CHUYÊN đề GIẢI TÍCH 12 chuyên đề số phức

Chuyên đề Số phức LTĐH CHUYÊN ĐỀ ĐỀ CHUYÊN GIẢI TÍCH TÍCH 12 12 GIẢI *CHƯƠNG IV: IV: SỐ SỐ PHỨC PHỨC ** *CHƯƠNG §1 Sớ phức A-Tóm tắt tắt lý lý thuyết: thuyết: A-Tóm 1, Khái niệm sớ phức: *Định nghĩa 1: Một số phức biểu thức dạng a + bi , a, b số thực số i thoả mãn i = −1 Kí hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu £ *Chú ý: + Mỗi số thực a xem số phức với phần ảo b = + Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo + Số vừa số thực vừa số ảo *Định nghĩa 2: Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ¡ ) gọi : a = a ' b = b ' Khi đó, ta viết: z = z ' 2, Biểu diễn hình học sớ phức: Mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại điểm M (a; b) biểu diễn số phức z = a + bi Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức Trục Ox gọi trục thực, trục Oy gọi trục ảo 3, Phép cộng phép trừ số phức: *Định nghĩa 3: Tổng hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ ) số phức z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i *Tính chất phép cộng số phức: i, ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ £ ii, z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ £ iii, z + = + z = z với z ∈ £ iv, Với số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ), kí hiệu số phức − a − bi − z ta có: z + (− z ) = − z + z = Số − z gọi số đối số phức z *Định nghĩa 4: Hiệu hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ ) tổng hai số phức z1 − z2 , tức là: z1 + (− z2 ) = z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i *Ý nghĩa hình học phép cộng phép trừ sớ phức: Mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) biểu diễn M (a; b) có nghĩa ur uu r uuuur véc tơ OM Khi u1 , u2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì: Trang Chun đề Sớ phức LTĐH ur uu r + u1 + u2 biểu diễn số phức z1 + z2 ur uu r + u1 − u2 biểu diễn số phức z1 − z2 4, Phép nhân số phức: *Định nghĩa 5: Tích hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ ) z1.z2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1 )i số phức: *Nhận xét: + Với số thực k số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ), ta có: kz = k (a + bi ) = ka + kbi + 0.z = z.0 = với z ∈ £ *Tính chất phép nhân sớ phức: i, z1 z2 = z2 z1 với z1 , z2 ∈ £ ii, z.1 = 1.z = z với z ∈ £ iii, ( z1 z2 ).z3 = z1.( z2 z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ £ iv, z1.( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với z1 , z2 , z3 ∈ £ 5, Số phức liên hợp mô đun số phức: *Định nghĩa 6: Số phức liên hợp số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) a − bi kí hiệu z Như vậy, ta có: z = a + bi = a − bi *Nhận xét: + Số phức liên hợp z lại z , tức z = z Do ta cịn nói z z hai số phức liên hợp với + Hai số phức liên hợp với điểm biểu diễn chúng đối xứng qua trục Ox *Tính chất: i, Với z1 , z2 ∈ £ ta có: