Chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn và bài toán liên quan

 Sưu tầm tổng hợp CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em chuyên đề rút gọn biểu thức chứa tốn liên quan Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán biểu thức đại số thường kì thi gần Các vị phụ huynh thầy cô dạy tốn dùng dùng chun đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề rút gọn biểu thức chứa tốn phụ giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Các cơng thức biến đổi thức Cách tìm điều kiện toán chứa thức Các dạng toán biến đổi thức thường gặp Dùng ẩn phụ để đơn giải hóa tốn Các tốn tính tổng dãy có quy luật Rút gọn biểu thức chưa hay nhiều ẩn 12 Rút gọn biểu thức tốn liên quan 14 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức x = k (với k số) 14 Dạng 2:Tính giá trị biến x để P = k (với k số) 16 Dạng 3: Tính giá trị biến x để P = A (với A biểu thức chứa ẩn) 17 Dạng 4: Tìm giá trị biến x để biểu thức P cho thỏa mãn bất đẳng thức P < 18 k ( > ; ≥; ≤ k) với k số Dạng 5: So sánh biểu thức cho với k (hằng số) B (biểu thức chứa ẩn) 20 Dạng 6: So sánh biểu thức rút gọn A với √𝐴 A2 22 Dạng 7: Chứng minh với giá trị ẩn x để biểu thức A cho xác định 23 A > k ( < ; ≥; ≤ k) với k số Dạng 8: Tìm giá trị biến x để biểu thức P cho thỏa mãn bất đẳng thức P < 25 A ( > ; ≥; ≤ A) với A biểu thức chứa ẩn Dạng 9: Tìm giá trị ẩn để biểu thức cho nhận giá trị nguyên 27 Dạng 10: Tìm giá trị ẩn để biểu thức đạt GTNN GTLN 32 Dạng 11: Chứng minh biểu thức cho âm ln dương 35 Dạng 12: Tìm giá trị ẩn thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu 36 giá trị tuyệt đối Dạng 13: Tìm giá trị tham số m để x thỏa mãn phương trình, bất phương trình 38 Bài tập luyện tập 42 Hướng dẫn giải 54 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN  Các cơng thức biến đổi thức  A nÕu A ≥ A= A =  − A nÕu A < AB = A = B A2 B = A (Với A ≥ 0; B ≥ ) A B A B (Với A ≥ 0; B > ) (Với B ≥ ) B (Với A ≥ 0; B ≥ ) A B= A B = − A2 B A2 B A = B B A A B = B B (Với A < 0; B ≥ ) (Với A ≥ 0; B > ) AB (Với B > ) ( C A±B C = A − B2 A±B 10 C C = A± B 11 A) ( = 3 ( ) A± B (Với A ≥ 0; A ≠ B2 ) ) A− B (Với A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) = A3 A  Cách tìm điều kiện toán chứa thức BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A A B VÍ DỤ A≥0 Ví dụ: ĐKXĐ: B ≠ Ví dụ: ĐKXĐ: ĐKXĐ: x ≥ 2018 x+4 x−7 ĐKXĐ: x≠7 x − 2018 A B ĐKXĐ: B > Ví dụ: x +1 x −3 ĐKXĐ: x>3 A B