Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 369 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
369
Dung lượng
15,16 MB
Nội dung
Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG ` SỐ PHỨC đơn giản lại quan trọng ứng dụng mơn Tốn ngành khoa học kĩ thuật công nghệ Một tư tự nhiên muốn phát triển tồn diện nên biết trang bị cho kiến thức số phức thật hoàn chỉnh từ cuối lớp 10 THPT Nếu trước kia, số phức xem câu đơn giản đề thi tự luận dập khn máy móc, đây, mà BỘ GIÁO DỤC cải cách chuyển sang chế thi Toán trắc nghiệm số phức chiếm phần đáng kể Trắc nghiệm tồn diện, hướng tới phần, chuyên đề có câu khó câu dễ bình đẳng, tránh học tủ học nịi, biết chăm chăm vào câu điểm 8,9,10 phận nhỏ chuyên đề Toán Cuốn tài liệu có trang bị đầy đủ kiến thức số phức từ đến nâng cao toàn diện Chúng ta hướng tới ứng dụng số phức việc học mơn Tốn, Vật Lí tương lai ngành kĩ thuật công nghệ Tài liệu trình bày phương pháp mẹo trắc nghiệm nhanh câu phức nâng cao, giúp tối ưu tuyệt đối kì thi trắc nghiệm tốc độ đa dạng tập mà tác giả biên soạn sưu tầm Đặc biệt có số kiến thức nâng cao sáng tạo độc đáo tác giả mà phải ngẫm kĩ thấy hay Mọi ý kiến nhận xét góp ý tài liệu xin gửi địa email: DangAi.kstn.bkhn@gmail.com Cuối cùng, chúc em học sinh sử dụng tài liệu cách hiệu Chúc em thành cơng kì thi đại học tương lai gần chúc em có tảng kiến thức vững vàng tương lai xa giảng đường đại học! Bách Khoa Hà Nội ngày 25 tháng 10 năm 2016 Kỹ sư tài Nguyễn Đăng Ái Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ 4|T huận Thành – Bắc Ni nh – 2018 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG MỤC LỤC I CƠ BẢN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC……………… ……… …………7 1.1 Các định nghĩa tập số phức C……………………………………………………………… … ….………7 1.2 Các phép toán tập số phức……………………… …………… …… … …… 1.3 Các tính chất số phức……………… … ….………………………………………….…… 1.4 Lũy thừa số ảo in – Cấp số cộng cấp số nhân số phức……… …………………….10 1.5 Hàm số phức – Bài toán đồng hàm số ảo f(i) = Ai + B……… ………………… ….11 II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC – CÔNG THỨC Ơ LE………… …….…….15 2.1 Cách chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác số phức…… ……… ……….….15 2.2 Ứng dụng dạng lượng giác – Công thức Ơ le – Công thức Moivre ………… …16 2.3 Ứng dụng dạng lượng giác vào số toán cực trị lũy thừa lớn…………………… …….17 2.4 Ứng dụng dạng lượng giác vào số tốn số phức có mơ đun 1…………… … 20 III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT… 26 3.1 Phương trình bậc chứa biến.…… ………………………………………………………… ….26 3.2 Phương trình bậc chứa hai biến.…… ………………………… ……………………………… ….27 3.3 Biện luận theo tham số phức phương trình bậc phức……………………………….….28 3.4 Hệ phương trình bậc số phức…………………………… ……………………………………29 IV CĂN BẬC HAI – PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – XỬ LÍ MƠ ĐUN………… 32 4.1 Căn bậc hai số âm….…… ……………………………………………………………………… ….32 4.2 Căn bậc hai số phức ………… …… ………………………… ……………………………… ….32 4.3 Phương trình bậc tập số phức …… ………………………… ……………………………… ….35 4.4 Phương trình bậc cao – Phân tích nhân tử – Đặt ẩn phụ – Khai thức ………… ………36 4.5 Các định lí VIET áp dụng vào phương trình bậc cao trắc nghiệm phức………………… … 38 4.6 Phương trình phức dạng đa thức với hệ số thực………………………………………………… 44 4.7 Xử lí mơ đun phương trình phức…… ….49 V BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ PHỨC – BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ .54 5.1 Bất đẳng thức tam giác – Bài toán số phức đồng dạng……………………………………………… 54 Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 5.2 Bất đẳng thức CÔ SI – Bất đẳng thức BUNHIA vận dụng số phức….………………… 58 5.3 Một số bất đẳng thức không mẫu mực số phức…………………………………………………61 VI MẶT PHẲNG PHỨC – GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC… 62 6.1 Biểu diễn điểm công thức mặt phẳng phức …………………………… ….62 6.2 Bất đẳng thức tam giác ứng dụng vào số bất đẳng thức hình học…………………………64 6.3 Quỹ tích đường thẳng mặt phẳng phức…………………… ……………………………… ….72 6.4 Quỹ tích đường tròn mặt phẳng phức… ………………… ……………………………… ….79 6.5 Elip mặt phẳng phức – Các toán nâng cao ……………………… …….…………… ….84 6.6 Quỹ tích đường hypebol bản………………………………………………………………………….…96 6.7 Các đường cong bất kì: Đường thẳng – Đường tròn – Elip – Hypebol – Parabol……… 105 6.8 Phép quay số phức – Nâng cao tư véc tơ phức………………………………………….107 6.9 Bài toán tương giao mặt phẳng phức – Hệ phương trình mơ đun phức ………… 111 6.10 Biểu diễn số phức miền hình phẳng – Cực trị phức miền D……………113 6.11 Bài toán tâm tỉ cự mặt phẳng phức……….…………………………… …….…………… ….120 6.12 Bình phương vơ hướng ứng dụng mặt phẳng phức.…… .….123 6.13 Các số phức có mơ đun – Bài tốn phân bố véc tơ vịng trịn………… 130 VII BÀI TẬP ÔN TẬP TỰ LUẬN………… 136 VIII TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO 142 IX ĐÁP ÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO .189 X HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .192 6|T huận Thành – Bắc Ni nh – 2018 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG I CƠ BẢN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC 1.1 Các định nghĩa tập số phức C: Định nghĩa số ảo: i2 = –1 Gọi z = a + ib số phức; a,b R Kí hiệu C tập số phức: z C a gọi phần thực số phức z {Re z}; b gọi phần ảo số phức z {Im z} Ví dụ 1.1.1 Cho số phức: z1 = + 4i , phần thực phần ảo z2 = -4 + 5i , phần thực -4 phần ảo z3 = , phần thực phần ảo Còn gọi số phức thực Vậy số phức thực số phức có phần ảo z4 = 7i , phần thực phần ảo Còn gọi số phức ảo Vậy số phức ảo số phức có phần thực Chú ý: số phức z = 0, vừa số phức ảo (phần thực 0), vừa số phức thực Số phức liên hợp: Nếu z = a + ib số phức liên hợp kí hiệu là: z a – ib Như vậy, số phức liên hợp giữ nguyên phần thực đảo dấu phần ảo Ví dụ 1.1.2 Cho số phức: z = + 4i Khi số phức liên hợp là: z – 4i Còn số phức đối là: -z = -(3 + 4i) = -3 – 4i Lưu ý phân biệt số phức liên hợp số phức đối Mô đun số phức: Cho số phức z = a + ib, mô đun số phức z kí hiệu là: | z | a b Mô đun số phức liên hợp: | z | a (b)2 a b | z | | z |2 z Mặt phẳng phức: Với hệ tọa độ đề Oxy, Ox trục thực Oy trục ảo Xét tích: z.z (a ib)(a ib) a b | z |2 | z |2 z Cho số phức z = x + iy, điểm M biểu diễn số phức z M = (x;y) Có thể viết véc tơ sau: y ( trục ảo) M = (x;y) y z -x O x x ( trục thực) z M2 = (-x;-y) -y M1 = (x;-y) Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Điểm M1= (x;-y) biểu diễn số phức liên hợp: z x iy , đối xứng với M qua trục Ox Điểm M2 = (-x;-y) biểu diễn số phức đối: z x iy , đối xứng với M qua gốc O Ta có: OM | OM || z | 1.2 Các phép toán tập số phức: Phép cộng phép trừ: Cho hai số phức: z1 = a1 + ib1 z2 = a2 + ib2 Khi phép cộng trừ hai số phức định nghĩa là: z1 z2 (a1 a2 ) i(b1 b2 ) Tức là, thực cộng trừ thực ảo cộng trừ ảo Ví dụ 1.2.1 Thực phép cộng phép trừ: (1 2i) (3 4i) (1 3) i(2 4) 6i (3 4i ) (1 5i) (3 1) i(4 5) i Hai số phức nhau: Cho hai số phức : z1 = a1 + ib1 z2 = a2 + ib2 Hai số phức nhau: a a2 hoặc: z1 – z2 = z1 = z2 b1 b2 Phép nhân hai số phức: z1.z2 (a1 ib1 )(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 ) Ví dụ 1.2.2 (1 3i )(2 5i ) 5i 6i 15i (2 15) 11i 13 11i Ví dụ 1.2.3 Rút gọn số phức sau: z (3 2i)(2 7i) 5i B (1 3i ) (1 i ) (5 6i ) C (1 i )2 (1 2i )4 (1 3i ) Phép chia hai số phức: z1 z1 z2 zz 22 = nhân tử mẫu với liên hợp mẫu số z2 z2 z | z | Ví dụ 1.2.4 Thực phép rút gọn sau: 3i (1 3i)(2 5i) 5i 6i 15i 13 11 i 25 29 29 5i (2 5i)(2 5i ) 6i (3 6i )(3 4i) 9 12i 18i 24i 15 30 i i 16 25 25 5 4i (3 4i)(3 4i ) 2i i (5 2i ) 5i 2i 5i i i.i i Ghi nhớ: Tất phép toán rút gọn số phức đơn giản với số liệu cụ thể dùng máy tính cầm tay CASIO giải nhanh gọn Chúng ta phải biết cách làm để xử lí tốn rút gọn chứa tham số giải phương trình phức có phân số 1.3 Các tính chất số phức: Liên hợp tổng (hiệu) tổng (hiệu) liên hợp : z1 z2 z1 z2 8|T huận Thành – Bắc Ni nh – 2018 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ 1.3.1 Cho z1 = + 2i z2 = + 4i Khi đó: z1 z2 (1 2i ) (3 4i ) 6i 6i z1 z2 2i 4i 2i 2i 6i Liên hợp tích tích liên hợp: z1.z2 z1.z2 Ví dụ 1.3.2 Cho hai số phức: z1 2i; z2 4i z1.z2 (1 2i )(3 4i ) 5 10i 5 10i z1.z2 2i.3 4i (1 2i )(3 4i ) 5 10i Liên hợp thương thương liên hợp: ( Liên hợp lũy thừa lũy thừa liên hợp: z n ( z ) n Đặc biệt: Cho z = a + ib , ta có: z z 2a ; z z 2ib Phép thử số phức: Nếu số phức z thực thì: z z ; số phức z ảo thì: z z Tích cặp số phức với số phức liên hợp: z.z ( a ib)( a ib) a b | z |2 | z |2 Mô đun mơt tích tích mơ đun: |z1.z2| = |z1|.|z2| z z1 ) z2 z2 Ví dụ 1.3.3 | (1 2i )(3 5i ) ||1 2i | | 5i | 34 170 Mô đun lũy thừa lũy thừa mô đun: | z n || z |n Ví dụ 1.3.4 | (1 2i ) 20 ||1 2i |20 ( 5) 20 510 Mơ đun thương thương mơ đun: | Ví dụ 1.3.5 | z1 | z1 | | z2 | z2 | 2i |1 2i | | 4i | 4i | 5 Ví dụ 1.3.6 Rút gọn biểu thức sau: z 3i (1 i)10 2i A (1 7i)(2 i) 5i 1 i 1 i w (1 i) 20 6i 3i Ví dụ 1.3.7 Tính mơ đun sau: | (1 2i )2 (3 4i ) | | (4 i ) | (3 2i )(1 i )6 | (1 3i )6 (1 3i )6 (4i ) | Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1.4 Lũy thừa số ảo in – Tổng cấp số cộng cấp số nhân số phức Phép lũy thừa số ảo xử lí đơn giản: Ví dụ 1.4.1 Với: i i i 1.i i Với : i (i ) (1) Với: i 2017 i 2016 i (i )1008 i (1)1008 i i Ví dụ 1.4.2 Tính tổng: Sn i i i i 60 Giải: Nhận thấy tổng lũy thừa liên tiếp: i i i i (i i ) (i i ) i(1 i ) i (1 i ) Vậy suy tổng 4k lũy thừa liên tiếp Vậy suy tổng: Sn (i i i 60 ) Ví dụ 1.4.3 Tính tổng: Sn i i i i 93 Sn i i i i 94 Sn i i i i 81 Sn i i i i101 Cấp số cộng: Nhắc lại cấp số cộng: cho dãy số: u1 , u2 , … , un cấp số cộng thỏa mãn tính chất sau: u2 = u1 + d; u3 = u2 + d = u1 + 2d ; … ; un = un-1 + d = u1 + (n – 1)d Trong u1 gọi số hạng đầu d gọi công sai cấp số cộng Một số hạng ln trung bình cộng hai số hạng đứng trước sau nó: uk Tổng n số hạng liên tiếp: Sn u1 u2 un uk 1 uk 1 u1 un n Ví dụ 1.4.4 Tính tổng cấp số cộng sau: Sn = + (1 + i) + (1 + 2i) +…+ (1 + 200i) Giải: Nhận thấy có 201 số hạng, nên ta có: Sn = u1 u200 (1 200i) 201 201 201 20100i 2 Ví dụ 1.4.5 Tính tổng cấp số cộng sau: Sn = + (2 + 2i) + (3 + 4i) +…+ (300 + 598i) Cấp số nhân: Nhắc lại cấp số cộng: cho dãy số: u1 , u2 , … , un cấp số nhân thỏa mãn tính chất sau: u2 = u1.q; u3 = u2q = u1.q2 ; … ; un = un-1.q = u1.qn – Trong đó: u1 số hạng đầu q gọi công bội cấp số nhân Một số hạng ln trung bình nhân hai số hạng đứng trước sau nó: uk uk 1uk 1 Tổng n số hạng liên tiếp: Sn u1 u2 un u1 10 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – qn 1 q 1 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ 1.4.6 Tính tổng cấp số nhân sau: Sn = + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)11 Giải: Tổng có số hạng cấp số nhân có cơng bội: q = + i số hạng đầu: u1 = Áp dụng công thức: Sn u1 qn 1 (1 i)12 26 (26 1)i (1 i) i q 1 Ví dụ 1.4.7 Tính tổng cấp số nhân sau: Sn = + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)31 Sn = + (1 – 2i) + (1 – 2i)2 + … + (1 – 2i)49 Sn = (1 – i) + (1 – i)2 + … + (1 – i)55 1.5 Hàm số phức – Bài toán đồng hàm số ảo f(i) = Ai + B Số phức có nhiều ứng dụng, ví dụ phép đồng hàm có sử dụng giá trị hàm phức số ảo f(i): Bài toán 1.5.1 Cho hàm số f ( x) phân số tối giản: f ( x) x3 x Người ta phân tích hàm số thành dạng ( x 1)( x 4)( x 1) E F Ax B Cx D Hãy tìm hệ số thực phép 2 x 1 x x ( x 1) phân tích trên: A, B, C, D, E, F Giải: Với hệ số E F ta biết tìm chun đề khác Chúng ta khơng bàn chuyên đề số phức gây phức tạp cồng kềnh kiến thức Ta tìm hệ số A, B, C, D ứng dụng hàm phức: Nhân hai vế f(x) với (x2 + 1) ta được: ( x 1) f ( x) Thay x = i , vào hai vế phương trình (1), ta được: Cx D E F x3 x Ai B (i 1){ } 2 | x i ( x 4)( x 1) x ( x 1) x 1 x3 x Cx D E F Ax B ( x 1){ } 2 x ( x 1) x 1 ( x 4)( x 1) A = 2i 2i Ai B i Ai B 2 | x i (i 4)(i 1) B = Tương tự, nhân hai vế f(x) với (x2 + 4) ta được: ( x 4) f ( x) (1) x3 x Ax B E F Cx D ( x 4){ } 2 x ( x 1) x 1 ( x 1)( x 1) Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội (2) Trang 11 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Thay x = 2i , vào hai vế phương trình (2), ta được: x3 x Ax B E F 2Ci D (4i 4){ } 2 | x 2i ( x 1)( x 1) x ( x 1) x 1 28 C= 2(2i ) 2(2i) 83 56 75 2Ci D i 2Ci D 2 | x 2i (4i 1)(2i 1) 75 75 D = 83 75 Ví dụ 1.5.2 Cho hàm số f ( x) x3 3x Người ta phân tích hàm số thành dạng ( x 1)( x 9)(3x 1) phân số tối giản: f ( x) Ax B Cx D E F Hãy tìm hệ số thực 2 x (3x 1) 3x x 1 phép phân tích trên: A, B, C, D Ví dụ 1.5.3 Chứng minh hai hàm sau đồng nhất: f ( x) arctan x x i ln | | 2i xi Giải: dx arctan x 1 Xét nguyên hàm của: I = Theo cách khác: I = I= Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh x x (1) dx dx dx 2 dx 1 x i ( x i )( x i ) 2i x i x i 1 x i | ln | x i | ln | x i | ln | 2i 2i xi (2) x x 2i | Ví dụ 1.5.4 Chứng minh hai hàm sau đồng nhất: f ( x) arctan ln | 4i x 2i Ví dụ 1.5.5 Chứng minh hai hàm sau đồng nhất: f ( x) x x arctan ln | | a 2ai x a Bài tốn 1.5.6 Tính giá trị biểu thức phức sau: S2019 = + 2i + 3i2 + … + 2019.i2018 S2017 = i + 2i2 + 3i3 + … + 2017i2017 S2016 i i 2016 i i3 2016 S2017 i i 2018 i3 i4 2017 Giải: Những toán dạng tốn có sử dụng đạo hàm tích phân 12 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Câu 415 (3) Cho ba số phức u, v, w thỏa mãn hệ thức: (u 2i 3)v 2iw 3i Biết phương trình nghiệm với v Khi |u + w| A B 1/2 C 3/2 D Giải: u 3 2i u 2i Phương trình cho với v 2iw 3i w 2i 3 Suy ra: | u v | | 3 2i 2i | 2 Vậy ta chọn đáp án C Câu 416 (3) Cho u w thỏa mãn hệ thức: (1 2i )u.w 3i 4u Biết |u| = Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức w? A đường trịn (C) có phương trình: ( x )2 ( y )2 5 80 B đường thẳng có phương trình: 2x – 3y – = C đường trịn (C) có phương trình: ( x 1) ( y 2)2 D đường trịn (C) có phương trình: ( x )2 ( y )2 5 Giải: 3i 3i | u | | | (1 2i )w (1 2i )w Từ giả thiết suy ra: u (1 2i )w 3i u | (1 2i )w | Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức w đường tròn (C): ( x )2 ( y )2 80 Vậy ta chọn đáp án A 8 |1 2i | | w i | | w i | 5 5 Câu 417 (3) Cho z w thỏa mãn hệ thức: (w 2i ) z (3 i)w 2i Biết |w| = Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z A đường tròn (C) có phương trình: ( x 1) y 25 B đường thẳng d có phương trình: x y 11 C đường thẳng d có phương trình: x y D đường thẳng d có phương trình: x 11y Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang 357 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Giải: 2iz 2i z 3 i Giả thiết suy ra: w( z i) 2iz 2i w Đến ta mô đun hai vế, được: | w| | Gọi z = x + iy, thay vào phương trình ta được: | x iy 1| | x iy i | ( x 1) y ( x 3) ( y 1) x y Suy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d: x y Vậy ta chọn đáp án C 2iz 2i | z 1| | | z 1| | z i | | z 3i | z 3i Câu 418 (3) Gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức: | z i | Biết góc MOy đạt giá trị nhỏ Khi số phức z = a + ib Giá trị (2a + 2b) tương ứng A B C D Giải: Đây toán dễ hình dung Điểm M chạy đường trịn (C) quen thuộc dạng Yêu cầu góc tạo véc tơ OM trục Oy đạt giá trị nhỏ Chúng ta giải theo hai phương pháp : phương pháp vẽ hình phương pháp tự luận chắn Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm: I (1; 3) bán kính R = Phương pháp vẽ hình chuẩn (có thể bạn dùng thước compa) y M (C) I A O x Trước hết ta vẽ xác đường tròn (C) mặt phẳng tọa độ Oxy: Nhận thấy đường tròn tiếp xúc với trục Ox điểm A có hồnh độ: OA ; OI nhỏ OM tiếp xúc với Nhận thấy điểm M chạy đường trịn (C) góc MOy MOy 30 đường tròn (C) điểm khác A Dễ thấy: OA OM Góc: AOI IOM Suy tọa độ điểm: M = (OM sin 30 ; OM cos 30 ) ( Suy ra: (2a 2b) Vậy ta chọn đáp án D 358 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – 3i 3 ; ) zM 2 2 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Câu 419 (3) Gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức: | z i | Biết góc MOx đạt giá trị nhỏ Khi phần thực số phức z A B C D Giải: Đường trịn biểu diễn quỹ tích điểm M có tâm I (1; 3) bán kính R = Suy ra: OI = y O 30 x 3 M A I (C) Tương tự câu trên, đường tròn (C) tiếp xúc với trục Oy điểm A (1; 3) đạt giá trị nhỏ OM phải tiếp xúc với Khi M chạy đường trịn (C), để góc: MOx (C) điểm M hình vẽ AOI 30 Áp dụng tính chất tiếp tuyến ta có: Ta có: tan AOI MOx 30 M (OM cos 30 ; OM sin 30 ) ( ; ) OA OM AOI IOM 2 Suy phần thực số phức z biểu diễn M tương ứng là: Vậy ta chọn đáp án B Câu 420 (3) Gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức: | z i | Biết góc MOy đạt giá trị lớn Khi phần ảo số phức z A 7 B 3 C D -2 Giải: Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang 359 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Ta có hình vẽ tương tự câu trên: đường trịn (C) có tâm I(2;-2) bán kính R = y O x -2 A I M (C) 45 MOA 45 MOI OI 2 OM OI IM (2 2) 12 ; IOA lớn OM phải tiếp tuyến hình vẽ Ta thấy để góc MOy Tính xấp xỉ góc: sin MOI Phần ảo số phức z ứng với điểm M tính hình vẽ xác: ) cos MOI sin MOI 7( ) OA OM cos cos(45 MOI 2 2 2 Rút gọn ta phần ảo số phức ứng với điểm M là: Vậy ta chọn đáp án A IM cos MOI OI 2 2 7 7 ) ( 2 2 z z2 Câu 421 (3) Cho số phức z không thực, cho số phức: w số thực Gọi giá trị z z2 lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = |z – + 3i| M m Khi (Mm) A 16 B 14 C 19 D 12 Giải: Đây dạng có áp dụng tính chất phương trình đa thức hệ số thực Từ giả thiết ta có: 6w wz wz z z (w 1) z (w 1) z 6(w 1) Phương trình có hệ số thực nên tồn cặp nghiệm phức liên hợp: z , z Theo hệ thức VIET, ta có tích hai nghiệm: z z C 6(w 1) | z |2 | z | A w 1 360 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Áp dụng BĐT tam giác, ta có: || z | | 4 3i || P | z 3i | | z | | 4 3i | | 5| P | z 3i | Suy ra: Giá trị lớn P là: M = Pmax = ; giá trị nhỏ P: m = Pmin = Suy ra: Mm (5 6)(5 6) 19 Vậy ta chọn đáp án C Câu 422 (4) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: z2 + 2az + a2 + 2a + = 0, với a tham số thực Khi giá trị lớn biểu thức: P B A 1 | z1 | | z2 | C 2 D Giải: Giải phương trình: ' a (a 2a 3) 2a Để có nghiệm phức điều kiện: ' 2a a Phương trình có hai nghiệm liên hợp có mơ đun nhau: z ; z z z | z |2 a 2a Suy ra: P Suy giá trị lớn P là: Pmax = a = - Vậy ta chọn đáp án D (1) 1 2 1 2 | z1 | | z2 | a 2a a 2a (a 1) 2 Câu 423 (4) Cho số phức z thỏa mãn: | z 4i | z Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P | z 3i | Khi tổng (M + m) A 12 B 13 C D 2 Giải: Gọi góc tạo số phức: z2 i là: z , i Áp dụng cơng thức bình phương vô hướng: | z 4i | | z | | z |2 16 | i | 8.| z | | i | cos | z |2 | z |4 16 | z |2 cos | z |2 Đặt: t | z |2 t 16 8t cos t 1 cos Với vế BĐT: cos t t 16 1 8t t t 16 t 7t 16 ; hiển nhiên với t 8t Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang 361 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 17 17 t t 16 t 9t 16 t 8t 2 Với vế BĐT: 1 cos Thay lại: t = |z|2 rút gọn khai phương ta 17 17 17 17 |z| t | z |2 2 2 Áp dụng BĐT tam giác ta có: P | z 3i | | z | | 2 3i | | z | 13 P | z 3i | || z | | 2 3i || || z | 13 || Suy ra: ( M m) 13 Vậy ta chọn đáp án B 17 17 13 M Pmax 13 2 17 17 13 | m Pmin 13 2 Câu 424 (4) Gọi z1 z2 hai số phức thỏa mãn điều kiện: |4z – 3i| = |4 + 3iz| Biết chúng thỏa mãn điều kiện: |z1 – z2| = Hãy tính giá trị biểu thức: P = |2z1 + 3z2| ? A 19 B C D Giải: Xử lí giả thiết: | z 3i | | 3iz | | z 3i | | i(3z 4i) | | 3z 4i | Gọi góc tạo hai số phức z i là: z ,i Bình phương vơ hướng biểu thức (1), ta được: 16 | z |2 24 | z | cos | z |2 24 | z | cos 16 | z |2 | z | Suy ra: |z1| = |z2| = Gọi góc tạo z1 z2 là: z , z2 Xử lí bình phương vô hướng: | z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 | z1 | | z2 | cos Ta có: 2 2 P | z1 3z2 | | z1 | 9 | z2 | 12 | z1 | | z2 | cos | z1 z2 |2 | z1 |2 6 | z2 |2 12 | z1 | | z2 | cos P 10 | z1 |2 15 | z2 |2 2 P | z1 3z2 | | z1 | 9 | z2 | 12 | z1 | | z2 | cos Suy ra: P 10 | z1 |2 15 | z |2 10 15 P 19 Vậy ta chọn đáp án A (1) Câu 425 (3) Cho hai số phức thỏa mãn: |z1| = |z2| = | z12 z22 | 48 Khi giá trị biểu thức: P | z12 z22 | bao nhiêu? A 12 B 26 362 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – C 10/3 D Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Giải: 2 Gọi góc hai số phức: z12 z12 là: z , z Áp dụng CT bình phương vơ hướng, ta có: 482 | z12 z22 |2 16 | z12 |2 81| z22 | 72 | z12 | | z22 | cos (1) P | z12 z22 |2 | z12 |2 | z22 | | z12 | | z22 | cos (2) Nhân 36 vào hai vế biểu thức (2), ta được: 36 P 36 | z12 |2 36 | z22 | 72 | z12 | | z22 | cos Cộng (1) với (3) , vế theo vế ta được: 482 36 P 52 | z1 |4 117 | z2 |4 52.24 117.24 P Vậy ta chọn đáp án C (3) 10 Câu 426 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 108) Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: | z i | 2 (z – 1)2 ảo ? A B C D Giải: Gọi z = a + ib, thay vào giả thiết ta được: | z i | 2 | a ib i | 2 ( a 2) (b 1) Số phức: ( z 1) (a ib 1) (a 1) b 2(a 1)bi ảo (a 1) b b a b a Trường hợp 1: b a ; vào (1) suy được: (a 2) (a 2) a b 1 Suy ra: z1 = -i Trường hợp 2: b a ; vào (1) suy được: a 1 b z2 1 i (2 3) (a 2) (1 a 1) a 1 b z3 1 i (2 3) Suy có tất số phức thỏa mãn toán Vậy ta chọn đáp án A (1) Câu 427 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 108) Cho số phức z thỏa mãn: z i | z | Đặt: z = a+ ib Khi giá trị S = (4a + b) tương ứng A B -4 C Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội D -2 Trang 363 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Giải: 2 a a b a a a Ta có: z i | z | a ib i a b b b 1 Suy ra: S = 4a + b = -4 Vậy ta chọn đáp án B 2 Câu 428 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 103) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện: | z | | z 2i | | z 2i | Tính |z| ? A 17 B 17 C 10 D 10 Giải: Gọi z = a + ib , thay vào giả thiết ta được: | a ib | (a 3) b 25 b ( a 3) b 25 2 a 1 | a ib 2i || a ib 2i | a (b 2) (a 2) (b 2) a 1 Suy ra: | z | a b 10 Vậy ta chọn đáp án D Câu 429 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 103) Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: | z 3i | 13 z số ảo ? z2 A Vô số B C D Giải: Gọi z = a + ib, thay vào giả thiết ta được: | z 3i | 13 | a ib 3i | 13 a (b 3) 13 Điều kiện ảo: a(a 2) b (2) Lấy (1) trừ (2), vế theo vế ta được: 2a 6b 13 a 3b ; vào (2) ta được: b a 2 (3b 2)(3b) b 10b 6b b a 5 (1) z (a ib)(a ib) a(a 2) b 2ib a ib ảo z a ib (a 2) b (a 2)2 b 2 364 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Suy có hai số phức thỏa mãn điều kiện toán Vậy ta chọn đáp án B Câu 430 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 107) Cho số phức z = a + ib, (có a b số thực) thỏa mãn điều kiện: z + + 3i – |z|i = Tính S = (a + 3b) ? A -5 B C 7/3 D -7/3 Giải: a a 1 Ta có: a ib 3i i a b 2 b a b b b b Suy ra: S = a + 3b = -5 Vậy ta chọn đáp án A 2 Câu 431 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 107) Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: | z 3i | z số ảo ? z2 A Vô số B C D Giải: Gọi z = a + ib thay vào giả thiết ta được: | z 3i | | a ib 3i | a (b 3) 25 Số phức ảo: a(a 2) b Lấy (1) trừ (2) , vế theo vế ta được: 2a 6b 25 a 3b vào (2) ta được: (3b 8)(3b 6) b (VN) Suy khơng có số phức thỏa mãn Vậy ta chọn C (1) z (a ib)(a ib 2) a(a 2) b 2ib a ib ảo (a 2) b (a 2)2 b z a ib (2) Câu 432 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 120) Cho số phức z thỏa mãn: |z| = |z + 3| = |z + – 10i| Tìm số phức w = z – + 3i ? A w = + 3i B w = - + 7i C w = - + 8i Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội D -3 + 8i Trang 365 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Giải: Gọi z = a + ib, thay vào giả thiết ta được: a b2 25 a a b 25 a b 25 2 2 b | a ib | | a ib 10i | (a 3) b (a 3) (b 10) b5 Suy ra: w z 3i 5i 3i 4 8i Vậy ta chọn đáp án C Câu 433 (3) (Đề ĐH 2017 – Mã 120) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn đồng thời: z z | z i | m Tìm số phần tử S? A B C D Giải: Ta có: z z | z |2 | z | Đây đường trịn (C1) có tâm gốc tọa độ O bán kính R1 = | z i | m đường tròn (C2) tâm I ( 3; 1) có bán kính R2 = m > Để có số phức thỏa mãn điều kiện tốn hai đường trịn (C1) (C2) phải tiếp xúc (ngoài trong) với m 1 OI R1 R2 1 m m 1( LOAI ) OI | R1 R2 | |1 m | m3 Suy có giá trị m thỏa mãn Vậy ta chọn đáp án A Câu 434 (3 – D) Cho số phức z thỏa mãn: | z i | | z i | 16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Khi (M + m) tương ứng thuộc khoảng ? A (1;2) B (2; ) C ( ; ) 2 D ( ; 4) Giải: Áp dụng BĐT bunhia, ta có: 256 | z i | | z i | (32 52 ) | z i |2 | z i |2 34 | z |2 2 | i |2 68 | z |2 68 | z |2 47 47 47 | z | m Có thể suy luôn: | z | 17 17 17 366 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Chúng ta không cần để ý tới điều kiện dấu “=” xảy cho đỡ tốn thời gian: | z i | | z i | Áp dụng nhanh tiếp hai BĐT tam giác trị tuyệt đối: 16 | z i | | z i | | z i | | z i z i | | z | | i | | z | 2 | i | | z | Ta kiểm nghiệm dấu “=” BĐT tam giác nhiều