z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2 ii, ∀z ∈ £ , z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ), số z.z số thực z.z = a + b *Định nghĩa 7: Mô đun số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) số thực không âm a + b kí hiệu z : z = z z = a + b *Nhận xét: + z = z = + Nếu z số thực mô đun z giá trị tuyệt đối số thực 6, Phép chia cho sớ phức khác 0: −1 *Định nghĩa 8: Số nghịch đảo số phức z khác z = z z Thương z' z phép chia số phức z ' cho số phức z khác tích z ' với số phức z ' z '.z z' −1 nghịch đảo z , tức = z '.z Như vậy, z ≠ = z z z *Chú ý: Có thể viết z ' z '.z z '.z z' = = nên để tính ta cần nhân tử z z z z z Trang Chuyên đề Số phức LTĐH mẫu số với z Để ý z.z = z *Nhận xét: + Với z ≠ , ta có: = 1.z −1 = z −1 z z' số phức w cho z.w = z ' Do đó, nói phép chia cho z số phức khác phép toán ngược phép nhân z' z'  z' z' = z1 z2 = z1 z2 ; z1 + z2 ≤ z1 + z2 +  ÷= ; ; z z z   z + Thương B-Phương pháp pháp giải giải tốn: tốn: B-Phương Dạng 1: Tính tốn Chứng minh Bài 1: Xác định phần thực phần ảo số phức sau: 1, z = (3 − 5i ) − (7 − 3i ) 2, z = (4 − 3i)(4 + 5i) 3, z = + 2i + 7(2 − i) − 3i 4, z = (1 − i )14 5, z = (3 + 2i )(3 − 2i ) + 5(1 + 2i ) + 2i 7, z = (1 + i)8 8, z = (3 + i)3 6, z = (3 − i )16 (1 + 2i)16 9, z = (1 + i )3 − (1 − i) 2i (1 + 2i )(2i) (2 − 3i )(3 + i ) 10, z = 11, z = 12, z = 1+ i + 3i + 17i Bài 2: Xác định phần thực phần ảo tính mô đun số phức sau: 1, z = (i − 3) + 3(2i − 3)(i + 1) 3, z = 1 1 i − ÷ 2i  i  5, z = 2i − + 4i + 3i + i+2 2, z = (2 + i )3 − (3 − i)3 3−i 2+i − 1+ i i (3i − 1)(2 − i ) + i (1 + 4i) 6, z = 1+ i 4, z = (−1 + 9i )18 (4 − 5i)18 7, z = (1 − i ) 20 8, z = − (1 + 3i )15 1  +  i9 − ÷ 9, z = 12 i  ( + i)   1+ i  10 10, z =  ÷ + (1 − i ) + (2 + 3i)(2 − 3i ) + i  1− i  16 + 2i − + 2i + + 3i − 3i 33  1+ i   1− i  11, z =  ÷ + ÷  1− i   1+ i  12, z = + (1 + i ) + (1 + i) + + (1 + i )99 Bài 3: Tìm z tính z biết rằng: 1, z = −2 + i 2, z = − 2i 3, z = −2013 4, z = 2014i 5, z = − + (2 + 3)i 6, z = (1 + i )(3 − 2i) + ( ) 3+ i 1 2013 Bài 4: Cho số phức z = + i Tính: z ; z ; ; z ; z ; z − z + ; ( − z ) z 2 Trang Chuyên đề Số phức LTĐH Bài 5: Cho số phức z = (1 − 2i )(2 + i ) Tính: z ; Bài 6: Tìm số thực x, y thoả mãn: 1, 3x + y + xi = y − + ( x − y)i z; z+z; z z 2, x(3 + 5i ) + y (1 − 2i )3 = + 14i 4, x + y − = ( x + y − 5)i 3, 3x + yi = y + + (2 − x)i 5, ( x − yi)(2 x + yi) = + i 6, x + (1 + i) y − (4 + 3i ) xy = + 4i Bài 7: Tìm số thực x, y thoả mãn: 1, x(2 − 3i) + (2 y + 1)(1 + i )3 = −5(7 + 10i ) 2, (2 x + i )(3 + i ) − ( x − y )(i − 2)3 = 18 + 76i 3, (2 x + 1)(2 − i) − y (−3 + 2i)(2 − 3i) = − 85i  1− i  4, (3x − y )  ÷ + ( y + 2)( x − i) = −19 − 23i  1+ i  Bài 8: Chứng minh số phức sau số thực: 1, z = (1 + 3i )3 (4 − 3i ) (2 + i) (3 + 80i + i ) 2, z = (3 + 2i) ( − i) 19 − 3i (1 + 2i) 2013 2013  19 + 7i   20 + 5i  3, z = (2 + i 