Chuyên đề chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức nguyễn quốc bảo

GV: NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com Website: Tailieumontoan.com Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Chuyên đê CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯU HÀNH NỘI BỘ NGUYỄN QUỐC BẢO CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9 ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán LƯU HÀNH NỘI BỘ Website:tailieumontoan.com Lêi giíi thiƯu Các em học sinh thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Các dạng toán phương pháp giải toán chứng minh đẳng thức & tính giá trị biểu thức tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau Tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chun mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện hướng dẫn giải giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình địi hỏi Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đưa hệ thống tập phân loại theo dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từ đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Nếu gặp khó khăn xem hướng dẫn lời giải cuối sách Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc MỌI Ý KIẾN THẮC MẮC XIN VUI LÒNG GỬI VỀ ĐỊA CHỈ NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Tailieumontoan.com@gmail.com Facebook: www.facebook.com/baotoanthcs Xin chân thành cảm ơn! Website:tailieumontoan.com chuyên đề bồi dưỡng Chương I CHNG MINH ĐẲNG THỨC  Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương Thí dụ Cho x, y, z số thực thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: P= 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + zx Lời giải x x Ta có:= = ; + y + yz x + xy + xyz + x + xy xy xy = = Mặt khác: + z + zx xy + xyz + x yz + x + xy Do đó: P = = 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx xy + x + xy x + + = = (đpcm) + x + xy + x + xy + x + xy + x + xy Thí dụ Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xyz Chứng minh rằng: xyz ( 5x + 4y + 3z ) 2y x 3z + + = 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( y + z )( z + x ) Lời giải xyz xyz xyz x = = = Ta= có: yz + x.xyz yz + x ( x + y + z ) x + xy + yz + zx 1+ x 2y = Tương tự ta có: + y2 Do đó: 2xyz 3z = ; ( x + y )( y + z ) + z2 2y x 3z + += 2 + x + y + z2 = Vậy: xyz ( x + y )( z + x ) 3xyz ( y + z )( z + x ) xyz 2xyz 3xyz + + ( x + y )( z + x ) ( x + y )( y + z ) ( y + z )( z + x ) xyz ( y + z + 2x + 2z + 3x + 3y ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) xyz ( 5x + 4y + 3z ) ( x + y )( y + z )( z + x ) xyz ( 5x + 4y + 3z ) 2y x 3z + + = + x + y + z ( x + y )( y + z )( z + x ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thí dụ Cho a b c a b c + + =0 + + = Chứng minh: P = 2 b−c c −a a − b ( b − c ) (c − a ) (a − b) Lời giải Ta có: ⇔ a b c a b c b − ab + ac − c + + = 0⇒ = + = b−c c −a a − b b−c a −c b−a ( a − b )( c − a ) a ( b − c) = b − ab + ac − c ( a − b )( c − a )( b − c ) Tương tự ta có: b (c − a) = (1) c − bc + ba − a c b − ac + cb − b (2); = (3) a − b b − c c − a ( a − b )( b − c )( c − a ) ( )( )( ) a − b ( ) Cộng (1), (2), (3) Vế theo vế ta điều phải chứng minh Thí dụ Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + z = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: P = y2 x2 z2 + + y2 + z2 − x2 