Bài viết đưa ra một dạng nhiễu nhỏ của phương trình vi phân đại số chính qui chỉ số 1 và đưa ra một số kết quả và một số đánh giá về nghiệm của phương trình vi phân đại số với nhiễu nhỏ.
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI NHIỄU NHỎ Hoàng Nam1, Văn Thị Trang2 Phòng Đào tạo, trường Đại học Hồng Đức Sinh viên ngành tốn, Đại học Hồng Đức TĨM TẮT Bài báo đưa dạng nhiễu nhỏ phương trình vi phân đại số qui số đưa số kết số đánh giá nghiệm phương trình vi phân đại số với nhiễu nhỏ MỞ ĐẦU Đối với phương trình vi phân đại số “ chuyển được” qui số cách sử dụng phép chiếu ta phân rã chúng hệ gồm phương trình vi phân thường phương trình đại số Phương trình vi phân đại số có số cao ta sử dụng liên tiếp phép chiếu dùng phương pháp hạ số để quy phương trình vi phân đại số có số thấp hơn, hướng nghiên cứu tập trung chủ yếu nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số số Ngay từ cuối năm 70 đầu năm 80 kỷ 20 có nhiều nhà tốn học giới nghiên cứu phương trình vi phân đại số, số nhóm nhà tốn học đại học Humboldt Berlin, nhóm nhà tốn học Nga Ở Việt Nam, từ năm 90 kỷ 20 có số nhà khoa học thuộc nhóm nghiên cứu GS Vũ Tuấn thuộc đại học Sư phạm Hà Nội nhóm nghiên cứu GS Phạm Kỳ Anh GS Nguyễn Hữu Dư thuộc đại học Khoa học Tự nhiên, đại học Quốc gia Hà Nội chủ trì nghiên cứu phương trình vi phân đại số Nhiều kết thu phương trình vi phân đại số Chẳng hạn kết nghiệm, ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ phương trình vi phân đại số có số 2, lý thuyết Floquet phương trình vi phân đại số có số với hệ số tuần hồn, tính khả qui,… Nhiều cơng trình nghiên cứu tính ổn định, dáng điệu tiệm cận dựa vào phương pháp qui hóa (xem [6,7]), phương trình vi phân đại số liên hợp, bán kính ổn định phương trình vi phân đại số, kết hệ phương trình khơng ơtơnơm (xem [1,8]) Một số nhà toán học Nga nghiên cứu nghiệm phương trình với nhiễu phương trình vi phân đại số: ( A(t ) + εC (t )) x& ε + ( B(t ) + εD(t )) xε = f (t ) , đó, < ε < thu số kết thú vị 12 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Trong thực tế, hầu hết tốn liên quan tới phương trình với nhiễu nhỏ, báo tập trung nghiên cứu có đánh giá nghiệm phương trình vi phân đại số với dạng nhiễu nhỏ bậc 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính tuyến tính nhất: A(t)x' + B(t)x = f(t) , A(t)x’ + B(t) x = 0, (1.1) t ∈ [t0, + ∞) = J (1.2) với ma trận hệ số A, B ∈ C ( R + , L( R m )) , f (t ) ∈ C ( R m , L( R m )) rankA(t) = r < m, N(t) = kerA(t) trơn nghĩa tồn phép chiếu Q ∈ C ( R + , L( R m )) lên N(t), P= I – Q Định nghĩa Giả sử cặp ma trận A, B ∈ C ( R + , L( R m )) có ind(A,B) = 1, S = { x: Bx ∈ imA} gọi không gian liên hợp Phép chiếu Qs lên kerA dọc S gọi phép chiếu tắc { Định nghĩa Một hàm x(t ) ∈ C 1N = x ∈ C , Px ∈ C } gọi nghiệm phương trình vi phân đại số (1.2) J có đồng thức sau A(t ){( P (t ) x(t ))'− P ' (t ) x(t )} + B (t ) x(t ) = , với t ∈ J Chú ý giá trị biểu thức A(t ){( P(t ) x(t ))'− P' (t ) x(t )} + B(t ) x(t ) không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P Đối với phương trình vi phân thường, nghiệm x(t ) ∈ C , phương trình vi phân đại số, nghiệm không cần khả vi mà cần x ∈ C Px ∈ C Khi (1.2) phương trình vi phân đại số có số imPs = S(t), kerPs = kerP = N(t) imPs chứa nghiệm phương trình vi phân đại số có số 1, khơng gian imP bất biến phương trình vi phân thường (1.2), nghĩa u (t ) ∈ imP (t ) nghiệm tốn giá trị đầu u (t ) ∈ imP(t ) Định nghĩa Phương trình (1.1) gọi “chuyển được” hay qui số R + N(t) trơn ma trận G(t) = A(t) + B(t)Q(t) có nghịch đảo đoạn [0, T ] ⊆ R + Chú ý rằng, tính khả nghịch ma trận G(t) không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Q(t) = I – P(t) Trong trường hợp ma trận G(t) khả nghịch R + , tính liên tục G(t), A(t), B(t), ma trận G-1(t) liên tục R + G-1(t) bị chặn đoạn [0, T ] ⊆ R + Bên cạnh đó, tính bị chặn ma trận G-1(t) 13 R + khơng phụ thuộc vào TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 cách chọn phép chiếu giới nội Q(t) x(t ) ∈ C 1N nghiệm phương trình vi phân đại số (1.1) quy có số x(t ) ∈ S (t ) (xem [2,5]) Định lý (xem [5]) Nếu phương trình (1.1) quy có số (1.1) tương đương với hệ: u ' = ( P'− PA1−1 B0 )u + PA1−1 f v = −QA1−1 B0 u + QA1−1 f (1.3) đó: u = Px, v = Qx, A1 = A + B0Q, B0 = B – AP’ Nếu u ∈ imP (t ) nghiệm u(t) toán giá trị đầu: u ' = ( P'− PA1−1 B0 )u + PA1−1 f u (t ) = u thoả mãn u ∈ imP(t ), t ∈ [0,+∞) nghiệm (1.1) xác định hệ thức: x(t ) = Ps (t )u (t ) + QA1−1 f Ps = I – Qs, Qs = QA1−1 B0 phép chiếu tắc lên N(t) dọc S(t) Để cho đơn giản, sau ta thường lấy điều kiện đầu t = Nếu phương trình (1.1) có điều kiện đầu: x(0) − x ∈ N (0) điều kiện đầu phương trình (1.3) là: u (0) = P(0) x Nếu phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2) có số S(t) = imPs khơng gian nghiệm có số chiều r = rankA(t), nghiệm phương trình xác định x(t ) = Ps (t )u (t ) , u (t ) ∈ imP(t ) nghiệm phương trình u ' = ( P'− PA1−1 B0 )u (1.4) Định lý (xem [5]) Giả sử (1.1) phương trình vi phân đại số quy số R + Khi x(t) nghiệm R + thỏa mãn điều kiện đầu x(0) − x ∈ ker A(0) x(t ) = u (t ) − Q(t )G −1 (t ){B(t )u (t ) − f (t )}, t ∈ R + (1.5) u(t) nghiệm toán giá trị đầu: ⎧⎪u ' (t ) = P' (t )u (t ) − P(t )( I + P' (t ))G −1 (t )( B (t )u (t ) − f (t )) ⎨ ⎪⎩u (0) = P(0) x f(t) = 14 (1.6) TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 ⎧ x(t ) = Ps (t )u (t ) ⎨ −1 ⎩u ' (t ) = ( P' Ps − PG B)(t )u (t ) (1.7) Ta ý (1.4) (1.7) hai phương trình vi phân thường khác không gian R m rút từ phương trình vi phân đại số (1.2) quy số cách sử dụng ma trận A1 G, ma trận hệ số khác Tuy nhiên, hạn chế không gian nghiệm bất biến imP(t) phương trình (1.4) (1.7) có nghiệm u(t) = P(t)x(t), x(t) nghiệm (1.2) Các ma trận A1 G có tính khả nghịch liên hệ với công thức: A1 = G − AP' Q = G ( I − PP' Q) Hơn nữa, P ' Q = A1 ≡ G , (1.4) trùng với (1.7) Các phương trình (1.4) (1.7) gọi phương trình vi phân