5) + (2 − i 5) 4, z =  ÷ + ÷  9−i   + 6i  Bài 9: Chứng minh số phức sau số ảo: 7 1, z = (1 + 3i )9 − i (512i + 3) 2, z = (5i − 1)2 (1 − 3i ) − (8i − 10) + 2i − 2i 52 + 2013i 52 − 2013i − + 4, z = (3 + 1)(79 + 7i ) 10(23 − 10i) − 10i + 10i Bài 10: Xác định phần thực phần ảo số phức sau: + 2i (1 + i )(2 + i ) (1 − i )(2 − i ) − 1, z = 2, z = (1 + i)(2 − 3i) 2−i 2+i − 5i 7−i + (2 − i)3 3, z = 4, z = (2 − i) + (1 + i ) − 1+ i 2+i Bài 11: Hỏi số phức sau số thực hay số ảo: 3, z = 2 i 2013 − i z3 − z 1, α = 2, β = −z + z + z +z z −1 z −1 Bài 12: Tính giá trị biểu thức sau: ( )  i 3 1, A =  − + ÷÷ 2   1 i 3  − ÷÷ 2   (2 + i )3 + (2 − i )3 3, C = (2 + i )3 − (2 − i )3 ( ) (1 + 2i ) − (1 − i ) 2, B = (3 + 2i) − (2 + i) 2013  1+ i  4, D =  ÷  1− i  Trang + (1 − i )10 + (2 + 3i )(2 − 3i) + i Chuyên đề Sớ phức LTĐH Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn: 1, iz + z − i = 2, (3 − 2i ) z = − i + z z+i − 3i + 1+ i = + i + − 3i = z − 4, 5, 1− i 1+ i 3, (1 − 5i ) z + 10 + 2i = − 5i 2+i −1 + 3i z= 6, 1− i 2+i z + 2i 8, ( z + 1)(1 + i ) − − 2i = 1− i 7, ( − i 3) z = + i Bài 14: Tìm số phức z thoả mãn: 1, (4 − 3i) z = (2 + i)(3 − 5i) 2, z − 3iz = − 11i 4, + i − z 2z + = (3 − i ) 10 + 5i 5, 7+i 3+i = (2i − 1) z + 8, z + z = − 4i 7, z = z ( ) 10, z + z (2 − i) + z = 3i − 3, ( z + 2)i = (3i − z )(−1 + 3i ) 6, z − 3i + ( 1− i z + − i = 1+ i 1− i ) 9, z.z + z − z = 13 + 18i 11, (1 + i ) z − − 5i = 2iz + 2i 1− i Bài 15: Tìm số phức z thoả mãn: 2, z + z = z = − z 1, z = z = z ( ) z −1 =1 z −3 4, z + z = 3, z.z − z = z = z 5, z + − i = z − + 2i 10 = 10 z 6, z = phần thực lần phần ảo Bài 16: Tìm số phức z thoả mãn: 1, z = z + z 4, z = ( − i)3 + 2i 2, z − 5+i −1 = z 5, ( z + 1)(1 + i ) + ( ) 7, z − = 17 z + z − z.z = z −1 = z 1− i 3, ) 8, z + − 2i = z.z = 34 Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn: 1, z − − 4i = z − 2i z + − 2i nhỏ 2, z + − i = iz − (2 z + − 2i )( z + i) số ảo ) 3, z nhỏ ( z − 1) z + 2i số thực 4, z nhỏ iz − = z − − i ( ( 6, z.z + z − z − z = 10 + 3i 10, z − 3i = − iz z − 9, z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 ( − i (2 − 3i ) z = +2−i z z ) 5, z lớn − z (1 + z ) số ảo Trang số ảo z Chuyên đề Số phức LTĐH Bài 18: Tìm số phức z thoả mãn: 1, z − − i = 52 z − + 2i nhỏ z − 2i số ảo z+i 3, Phần thực số thực dương, phần ảo số thực âm thoả mãn: 2, z + − 2i = z + + 4i ( ) z = z − z = Bài 19: Tìm số phức z thoả mãn: 1, z + − 2i = z + − 4i z − z + − i = 10 2, z −1 z − 3i = =1 z −i z+i 3, z+2 z −5 = =1 z −1 z − 3i 4, z −1 z − 2i = =2 z −3 z+i 5, z+i = ( z + 3)( z − 3i) = z −1 6, z + 3i = ( z − 2)(iz + − 2i) = z−i 8, z+2 = ( z + 1) z − i = z + 2i ( ) 7, z + z = z −1 =1 z −3 ( ) Bài 20: 1, Tìm số phức z cho w = z (2 − 3i )(2 + i)(3 − 2i) số thực 2, Cho số phức z thoả mãn: z + z = + i Tính z12 z + 2i z−7 3, Cho số phức z thoả mãn: z + = Tính z−2 z−i 4, Cho số phức z thoả