z2 + x2 − y2 x2 + y2 − z2 Lời giải Ta có: x + y + z =⇒  y + z = −x ⇔  ( y + z ) = ( −x ) 2 x2 x2 = Suy ra: y + z – x = −2yz Do đó: y + z − x −2yz 2 y2 y2 z2 z2 Tương tự ta có: = = ; z + x − y −2xz x + y − z −2xy Do đó: P = = y2 y2 x3 + y3 + z3 x2 z2 x2 z2 + + = + + = −2xyz y + z − x z + x − y x + y − z −2yz −2xz −2xy (x + y + z) − ( x + y )( y + z )( z + x ) −2xyz Vậy P = − = − ( −z ) ( −x ) ( − y ) −2xyz = 3xyz = − −2xyz  Dạng 2: Sử dụng đẳng thức quen biết Thí dụ 1 + + = 2; a + b + c= abc a b c Cho a, b, c khác thỏa mãn Chứng minh rằng: 1 + 2+ = a b c Lời giải 1  1 1  1  Ta có: + + =  + +  −  + +  a b c a b c  ab bc ca  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a+b+c = − = abc Thí dụ Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + c 4= a + b2 + c 2 ( ) Lời giải Từ: a + b + c = ⇒ b + c =−a ⇒ ( b + c ) =a ⇒ b + 2bc + c =a 2 ( ⇒ a − b − c = 2bc ⇒ a − b − c ) 2 a + b2 + c 2 ) ) ( ( ⇒ a + b4 + c = a + b2 + c Vậy: a + b + c 4= Thí dụ ( ) = 4b c ⇒ a + b + c = 2a b + 2b c + 2c 2a 2 3abc Cho số thực a, b, c khác đôi thỏa mãn: a + b + c = abc ≠ Tính: P = ab bc ca + + a + b2 − c b2 + c − a c + a − b2 Lời giải ( ) 3abc ⇒ ( a + b + c ) a + b + c − ab − bc − ca = Do a + b + c = 2 Do a + b + c − ab − bc − ca > với a, b, đôi khác nên: a + b + c = Suy ra: a + b + c = Khi đó: ab ab ab b2 b2 b = = = = = 2 2 a + b −c a + ( b − c )( b + c ) a + ( b − c )( −a ) a + c − b − b − b −2 ca a bc c = = Tương tự: 2 ; 2 2 −2 −2 c + a − b b +c −a Cộng theo vế đẳng thức ta được: ab bc ca b c a P =2 + + = + + =− ( a + b + c ) =0 2 2 2 2 −2 −2 −2 a + b −c b +c −a c +a − b Vậy P = Thí dụ Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: b ≠ c; a + b ≠ c a + b = ( a + b − c ) Chứng minh rằng: a2 + (a − c ) b2 + ( b − c ) = a−c b−c Lời giải Ta có: a = ( a + b − c ) − b = ( a + b − c + b )( a + b − c − b ) =( a + 2b − c )( a − c ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Tương tự: b + ( b − c ) = ( 2a + b − c )( b − c ) a2 + (a − c ) Do đó: = b2 + ( b − c ) c )( a − c ) + ( a − c ) 2a + 2b − 2c )( a − c ) ( a + 2b −= (= ( 2a + b − c )( b − c ) + ( b − c ) ( 2a + 2b − 2c )( b − c ) 2 a−c (đpcm) b−c  Dạng 3: Phương pháp đổi biến Thí dụ Với a, b,c số thực thỏa mãn: (3a + 3b + 3c)3 = 24 + (3a + b − c)3 + (3b + c − a)3 + (3c + a − b)3 Chứng minh : ( a + 2b )( b + 2c )( c + 2a ) = Lời giải  3a + b − c = x  Đặt 3b + c − a = y  3c + a − b = z  Ta có: (3a + 3b + 3c)3 = 24 + (3a + b − c)3 + (3b + c − a)3 + (3c + a − b)3 ⇔ (x + y + z)3 = 24 + x + y + z ⇔ (x + y + z)3 = 24 + (x + y + z)3 − 3(x + y)(y + z)(z + x) ⇔ 24 − 3(x + y)(y + z)(z + x) = ⇔ 24 − 3(2a + 4b)(2b + 4c)(2c + 4a) = ⇔ 24 − 24(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = (đpcm) ⇔ (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = Thí dụ Cho a, b,c ≥ thỏa mãn a + b + c= a + b + c = Chứng minh a b c + + = 1+ a 1+ b 1+ c (1 + a )(1 + b )(1 + c ) Lời giải Đặt x= a ; y= Tương tự: b + = b; z= c ⇒ xy + yz + zx= ⇒ a + = ( x + y )( x + z ) ( y + x )( y + z ) ; c + = ( z + x )( z + y ) Khi ta có: a b c = + + 1+ a 1+ b 1+ c ( xy + yz + zx ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) (1 + a )(1 + b )(1 + c ) Thí dụ 10 Cho số a, b, c khác thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: bc ca ab + + = a b2 c Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x = ab  Đặt  y = bc a + b + c = abc = Ta có:  z = ca  bc ca ab b c + c 3a + a b x + y + z = + + = xyz a b2 c a b2 c = = (x + y + z) (x ) + y + z − xy − yz − zx + 3xyz xyz 3xyz = xyz  Dạng 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Thí dụ 11 Cho a, b, c, z, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 x2 y2 z2 = + + a + b2 + c y b2 c Chứng minh x 2019 + y 2019 + z 2019 = Lời giải Ta có: x2 + y2 + z2 x2 y2 z2 = + + a + b2 + c a b2 c y2 y2 x2 x2 z2 z2 ⇔ 2− + − + − = a a + b2 + c b2 a + b2 + c c a + b2 + c  1  2 1  2 1  ⇔ x2  − +y  − +z  − = 2  2  2  a a +b +c   b a +b +c  c a +b +c  ⇔ x = y = z = (do số hạng tổng khơng âm) Vì vậy: x 2019 + y 2019 + z 2019 = Thí dụ 12 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a − b + b − c + c − a = Chứng minh rằng: a + b + c = Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có a − b2 + b − c + c − a ≤ a + − b2 b2 + − c c + − a + + = 2 2 = a − b2 a = − b    Đẳng thức xảy  b = − c ⇔  b =1 − c ⇒ a + b + c = (đpcm)  c = − a 2 c 1−a  = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  Dạng 5: Phương pháp sử dụng lượng liên hợp Thí dụ 13 Cho x, y thỏa mãn: x + 2014 + 2015 − x − 2014 − x =y + 2014 + 2015 − y − 2014 − y Chứng minh: x = y Lời giải x + 2014 + 2015 − x − 2014 − x =y + 2014 + 2015 − y − 2014 − y (1) ĐKXĐ: −2014 ≤ x; y ≤ 2014 (1) ⇔ x + 2014 − y + 2014 + 2015 − x − 2015 − y + 2014 − y − 2014 − x = Nếu x khác y −2014 ≤ x; y ≤ 2014 x + 2014 + y + 2014 >0; 2015 − x + 2015 − y > 0; 2014 − x + 2014 − y > , (1)   1 (2) ⇔ ( x − y )  = − +  x + 2014 + y + 2014 2015 − x + 2015 − y 2014 − x + 2014 − y    Khi dễ chứng tỏ 2014 − x + 2014 − y − 2015 − x + 2015 − y >0 Nếu x − y ≠ nên (2) vơ lý VT(2) ln khác Nếu x = y dễ thấy (1) Vậy x = y Thí dụ 14 Nếu a , b , c số không âm thoả mãn điều kiện: b = a+ b a+c ta có: = b+ c c+ a + Lời giải 1 b− c b−c −= = ( 1) c+ a a + b ( c + a )( a + b) ( c + a )( a + b)( b + c ) Ta có Tương tự Mà b = b+ c a−b = (2) c + a ( c + a )( a + b)( b + c ) a+c ⇒ a − b = b − c (3) Từ (1) (2) (3) ⇒ hay − a+ b + b+ c − c+ a = c+ a − a+ b = b+ c c+ a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com  Dạng 6: Chứng minh có số số cho trước 2019  a+b+c =  Thí dụ 15 Cho số a, b, c khác thỏa mãn  1 1 a + b + c = 2019  Chứng minh số a, b, c có số 2019 Phân tích: Ta thấy việc chứng minh số a, b, c có số 2019 tương đương với việc chứng minh hệ thức sau đúng: (*) khai ( a − 2019 )( b − 2019 )( c − 2019 ) = triển (*) ta được: ( * ) ⇔ ( ab − 2019a − 2019b + 2019 ) ( c − 2019 ) = ⇔ abc − 2019 ( ab + bc + ca ) + 2019 ( a + b + c ) − 2019 2 Từ giả thiết = (* * ) 1 (2) + + = 2019 suy abc − 2019 ( ab + bc + ca ) = a b c 2019 suy 2019 ( a + b + c ) − 2019 = Từ giả thiết a + b + c = ( 3) Cộng (2) (3) theo vế ta (**) từ ta dẫn đến lời giải sau: Lời giải Từ giả thiết 1 (2) + + = 2019 suy abc − 2019 ( ab + bc + ca ) = a b c Từ giả thiết a + b + c = 2019 suy 2019 ( a + b + c ) − 2019 = ( 3) Cộng (2) (3) theo vế suy ra: abc − 2019 ( ab + bc + ca ) + 2019 ( a + b + c ) − 2019 = 0 ( 1) ⇔ ( a − 2019 )( b − 2019 )( c − 2019 ) = Từ (1) suy toán chứng minh Nhận xét: Từ phân tích cách giải tốn ta thấy để giải đơn giản dạng toán cần suy luận ngược để tìm lời giải  1 a + b + c = + + Thí dụ 16 Cho số a, b, c khác thỏa mãn  a b c  = abc  Chứng minh số a, b, c có số Phân tích: Ta thấy việc chứng minh số a, b, c có số tương đương với việc chứng minh hệ thức sau đúng: ( *) ( a − 1)( b − 1)( c − 1) = khai triển (*) ta được: ( * ) ⇔ ( ab − a − b + 1)( c − 1) =0 ⇔ abc − ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) − = (* * ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 80 Website:tailieumontoan.com Với a = b = c P = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) =8 Câu 39 Ta có: 1  a+b+c a+b+c a+b+c  6.8 = ( a + b + c )  + +  = a+ b + b+c + c+a a+ b b+c c+a  c a b c a b = 1+ +1+ +1+ = 3+ + + a+b b+c a+c a+b b+c a+c Vậy: P = c a b + + = 6.8 − 3= 39 a+ b b+c c+a Câu 40 Ta dễ dàng chứng minh Do đó: P = 1 1 + + = + + = a b c abc a b c ab bc ac abc abc abc  1 1 + + = + + = abc  + +  = abc =3 abc c a b c a b a b c  Câu 41 Ta có: f ( x ) = x3 x3 = − 3x + 3x x + ( − x )3 (1 − x ) Với x + y = ta có: f ( x ) = f ( − y ) = (1 − x ) + x 3 ⇒ f ( x ) + f ( y ) = Từ đó:    2011   2010   2011    2011 2A = f +f +f + + f  +f = 2011 ⇒ A =       2012   2012   2012   2012   2012  Câu 42 Ta có: 2013 = = = b−c c −a a−b + + ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) (a − c ) − (a − b) + ( b − a ) − ( b − c ) + (c − b) − (c − a ) ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) 1 1 1 − + − + − a − b a −c b−c b−a c −a c − b 1 1 1 + + + + + a − b c −a b−c a − b c −a b−c  1  = 2 + +   a − b c −a b−c  1 2013 ⇒ + + = a − b c −a b−c = Câu 43 (a + b + c ) = a + b + c ⇔ ab + ac + bc = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 81 Website:tailieumontoan.com a2 a2 = = a + 2bc a − ab − ac + bc b2 Tương tự: = b + 2ac a2 ( a − b )( a − c ) b2 c2 = ; c + 2ac ( b − a )( b − c ) c2 ( c − a )( c − b ) a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab a2 b2 c2 = − + ( a − b )( a − c ) ( a − b )( b − c ) ( a − c )( b − c ) P= a − b )( a − c )( b − c ) (= ( a − b )( a − c )( b − c ) Câu 44 x − 2y = xy ⇔ x − xy − 2y =⇔ 0 ( x + y )( x − 2y ) = Vì x + y ≠ nên x − 2y = ⇔ x = 2y P Khi = 2y − y y = = 2y + y 3y Câu 45 ( )( )( x16 − =− ( x 1)( x + 1) x2 + x4 + x8 + ) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 1)( x + 1) ⇒ = = x −1 ( x + 1) ( x + 1)( x + 1)( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)( x + 1)( x + 1) x16 − 4 8 Câu 46 a) Từ giả thiết a + 2c = 3b + 19 ⇒ a + 2c − 3b = 19 Ta có: a + b + c + 3b + 18 2c + a + + 2c + − 3b − 18 14 = = = = = = = 14 15 12 + 12 − 15 a = 49 ⇒ a = Suy : b = 64 ⇒ b = c = 81 ⇒ c = Câu 47 Đặt a − b =x; b − c =y; c − a =z ⇒ x + y + z =0 ⇒ z =− ( x + y ) Ta có: x + y + z = 210 ⇔ x + y − ( x + y ) = 210 ⇔ −3xy ( x + y ) = 210 ⇔ xyz = 70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz = 70 = ( −2 ) ( −5 ) nên x, y, z ∈ {−2; −5; 7} ⇒ A = a − b + b − c + c − a = 14 Câu 48 Vì x + y + z =7 ⇒ z =−x − y + ⇒ xy + z − = =xy − x − y + =( x − 1)( y − 1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 82 Website:tailieumontoan.com ( y − 1)( z − 1) ; zx + y − = ( z − 1)( y − 1) Tương tự ta có: yz + x − = Vậy H = + + = z −1+ x −1+ y −1 ( x − 1)( y − 1)( z − 1) ( x − 1)( y − 1) ( y − 1)( z − 1) ( z − 1)( x − 1) + y + z) − ( x= 7−3 Ta = xyz − ( xy + yz + xz ) + ( x + y + z ) − − ( xy + yz + xz ) + − − ( xy + yz + xz ) có: ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + yz + xz ) ⇒ = 23 + ( xy + yz + xz ) 2 2 ⇒ xy + yz + xz = 13 Vậy H = = −1 − 13 