thường tương ứng phương trình vi phân đại số (1.2) quy số (dưới phép chiếu P) Đối với nghiệm x(t) u(t) = P(t)x(t) gọi nghiệm tương ứng với x(t) phương trình vi phân thường tương ứng Ta ý rằng, có tương ứng tập nghiệm x(t) (1.2) tập nghiệm u(t) thoả mãn u (t ) ∈ imP(t ) với t ∈ R + phương trình vi phân thường tương ứng (1.7), chúng liên hệ với công thức u (t ) = P(t ) x(t ), x(t ) = Ps (t )u (t ) , đó: Ps = I – Qs , Qs = QG1−1 B0 phép chiếu tắc lên N(t) dọc S(t) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI NHIỄU NHỎ Xét phương trình vi phân đại số qui số A(t)x’ + B(t)x = (2.1) A, B ∈ C ( R + , L( R m )) bị chặn R + ; rankA(t) = r < m, N(t) trơn Khi ma trận A1 = A + B0Q G = A +BQ khơng suy biến R + , B0 = B − AP ' , ta giả thiết G-1 bị chặn R + Định nghĩa 2.1([3,4]) Một hàm bị chặn đo R(.) R + gọi C – hàm phương trình vi phân đại số (2.1) với > 0, tồn số dương DR, > phụ thuộc vào R cho bất đẳng thức sau: t ∫ ( R (τ ) +ε ) dτ x(t ) < DR ,ε x(t ) e t0 (2.2) nghiệm với t ≥ t0 ≥ với nghiệm (2.1) Xét phương trình vi phân đại số có nhiễu tuyến tính (2.1): A(t)x’ + B(t)x + F(t)x = 15 (2.3) TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 A(t), B(t), A1-1(t), P’(t) liên tục, bị chặn R + Bằng cách biến đổi tương tự phương trình vi phân đại số chuyển được, ta tính nghiệm phương trình vi phân đại số có nhiễu tuyến tính thơng qua định lý sau Định lý (xem [5]) Nếu phương trình (2.1) phương trình vi phân đại số qui số (2.3) tương đương với hệ sau: ⎧⎪u '+( PA1−1 B0 − P ' )u + PA1−1 F (u + v) = ⎨ ⎪⎩v + QA1−1 B0 u + QA1−1 F (u + v) = : u = Px, v = Qx, A1 = A + B0 Q, B0 = B − AP' Với nhiễu đủ nhỏ ta có đánh giá nghiệm phương trình vi phân đại số với nhiễu tuyến tính đủ nhỏ thơng qua định lý sau Định lý (xem [9]) Giả sử (2.1) hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có số ma trận A(t), B(t), A1-1(t), P’(t) liên tục, bị chặn R + ; R(t) Chàm (2.1) Giả sử nhiễu phương trình nhiễu (2.3) thoả mãn điều kiện F (t ) ≤ δ (t ) ≤ δ , δ ∈ R + (2.4) với ε > tồn số DR ,ε phụ thuộc vào R, ε phương trình (2.1) cho nghiệm x(t) (2.3) thoả mãn bất đẳng thức: t x(t) < D R,ε x(t ) e ∫t (R( τ )+ ε + D R, ε δ ( τ ))dτ ( t ≥ t0 ≥ 0) Bây ta xét phương trình vi phân đại số có nhiễu phi tuyến nhỏ: A(t)x’ + B(t)x + f(t,x) = 0, (2.5) nhiễu f(t,x) giả thiết nhỏ theo nghĩa sau: f (t , x) ≤ F (t ) x , với ∀t ∈ R + , x ∈ R m (2.6) với hàm δ : R + → R + δ (t ) ≤ δ , với ∀t ∈ R + với số δ > đó, thêm vào hàm f(t, x) có đạo hàm riêng liên tục R + chuẩn f ' x (t , x) đủ nhỏ Tương tự, lý thuyết phương trình vi phân thường ta nghiệm (2.5) nghiệm phương trình vi phân đại số tuyến tính có dạng (2.3) Từ ta chuyển việc tìm nghiệm đánh giá nghiệm phương trình vi phân đại số có nhiễu phi tuyến thơng qua phương trình với nhiễu tuyến tính Định lý Giả thiết f hàm liên tục theo hai biến khả vi theo x thoả mãn (2.6) đồng thời thoả mãn f ' x (t , x) ≤ 16 α G −1 Q TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 