gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC. Từ M vẽ ME // AB ( E ∈ AC ) và vẽ MD // AC ( D ∈ AB ). Chứng minh : a) Tứ giác ADME là hình bình hành. b) ∆MEC cân. c) MD + ME = AC. d) Xác định vị trí điểm M trên BC để tứ giác ADME là hình thoi. HD : + Hình vẽ A E D D B M C a) Tứ giác ADME có các cạnh đối song song nên là hình bình hành b) ME // AB nên · EMC = µ B ( đồng vị ) mà µ B = µ C ( gt ) nên · EMC = µ C . Vậy ∆EMC cân tại E. c) Có AE = DM ( cạnh đối của hình bình hành ) và ME = EC (∆EMC cân tại E ) nên DM + ME = AE + EC d) Để hình bình hành ADME là hình thoi thì cần có thêm MD = ME. Nếu M là trung điểm của BC thì MD = ME = 2 2 AC AB = . Vậy khi M là trung điểm của BC thì ADME là hình thoi. 2 Bài 6 : Cho tam giác ABC. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC. a. Tứ giác PQCB là hình gì? Chứng minh? b. Trên tia đối của tia QP lấy điểm K sao cho PQ = QK. Hỏi tứ giác CKAP là hình gì ? Chứng minh? c. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác CKAP là hình chữ nhật ? Là hình thoi ? Là hình vuông? HD : + Hình vẽ : A Q P K B C a) Nêu các yếu tố để khẳng định PQ là đường TB của tam giác ABC từ đó có PQ // BC. Vậy PQCB là hình thang. b) Tứ giác CKAP có hai đường chéo AC và PK cắt nhau tại trung điểm Q của mỗi đường nên là hình bình hành. c) + Hình bình hành CKAP là hình chữ nhật nếu có thêm AC = PK. Cần chứng tỏ được PK = BC, từ đó có AC = BC hay tam giác ABC cân tại C thì CKAP là hình chữ nhật . + Hình bình hành CKAP là hình thoi nếu có thêm AC ⊥ PK mà PK // BC nên AC ⊥ BC. Vậy khi tam giác ABC vuông tại C thì CKAP là hình thoi . d) Tam giác ABC vuông cân tại C thì hình bình hành CKAP là hình vuông. Hãy tự c/m ! Quảng lạc, ngày tháng 2 năm 2011 Ký duyệt của BGH Trịnh Phong Quang Ngày soạn 26 /01/2011 Ngày dạy: / /2011 Chuyên đề 2: TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN I/ Lý thuyết: A/ Định nghĩa: Cho a,b € Z ( b ≠ O): Ta nói rằng a chia hết cho b kí hiệu a  b khi và chỉ khi tồn tại một số k ( k ∈ Z )sao cho a =bk a  b ⇔ a = bk Ta còn nói a là bội của b hay b là ước của a B/Tính chất của quan hệ chia hêt : 3 1/phản xạ: ∀ a ∈ N và a ≠ o thì a  a 2/ Phản xứng : ∀ a ∈ N và a ≠ O thì a  a 3/ Bắc cầu : Nếu a  b và b  a thì a =b C/ Một số định lý 1/ a  m ⇒ ka  m 2/ a  m và b  m ⇒ ( a ± b )  m 3/ (a ± b)  m và a  m ⇒ b  m 4/ a  m và b  n ⇒ ab  m n 5/ a  m ⇒ a n  m n n ∈ N , n ≠ o 6/ a n  m n ⇒ a  m 7/ a n  m ; m là số nguyên tố ⇒ a  m ( n ∈ N ; n ≠ o) 8/ a  m ⇒ a n  m ; n ∈ N , n ≠ o 9/ ab  m và (a, m)=1 ⇒ b  m 10/ ab  m và m ∈ P ⇒ a  m hoặc b  m 11/ a  m và a  n và ( m,n ) =1 ⇒ a  m.n 12/ a  m , a  n , a  r và ( m,n)=1, (n,r)= 1,(m,r) =1 ⇒ a  m.n.r 13/ Tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho tích .2.3 n D/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh : a/ n 4 - n 2  12 ∀ n ∈ N b/ n (n + 2 ).( 25n 2 + 1)  24 ∀ n ∈ N GIẢI a/ n 4 - n 2 = ( n – 1).n.n(n+1) Nhận xét : 12 = 3.4 và (3,4) =1 -Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2 ( n- 1).n  2 n(n+ 1)  2 ⇒ n 4 - n 2  4 ( 1 ) Trong tích 3 số tự nhiên liên tiếp có một số là bội của 3 ( n – 1).n.