Câu 49 a − 3ab =5 ⇒ a − 6a b + 9a b =25 b − 3a b = 10 ⇒ b6 − 6a b + 9a b = 100 ⇒ a + 3a b + 3a b + b6 = 125 ( ⇒ a +b ) a + b2 =5 ⇒ = 2018 2018 Câu 50 Đặt x = a, y = b, z = c ta xy + yz + zx =0 ⇒ Khi A = 1 + + =0 x y z 1 1 bc 2ac 2ab yz zx xy + + = + += xyz  + +  2 y z  b c x y z 4a x 1  1  1 1 1  + 3+ 3− =  + +  + + − − −  = x y z xyz  x y z   x y z xy yz x  1 3 = Vậy A = ta có + + = ⇒ A = xyz ⋅ xyz x y z xyz Mặt khác từ đẳng thức Câu 51 ( a − 1) + 2a − 16 = 0(1) a − 3a + 5a − 17 = ⇔   b − 3b + 5b + 11 = 0(2) ( b − 1) + 2b + 12 = ⇒ (1) + ( ) ⇔ ( a − 1) + 2a − 16 + ( b − 1) + 2b + 12 = 3 2 ⇔ ( a − + b − 1) ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1)  + ( a + b − ) =    a −   ⇔ ( a + b − )  + b − 1 + ( b − 1) +  =      a −1   = ⇔ a + b   + b − 1 + ( b − 1) + > 0∀a, b        Vậy ta có điều phải chứng minh Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 83 Website:tailieumontoan.com Câu 52 Đặt: = A ( = A3 3 3a − + a 8a − + 3a − − a 8a − 3a − + a 8a − + 3a − − a 8a − (3a − + a = ) ( 8a − + 3a − − a 8a − ) + 3 3a − + a 8a − 3 3a − − a 8a − ) ( 3a − + a 8a − + 3a − − a 8a − ) = 6a − + 3 ( 3a − 1) − a ( 8a − 3) A = 6a − + 3 9a − 6a + − 8a + 3a A = 6a − + 3 ( −2a + 1) A = ( 3a − 1) − ( 2a − 1) A ⇒ A3 − A + ( 3a − 1) A − ( 3a − 1) = ⇒ A ( A − 1)( A + 1) + ( 3a − 1)( A − 1) = ⇔ ( A − 1)  A2 + A + ( 3a − 1)  = = ⇔ A ( Do A2 + A + ( 3a − 1) > ) Câu 53 Ta có: 2 1  1    1  1    a + b + c − abc =  x +  +  y +  +  xy +  −  x +   y +   xy +  x  y  xy   x  y  xy    x y  1 1  = + x + + y + + x y + 2 −  xy + + +  xy +  y x xy  xy  x y x y  2 = + x2 +  2 1 1 1  2 2 + y + + x y + − x y + x + y + + + + +   x2 y2 x2 y  y x2 x2 y  =4 Câu 54 a −1 Để ý a= b= a + = Ta có a b a 2b + ab + a + b + ab + a (a + 1)(b + ab + a ) = a + b + + +1+ = b a b ab ab (a + 1)(ab + a 2b + a ) (a + 1)(ab + b + b3 ) (a + 1)(a + b + b) = = a 2b b4 b2 a + b + b b3 + b + ab a + b + ab a + b + ab = = = = b (a − 1) b3 (a − 1) ab3 − b3 a − b3 a −b Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 84 Website:tailieumontoan.com Vậy 1 a b − = a + b + + +  a −b b b a Câu 55 a − b = a2 − b2 − b2 − − a2 ⇔ a − b = a − b = Từ ta có hệ:  a + b = − b2 − − a2 1− b + 1− a 2 1− b + 1− a ⇔ a+b = − b2 + − a2 ⇒ a = − b2 ⇔ a2 + b2 =1 ⇒ Q = 2020 Câu 56 Ta có = xy + (x + 1)(y + 1) + x y + + y x + = xy + (x + 1)(y + 1) + Q 2 2 ⇒ ( − Q ) =  xy + (x + 1)(y + 1)    2 2 Q 2x y + x + y + + 2xy (x + 1)(y + 1) ⇒ − 4Q += = x (y + 1) + y (x + 1) + 2xy (x + 1)(y + 1) Ta lại có Q 2 2 2 2 ⇒ Q= 2x y + x + y + 2xy (x + 1)(y + 1) Do − 4Q =1 ⇒ Q = ⋅ Câu 57 Ta có: a − b 3a − 2b a + ab − b2 + 3a − 5ab + 2b2 5a − ab + b2 + = = Q= a −b a+b a − b2 a − b2 Vì a + ab − 7b2 = nên ta có ( a − b2 ) − ( a + ab − 7b2 ) ( a − b2 ) = Q = = a − b2 a − b2 Câu 58 Ta có: ab + c = ab + c ( a + b + c ) = ( a + c )( b + c ) c − =− ( a + b ) Do đó: A = a + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( c + a ) = (a + b + c) = Câu 59 Vì a , b , c ba nghiệm phương trình x − x + x − =0 Khi phân tích đa thức x3 − x + x − thừa số ta được: x3 − x + x − = ( x − a )( x − b )( x − c ) ⇔ ( x − a )( x − b )( x − c ) = x − x + 3x − 2 ⇔ x − ( a + b + c ) x + ( ab + bc + ca ) x − abc = x − Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 x + 3x − 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 85 Website:tailieumontoan.com   a+b+c =  ⇔ ab + bc + ca =   abc =  57 9 ⇒ a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) =   − 2.3 = 2 2 2 2 Tính a b + b c + c a : 2 2 ( ab + bc + ca ) − ( ab ⋅ bc + bc ⋅ ca + ca ⋅ ab ) ⇔ a 2b + b c + c a 2= ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) a 2b + b c + c a = 9 ⇒ a 2b + b c + c a = 32 − ⋅ ⋅ = 2 3 Tính a + b + c : a + b3 + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) + 3abc ⇒ a + b3 += c3  57 417  ⋅  −  + 3= 2  Vậy:  a+b+c =    ab + bc + ca =  abc =   57  2  a +b +c =   a 2b + b c + c a =   417  a + b3 + c =  Khi ta có: a − b5 b5 − c c − a S= + + a −b b−c c−a 2 ⇔ S = ( a + a b + a b + ab3 + b ) + ( b + b3c + b c + bc + c ) + ( c + c a + c a + ca + a ) ⇔ S = 2a + 2b + 2c + a 3b + b3 a + b3c + c 3b + a 3c + c a + a 2b + b c + c a ⇔ S = ( a + b + c + 2a 2b + 2b c + 2c a ) + ( a + a 3b + a 3c ) + ( b + b3 a + b3c ) + ( c + c a + c 3b ) − ( a b + b c + c a ) ⇔ S= (a (a + b + c ) + a ( a + b + c ) + b3 ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) − ( a 2b + b c + c a ) ⇔ S= + b + c ) + ( a + b3 + c ) ( a + b + c ) − ( a 2b + b c + c a ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 86 Website:tailieumontoan.com  57  417 3465 ⇔= S   + ⋅ −=   Câu 60 Ta có: ( a + b + c )( ab + bc + ca ) =abc ⇔ a b + a c + b a + b c + c b + ca + 2abc = 0 ⇔ ab ( a + b ) + ac ( a + c ) + bc ( b + c ) + 2abc = ⇔ ab ( a + b + c ) + ac ( a + b + c ) + bc ( b + c ) = ⇔ ( a + b + c )( ab + ac ) + bc ( b + c ) = ⇔ a ( b + c )( a + b + c ) + bc ( b + c ) = ⇔ ( b + c ) ( a + ab + ac + bc ) = 0 ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( *) Thay abc = 2018 vào biểu thức ta có: P= ( b c + abc )( c a + abc )( a b + abc )= 2 a b c ( a + b )( b + c )( c + a )=    x − − y + =−6  x − − y + =−6 Câu 61 Ta có:  ⇔ − y −1 y −1  x + 5=  x + −=   Cộng theo vế hai phương trình hệ ta được: x − − y +1 + x + − y −1 = ⇔ ⇔ ( ) ( x − − y −1 + x − 4y +1 x + + y +1 + ) x + − y +1 = x − 4y +1 x + + y +1 =   1 ⇔ ( x − y + 1)  + =   x + + y +1  x y + + +   ⇔ x − 4y +1 = Do đó: S = ( x − y + 1) + 2016 = 2016 xy 1 y + 2y x+1 +1 +2 x + 2xy + xy xy xy P= + + 1 1 x + xy + x x+ y+1 + y + y + yx + + xy xy xy xy xy Câu 62 Từ xyz = suy z = = xy + 2xy + y xy + xy + + y + xy + + x xy + + x y + x Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 + + 2x + xy + y + x + xy TÀI LIỆU TOÁN HỌC 87 Website:tailieumontoan.com xy ( + y ) + y ( xy + 1) = (1 + y )( xy + 1) = + ( xy + 1) + ( x + 1) + ( x + 1) + x ( y + 1) (1 + x )( xy + 1) ( y + 1)( x + 1) xy y 1 x + + + + + xy + 1 + y + x xy + y + x +  xy   y   x  =  + + + + +   xy + xy +   + y y +   + x x +  = 1+1+1 =3 ( ) ( ) Câu 63 Ta có a + b = ⇔ a + b 2 ( 4a − 4a + = ⇔ 2a − = ⇒ a = ( ) Do P = a 1009 ( ) + b 1009 ) 1 − 2a 2b = ⇒ a 2b = ⇒ a − a = 4 1009 1 =  2 1 ⇒ b2 = 2 1009 1 +  2 = 1008 Câu 64 Từ giả thiết, ta có 1  2017  + + − = 2018 − = 2014 P = (a + b + c )   2018  b +c c +a a +b  Câu 65 a) Ta có 4a + b = 5ab ⇔ ( a − b )( 4a − b ) = Do b > 2a > nên b = 4a Suy 20a = P = 2 3a + 32a x + y + z = b) Ta có x3 + y + z 3= xyz ⇒   x= y= z Do a + 8b3 = − 6ab ⇔ a + ( 2b ) += ( −1) 3a ( 2b )( −1) 3  a + 2b − =0  a + 2b = ⇒ ⇒ −2  a = 2b = −1  a + 2b = 1 + + = ⇒ yz + xz + xy = x y z Câu 66 Ta có ⇒ x + yz = x + yz + yz = x + yz − xz − xy = x( x − z ) − y ( x − z ) = ( x − z )( z − y ) Tương