với số < α < cố định Khi nghiệm khơng tầm thường x0(t) hệ nhiễu phi tuyến (2.5) nghiệm hệ phương trình tuyến tính có dạng (2.3) Chứng minh Từ (2.6) ta suy f (t ,0) = , với ∀t ∈ R + , x = nghiệm tầm thường phương trình vi phân (2.5) Ta có A + BQ + f x' Q = ( A + BQ)( I + ( A + BQ) −1 f x' Q) Theo giả thiết, f'x (t,x) ≤ α , ∀t ∈ R + < α < , G = A + BQ, − G Q ( A + BQ) −1 f x/ Q ≤ ( A + BQ) −1 f x' Q ≤ α < với t ∈ R + Vì I + ( A + BQ) −1 f x/ Q khả nghịch ( I + ( A + BQ) −1 f x/ Q) −1 < ∀t ∈ R + 1−α Vậy phương trình (2.5) chuyển R + (nghĩa quy số 1), nghiệm tốn giá trị đầu (2.5) (xem [4] trang 36), nên nghiệm không tầm thường x0 (t ) (2.5) không bị triệt tiêu với ∀t ∈ R + Đặt ( x, x0 (t )) ~ F (t , x) := f (t , x0 (t )) x (t ) ~ ~ Rõ ràng F (t , x) tuyến tính theo biến thứ hai, F (t , x) = F (t ) x , với F (t ) làm hàm số Ngồi ra, với ∀t ∈ R + , ta có : x x0 (t ) ~ F (t ) x = F (t , x) ≤ f (t , x0 (t )) ≤ δ (t ) x , x0 (t ) từ kéo theo F (t ) x ≤ δ (t ) Hơn nữa, ( x (t ), x0 (t )) ~ f (t , x0 (t )) = f (t , x0 (t )) F (t ) x0 (t ) = F (t , x0 (t )) := x0 (t ) Do đó, x0 (t ) nghiệm không tầm thường hệ (2.3) Nhận xét rằng, định lý điều kiện 17 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 f ' x (t , x) ≤ α G −1 Q (2.7) đưa để đảm bảo không đưa phương trình khỏi lớp phương trình chuyển được, từ sử dụng tính nghiệm toán giá trị đầu Mặc dù điều kiện ngặt số trường hợp lại dễ kiểm tra Từ chứng minh định lý ta thấy thay điều kiện bất đẳng thức điều kiện tổng quát “Bài tốn giá trị đầu phương trình (2.5) có nghiệm “ Định nghĩa 2.2 Giả sử (2.1) phương trình vi phân đại số tuyến tính có số Nghiệm tầm thường (2.1) gọi ổn định tiệm cận mũ tồn số α , K cho với x0 ∈ R m , nghiệm toán giá trị đầu A(t ) x'+ B (t ) x = 0, t ∈ [0,+∞ ) P (0)( x(0) − x ) = thoả mãn đánh giá sau: x(t ) ≤ K P(0) x e −αt , ≤ t < +∞ Định lý Giả sử phương trình vi phân đại số (2.1) qui có số với hệ số bị chặn λ (G −1 ) ≤ Khi nghiệm tầm thường (2.1) ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường tương ứng phép chiếu bị chặn P ∈ C ( R + , L( R m )) có nghiệm thoả mãn thỏa mãn u (t ) ≤ K u (0) e −αt (hay ổn định tiệm cận mũ) Chứng minh Giả sử nghiệm tầm thường (2.1) ổn định tiệm cận mũ, tồn γ, K > cho với x ∈ R m , nghiệm toán giá trị đầu A(t ) x'+ B(t ) x = 0, t ∈ [0,+∞) P (0)( x(0) − x ) = thoả mãn đánh giá sau x(t ) ≤ k P(0) x e −αt ,0 ≤ t < ∞ Do P ∈ C ( R + , L( R m )) phép chiếu bị chặn R + dọc N (t ) , P =µ vậy, với u (t ) = P(t ) x(t ) nghiệm (1.7) tương ứng với x(t ) ta có: 18 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 u (t ) = P (t ) x(t ) ≤ µ x(t ) ≤ µk P(0) x e −αt = µk u (0) e −αt ,0 ≤ t < +∞ Như vậy, nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường tương ứng (1.7) ổn định tiệm cận mũ imP(t ) Ngược lại, giả sử nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường tương ứng (1.7) ổn định tiệm cận mũ imP(t ) , nghĩa tồn k , α > cho với u (0) ∈ imP(0) , ta có