(n + 1)  3 (2 ) Từ (1) và (2) suy ra n 4 - n 2  12 ∀ n ∈ N b/ n.(n+2).[(n 2 -1)+ 24n 2 ] = n.(n+2).(n 2 -1) +24n 2 .n.(n+2) Ta có 24n 2 .n.(n+2)  24 ∀ n ∈ N Ta cần chứng minh A= n.(n+2).(n 2 -1)  24 ∀ n ∈ N A= (n-1).n.(n+1).(n+2) Ta có A  3 ∀ n ∈ N -Trong tích 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 số là bội của 2 ,một số là bội của 4 -Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 -Mà (3,8)= 1 nên A  24 -Do đó n.(n+2).(25n 2 -1)  24 ∀ n ∈ N -Nhận xét : Gọi A ( ) n là biểu thức phụ thuộc vào n ( n ∈ N hoặc n ∈ Z ). _ Để chứng minh một biểu thức A ( ) n chia hết cho một số m ta thường phân tích biểu thức biểu thức 4 A ( ) n thành nhân tử trong đó có một thừa số m.N m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A ( ) n chia hết cho tất cả các số đó .Nên lưu ý định lý trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội sốcủa k. -Bài tập áp dụng ví dụ 1: Chứng minh : 1/ n 3 - 13n  6 2/ n 3 (n 2 - 7) 2 - 36  5040 ∀ n ∈ N* 3/n 4 -4n 3 - 4n 2 + 16n  384 với mọi n chẳn và n ≥ 4 4/ n 3 +3n 2 + 2n  6 5/ ( n 2 +n -1 ) 2 -1  2 4 6/ n 3 +6n 2 +8n  48 với mọi n chẳn 7/ n 4 -10n 2 + 9  384 với mọi n lẻ 8/ n 6 + n 4 - 2n 2  72 ∀ n ∈ Z 9/ n 4 +6n 3 +11n 2 +6n  24 ∀ n ∈ N Ví dụ 2: Chứng minh a 5 - a  5 ∀ a ∈ Z Cách 1: A = a 5 - a = a.(a 2 -1).(a 2 +1) - Nếu a= 5k ( k ∈ Z) thì a 5 - a  5 - Nếu a = 5k ± 1 thì a 2 - 1  5 - Nếu a = 5k ± 2 thì a 2 +1  5 Trong trường hợp nào cũng có một thừa số chia hết cho 5 Nhận xét : Khi chứng minh A(n)  m ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m Cách 2: a 5 -a =a(a 2 -1).(a 2 +1) =a.(a 2 -1).(a 2 -4+5) =a.(a-1).(a+1).(a-2).(a+2) +5a.(a 2 -1) Vậy A chia hết cho 5 Bài tập ví dụ 2: Chứnh minh : 1/ a 7 -a  7 2/ Cho n  2 và (n,6) =1 chứng minh n 2 -1  24 3/ Cho n lẻ và ( n ,3) =1 chứnh minh : n 4 -1  48 4/ Cho n lẻ và ( n ,5) =1 chứnh minh : n 4 -1  80 5/ Cho a,b là số tự nhiên a  b chớng minh a/ A= a.b ( a 4 - b 4 )  30 b/ A= a 2 .b 2 ( a 4 - b 4 )  60 6/Cho n chẳn chứng tỏ 2 số n 2 - 4n và n 2 + 4n đều chia hết cho 16 7/ Chứng tỏ : n 5 - n  30 ∀ n ∈ N và : n 5 - n  240 ∀ n lẻ 8/ Chứng minh : a/ n 8 - n 4  240 ∀ n ∈ N b/ n 5 - n 3 +4n  120 ∀ n ∈ N Quảng lạc, ngày tháng 2 năm 2011 Ký duyệt của BGH Trịnh Phong Quang 5 Ngày soạn 10 / 2 /2011 Ngày dạy: / /2011 Chuyên đề 3 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1/ Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử. 2/Tách các hạng tử . 3/ Thêm bớt một hạng tử . 4/ Phương pháp hệ số bất định 5/ Phương pháp đổi biến . 