CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC HAY

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH Năm học: 2009 – 2010 -1- A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Số phức biểu thức dạng a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn i = −1 Kí hiệu z =a +bi • i: đơn vị ảo, • a: phần thực, • b: phần ảo Chú ý: o z = a + 0i = a gọi số thực (a ∈ ¡ ⊂ £ ) o z = + bi = bi gọi số ảo (hay số ảo) o = + 0i vừa số thực vừa số ảo Biểu diễn hình học số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z ⇔ z = a + bi Hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b '∈ ¡ a = a ' z = z' ⇔  b = b ' Cộng trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi vaø z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b '∈ ¡ z +z ' =( a +a ' ) +( b +b ' ) i z −z ' =( a −a ' ) +( b −b ' ) i o Số đối z = a + bi laø –z = – a – bi (a, b ∈ ¡ ) Nhaân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b 'i với a, b, a ', b '∈ ¡ z.z ' =( aa '−bb ' ) +( ab '+a ' b ) i Số phức liên hợp số phức z = a + bi laø z = a − bi o z = z ; z + z ' = z + z ' ; z z ' = z z ' o z số thực ⇔ z = z ; z số ảo ⇔ z = − z Môđun số phức z = a + bi uuuu r o z = a + b = zz = OM o z ≥ ∀z ∈ C , z = ⇔ z = o z.z ' = z z ' , z + z ' ≤ z + z ' ∀z, z ' ∈ £ Chia hai số phức -2- −1 o Số phức nghịch đảo z (z ≠ 0) : z = z' = w ⇔ z ' = wz z z z z' z' z z' z = z ' z −1 = = z zz z o Thương z’ chia cho z (z ≠ 0) : o Với z ≠ , z' z' = z z  z'  z'  = , z z , II CÁC DẠNG TOÁN Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau a z = i + (2 − 4i)(3 + 2i) ; 3 b z = (−1 + i) − (2i) ; c z = ( + 1+ i 1− i ) Bài toán Giải a z = i + (2 − 4i)(3 + 2i) = i + 14 − 8i = 14 − 7i Phần thực a = 14; Phần ảo b = −7 ; môđun z = 3 b z = (−1 + i) − (2i) = + 2i − (−8i) = + 10i Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z = 26 ( ) + 1+ i = 1+ i +1− i = 1− i Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z = c z = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm phần thực phần ảo môđun số phức sau: a (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) (1 + 2i)2 − (1 − i)3 h 3 b (2 + i) – (3 – i) (3 + 2i)3 − (2 − i)2 − 5i c i ( − 2i ) + − 3i 2+i d (2 − 3i)3 1+ i j ( 1- i ) + 2 e (1 + i) – (1 – i) 2+i f ( 3+i ) −( 3−i g (2 + i) – (3 – i) Tính a + 2i 1+ i b 1− i m c i m a+i a d a−i a ) k − 2i i h l (3 +2i )3 [(2 −i ) −(5 −2i )] m −i −i − 1+ i i n −i −i − 1+ i i o + 2i + i + − i − 2i − 4i p (1 − 4i )(2 +3i ) a+i b i a i (2 – i)4 j − i 2 + 4i k − 3i + + 6i -3- n (2 + 3i)2 o (2 – 3i)3 + 2i p 1+ i + i + (1 + i)(4 − 3i) q + 2i (3 − 4i)(1 + 2i) + − 3i r − 2i 3−i s + (5 – i)2 i 3+i (1 − 2i )(1 + i ) f 2i(3 + i)(2 + 4i) g + 2i + (6 + i)(5 + i) e l (1 + i ) ( 2i ) −2+i m (3 – 2i)(2 – 3i) t + 2i + 2i + − 2i − 2i Bài toán 2012 Tính (1 + i) Giaûi 1006 (1 + i) 2012 = (1 + i)    BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tính a + i + i + i3 + + i2009 = (2i)1006 = 21006.i1006 = 21006.(i )503 = 21006.