u (t ) ≤ k u (0) e −αt ,0 ≤ t < +∞ Giả sử x ∈ R m véc tơ x(t ) nghiệm (2.1) thỏa mãn điều kiện đầu P (0)( x(0) − x ) = Gọi u (t ) nghiệm (1.7) tương ứng với x(t) nói trên, ta có u (t ) = P(t ) x(t ), x(t ) = Ps (t )u (t ) Rõ ràng u (0) = P(0) x(0) ∈ imP(0) Ngoài ra, P (0) x(0) = P(0) x Vì λ (Qs ) = λ (QG −1 B ) ≤ λ (Q) + λ (G −1 ) + λ ( B) ≤ 0, λ ( Ps ) = λ ( I − Qs ) ≤ , nên tồn số M > cho α t Ps ≤ Me , với t ≥ Mà x(t ) = Ps (t )u (t ) nên x(t ) ≤ Ps (t ) u (t ) ≤ Ps (t ) k u (0) e −αt α t ≤ Me k P(0) x e −αt , ∀t ≥ Vậy α x(t ) ≤ k1 P(0) x e − t ,t ≥ , k1 = kM , từ suy điều phải chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] Pham Ky Anh, Ha Thi Ngoc Yen (2006), Floquet theorem for linear implicit noautonomous difference systems, J Math Anal Appl 321, pp 921-929 K Balla (1996), Linear subspace for linear differential algebraic equtions of index 1, Computers Math Applic., 32 (4/5), pp 13-35 B.Ph, Bylov, E.R Vynograd, D.M Grobman and V.V Nemytxki, Theory of Lyapunov Exponents, Nauka, Moscow, 1966 (in Rusian) 19 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 [4] [5] [6] [7] [8] [9] B.P Demidovich, Lectures on Mathematical Theory of Stability, Nauka, Moscow, 1967 (in Rusian) E Griepentrog and R Marz (1986), Differential Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner – Text Math 88, Leipzig R Marz (1995), On linear differential algebraic equations and linearizations, Applied Numerical Mathematics, 18, pp.267-292 R Marz (1998), Criteria for the trivial solution of differential algebraic equations with small nonlinearities to be asymptotically stable, J Math Anal Appl., 225, pp 587-607 L.C Loi, N.H Du, P.K Anh (2002), On linear implicit non-autonomous system of difference equations, J Difference Equ Appl 8, 1085-1105 Hoang Nam (2006), The Central Exponent and Asymptotic Stability 0f Linear Differential Algebraic Equations of Index 1, Vietnam Journal of Mathematics 34:1 (2006), pp 1-15 SOLUTION OF ALGEBRAIC EQUATIONS WITH SMALL PERTURBATIONS Hoang Nam1, Van Thi Trang2 Department of Academic Affairs, Hong Duc University Student of Mathematic of Hong Duc University ABSTRACT The paper introduces a differential algebraic equation with small perturbations and derive some results and estimates for the solutions of differential algebraic equations with small perturbations 20 ... chiếu P Đối với phương trình vi phân thường, nghiệm x(t ) ∈ C , phương trình vi phân đại số, nghiệm khơng cần khả vi mà cần x ∈ C Px ∈ C Khi (1.2) phương trình vi phân đại số có số imPs = S(t),... tự phương trình vi phân đại số chuyển được, ta tính nghiệm phương trình vi phân đại số có nhiễu tuyến tính thơng qua định lý sau Định lý (xem [5]) Nếu phương trình (2.1) phương trình vi phân đại. .. trùng với (1.7) Các phương trình (1.4) (1.7) gọi phương trình vi phân thường tương ứng phương trình vi phân đại số (1.2) quy số (dưới phép chiếu P) Đối với nghiệm x(t) u(t) = P(t)x(t) gọi nghiệm