mãn: z − = z + 4i z − 18 Tính z−2 z − 2i 5, Cho số phức z thoả mãn: z − z = 3(−1 + 2i ) Tính w = z + z + z = i Tính A = + (1 + i ) z z +1 z − 2i 7, Cho số phức z thoả mãn: số ảo Tìm giá trị nhỏ biểu z−2 thức: T = z − + z − i 6, Cho số phức z thoả mãn: z − Bài 21: 1, Cho hàm số: f ( z ) = z − z − z − Chứng minh rằng: w = f (1 + i ) + f (1 − i) số thực 2, Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thoả mãn: z = 18 + 26i Tính giá trị biểu thức: A = ( z − 2) 2013 + (4 − z ) 2013 3, Cho số phức w = z +1 a, Xác định phần thực w biết z = z ≠ z −1 b, Chứng minh rằng: Nếu w số ảo z = Trang Chun đề Sớ phức LTĐH Bài 22: Một số đề thi Đại Học qua năm: 1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn: z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn: z = z số ảo 3,(A-2010) Tìm phần ảo số phức z, biết rằng: z = ( + i )2 (1 − 2i ) (1 − 3i )3 Tính z + iz 1− i z+3 = z − 4i = z + 10i 4,(B-2010) Tìm số phức z thoả mãn: z + 3i Cho số phức z thoả mãn: z = 5,(A-2011) Tìm tất số phức z, biết: z = z + z ( ) Tính z , biết rằng: (2 z − 1)(1 + i ) + z + (1 − i ) = − 2i 6,(B-2011) Tìm số phức z, biết rằng: z − 5+i −1 = z  1+ i  Tìm phần thực phần ảo số phức: z =  ÷÷  1+ i  7,(A-2012) Cho số phức z thoả mãn: ( z −i z +1 ) = − i Tính 8,(D-2012) Cho số phức z thoả mãn: (2 + i ) z + w biết w = + z + z 2(1 + 2i) = + 8i 1+ i Tính mơ đun số phức w = z + + i 9,(D-2013) Cho số phức z thoả mãn: (1 + i )( z − i) + z = 2i Tính mơđun số phức w, biết w = z − 2z + z2 ( ) Bài 23: 1, Tìm số phức z thoả mãn: z − z + − i = (2 − z ) i + z số ảo ( 2, Tìm số phức z thoả mãn: ( z + i ) + z − = z − 3i ) 3, Tìm số phức z, w thoả mãn: z + w = − i z + w = + 28i ( ) 4, Tìm số phức z thoả mãn: z − z + 2i = z − i (2 − z ) i + z số thực 5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ cho: n n−  −i   5−i  z1 =  số ảo ÷ ÷ số thực z2 =  − 3i ÷   1− i  6, Trong tất số phức z thoả mãn z + = môđun nhỏ Trang z+z + , tìm số phức có Chun đề Sớ phức LTĐH 7, Cho số phức z thoả mãn z − z + 13 = Tính z + z+i  1+ − z  8, Cho số phức z thoả mãn z − z + = Tìm số phức w =  ÷ ÷ + z   9, Cho z số phức thoả mãn (1 − z )(i + z ) số ảo Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức T = z − i (1 + i ) z + = , tìm số phức có 1− i mơđun nhỏ số phức có mơđun lớn 2013 Bài 24: 1, *Cho số phức z thoả mãn z + 3iz = − z Tính w = z + 2014 z 2, Tìm tất số phức z thoả mãn điều kiện: z = z 10, Trong tất số phức z thoả mãn 3, Tính mơđun số phức z, biết z + 12i = z z có phần thực dương 4, Tìm phần thực phần ảo số phức z biết rằng: z − 12 = 2i (3 − z ) ( ) 5, Tìm số phức z biết: z + + z − = (1 − i) z 2 6, Tìm số phức z biết: z + z.z + z = z + z = 7, Tìm mơđun số phức z biết: z − − 2i + iz + z = 11 + 2i 8, Tìm số phức z thoả mãn: (1 − 3i) z số thực z − + 5i = 9, *Tìm số phức z cho z 10, Cho số phức z = hai số phức liên hợp z2 −1 + 3i Tính giá