( −1)503 = −21006 b (1 − i)100 2008 2008 c (1 + i ) + (1 − i) Bài toán Tìm số thực x y biết 2x + yi − + 2i = x − yi + + 4i Giaûi  2x − = x + x = 2x + yi − + 2i = x − yi + + 4i ⇔ (2x − 3) + (y + 2)i = (x + 2) + (4 − y)i ⇔  ⇔ y + = − y y = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm số thực x y biết: a (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i c (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i b (2 – x) – i = + (3 – y) i Bài toán Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a z + i = z − − 3i ; b z + ≤ Giải Đặt z = x + yi , ñoù: a z + i = z − − 3i ⇔ x + yi + i = x + yi − − 3i ⇔ x + (y + 1)i = x − + (y − 3)i ⇔ x + (y + 1) = (x − 2) + (y − 3) ⇔ x + 2y − = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng x + 2y − = b z + ≤ ⇔ x + yi + ≤ ⇔ x + + yi ≤ ⇔ (x + 3) + y ≤ ⇔ (x + 3) + y ≤ 2 Vaäy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình tròn (x + 3) + y ≤ tâm I(-3;0) bán kính BÀI TẬP TƯƠNG TỰ -4- Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: z −i g + z = i − z a z + z + = =1 o z+i z =1 h b 2|z – i| = z − z + 2i p 1< z ≤ i z = z − + 4i c z = z − + 4i q 2i − z = z − j z − (2 _ i ) = 10 vaø z.z ' = 25 z −i r phần thực z thuộc đọan =1 d k z ≤ z +i [0;1], phần ảo z thuộc đoạn l z =1 phần ảo z =1 [-1;2] e z − + i = ( − 4i ) = c z + z = − 4i m z − a z + z = – 4i 2 d z + z = b z − z =  z+i n   =1 f z + z =  z −i B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai số phức o z = có bậc hai o z = a số thực dương có bậc ± a o z = a số thực âm có bậc hai ± a i o z = x + yi số phức có bậc laø w = a + bi cho x − y2 = a w =z⇔   2xy = b (a, b, x, y ∈ ¡ ) Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c số thực cho trước, a ≠ ) Tính ∆ = b − 4ac −b ± ∆ o ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x1 ,2 = 2a −b ± i ∆ o ∆ < : Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x1 ,2 = 2a b o ∆ = : Phương trình có nghiệm kép x = − 2a Phương trình bậc hai Az + Bz + C = (A, B, C số phức cho trước, A ≠ ) Tính ∆ = B2 − 4AC −B ± δ o ∆ ≠ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 ,2 = 2A ∆) ( δ bậc hai B o ∆ = : Phương trình có nghiệm kép z1 = z = − 2A II CÁC DẠNG TOÁN Bài toán Tìm bậc hai số phức sau: a −4 ; b − 4i (NC) Giải -5- a Hai bậc hai −4 ± −4 i = ±2i b Gọi w = x + yi bậc hai − 4i , ta coù: x =   x = −1 (loaïi) x =   x − y2 =  x − 3x − =    x − y2 =    x =   x = −2  y = −1  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2   x = −2  2xy = −4 y = − y = −  y = −   x  x y=−    x  y =  x  Vaäy − 4i có hai bậc hai − i −2 + i BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm bậc hai số phức sau: 8;3; −9 ; −11 ; -I; -2i; 2i; 4i Tìm bậc hai số phức sau: (NC) −5 + 12i ; + 6i ; 33 − 56i ; −3 + 4i ; 3+4i; – 12i Bài toán Giải phương trình sau tập số phức: a (3 − 2i)z + + 5i = − 3i ; Giaûi a (3 − 2i)z + + 5i = − 3i ⇔ (3 − 2i)z = − 8i ⇔ z = b z + − 3i = − 2i − 3i − 8i 25 18 = − i − 2i 13 13 z z + − 3i = − 2i ⇔ = + i ⇔ z = (3 + i)(4 − 3i) = 15 − 5i − 3i − 3i BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải phương trình sau tập số phức: 2+i − + 3i + 5i z= a = − 4i h 1− i 2+i z b 2iz + – i = z + (2 − 3i ) = − 2i i c (1 – i )z + – i = 2z + i − 3i d ( iz –1 )( z + 3i )( z – + 3i) = j (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) e ( i) z – = k (3 – 2i)z + (6 – 4i)= – i f ( − 5i ) z = + i l (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i   g ( − 2i ) ( z + i ) = 3i m z  − i ÷ = + i   s (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z t (3 + 4i)z =(1 + 2i)( + i) n [(2 − i ) z + + i ](iz + ) = 2i Bài toán b Giải phương trình sau tập số phức: (NC) a 7z + 3z + = ; b −3x + 2x − = Giaûi a 7z + 3z + = ∆ = b − 4ac = −47 < -6- Phương trình có nghiệm phức phân biệt: z1 = z2 = −b + i ∆ 2a −b − i ∆ = −3 + 47.i 47 =− + i 14 14 14 = −3 − 47.i 47 =− − i 14 14 14 2a b −3x + 2x − = ∆ ' = b '2 − ac = −2 < Phương trình có nghiệm phức phân biệt: x1 = x2 = − b '+ i ∆ ' a −b '− i ∆ ' = −1 + 2.i = − i −3 3 = −1 − 2.i = + i −3 3 a BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải phương trình sau tập số phức: h z3 + = o z2 + 2z + = a x − 3.x + = i z4 + = p 8z2 – 4z + = b x − 3.x + = j 5z – 7z + 11 = q x2 + = c x − x + = k z - z + = r x2 – 3x + = d x + x + = l z – = s x2 –5x +7=0 e x + x + = m z2 + z +7 = t x2 –4x + 11 = f z4–8 = n z2 – z + = u z2 – 3z + 11 = g x3 – = Giải phương trình sau trường số phức a z4 – 5z2 – = g z4 + z3 + z2 + z + = 2 b z +7z – = 4 h z + z + z3 + z2 + z + =0 c z – 8z – = z − − 7i d z4 + 6z2 + 25 = = z − 2i i z−i e z + 4z – 77 = 1 f 8z4 + 8z3 = z + j z + z + z − = 2 Bài toán Giải phương trình sau tập số phức: (NC) a x − (3 + 4i)x + 5i − = ; b z − 2iz + 2i − = Giaûi a x − (3 + 4i)x + 5i − = ∆ = b − 4ac = −3 + 4i = (1 + 2i) ≠ Gọi δ bậc hai ∆ , ta có δ = + 2i Do ∆ ≠ , phương trình có nghiệm phân biệt: −b + δ + 4i + + 2i x1 = = = + 3i 2a −b − δ + 4i − (1 + 2i) x2 = = = 1+ i 2a b z − 2iz + 2i − = ∆ ' = b '2 − ac = −2i = (1 − i) ≠ -7- Gọi δ ' bậc hai ∆ ' , ta coù δ ' = − i Do ∆ ' ≠ , phương trình có nghiệm phân biệt: −b '+ δ ' i + − i z1 = = =1 a −b '− δ ' i − (1 − i) z2 = = = −1 + 2i a BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (NC) Giải phương trình sau tập số phức: a x2 – (3 – i)x + – 3i = b (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = c x + ( + i ) x − − i = d e f g h 2z – iz + = z2 + (-2 + i)z – 2i = z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = z2 + ( – i)z – 2(1 + i) = x − ( + 8i ) x + 14i − 23 = j z − 80 z + 4099 − 100i = k ( z + − i ) − ( z + − i ) + 13 = l z − ( cos ϕ + i sin ϕ ) z + i cos ϕ sin ϕ = m z − ( − i ) z + 63 − 16i = n z − 24 ( − i ) z + 308 − 144i = o ( – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = p ( + i)x2 – 2(1 – i)x + – 3i = q z2 + 18z + 1681 = i z − ( − 14i ) z − ( 12 + 5i ) = Giải hệ phương trình :  z1 + z = + i  z12 + z2 = + 2i a  c   z1 + z = − 2i  z1 + z2 = − i  z1 z = −5 − 5.i u + v + 4uv = b  d   z1 + z = −5 + 2.i u + v = 2i C DẠNG LƯNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (NC) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dạng lượng giác số phức  z − 2i = z  e   z − i = z −1  z = r(cos ϕ + i sin ϕ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (a, b ∈ ¡ , z ≠ 0) o r = a + b môđun z a  cos ϕ = r  o ϕ (số thực) acgumen z thỏa  sin ϕ = b   r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) , z ' = r '(cos ϕ '+ i sin ϕ ') : o z.z ' = r.r '[cos(ϕ ϕ + sin(ϕ ϕ + ') i + ')] o z r = [cos(ϕ−ϕ') + i sin(ϕ−ϕ')] z' r' Công thức Moa-vrơ : n ∈ N * [r(cos ϕ i sin ϕ n =r n (cos nϕ i