ĐKXĐ: A ≥ 0; B > Ví dụ: x x −3 ĐKXĐ: x ≥ ⇔ x>3  x > Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  A ≤  B < ĐKXĐ:   A ≥    B > A B Cho a > ta có: Cho a > ta có: ĐKXĐ: x > a Ví dụ: x > ⇔   x < − a x > a x >a⇔  x < − a x +1 x+2 Ví dụ:  x + ≤    x + < ⇔  x < −2 x ≥  x + ≥     x + > Ví dụ: x < ⇔ −2 < x < 2 x 2.2016 2017 − + 20162 − 2017 − − 20162 − > 2.2016 2017 − + 20162 − Rút gọn biểu thức: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) A = − − 29 − 12 b) B= 70 − 4901 + 70 + 4901 Lời giải a) A= = − − 29 − 12 = 5− ( − 3− (2 −3 ) ) −1= b) Đặt x = 70 − 4901 + 70 + 4901 ⇒ x 03=  70 − 4901 + 70 + 4901    = 70 − 4901 + 70 + 4901 + 3 70 − 4901 70 + 4901  70 − 4901 + 70 + 4901    = 140 + 3x Khi ta có: ( ) x 03 + 3x − 140 =0 ⇔ ( x − ) x + 5x + 28 =0 Mà x + 5x + 28 > ( ∆ < ) ⇒ x =5 Vậy B = + 3+ + +4 Thí dụ 10 Rút gọn biểu thức: P = 2+ 3+ Lời giải Ta có: P + 3+ + +4 = 2+ 3+ ( ) ( + 3+2 + 4+ 6+ 2+ 3+ + + 4)+( + + 8) ( (= ) ) 2+ 3+ + 2+ 3+ ( 2+ 3+ ) 2+ 3+ = 1+  Dạng 2: Dùng ẩn phụ đơn giản hóa tốn Thí dụ Rút gọn biểu thức: A = 7− −47− 7− +  747+      + 343 Lời giải Đặt a = Fb: Trịnh Bình ⇒ a = a = ta có: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com − 2a 13a + a2 + + = + a 1 a a (a + 1) 2 a− a a +  a a  a + a − 2a − 2a + 13a + a 2a (7 − a ) = = = 0= Do a 3 a (a + 1) a (a + 1) A = −a − a a2 − ( Thí dụ Rút gọn biểu thức: B = − − 25 − 125 4 ) Lời giải Đặt b = ⇒ b2 = Ta có: B = 25 , b = 125 , b = 5, b6 = 5b , b = 5b − 3b + 2b − 3b 1 (b + 3b) + (2b + 4) = Mặt khác:= b − 2b + 3b − (b + 3b) − (2b + 4) (b + 3b)2 − (2b + 4)2 b + 3b + 2b + (b + 2b + 3b + 4)(b − 3) b + 2b − 2b − 9b − 12 = = − = −2b − 2(b − 9) − b − 2b −  b+1 = = −      Vậy B  = = =  b+1  b+1 4 +1  − 1+  + Thí dụ Rút gọn biểu thức: E =   −  1− 2   4 1+ + 1+ 2 Lời giải Đặt =a ⇒ a =2, 4 =a = Ta có:  a2 − a + a2 E= + a a −   −  2 + 2 1 a a =  −a + + a  − + a = − =0   2 a  a 1+ a 1+ a a a  1+ ( ) Vậy E =  Dạng 3: Các tốn tính tổng dãy có quy luật Thí dụ = S Rút gọn: +1 + +2 + + 1999 1998 + 1998 1999 + 2000 1999 + 1999 2000 Lời giải Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Với k ∈ N, k ≥ : ( k + 1) ( k + 1) k − k ( k + 1) k − k k += k ( k + 1) ( k + 1) k − k ( k + 1) = k + k k+1 2 k+1 = k − k+1 ( 1) Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3, , 1999 ta 1 ; = − +1 2 1 ; = − +2 3 −−−−−−−−−−−−− = 2000 1999 + 1999 2000 1999 − 2000 Cộng đẳng thức theo vế ta được: S = + 1 + + +1 + 1999 1998 + 