tự ⇒ y + 2zx = ( y − z )( y − x); z + 2xy=(z-x)(z-y) ⇒ 1 + + x + yz y + xz z + yx Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 88 Website:tailieumontoan.com = 1 + + ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x) ( z − y )( z − x) −y + z − z + x − x + y = ( x − y )( y − z )( z − x) =   2016 1 2017 2018 ⇒ + +  (x + y + z ) =  x + yz y + xz z + yx  Câu 66 a) Từ giả thiết ab ab ab 1 + = ⇒ 2018 = ⇒ a − 2018 + b − 2018 = a − + b− a b 2018 a+b a+b a+b a b a+b = + = =+ a b (Vì a, b > ) a+b a+b a+b nên b) Ta có a nghiệm dương phương trình x + x − = 6a + 3a − = ⇒a= − 6a =1 − 3a > ⇒ a < < ⇔ a2 − < 3 a+2 Do = A = (a = a4 + a + − a2 − ) a4 + a + + a2 = a4 + a + − a4 + a2 = a2 − + a2 = Câu 67 Ta có a ( b + c ) = b2 ( c + a ) ⇔ ) ( a + 2) ( − a2 + a2 = a + − 3a + + a a b a −b = = = − bc + ab ab + ca c ( b − a ) c Suy ab + bc + ca =⇔ bc = −a ( b + c ) ⇔ −abc = a2 (b + c ) = 2018.(1) ab + bc + ca = ⇔ ab = −c ( a + b ) ⇔ −abc = c ( a + b ) (2) Từ (1) (2) ta c ( a + b ) = 2018 Câu 68 Ta có: xz z + z +1 + ( z z2 + xz z2 + − z = ⇔ = ⇔ xyz = z + z + y y y z + z +1 xy + x yz + Ta có:= = xy + x xyz + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 )( ) z + − z ⇔ xyz =1 xy + x + TÀI LIỆU TOÁN HỌC 89 Website:tailieumontoan.com = yz + y + x = x yz + y + ( xy = xy zx + z + 1 zx + z + Và = Do ) ) ( x x = xyz + xy + x + xy + x xy = x yz + xyz + xy xy x + + xy xy x 1 1 + + = + + =1 xy + x + yz + y + zx + z + xy + x + 1 + xy + x x + + xy 1 + + = x, y, z > thỏa mãn xy + x yz + yz + y + zx + z + Vậy xz z + z2 + + z z2 + = y y Câu 69 ĐKXĐ: x; y ≠ ; y ≠ −2 x Từ giả thiết: 1 2y − x xy − = = ⇔ ⇔ ( y − x )( x + y ) = x y 2x + y xy 2x + y ` ⇔ xy + y − x − xy = xy ⇔ xy + y − x = ⇔ xy + y − x = (*) Vì x; y ≠ nên chia hai vế phương trình (*) cho xy , ta được: x x y y x 1⇒ − 1+ − = 0⇔ − = y x x y y x2 y x2 y y 1⇔ + = ⇔ + −2=  = y x y x x Câu 70 Với x > 0, ta có: 1+ 1 2  + =1 + +  + − 2 x ( x + 1)  x x  ( x + 1) x 2  1 = − 1 +  + x  x  ( x + 1) x +1  x +1   =  +  − x x +1  x   x +1 2   1   x +1 = −  = 1 + −  x +1  x x +1  x ⇒ 1+ 1 1 + = + − x ( x + 1) x x +1 Vì x > ⇒ < x < x + ⇒ 1 1 > ⇒ 1+ − >0 x x +1 x x +1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com ⇒ 1+ 1 1 + =1 + − (*) 2 x ( x + 1) x x +1 Áp dụng công thức (*), ta có: 1   1  1  − B = 1 + −  + 1 + −  +  + 1 +   2  3  2018 2019  ⇒ B= 2019 − 2019 Câu 71 Ta có T = = a − 4a + a + 6a + a − 2a − 4a − 2a + 4a + 8a + a − 2a − + = a − 2a + 12 a − 2a − + 16 a (a − 2a − 4) − 2a (a − 2a − 4) + a − 2a − + 8 (vì a − 2a − = 0) = = a − 2a − + 16 16 Câu 72 Trường hợp Nếu số a, b, c số cịn lại Do a= b= c= Khi đó: P = Trường hợp Xét a, b, c khác 0: Ta có 1 1 + b + c + a (1 − b) (1 − c) (1 − a ) 1 1 + += + + = + + + + + ≥ + + a b c 2b 2 2a 2b b 2c c 2a a a b c Dấu “ = ” xảy − b =1 − c =1 − a = ⇔ a = b = c =1 Khi P = y x z x y z xy yz xz + + =1 ⇒ + + + + + =1 a b c a b c ab bc ac Câu 73 Từ ⇒ ayz + bxz + cxy x y z + + + = (1) a b c abc Mà ayz + bxz + cxy a b c + + =⇒ = x y z xyz ⇒ ayz + bxz + cxy = (2) x y z + + = a b c x y z Do M = + 2019 = 2020 + + + 2019 = a b c Câu 74 Giả sử a; b hai số thực phân biệt thỏa mãn Từ (1) (2) suy a  3b   a  b2  3a  b  a)  b  3a   Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com  a  ba  b  3a  b   a  ba  b  3   a  b  ( l)   a  b  3  b) Với a  b  3  a  b  27  a  b3  3ab a  b  27  a  b3  ab  27  a  3a  b2  3b   a  b  ab  3a  b   ab  2 Vậy a  b3  45 Câu 75 Ta có P = )( ( )( a − b a −b a +b a a +b b ( =3 a− b ( ( )( a− b )( )( ) a+ b a + b a − ab + b ) ) ) a− b a − ab + b 3−2 = = = 3= −1 a − ab + b a − ab + b ( ) Câu 76 Đặt S = x + y T = xy Từ giả thiết, ta có S + T = 1, suy x + y − ( x + 1)( y + 1) + = S − 2T + − (1 − T ) + S    = S − (1 − S ) + − ( S + S ) = S2 P = S + T = Từ ta có: Vậy giá trị biểu thức P cần tính Câu 77 Giả sử x, y hai số thực phân biệt thỏa mãn 1 + = Tính giá trị x + y + xy + biểu thức: P= 1 + + x + y + xy + Thực biến đổi giả thiết toán ta có 1 1 ⇔ − + − = x + y + xy + x + xy + y + xy + xy − y2 xy − x ⇔ + = ⇔ xy − y2 y2 + + xy − x 2 x + xy + y + xy + ( + )( = ) ( )( Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 ) ( )( ) ( ) (x ) +1 =0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 92 Website:tailieumontoan.com ( ⇔ y x−y ) (y ) ( +1 + x y −x ) (x ) ( +1 =0 ⇔ x − y Do x ≠ y nên ta xy = Kết hợp với giả thiết ) ( xy − 1) = 1 + = ta có x + y + xy + 1 2 4 + + = + = = =2 P=2 x + y + xy + xy + xy + xy + 1 + Vậy ta P = Câu 78 Ta có x y + =⇔ ( x + y ) =+ xy 1− x 1− y + xy ⇔ x+ y = + xy Thay x + y = Ta có P = x + y + x − xy + y = x + y + ( x + y) − xy + xy + xy  + xy   − xy  = +  +   − xy=  2     + xy − xy = + 2 Nếu xy > Thì P = Nếu xy < P = 3xy Câu 79 2 x y z  + 12 − = 4 x + y − z = 12 ⇔ 7( x + y + z ) = 42 ⇔ A = ⇔   x + y + z = 3 x + y + 10 z = 30 10 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 93 Website:tailieumontoan.com Mơc lơc Trang Lời nói đầu Phần I CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương Dạng 2: Sử dụng đẳng thức quen biết Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Dạng 5: Sử dụng lượng liên hợp Dạng 6: Chứng minh có số số cho trước 10 Dạng 7: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số 12 Bài tập vận dụng 14 Hướng dẫn giải 20 Chủ đề II TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MỘT BIẾN Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức 39 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức 40 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình 11 Bài tập vận dụng 42 Hướng dẫn giải 45 Phần III TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích 54 Dạng 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định 55 Dạng 3: Sử dụng phương pháp hình học 56 Dạng 4: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số 58 Bài tập vận dụng 58 Hướng dẫn giải 67 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC TỦ SÁCH TOÁN CẤP MỌI Ý KIẾN THẮC MẮC XIN VUI LÒNG GỬI VỀ ĐỊA CHỈ NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Tailieumontoan.com@gmail.com Website: www.facebook.com/baotoanthcs ... = = Chứng minh rằng: = = a b c x y z Câu 41 (HSG Quận TP Hồ Chí Minh năm 2011) Chứng minh rằng: Áp dụng tính: A = mn m + n + m+n 10 2+ 5+ = m + n − m+n Câu 42 (HSG Quận TP Hồ Chí Minh năm 2012)... a, b, c khác thỏa mãn  a b c  = abc  Chứng minh số a, b, c có số Phân tích: Ta thấy việc chứng minh số a, b, c có số tương đương với việc chứng minh hệ thức sau đúng: ( *) ( a − 1)( b − 1)(... = Chứng minh a + b = Câu (Chuyên Hải Dương 2018) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = Chứng minh x ( − y )( − z ) + y ( − x )( − z ) + z ( − x )( − y ) − xyz = Câu (Chuyên TP Hồ Chí Minh 2018)