sin nϕ + )] + ) n Nhân xét: (cos ϕ + i sin ϕ) = cos nϕ + i sin nϕ Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) laø -8- r (cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + i sin ) vaø − r (cos + i sin ) = r [cos( + π ) + i sin( + π )] 2 2 2 II CÁC DẠNG TOÁN Bài toán Viết dạng lượng giác số phức sau: a z = − 2i ; b z = −1 − 3.i Giaûi a z = − 2i o Mô đun r = a + b = 2  cos ϕ = π  ⇒ϕ=− o Gọi ϕ acgumen z ta coù  sin ϕ = −     π  π  Dạng lượng giác z = 2 cos  − ÷+ i sin  − ÷     4 b z = −1 − 3.i o Mô đun r = a + b =  cos ϕ = − 2π  ⇒ϕ=− o Goïi ϕ acgumen z ta có  sin ϕ = −     2π   2π   Dạng lượng giác z =  cos  − ÷+ i sin  − ÷      BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm acgumen số phức sau: π π a − + 3.i f (1 − i )(1 + i ) d cos − i sin 4 b – 4i 1− i g π π c – 3.i 1+ i e − sin − i cos 8 Thực phép tính π π π π c 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) a (cos + i sin ).3(cos + i sin ) 2π 2π 6 4 (cos + i sin ) 0 3 (cos 45 + i sin 45 ) d b π π (cos15 + i sin 15 ) 2(cos + i sin ) 2 Viết dạng lượng giác số phức sau: a − i 1− i f d + 2i b + i 1+ i g z = sin ϕ + i cos ϕ c (1 − i )(1 + i ) e 2.i.( − i ) Bài toán -9- Tính: a (1 − i) 10 Giaûi a (1 − i)10 ( +i ) ( ) +i ; b ( (1 + i)10 +i ) 10     5π   π  π    5π   (1 − i) =   cos  − ÷+ i sin  − ÷÷ = 25 cos  − ÷+ i sin  − ÷ = 32 ( − i ) = −32i  4           10 ( ( ) ⇒ (1 − i)10 b +i ( 6   π π  =   cos + i sin ÷ = 32 ( cos π + i sin π ) = 26 ( −1 + 0i ) = −2 6    3+i ) = −32i ( −64 ) = 2048i (1 + i)10 +i ) 10   π π  5π 5π   (1 + i) =   cos + i sin ÷ = 25  cos + i sin ÷ = 32 ( i ) = 32i 4  2     10   π π  3π 3π   + i =   cos + i sin ÷ = 29  cos + i sin ÷ = −512i 6  2     10 (1 + i) ⇒ =− 16 +i ( ) ( ) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tính : a [ (cos 30 + i sin 30 )]7 b ( − i ) 1+ i  c   1− i   1+ i   h   − +i  21 33 1 3  d  + i 2    Bài toán 2010  i +1  e  ÷  i  12  + 3i   f   − 2i    π π  g  cos − i sin ÷i (1 + 3i ) 3  Tìm bậc hai số phức sau: a z = −1 − i ; b z = 1− i 1+ i Giaûi a −1 − i   2π   2π   Dạng lượng giác: z =  cos  − ÷+ i sin  − ÷      -10- ( i + i j ( ) 280 25 (1 + i ) 50 3+i ) 49 k (cos12o + isin12o)5 1   π   π  Hai bậc hai z w1 =  cos  − ÷+ i sin  − ÷ =  −  2 i ÷= ÷     3   1   π   π  w = − cos  − ÷+ i sin  − ÷ = −  −  2 i ÷= − + i = − + ÷     3   1− i b z = 1+ i   7π   7π   Dạng lượng giác z = cos  − ÷+ i sin  − ÷  12     12  − i= − i vaø 2 2 i   7π   7π  Hai bậc hai z w1 =  cos  − ÷+ i sin  − ÷ vaø  24     24    7π    17 π   7π   17 π   w = − cos  − ÷+ i sin  − ÷ = cos  ÷+ i sin  ÷  24    24     24    24  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm bậc hai số phức sau : 2004 π π a –1 + 3.i  i  i cos − i sin f   4 b + 5.i 1+ i  π π c –1 – i g − 11 + 3i j cos − i sin 3 d 1+ i k + 5i (1 − i ) h e ( - i)6 l −1 − 6i D - 2009 B - 2009 A - 2009 CĐ - 2009 TN THPT - 2009 -11- TN THPT - 2008 TN THPT - 2007 TN THPT - 2007 TN THPT - 2006 Hết - -12- -13- -14- ... thực, • b: phần ảo Chú ý: o z = a + 0i = a gọi số thực (a ∈ ¡ ⊂ £ ) o z = + bi = bi gọi số ảo (hay số ảo) o = + 0i vừa số thực vừa số ảo Biểu diễn hình học số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức