Nội dung bài viết thực hiện việc xây dựng các câu lệnh trong phần mềm Mathematica để tính toán đối với thế vị nhiệt bề mặt và thế vị nhiệt thể tích trong công thức Poison để từ đó thu được nghiệm của bài toán ban đầu, sau đó bằng lệnh Plot3D ta sẽ nhận được đồ thị tương ứng của các nghiệm thu được.
UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.2 (2014) NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TRONG PHẦN MỀM MATHEMATICA THE SOLUTION OF THE HEAT TRANSFER PROBLEM IN MATHEMATICA SOFTWARE Lê Hải Trung Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng Email: trungybvnvr@yahoo.com TÓM TẮT Nội dung báo thực việc xây dựng câu lệnh phần mềm Mathematica để tính tốn vị nhiệt bề mặt vị nhiệt thể tích công thức Poison (xem [1], [2], [4], [5]) để từ thu nghiệm tốn ban đầu, sau lệnh Plot3D ta nhận đồ thị tương ứng nghiệm thu Từ khóa: phương trình truyền nhiệt; vị nhiệt bề mặt; vị nhiệt thể tích; cơng thức Poison; hàm thực ABSTRACT This article builds commands in Mathematica software to calculate surface potential and volume potential of Poison formula ([1], [2], [4], [5]), obtained from the solution of the heat equation with boundary conditions, and then the Plot3D command will receive the corresponding graph of the solutions gained Key words: the heat equation; Poison formula; surface potential; volume potential; test function Đặt vấn đề dạng sau: Ta biết (xem [1], [2], [4], [5]) nghiệm toán đầu (hay cịn gọi tốn Cauchy) cho phương trình truyền nhiệt : u u − a 2 = f(x, t), t x (1) u |t =0 = u(x), (2) dạng tổng vị nhiệt bề mặt vị thể tích: u(x,t) = 2a − t ( − 1 2a π(t − τ) πt u (y)e + f(y,τ)e − (x − y)2 4a t (3) 4a (t − τ) dy)dτ − Nếu ta đưa vào kí hiệu: G(a, x, t) = 2a πt − e (x)2 4a t , nghiệm tốn truyền nhiệt viết 26 G(a, x − y, t )u ( y)dy + − t + G(a, x − y, t − s) f ( y, s)dyds − Bước Thực cú pháp sau cho việc thực tính tốn vị nhiệt bề mặt vị nhiệt thể tích: G = (1/(2*#1 π*#3))* Exp[#22 /( − 4#12 #3)]&; dy + (x − y)2 u ( x, t ) = Áp dụng điều kiện đầu: + + G = [a, x, t] − x2 e 4a t 2a π t vo[a_,u_]: = Simplify[Integrate[G[a,x − y,t]*u[y], {y, − ,}],t 0&&x Reals] vi[a_,u_]: = Simplify[Integrate[G[a,y,t]*u[x-y], {y, − ,}], t 0&&x Reals] TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 4, SỐ (2014) woo[a_,f_]: = Simplify[Integrate[G[a,x − y,t-s]* f[y,s],{y, − ,}], s t&&x Reals] wii[a_,f_]: = Simplify[Integrate[G[a,y,s]*f[x-y,t-s], {y, − ,}], s t&&x Reals] woi[a_,f_]: = Simplify[Integrate[G[a,x − y,s]*f[y,t-s], {y, − ,}], s t&&x Reals] wio[a_,f_]: = Simplify[Integrate[G[a,y,t-s]*f[x-y,s], {y, − ,}], s t&&x Reals] ints[w_]: = Simplify[Integrate[w,{s,0,t}], t 0&&x Reals] uoo[a_,f_] := ints[woo[a, f]]; uii[a_,f_] := ints[wii[a, f]]; uoi[a_,f_] := ints[woi[a, f]]; uio[a_,f_] := ints[wio[a, f]]; Bước Thực kiểm tra tính đắn cơng thức vị nhiệt bề mặt vị nhiệt thể tích: e − ( x− y ) a 2t vi[a,u] − a 2t u[ x − y ]dy uoo[a,f] e ds 2a Bước Thực cú pháp sau cho việc kiểm tra kết quả: l1: = Simplify[(D[#4,t]-#1^2*(D[#4,x1,x1] + D[#4,x2,x2] + D[#4,x3,x3])-#2), t 0&&x1 Reals;x2 Reals;x3 Reals]& l0: = Simplify[(Limit[#4,t → 0,Direction → -1]-#3), x1 Reals;x2 Reals;x3 Reals]& l: = {l1[#1,#2,#3,#4],l0[#1,#2,#3,#4]}& Ví dụ Tìm nghiệm tốn sau đây: u u x − = e −2t cos , u |t =0 = x t x Hiển nhiên phương trình cho có dạng (1) – (2) với x −t a = 1, f ( x, t ) = e cos , ( x− y )2 a ( s −t ) In1:= Out2:= x wio[a,f] Out3:= − e − 7s t − 4 x Cos[ ] In4= v1[x_,t_] = uio[a,f] f [ y, s ] −s+t 2a uoi[a,f] s In3:= 2a t t − In2:= v0[x_,t_] = vi[a, u] y2 − f [ y ,− s + t ] f[x_, t_] = Exp[-2t]* Cos[x/2];u[x_] = x; a = 1; 2a t e a2s Ta nhập vào Mathematica: u[ y ]dy − + e ( x− y )2 u ( x) = x vo[a,u] + t − ds 7t −2t x Out4= e (−1 + e )Cos[ ] In5:= u[x_, t_] = v0[x, t] + v1[x, t] 27 UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION Out5:= 7t x x + e −2t (−1 + e )Cos[ ] e −64t (−1 + e 64t (1 − 64t + 2048t ))Sin[2x] 131072 In5:= v1[x_,t_] = uio[a,f] Kiểm tra: l[a, f[x1, t], u0[x1], u1[x1, t]] {0,0} Như nghiệm toán cho là: 7t −2t x u(x, t) = x + e (−1 + e )Cos[ ] Đồ thị u(x, t) mơ tả Hình 1: VOL.4, NO.2 (2014) Out5:= e −64t (−1 + e 64t (1 − 64t + 2048t ))Sin[2x] 131072 In6:= u[x_, t_] = v0[x, t] + v[x, t] -x2 1+ 64t xe + (1 + 64t) 3/2 Out6:= e −64t (−1 + e 64t (1 − 64t + 2048t ))Sin[2x] 131072 50 -10 40 -20 30 -20 20 -15 -10 10 -5 Kiểm tra: l[a, f[x1, t], u0[x1], u[x1, t]] {0,0} Hình Đồ thị hàm 7t x u(x, t) = x + e −2t (−1 + e )Cos[ ] Ví dụ Tìm nghiệm toán sau đây: u 2u − 16 = t sin x, t x u |t =0 = e − x x Như nghiệm toán cho là: -x 1+ 64t xe + (1 + 64t) 3/2 e −64t (−1 + e 64t (1 − 64t + 2048t ))Sin[2x] 131072 Đồ thị u(x, t) mô tả Hình 2: u(x, t) = In1:= f[x_,t_] = Sin[2x]*t^2;u0[x_] = Exp[ − x^2][x;a = 4; In2:= v0 := vi[a, u0] 20 50 40 -20 Out2:= v0 = -x 1+ 64t xe (1 + 64t) 3/2 -40 -20 30 20 -15 -10 10 -5 In3:= wio[a,f] Out3:= e 64(s- t) s Sin[2x] In4:= uio[a,f] Out4:= 28 Hình Đồ thị hàm u(x, t) = -x 1+ 64t xe + (1 + 64t) 3/2 e −64t (−1 + e 64t (1 − 64t + 2048t ))Sin[2x] 131072 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Kết luận Bài báo đề xuất phương pháp giải toán truyền nhiệt phần mềm Mathematica thơng qua việc tính tốn vị Sau TẬP 4, SỐ (2014) ví dụ đồ thị hàm mô tả cách rõ nét, đem lại cách nhìn nhận trực quan cho đối tượng quan tâm đến dáng điệu nghiệm toán truyền nhiệt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Владимиров В С (2003), Уравнения математической физики, Москва [2] Смирнов М.М (1964), Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Москва [3] Kevorkian (2000), J Partial Differential Equations, Analytical Solution Techniques.,New York: Springer-Verlag [4] Lawrence C Evans, Partial Diferential Equations, American Mathematical Society [5] Nguyễn Mạnh Hùng (2009), Phương trình đạo hàm riêng, Hà Nội [6] Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương pháp đạo hàm riêng, Hà Nội 29 ... ))Sin[2x] 131072 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Kết luận Bài báo đề xuất phương pháp giải tốn truyền nhiệt phần mềm Mathematica thơng qua việc tính tốn vị Sau TẬP 4, SỐ (2014) ví dụ... tả cách rõ nét, đem lại cách nhìn nhận trực quan cho đối tượng quan tâm đến dáng điệu nghiệm toán truyền nhiệt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Владимиров В С (2003), Уравнения математической физики, Москва... thị hàm 7t x u(x, t) = x + e −2t (−1 + e )Cos[ ] Ví dụ Tìm nghiệm tốn sau đây: u 2u − 16 = t sin x, t x u |t =0 = e − x x Như nghiệm toán cho là: -x 1+ 64t xe + (1 + 64t) 3/2 e −64t (−1 + e