1998 1999 1 1 1 = − + − + + − 2 1999 2000 = 1 2000 1999 + 1999 2000 2000 2000 − = = − + 2000 20 − 20 Thí dụ A= Rút gọn: 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + 2+ + 2 2 3 1998 1999 1999 2000 Lời giải Với k ∈ N, k ≥ : 1 1 2  1+ + 2+ − − 1+ k − − k  =   ( k − 1) k k − ( k − 1) k k =1 + ⇒ 1+ Fb: Trịnh Bình ( k − 1) ( k − 1) ⇒ 1+ 2 + 2 2 + − + − k −1 k −1 k k k  1 + = 1+ −  k −1 k  k  ( k − 1) + 1 =1 + − k −1 k k ( 1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 76 Website:tailieumontoan.com x −2 = 1− x x Ta có A = Suy A nhận giá trị nguyên Hay x ước nguyên x ∈ {−1;1; −2; 2} Ta có: x = −1 (Vơ nghiệm) x =1 ⇔ x =1 (thỏa mãn) x = ⇔ x = (thỏa mãn) x = −2 (Vô nghiệm) Vậy để A nguyên x ∈ {1;4} Câu 57 Đặt s = x t = y đẳng thức đề viết lại thành Do s, t ≥ nên s + s 2t + t + t s = a s + s 2t = s s + t , t + t s = t s + t a hay ( s + t ) = Từ ta có ( s + t ) s + t = a2 Suy s + t =3 a Đây kết cần chứng minh Câu 58 a) Điều kiện: x ≠ − y; x ≠ −1; y ≠ x + x − y + y − x y − x y x − xy + y + x − y − x y = (x + y)(1 − y)(1 + x) (1 − y)(1 + x) P x2 + x2 y + x − y 1+ x =x + xy − y = b) Đặt S = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2017 2018 2 1 1  Ta có + + = 1+  − +  n (n + 1)  n n +  n(n + 1) (n ∈  * )  1  1 = 1+ − =1 + −  n n +1 n n +1   1  1  1  − Áp dụng đẳng thức ta S =  + −  +  + −  + +  +   2  3  2017 2018  Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 77 Website:tailieumontoan.com = 2018 − < 2018 (điều phải chứng minh) 2018 Câu 59 Từ giả thiết cho ta có: 1 + = ⇔ xz + yz = xy ⇔ 2xy − 2xz − 2yz = x y z ⇒ x2 + y2 + z2 = x + y + z + 2xy − 2xz − 2yz = (x + y − z) = x+y−z ⇒ x + y + z số hữu tỉ Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 60 a) Rút gọn T: Với a ≠ b, a > 0, b > , ta có: a + b − ab a + a b − b a − b − a + b a + b − ab = ⋅ T= : a+ b a+ b a− b a+ b ( Vậy : T = a + b − ab ab ) )( ( a− b ab ( )( a+ b a− b ) )= a + b − ab , với a ≠ b, a > 0, b > b) Chứng tỏ T > Ta có: T = = ⇔T ( a + b − ab ab a− b , với a ≠ b, a > 0, b > (kết câu 1.a) ) + ab ( = ab a− b ) ab + > (vì ab > 0, a − b ≠ với a ≠ b,a > 0, b > ) Vậy T > Câu 61 Ta có ngay: A = 20 − 45 + 125 − 405 = − + 15 − 18 = B= 9−4 + 9+4 = = ( 2 ) − 2.2 (2 ) 2 −1 + ( 2 ) + 2.2 2.1 + + (2 +1 ) 2.1 + = 2 − + 2 += 2 − + 2 += Fb: Trịnh Bình (do2 − > 0) TÀI LIỆU TỐN HỌC ab 78 Website:tailieumontoan.com Câu 62 Ta có: + = = 1+ + = = 2.3 ⇒ = + 2.3 3.4 ⇒ = + + 3.4 2018.2019 ⇒ = + + + + 2018 2018.2019      P=  − 2.3  − 3.4   − 2018.2019       2.3 − 3.4 − 2018.2019 − = 2.3 3.4 2018.2019 + + + .= + 2018 10 4074340 2.3 3.4 2018.2019 1.4 2.5 3.6 2016.2019 2017.2020 = 2.3 3.4 4.5 2017.2018 2018.2019 (1.2 .2017 ) ( 4.5 .2020 ) 1.2020 2020 1010 = = = = ( 2.3 .2018 ) ( 3.4.5 .2019 ) 2018.3 6054 3027 = Câu 63 a) Điều kiện x > 0; x ≠ x +1 −1 : = x x + x + x −x + x A = ( x +1 x x + x + = x +1 x+ x +1 ( ) ( x x x −1 ( x +1 x x+ x +1 ) ( x2 − x ) ) )( ) ( x −1 x + x +1 = x +1 )( ) x − =x − b) Ta có: T= B − 2A = x − 5x − 8x + 2025 − ( x − 1) = x − 5x − 8x + 2025 − 2x + 4x − = x − 7x − 4x + 2023 = x − 8x + 16 + x − 4x + + 2003 ( ) = x − + ( x − ) + 2023 ( Vì x − ) 2 ≥ 0, ( x − ) ≥ ⇒ T ≥ 2003 x = x − =  ⇔   x = −2 ⇔ x = Dấu “=” xảy ⇔  x − = x =  Vậy với Tmin = 2003 ⇔ = x Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 79 Website:tailieumontoan.com Câu 64 a) Rút gọn biểu thức P : ( Điều kiện : a > 0, b > ab = P ⇒ P: = ( ) ( ( a− b + + ab ( ) a + b (a + b) a− b )( ) a + b (a + b) ) ( a− b = = P ( )( ) a − b + ab = + ab a− b ) a + b (a + b) ) a + b ( a + b ) = ( a − b )( a + b ) = a − b b) Ta có: ( ( ) ) a 2018 = + a =  a = 2019 + 2018 2018 +  ⇔ ⇒    2020 + 2019= 2019 + b b =  b = 2019 +  P ⇒ = a −= b 2018 + − ( ) 2019= +1 2018 − 2019 Câu 65 1) Điều kiện < a <   1+ a 1− a 1 Q  = + − −   a − 2a + 2 a a a a + − − 1 a a − − + 1       (1 − a ) 1+ a    − a −  a − 2a + = +  1+ a − 1− a a2 a  − a − a − + a        − a2  1+ a 1− a =  + −  ( a − 1)   a  1+ a − 1− a  a  1+ a − 1− a ( ( ) + a + − a  − a2   −  a −1 a  + a − − a  a (do a > 0) + a + − a − a2 − (1 − a ) a 1+ a − 1− a (do < a < 1) 1+ a + 1− a ( )( 1+ a − 1− a 1+ a − 1− a ) ) − a2 −1 (1 − a ) a 1+ a −1+ a − a2 −1 (1 − a ) a + a + − a − − a2 2a − − a2 Fb: Trịnh Bình − a2 −1 (1 − a ) a TÀI LIỆU TOÁN HỌC 80 Website:tailieumontoan.com =−(1 − a ) =a − 2) Điều kiện < a < ( a − 1) Ta có: Q= Xét hiệu : Q − Q = ( a − 1) − ( a − 1) = ( a − 1) ( a − 1) − 1 =  ( a − 1)( a − − 1)( a − + 1) = a(a − 1)(a − 2) Mà a >  < a < ⇒ a − < ⇒ a ( a − 1)( a − ) > a − <  ⇒ Q3 − Q > ⇔ Q3 > Q Vậy Q > Q Câu 66 ( )( 10 − ) − 15 =4 + 15 ( − ) ( + 15 )( − 15 ) 15 ( − ) 16 − 15 = ( + ) ( − ) ).( − ) = − = A =4 + 15 8+2 = = ( 5+ Câu 67 a) Điều kiện a >  a a + a  4−a P  = +  a + a + a +  a   ( )  a a + a =  +  a +2 a +1 a +   a a  4−a =  +   a +2 + a   a ( ( ( )( )( ) a +a 2− a 2+ a = a +2 a )( )   −a  a  a ( )( a +1 2− a ) a ) = a + − a =−a + a + b) Điều kiện a > Ta có:  1 9 P =−a + a + =−  a −  + ≤ 2 4  1 Dấu “=” xảy ⇔ a − = ⇔ a = ⇔ a = (tm) 2 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 81 Website:tailieumontoan.com Vậy MaxP = a = 4 Câu 68 Điều kiện a > 0; x ≠ x = a + − + a2 + ( a + 1) a + 2a + + a + 2a + 2a (a + 1)2 = a +1− a + 2a + a + 2a + + 2a = a +1− ( a + 1) (a = a +1− = a +1− a2 +a +1 ( a + 1) ) 2 a2 + a + a2 + a +  = a +1−  a +1 a +1   a2 + a + > 0 a +1  a + 2a + − a − a − a = < 1∀a > a +1 a +1 ⇒ < x < ∀a > = = ⇒P x+ = x+ x + x−2 x +1 +1 = x − 2x + x −1 +1 = x −1 ( x −1 ( x − 1) x +1− x +1 = 1− x 1− ) +1 = a a +1 ( a + 1) = 2a + a +1−a Vậy = P 2a + Câu 69 ( ) ( ) 2     + + − x y x y y    x = +  +  y x + y   x + y x − y + ( x + 2y )   x x + y    x + y + xy + x + y − xy y y +x x ⇔ + = x − y + 2x + 4y xy x + y ( )( ) ( ( ⇔ ⇔ 2(x + y) + 3(x + y) ( x + y − xy Fb: Trịnh Bình xy ) ( ) ) )( )= xy ( x + y ) x + y x + y − xy = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 82 Website:tailieumontoan.com ⇔ x + y − xy =xy ⇔ x + y − xy = ⇔ ( x− y = x =1 y ⇔x=y⇒ Vậy ) x =1 y  a + a + b2 a − a + b2 −  a − a + b2 a + a + b2  = Câu 70 P  ( = = ) ( + b )( a − a + a + b2 (a + a2 − a − a + b2 a + b2 )  a − a 2b , :  b  ) a > b >0 b2 a ( a − b2 ) ( a + a + b + 2a a + b − a + a + b − 2a a + b a − ( a − b2 ) b2 4a a + b = b2 a a − b ) b2 a a − b a a + b2 a a − b2  a + b2 a >   a − b2 =  a + b2 a 0; x ≠ , ta có:  x+3 x +2   = = − A   :  x x −8 x −2 x    x+3 x +2 ( )( x −2 x+2 x +4   x  x −2 x+2 x +4   x+2 x +4 − ) ( )( ) x −2 x x = x+2 x +4 x −2 x+2 x +4 ( )( ) ( ) Ta có x = 14 + = + 2.3 + = + 3+ b) Ta có A =24 − + ( ( ⇒ x= 3+ ) = + = + 3+ 3+ = = = 14 + + + + 24 + 8 + Khi đó, ta có: A = ⇒A= ± −2 ( =( ( ) −2 ) ) ) Do A < nên A= − Câu 73 a) + Biến đổi x+4 x +4 x+ x += 1− x x+ x −2 = + Biến đổi = + Ta có A + Vậy A = 1 ( ( x +2 x −1 x +2 x −1 ( ( x +1 x )( ( x +1 x −1 )( ) x +1 ) ) ) ) ( x = x −1 x −1 )( 2 x = : x −1 x +1 x −1 x +2 − x − x = x +1 1− x x +1 x −1 − )( ) x −1 ( x +1 )( x −1 ) x , với điều kiện x > 0, x ≠ b) Ta có: A≥ + 2018 2018 ⇔ 1+ x ≥ 1+ 2018 ⇔ x ≥ 2018 x ≤ 2018 ⇒ < x ≤ 2018 Vì x > 0, x ≠ x nguyên nên x ∈ {2; 3; 4; ; 2018} Suy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn tốn Câu 74 Ta có: Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 84 Website:tailieumontoan.com + a 2a b + ab : − ab − ab A= 2(1 + a ) = ab(1 + a ) = Khi a > 0; b > , ab a+ b a + b = ab ⇔ ab =⇔ 1 a + b =⇔ 1 a =− 1 b 1  1 ) =− −  ≤ Dấu “ = “ xảy ⇔ b= 4; a= Vậy giá Do A = (1 −  b 2 b b trị lớn A a= b= 4 Câu 75 Ta có:  + a3  a −2 a +1 = P  +1− a  ( a > 1)  a −1  a   ( )( )( ) ( )  1+ a 1− a + a  a −1  = + 1− a  P   a a −1 a +1    1− a + a  a −1 = + 1− a  P  (Do a > ⇒ a > ⇒ a − > 0)   − a a   P= ( ) 1− a + a + a −1−a + a a −1 a −1 a a a −1 = a −1 a = P Câu 76 a) P = = = x +2 x +1 − x +3 5− x − 3x + x − x−4 x −5 = x +2 x +1 − x +3 5− x − ( 3x + x − x +1 )( x −5 ) ( x + 2)( x − 5) + ( x + 3)( x + 1) − (3x + x − 5) ( x + 1)( x − 5) −x − x − ( x + 1)( x − 5) ( x + 1)( x + 2) x +2 = − = − ( x + 1)( x − 5) x −5 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 85 Website:tailieumontoan.com x +2 Ta có P > −2 ⇔ − x −5 > −2 ⇔ − + Với x < ⇔ ≤ x < 25 + Với x > 12 ⇔ x > 144  x0⇔ x −5  x > 12 x +2 Câu 77 Điều kiện : x > 0, x ≠ ( x − 1) x − x 2x + x A= + − x −1 x + x +1 x = ( ( x x x −1 ) x −1 + ( x+ x +1 ) −2 x −1 )  1 3 + = x −  + ≥ 4  2 4 1 Vậy A ≥ Dấu " = " xảy ⇔ x − = ⇔ x = 4 Câu 78 =1 + x x − =x − x +  x − 1+ 2 x − y  x − y2 x a) Ta có: Q = (tm)  y :  x − x2 − y2  x + x2 − y2 x − x2 − y2 x = − ⋅ y x2 − y2 x2 − y2 x = x2 − y2 x = x2 − y2 − x2 − x2 + y2 y x2 − y2 y − x2 − y2 ( x−y) = = x−y x + y x − y Vậy Q = x−y x+y x+y với x > y > b) Ta có: Thay x = 3y (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được: = Q 3y − y = 3y + y Vậy Q = Fb: Trịnh Bình 2y = 4y 2 x = 3y TÀI LIỆU TOÁN HỌC 86 Website:tailieumontoan.com Câu 79 ( A x− y ) + 2x x + y y x x+y y + xy − 3y x−y x x − 3x y + 3y x − y y + 2x x + y y ( )( x − xy + y ) x ( x − xy + y ) y + ( x + y )( x − xy + y ) x + y x = x+ y = x+ y với x, y ≥ x ≠ y + ( y ( x− y x− y )( ) x+ y ) y + x+ y x +3 y = x+ y Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến với x, y ≥ x ≠ y Câu 80 a) ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0, y ≠ 1, x + y ≠ P= x ( = b) ( ) ( ) x + − y − y − xy ( x+ y ( )( x + y 1− y )( )( ( x+ y x +1 ) ) x − y + x − xy + y − xy )( x + y 1− y )( x +1 ) ( )= x+ ) ( P = ⇔ x + xy − y = ⇔ x + y − xy − y ) y + =1 ⇔ ( )( ) x − 1 + y =1 Ta có: + y ≥ ⇒ x − ≤ ⇒ x ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện x ≥ ⇒ ≤ x ≤ ⇔ x ∈ {0;1; 2; 3; 4} Thay vào phương trình P = { } Ta ( x; y ) ∈ ( 4; ) ; ( 2; ) Câu 81 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 87 Website:tailieumontoan.com  a−b = P    a + b2  ⋅ 2 a − b − a + b  a − b2 a−b +  a+b + a−b  a−b  + a−b  a + b + a − b  (a − b) (  2 ⋅ a + b a + b − a − b  a − b  a−b a + b − a − b + (a − b) a−b = ) ( ( )( a+b + a−b (a − b) a + b 2b a − b (a > b > ) ( ) a+b + a−b a+b − a−b ) )⋅ a + b2 a − b2 a + b2 a + b2 ⋅ = b a − b a + b Vì a – b =  a = b + theo BĐT AM – GM: a + b2 = P= b ( b + 1) + b 2b + 2b + 1 = 2b + + ≥ 2b ⋅ + = 2 +2 = b b b b Câu 82 a) ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0, xy ≠ ( P= ) ( )( x + y + xy + )( x − y − xy − xy ) :  − xy + x + y + xy    − xy   x+x y+ y+y x+ x−x y− y+y x − xy − xy + x + y + xy = ( ) x+y x = (1 + x )(1 + y ) = x (1 + y ) x = (1 + x )(1 + y ) + x ( ) 2− 2 b) Với x = = = − =3 − 2+ 2+ 2− ( x= = P ( ) ( − 1) = + ( − 1) −1 = −1 = )( ) ( ) −1 −2 +2 = 13 5−2 Câu 83 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 88 Website:tailieumontoan.com x+3 x +2 x+ x   1  a) P = − +   :   x −1   x +1 x −1  x+ x −2     x+3 x +2 x   x −1+ x +1   : = −  x +2 x − 1  x + x x −  −     ( = )( ) ( x ( x + 1)( x+3 x +2−x−2 ( )( )( x − 1) x ) ( x + 1)( x − 1) x +2 = x ( x + )( x − 1) x +2 x −1 ) x +1 x x > 0; x ≠ 1 x +1  b) − ≥1⇔  x x +1 P − ≥1   x +1 (* ) ⇔ 16 x − ( Vậy x = ( x +1 x +1 ) ) ≥1 ⇔ ( x −3 ) (* ) ≤ 0⇔ x = ( tm ) x +1 − ≥1 P Câu 84 Với điều kiện x > 0, x ≠ , ta có: = P x−2 x ( )( x −1 x + x +1 ( ) ( x( ) + ( x +1 x x+ x +1 ) + ) ( x − 1) + 2x − x − 1)( x + x + 1) x (x + x − 2) = x ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + ) x +2 = x + x + x − x + x + ( )( ) = x x−2 x + x +1 x ( 2x − x + )( x −1 x + x +1 ) x +1 Ta có với điều kiện x > 0, x ≠ ⇒ x + x + > x + > ⇒0 −  ( n + 1) n n n +1 n n +1  n n +1 Suy ra: A= = 1− Lại có: Fb: Trịnh Bình 2 + 2011 ( n + 1) ⇒ A< 2− + n < 2 − + + > 1− n +1 2011 2010 > 1− + − + + 2010 − 2011 87 = 89 89 ( + + n +1 + n 2010 − 2 = − n n +1 n )    88  = 21−  <  − = 2011 2011   45  45  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Câu 89 Ta có ( − ) + 20 − 20 15 = 2 − + 2 ( − 2) + − = −4+2 −4 = A=2 Fb: Trịnh Bình − 20 5 5= −4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... LIÊN QUAN LỜI NĨI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề rút gọn biểu thức chứa toán liên quan. .. tốn tính tổng dãy có quy luật Rút gọn biểu thức chưa hay nhiều ẩn 12 Rút gọn biểu thức toán liên quan 14 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức x = k (với k số) 14 Dạng 2:Tính giá trị biến x để P = k (với... LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN  Các công thức biến đổi thức  A nÕu A ≥ A= A =  − A nÕu A < AB = A = B A2 B = A (Với A