6/ Phương pháp xét giá trị riêng 7/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x 4 + x 3 + 2x 2 + x +1 Giải x 4 + x 3 + 2x 2 + x +1 = ( x 4 + 2x 2 + 1 ) + (x 3 + x ) = ( x 2 +1) 2 + x( x 2 +1) = ( x 2 +1) ( x 2 + x +1) b/ x 3 + 2x 2 y + xy 2 - 9x = x( x 2 + 2x y + y 2 - 9 ) = x( x+ y -3)( x+ y +3) c/ a 3 + b 3 +c 3 - 3abc = (a+b ) 3 - 3a 2 b – 3ab 2 + c 3 - 3abc = [ (a+b ) 3 + c 3 ] -3ab(a+b+c) =(a+b+c)[( a+b) 2 - c(a+b) + c 2 - 3ab] d/ (a+b+c) 3 - a 3 - b 3 -c 3 = [ (a+b)+c] 3 - a 3 - b 3 -c 3 = (a+b) 3 + c 3 +3c(a+b)(a+b+c) - a 3 - b 3 -c 3 =a 3 + b 3 + 3ab(a+b)+ c 3 +3c(a+b)(a+b+c) - a 3 - b 3 -c 3 = 3(a+b)(ab+ac+bc+c 2 ) = 3(a+b)(b+c)(c+a) e/ x 2 (y-z)+y 2 (z-x)+z 2 (x-y) = x 2 (y-z)+y 2 z-xy 2 +xz 2 - yz 2 =x 2 (y-z)+yz(y-z)-x(y 2 - z 2 ) =(y-z)(x 2 +yz-xy-xz) =(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z) II/Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên) Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,không có dạng hằng đẳng thức,cũng không nhóm được hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử hơn để nhóm các hạng tử. Ví dụ : 3x 2 -8x+4 = 3x 2 -6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2) Hay tách 4x 2 -8x+4 - x 2 = (2x-2) 2 - x 2 = Chú ý: Trong cách 1 ta tách hạng tử -8x thành 2 hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất hiện nhân tử chung x-2 Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc 2 thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b 1 x +b 2 x sao cho b 1 .b 2 =a.c. Trong thực hành ta thực hiện như sau: 1/ Tìm tích a.c 2/phân tích a’c ra thừa số nguyên bằng mọi cách. 3/ Chọn hai thừa số có tổng bằng b. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x 2 -4x-3 Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x . 6 Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. Ví dụ : Phân tích đa thức : x 3 - x 2 -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đó đa thức có chứa nhân tử x – 2 vậy ta tách đa thức trên thành : x 3 - x 2 -4 = x 3 -2 x 2 + x 2 -4 = x 2 (x-2) +(x-2)(x+2) = Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta chú ý 2 định lí sau : 1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức cố chứa nhân tử x -1 . Ví dụ : Phân tích đa thức x 3 - 5x 2 +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – 1 vậy ta tách như sau: x 3 - x 2 - 4 x 2 +8x -4 = x 2 (x-1) – 4(x-1) `2 2/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x +1. Ví dụ: Phân tích đa thức x 3 - 5x 2 + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau : x 3 - 5x 2 +3x + 9 = x 3 + x 2 - 6x 2 + 3x + 9 = x 3 + x 2 - 6x 2 - 6 + 3x + 3 =x 2 (x+1) - 6(x-1)(x+1)+3(x+1) = Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ người ta chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải có dạng q p trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất . Ví dụ : Phân tích đa thức 3x 3 - 7x 2 +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm của đa thức ,xét các số ± 3 1 , ± 3 5 ta có 3 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử như sau : 3x 3 - 7x 2 +17x -5 = 3x 3 - x 2 -6 x 2 +2x + 15x-5 =x 2 (3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)=. 3/ Phương pháp thêm bớt một hạng tử: a/Thêm bớt một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương Ví dụ : Phân tích da thức 4x 4 +81 ta thêm bớt 36x 2 ta có 4x 4 +81 = 4x 4 +36x 2 +81 -36x 2 = (2x 2 +9) 2 – (6x) 2 = Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử. b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ : Phân tích đa thức x `5 +x -1 ta thêm bớt x 4 ,x 3 ,x 2 như sau: x `5 +x -1 = x `5 +x 4 +x 3 +x 2 -x 4 -x 3 -x 2 +x -1 = (x `5 -x 4 +x 3 )+(x 4 -x 3 +x 2 ) –(x 2 -x +1 ) = Chú ý : Các đa thức có dạng x 13 +m + x 23 +n +1 đều chứa nhân tử x 2 +x +1 Ví duj: x 7 + x `5 +1; : x 7 +x 2 +1 ; x+ x `5 +1; x+ x 8 +1 III/ Phương pháp hệ số bất định. Nếu đa thức f(x) không có nghiệm nguyên ,cũng không có nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp hệ số bất định. Ví dụ: Phân tích đa thức x 4 -6x 3 +12x 2 -14x +3. Nếu đa thức này phân tích thành nhân tử thì có dạng (x 2 +ax +b )(x 2 + cx +d ) phép nhân này cho ta kết quả x 4 +(a+c)x 3 +(ac+b+d)x 2 +(ad+bc)x + bd đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta điều kiện a + c = -6 ac + b + d = 12 7 ad + bc = -14 bd = 3 Xét bd =3 với bd ∈ Z ⇒ b ∈ { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành a +c = -6 ac = 8 a+ 3c = -14 ⇒ 2c = -14 – (-6) ⇒ c = -4 ⇒ a= -2 vậy đa thức trên được phân tích thành (x 2 -2x +3 )(x 2 -4x + 1 ) IV/ Phương pháp đổi biến số Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x 2 +10x)(x 2 +10x + 24 ) đặt x 2 +10x + 12 =y ⇒ (y-12)(y+12) +128 = y 2 -16 = (y-4)(y+4) = V/ Phương pháp giá trị riêng. Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử. Ví dụ: Phân tích đa thức P = x 2 (y-z)+ y 2 (z-x) + z 2 (x-y) Giả sử ta thay x =y P= y 2 (y-z)+ y 2 (z-x) = 0 Tương tự ta thay y bởi z ; zbởi x thì P không đổi ( P = 0 ) vậy P chia hết cho x-y cũng chia hết cho y-z và cũng chia hết cho z – x vậy P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x) Ta thấy k là hằng số vì đẳng thức P = x 2 (y-z)+ y 2 (z-x) + z 2 (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi mọi x,y,z nên ta gán cho x,y,z các giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta được 4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2) ⇒ k = -1 vậy P = -(x –y)(y-z)(z-x) Chú ý : Khi chọn giá trị riêng của x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi một khác nhau sao cho( x –y)(y-z)(z-x) ≠ 0 VI/ Bài tập áp dụng chuyên đề 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2.1/ a/ x 2 -2x -4y 2 -4y b/ a(a 2 +c 2 + bc )+b(c 2 +a 2 + ac ) +c(a 2 +b 2 + ab ) c/ 6x 2 -11x +3 d/ 2x 2 +3x -27 e/x 3 +5x 2 +8x +4 f/ x 3 -7x +6 g/2x 3 -x 2 +5x +3. h/ x 3 -7x 2 -3. 2.2/ a/ (x 2 +x )- 2(x 2 +x ) -15 b/ / x 2 +2xy+y 2 -x-y -12 c/ (x 2 +x +1)(x 2 +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24 e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a 4 f/ (x 2 + y 2 + z 2 )(x+y+z) 2 +(xy+yz+xz) 2 2.3 / Dùng phương pháp hê sô bất định: Subject: a/ 4x 4 +4x 3 +5x 2 +2x +1 b/x 4 -7x 3 +14x 2 -7x +1 c/ (x+1) 4 +(x 2 +x +1) e/x 4 x 3 -x +63 2.4 Dùng phương pháp xét giá trị riêng M= a(a+b-c) 2 +b(c+a-c) 2 +c(b+c-a) 2 + (a+b-c)(c+a-c)(b+c-a) Quảng lạc, ngày tháng năm 2011 Ký duyệt của BGH Trịnh Phong Quang 8 Ngày soạn: 15/ 2 /2011 Ngày dạy: / /2011 CHUYÊN ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Các bài toán cực tri có dạng chung như sau:Trong các hình có chung một tính chất, tìm những hình sao cho một đại lượng nào đó (nhơ độ dài đoạn thẳng ,số đo diện tích ,số đo góc )có giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất I/Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: 1/Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Quan hệ này được dùng dưới dạng: - Trong tam giác vuông (xó thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AB ≥ AH xảy ra dấu bằng khi chỉ khi B trùng H - Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến các điểm thuộc một đoạn thẳng đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. - Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đoạn thẳng song song đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất. 2/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu: - Trong hai đương xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng dến đường thẳng đó đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. 3/Bất đẳng thức trong tam giác: Với ba điểm A, B, C ta có AC+CB ≥ AB; AC+CB =AB ⇔ C thuốc đoạn thẳng AB. Để xử dụng bất đẳng thức trong tam giác đôi khi phải thay đổi phía của một đoạn thẳng đối với một đường thẳng . 4/ Các bất đẳng thức đại số : Các bất đẳng thức được xử dụng là: - Bất đẳng thức về luỹ thừa bậc chẳn: X 2 ≥ 0 X 2 ≤ 0 - Bất đẳng thức CÔSI (x+y) 2 ≥ 4xy hay x+y ≥ 2 xy với x,y không âm , xãy ra dấu = khi x=y. Chú ý rằng từ bất đẳng thức CÔSI ta còn suy ra hai số không âm x,y: -Nếu x+y là hằng số thì xy lớn nhất khivà chỉ khi x=y - Nếu xy là hằng số thì x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y Để sử dụng các bất đẳng thức đại số ta thường đặt một độ dài thay đổi bằng x biểu thị đại lượng cần tìm cực trị bằng một biểu thức của x rồi tìm điều kiện để biểu thức có cực trị. Ta kí hiệu minA là giá trị nhỏ nhất của A ;maxA là giá trị lớn nhất của A Ví dụ: 1.1 Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình có diện tích nhỏ nhất Giảỉ Gọi EFGH là hìmh vuông nội tiếp trong hình A E K B vuông ABCD. Tâm hình vuông này phải trùng với nhau tại 0 ta suy ra S EFGH == 2 .FHEG = 20E 2 như vậy H S nhỏ nhất suy ra 0E nhỏ nhất .Gọi K là trung điểm của AB oo ta có OE ≥ OK ( hằng số) OE = OK ⇔ E trùng K F Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E,F,G,H là trung D G C 9 O điểm các cạnh của hình vuông ABCD 1.2 Tính diện tích lớn nhất của HBH có độ dài 2 cạnh kề nhau bằng a,b A B Giải : Ta có: S ABCD == DC.AH ≤ DC.AD = ab b maxS = ab khi và chỉ khi AH = AD lúc này ABCD làHCN D H a C 1.3 Cho hình thoi và hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? vì sao? Giải : Xét hình thoi ABCD và hình vuônh MNPQ A B có cùng chu vi cạnh của chúng bằng nhau . Gọi canh của chúng là a ta có: ¬ S MNPQ = a 2 (1) Ta sẽ chớng minh S ABCD ≤ a 2 D H C Kẻ AH ⊥ CD ta có AH ≤ AD =a .Vậy S ABCD ≤ CD.AD =a.a = a 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra S ABCD ≤ S MNPQ .Vậy diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình thoi (nếu hình thoi đó không là hình vuông). 