rồi, ln dấu “=” xảy z = 9i/4 Suy max | z | 47 9 ( ; 4) Chọn đáp án D M M m 4 17 Câu 435 (3 – C) Cho số phức z thỏa mãn: | z i | | z 2i | 20 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Khi (M + m) tương ứng thuộc khoảng ? A (1;3) B (4; 11 ) 11 13 C ( ; ) 2 13 D ( ;8) Giải: Áp dụng BĐT bunhia, ta có: 41 400 | z i | | z 2i | ( 42 ) | z i |2 | z 2i |2 | z |2 6 | i |2 2 400 Áp dụng nhanh tiếp hai BĐT tam giác trị tuyệt đối: 20 20 5 | z 2i | | z 2i | | z 2i | | z 2i z 2i | | z | | 2i | 2 2 20 25 25 | z | | z | 2 | z | Suy max | z | M 2 7 Suy ra: M m 41 554 554 554 m | z |2 6 | z |2 | z | Suy ra: | z | 123 123 123 5 | z i | | z 2i | | z 2i | | z 2i | | z 2i | | z 2i | 2 2 25 554 11 13 ( ; ) Chọn đáp án C 2 123 Câu 436 (3) Cho số phức z thỏa mãn: | z 2i | | z 1| 12 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z + i + 2| Khi (M + m) tương ứng thuộc khoảng ? A (1;2) B (2;3) C (3;4) Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội D (4;6) Trang 367 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Giải: Trước hết ta đặt u z i giả thiết ban đầu viết dạng quen thuộc: | z 2i | | z 1| 12 | u (1 i) | | u (1 i) | 12 Áp dụng BĐT bunhia, ta có: 144 | u (1 i ) | | u (1 i ) | (32 ) | u (1 i ) |2 | u (1 i) |2 25 | z |2 2 |1 i |2 144 50 | z |2 100 | z |2 Áp dụng nhanh tiếp hai BĐT tam giác trị tuyệt đối: 12 | u (1 i ) | | u (1 i ) | | u (1 i ) | | u i u i | | u | |1 i | | u | Suy max | u | 22 44 22 | z | m Suy ra: | z | 50 12 22 12 M M m (2;3) Chọn đáp án B 7 Câu 437 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| = Khi giá trị nhỏ biểu thức P | z i | | z i | tương ứng A B C D Giải: |v| |u| u v| |u| |v| Áp dụng công thức: | u v | | Ta có: | z i | | Suy ra: P | z i P | | P 2 Vậy ta chọn đáp án B |z| 1 i z (1 i ) | | 2.z (1 i ) | | z | |z| 2 1 i 1 i 1 i | | z i | | z | | z i | | z z 2i | 2 Câu 438 (3) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z + i| = Khi giá trị nhỏ biểu thức P | z 3i | | z i | tương ứng A 29 B C 13 Giải: Đặt u z i | u | 1 P | u 2i | | u | 368 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – D 15 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG |v| |u| u v | |u| |v| Áp dụng công thức | u v | | Ta có: | u 2i | | Suy ra: P | u Suy ra: P 29 Vậy ta chọn đáp án A |u| 1 2i |1 2i | u (1 2i ) | | u (1 2i ) | | u | |1 2i | |u| 2i 2i 2i u | 29 | | u | | u | | u | | u 5 Hết Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang 369 Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ 370 | T h u ậ n T h n h – B ắ c N i n h – CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Tôn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Gần xuyến suốt tài liệu, tác giả tham khảo số tốn số phức hay khó tản mạn đề thi thử TNĐH năm 2017 trường THPT chuyên tiếng mẫu mực tồn quốc Tuy nhiên, tác giả ln giải riêng theo phương pháp mới, phong cách toán tham khảo Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô trường chuyên soạn số câu hỏi số phức hay độc đáo, phần gợi ý kiến thức sáng tạo tác giả, phần làm phong phú thêm nguồn tập nâng cao tài liệu số phức Khi sinh viên lớp Kỹ Sư Tài Năng Khóa 44 Khoa Cơng Nghệ Thơng Tin trường Đại Học Bách Khoa Tác giả trực tiếp PGS TS Nguyễn Cảnh Lương, nguyên phó hiệu trưởng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội giảng dạy hai môn học: Đại số tuyến tính Hàm Phức Hệ thống tư tưởng cách triển khai kiến thức tác giả kế thừa phát huy từ tảng sở vững thầy Nguyễn Cảnh Lương Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Trang 371