2.1 Cho tam giác ABC .Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác ABC sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất. A Giải : Ta có S ABD + S CAD =S ABC ⇒ 2 1 AD.BB’ + 2 1 AD.CC’=S ⇒ BB’ + CC’= AD S2 B’ Do đó BB’ +CC’ nhỏ nhất ⇔ AD S2 nhỏ nhất ⇔ AD lớn nhất B D C C’ Giả sử AC ≥ AB thì trong hai đường xiên AD và AC đường xiên AD có hình chiếu nhỏ hơn do đó AD ≤ AC (hằng số) ; AD =AC ⇔ D trùng C Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB, AC 2.2Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH .Gọi D,E theo thứ tự thuộc cạnh AC ,AB sao cho DHE = 90 o . Tìm vj trí D,E để DE có độ dài nhỏ nhất. A Giải : Gọi I là trung điểm của DE ta có DE = IA +IH ≥ AH ( trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) E I D. Vậy minDE = AH ⇔ thuộc đoạn thẳng AH do đó: AH vu«ng gãc AC và HE vu«ng gãc AB B H C 3.1 Cho tam giac ABC cân tại A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC Hãy dựng một đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE + DF có giá trị nhỏ nhất 10 [...]... 9 98 (ĐS : 2006 ) + + = + + 1000 999 9 98 1006 1007 10 08 x + 1006 x + 1007 x + 10 08 x + 1009 x + 2022 b + + + + = 0 (1) 1000 999 9 98 997 4 x + 1006 x + 1007 x + 10 08 x + 1009 x + 2022 (Gợi ý: (1) +1+ +1+ +1+ +1+ 4=0 1000 999 9 98 997 4 a ĐS : x = - 2006) x 999 x896 x + 789 + + = 6 (2) 99 101 103 x 999 x 89 6 x + 789 (Gợi ý: (2) 1+ 2+ 3 = 0 99 101 103 c ĐS : x = 10 98) d 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 = (ĐS: x=... ./ Ngy dy: ./ ./ Chuyờn 6 : RT GN MT BIU THC I/ Rỳt gn cỏc biu thc: a- A = 19 78( 19799 + 197 98 ++ 19792 + 1 980 ) +1 b- B = a2(b c) + b2( c a) + c2( a b) + (a b)(b c)(c a) c- C = a3(b c) + b3( c a) + c3( a b) + (a +b +c) (a b)(b c)(c a) Gii: a/ A = 19 78( 19799 + 197 98 ++ 19792 + 1 980 ) +1 = (1979 1)(19799 + 197 98 ++ 19792 + 1979 + 1) +1 Nhõn vo ta c kt qu A = 197910 b- Ta phõn tớch a2(b c)... + a b)3 5/ E = Ta t n ph d gii hn : x = a+b c ; y = b+c-a ; z = c+a-b ;suy ra x+y+z = a+b+c 6/ G = 7/ F = 8/ H = 9/ K = 10/ L = 1 1 2a 4a 3 8a 7 + + 2 + 4 + 8 a b a + b a + b 2 a + b 4 a + b8 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 2 a + a a + 3a + 2 a + 5a + 6 a + 7a + 12 a + 9a + 20 1 1 2x 4 x3 2 4 + 8 x2 x + 1 x + x + 1 x x2 + 1 x x4 + 1 a a a a a + 2 + 2 + 2 + 2 2 2 2 x + 4a x + a.x x + 3a.x + 2a x +... dòng = 2Vnớc b Toán công việc làm chung, làm riêng - Dạng toán này gồm ba đại lợng tham gia là : khối lợng công việc(KLCV), năng suất(NS), thời gian(t) KLCV = NS.t ; NS = KLCV KLCV ;t = t NS - Khi làm xong công việc thì khối lợng công việc đợc biểu thị bằng 1 - Cơ sở lập phơng trình là : NSI + NSII = NSchung B Bài tập 1 Giải các phơng trình : x 1006 x 1007 x 10 08 x 1000 x 999 x 9 98 (ĐS : 2006 )... 4 Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối A( x) = B ( x ) A( x) = B ( x) - Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất ax+b x b a ax+b Khác dấu với a 0 Cùng dấu với a 5 Giải bài toán bừng cách lập phơng trình bậc nhất Các dạng toán thờng gặp: a Toán chuyển động - Đại lợng tham gia : quãng đờng(S) vận tốc (V), thời gian(t) S = V.t ;V= S t ;t= S V - Khi hai động tử chuyển động cùng lúc, ngợc chiều thì thời gian... f 2x 1 =1 x 1 3 h x2 1 + x + 1 =2 x ( x 2) 3 Giải các phơng trình : a (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24 b (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40 c (x+2)(x-2)(x2-10) = 72 d (x2-4)2 = 8x+1 26 4 Giải phơng trình a (x-3)3 + (x+1)3 = 8( x-1)3 HD: (x-3)3 + (x+1)3 = 8( x-1)3 (x-3)3 + (x+1)3 +(2-2x)3 = 0(1) áp dụng : Nếu a + b+ c = 0 thì a 3 + b3 + c 3 = 3abc (HS tự c/m) (1) 3.(x-3)(x+1)(2-2x)=0 Tập nghiệm của PT: S= { 3;1; 1}... giỏc u Bi 5 : Cho tam giỏc ABC Mt ng thng i qua trng tõm G ca tam giỏc ct cnh BC kộo di v phớa C v cỏc cnh CA, AB theo th t A1, B1, C1 Chng minh rng: 28 1 1 1 + = GA1 GB1 GC1 4 THI HC SINH GII năm 2009 - 2010 Bi 1 :( 1,5 im) a) Phõn tớch a thc x3 5x2 + 8x 4 thnh nhõn t b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A MB bit A = 10x2 7x 5 v B = 2x 3 Bi 2 : (1,5 im) Cho x + y = 1 v x y 0 Chng minh rng 2( x y) x y... +(z 1)2 0 Du bng xy ra khi x = y = z = 1 b/ Cho cỏc s dng a,b tho món iiờự kin a + b = 1 Chng minh rng 1 1 (1 + )(1 + ) 9 a b 1 1 Gii (1 + )(1 + ) 9 ab + a + b + 1 9ab ( vỡ ab>0) a + b + 1 8ab 2 a b 8ab (vỡ a+b=1) 1 4ab (a + b)2 4ab ( a b )2 0 Du bng xy ra khi v ch khi a = b 3/ Dựng phng phỏp lm tri chng minh bt ng thc Vớ d : Cho n l s nguyờn ln hn 1 Chng minh bt ng thc sau : 1 1 1... dòng - Vngợc dòng = 2Vnớc x 4 x 5 x x PT: - =4 (ĐS: x = 80 ) 4 5 Qung lc, ngy thỏng nm 201 Ký duyt ca BGH Trnh Phong Quang Ngy son: / ./ Ngy dy: ./ ./ CC ễN TP CUI NM 1 Bi 1 : a/ Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t: x2 7x + 6 b/ Tớnh : A = 1 1 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 2007.2009 Bi 2 : Gii phng trỡnh 27 4 5 a/ 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9 2 S b/ ( x 3 )( 2x + 6) = ( 4 ... b thỡ - 1 2 b/ Phõn thc cú mu l bỡmh phng ca nh thc Vớ d : Tỡm GTNN ca A = 3x 2 8 x + 6 x2 2x + 1 Gii : Cỏch 1 : Vit A di dng tng hai biu thc khụng õm ( x 2) 2 (2 x 2 4 x + 2) + ( x 2 4 x + 4) A = = 2 + ( x 1) 2 x2 2x + 1 2 minA = 2 khi v chi khi x = 2 Cỏch 2: t x 1 = y thỡ x = y + 1 ta cú : 2 1 1 3( y + 1) 2 8( y + 1) + 6 A = = 3 - y + y 2 = ( y -1)2 + 2 2 y minA = 2 y = 1 x 1 = 1 x . 4n 2 + 16n  384 với mọi n chẳn và n ≥ 4 4/ n 3 +3n 2 + 2n  6 5/ ( n 2 +n -1 ) 2 -1  2 4 6/ n 3 +6n 2 +8n  48 với mọi n chẳn 7/ n 4 -10n 2 + 9  384 với mọi n lẻ 8/ n 6 + n 4 -. 3 7 2 2 4 4 8 8 1 1 2 4 8a a a a b a b a b a b a b + + + + − + + + + 7/ F = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 5 6 7 12 9 20a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + + 8/ H = 3 2 2 4 2 8 4 1 1 2 4 1. c 3 ( a – b) + (a +b +c) (a – b)(b – c)(c –a) Giải: a/ A = 19 78( 1979 9 + 1979 8 +…+ 1979 2 + 1 980 ) +1 = (1979 – 1)(1979 9 + 1979 8 +…+ 1979 2 + 1979 + 1) +1 Nhân vào ta được kết quả A =