trị biểu thức: 2 1  1  1  1  P =  z + ÷ +  z2 + ÷ +  z3 + ÷ +  z4 + ÷ z  z   z   z   11  1− i  Bài 25: 1, Cho số phức z =  ÷ Tính mơđun số phức:  1+ i  w = z 2013 + z 2014 + z 2016 + z 2021  + 3i  2, Tính mơđun số phức z biết: z =  ÷÷ (1 + 2i )  1+ i  z 3, Cho z w hai số phức liên hợp thoả mãn số thực z + w = w Tính mơđun số phức z Trang Chun đề Sớ phức LTĐH 4, Tìm số phức z thoả mãn: iz − (1 + 3i ) z = z 1+ i z2 + 2z + 5, Tìm mơđun số phức z, biết: z = z +1 6, Cho số phức z thoả mãn: z − z + 7i Tìm phần thực số phức z 2013 = + 3i  1− i  A = z + 2i.z 7, Cho số phức z thoả mãn: z + i.z =  ÷ ÷ Tính + i   ( ) 8, Tìm số phức z, biết: ( z + 1)(2 − 3i) + z + (2 + 3i) = 14 z = 9, Tìm số phức z có mơđun 1, đồng thời số phức w = z + z − có mơđun lớn 10, *Cho số phức z ≠ thoả mãn z ≥ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = z+i z Bài 26: Cho hai số phức z1 z2 Chứng minh rằng: 1, z1 + z2 = z1 + z2 3, z1.z2 = z1 z2 2, z1.z2 = z1.z2 z1 z z  z 5,  ÷ = ( z2 ≠ ) 6, = z2 z2  z2  z2 Bài 27: Cho hai số phức z1 z2 Chứng minh rằng: 4, z1 + z2 = z1 + z2 ( 2 1, z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 2, − z1 z2 − z1 − z2 = ( + z1 z2 2 2 2 ) ) −( z + z2 ) ( ) (1+ z ) = (1+ z ) ( 1+ z ) 3, + z1 z2 + z1 − z2 = + z1 4, + z1 z2 + z1 − z2 ( z2 ≠ ) 2 2 2 Bài 28: Cho hai số phức z1 z2 Chứng minh rằng: 1, z1 + z2 ≤ z1 + z2 2 2, z1.z2 = z1 z2 2 4, ( z1 + z2 ) ( z1 − z2 ) = z1 − z2 3, ( z1 ± z2 ) = z12 ± z1 z2 + z22 2 5, ( z1 ± z2 ) = z13 ± 3z12 z2 + 3z1 z22 ± z23 Bài 29: Cho số phức z thoả mãn z = Chứng minh rằng: 1, ≤ z + 2i ≤5 z 2, ≤ + z + + z + z ≤ Bài 30: Cho số phức x, y, z Chứng minh rằng: Trang Chuyên đề Số phức LTĐH x + y + z ≤ x + y − z + x − y + z + −x + y + z Bài 31: Cho hai số phức z1 z2 có mơđun Chứng minh số phức z1 + z2 số thực, với z1 z2 ≠ −1 + z1 z2 Bài 32: Giải toán sau: 1, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 − z2 = z1 = z2 > 4 z  z  Tính giá trị biểu thức: A =  ÷ +  ÷  z2   z1  2, Cho z1 , z2 số phức thoả mãn phương trình z − i = + 3iz z1 − z2 = Tính A = z1 + z2 3, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 = z2 = z1 + z2 = Tính z1 − z2 4, Cho z1 , z2 , z3 số phức thoả mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Chứng minh rằng: z1 z2 z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 2 5, Cho hai số phức: z1 = (a + a + 1) + (2a + 3a − 4)i ( a ∈ ¡ ) z2 = − 2i Tìm giá trị tham số a để z1 = z2 6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt z1 , z2 thoả mãn điều kiện z1 = z2 z1 + z2 số ảo z1 − z2 Bài 33: Giải toán sau: 1, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 = , z2 = z1 − z2 = 37 Tìm số phức z = z1 z2 2, Cho hai số phức z1 , z2 Chứng minh rằng: w = z1 z2 + z1 z2 số thực 2 3, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 + z2 = z1 z2 Tính z1 − z2 z1 + z2 4, Cho z1 , z2 , z3 số phức thoả mãn z1 = z2 = z3 = Chứng minh rằng: z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1 + z2 + z3 5, Cho số phức z ≠ thoả mãn điều kiện: z + Trang 10 1 ≤ Chứng minh: z + ≤ z z Chuyên đề Số phức LTĐH Dạng 2: Biểu diễn số phức tập hợp điểm r ● Véc tơ u ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi uuuur ● Điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi , tức OM biểu diễn số phức ● Tập hợp điểm M ( x; y ) thoả mãn: + Ax + By + C = , A2 + B > : đường thẳng + MA = MB : đường trung trực đoạn thẳng AB + y = ax + bx + c , a ≠ : Parabol + ( x − a )2 + ( y − b) = R : đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R + ( x − a )2 + ( y − b) ≤ R : hình trịn tâm I (a; b) , bán kính R + MF1 + MF2 = 2a , F1 F2 = 2c < 2a : Elip + MF1 − MF2 = 2a , F1F2 = 2c > 2a : Hypebol … Bài 1: Biểu diễn số phức sau mặt phẳng phức: 1, z = 2, z = −2i 3, z = − 2i 4, z = −2 + i Bài 2: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, z = 2, z ≤ 3, z − + 2i = 4, z + i − ≤ 5, + z = − i 6, + z > z − 7, z − 4i + z + 4i = 10 8, < z ≤ 9, ≤ z + − i ≤ Bài 3: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, ( z + z + ) ∈ ¡ 2, z số ảo 4, z − (3 − 4i ) = (B-2010) 6, z + − 2i = z + − 2i 3, z = z − + 4i 5, z − i = (1 + i ) z (D-2009) 7, z + z + − i = 8, z − i = z − z + 2i Bài 4: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: ( ) 1, z + z > 2, z − i = 3, z − z 4, ≤ z − + 2i < 5, (2 + 3i) z + 2i − m = 6, (1 + i ) z + (1 − i ) z = z + 7, z−i =1 z+i 8, z + 2i =1 z−3 9, =4 z − 3i =2 z Bài 5: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, (2 − z )( z + i) số ảo z + + 3i số ảo z −1 z + 2i 8, số ảo iz − 3, 2, z − z + 4i số thực 7, iz + + i số thực z −1+ i 9, z+i số thực iz − Trang 11 Chuyên đề Số phức LTĐH Bài 6: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, z số thực âm 2, ( z − i ) số ảo ( ) 3, ( z − i ) số thực âm 4, ( z − i ) = z z+i số ảo 6, số thực dương z+i z−i Bài 7: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 5, 1, z + + 2i ≤ 3, log z + i ≤ 2, (1 − i ) z = (1 + i ) z 4, z − + z + = 26 7, z + + z − = 5, z = = 1− z z 6, log 8, z + 2i + z − 2i = z−2 +2 >1 z − −1 9, z − − z + = Bài 8: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức thoả mãn: 1, M biểu diễn số phức z + − i , z − + 2i = 2, M biểu diễn số phức z − + i , với ≤ z − − i < Bài 9: Giải toán sau: ( ) 1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = + i z + , biết z − ≤ 2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + − i , biết: 2 a, 3z + i ≤ z.z + b, z + i ≤ z.z + 1 + 3i ) 3, Cho số phức z = ( 16(1 + i ) c, z − + 3i = 5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết rằng: w − iz + z = 4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + , biết: z z z + = z ( + 6iz ) Bài 10: Cho điểm A, B, C, D, M, N, P nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức + 3i , −2 + 2i , −4 − 2i , − 7i , −3 + 4i , − 3i , −3 + 2i 1, Chứng minh tam giác ABC MNP có trọng tâm 2, Tìm điểm Q mặt phẳng phức cho tứ giác MNPQ hình bình hành Điểm Q biểu diễn số phức nào? 3, Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn Tìm tâm tính bán kính đường trịn r r Bài 11: Các véc tơ u, v mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức rr r r z , z ' Chứng minh: 1, u.v = zz '+ z z ' u 2, ⊥ v ⇔ z + z ' = z − z ' r r r r z' 3, Nếu u ≠ u, v vng góc số ảo z ( ) Trang 12 Chuyên đề Số phức LTĐH §2.Căn bậc hai sớ phức Phương trình bậc hai A-Tóm tắt tắt lý lý thuyết: thuyết: A-Tóm 1, Căn bậc hai số phức: *Định nghĩa: Căn bậc hai số phức z số phức w cho w2 = z *Phương pháp xác định bậc hai số phức: Xét số phức z = a + bi Gọi w = x + yi bậc hai số phức z + Nếu a = 0, b = z = có bậc hai w = + Nếu a > 0, b = bậc hai z w = ± a + Nếu a < 0, b = z = a = − nên w = ± −  x2 − y2 = a (*) + Nếu b ≠ ta có w = x − y + xyi nên w = z ⇔  xy = b  Giải hệ (*) để xác định giá trị x, y 2 2 2, Phương trình bậc hai: Xét phương trình bậc hai: az + bz + c = (1) , với a, b, c ∈ ¡ a ≠ Ta có biệt thức ∆ = b − 4ac b 2a + Nếu ∆ ≠ , gọi δ bậc hai ∆ phương trình (1) có hai nghiệm −b + δ −b − δ z1 = z2 = phân biệt: ; 2a 2a *Nhận xét: Hệ thức Viét cho phương trình bậc hai với hệ số phức: b c z1 + z2 = − ; z1 z2 = a a + Nếu ∆ = phương trình (1) có hai nghiệm trùng nhau: z1 = z2 = − B-Phương pháp pháp giải giải toán: toán: B-Phương Dạng 1: Căn bậc hai phương trình bậc hai Bài 1: Xác định bậc hai số phức sau: 1, z = 2i 2, z = −2i 3, z = −3 + 4i 4, z = −2 − 3i 6, z = + 5i 5, z = −1 + 3i 7, z = −1 − 6i 8, z = − 5i Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: 1, z − z + 11 = 2, z + 3z + 10 = 4, z − z + = 5, z + (i − 5) z + − i = Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức: Trang 13 9, z = 46 − 14 3i 3, 3z − z + = 6, z − (4 + 5i ) z − 11 + 13i = Chuyên đề Số phức LTĐH 1, z + 3(1 + i ) z + 5i = (D-2012) 2, z − 2(2 + i ) z + + 4i = 3, z + (1 − 3i ) z − 2(1 + i ) = 4, z − (3 + 4i) z − + 5i = 5, z − 2(5 − 2i) z + 28 − 4i = 6, z − (5 − 14i ) z − 2(5i + 12) = Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức: 1, iz − 2(1 − i ) z − = 2, z − 2(2 − i ) z + − 8i = 3, z − (1 + i) z + + 3i = 4, z + (1 + i) z − 10 + 11i = 5, z − + 3i z + 16 − 3i = 6, 2(1 + i ) z − 4(2 − i) z − − 3i = ( ) Bài 5: Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình: 3z − z + = Tính giá trị biểu thức: 2 3 5 1, A = z1 + z2 2, B = z1 + z2 3, C = z1 + z2 z13 z23 4, D = + z2 z1 5, E = z1 z + 2 z2 + z1 + z12 + z2 z22 + z1 + 6, F = z1 − z2 − Bài 6: Chứng minh rằng: 1, Hai số phức liên hợp z z hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực 2, Nếu phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức z z nghiệm Bài 7: Lập phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm: 1, z1 = + 2i z2 = − 2i 2, z1 = − + 5i z2 = − − 5i 3, z = −2 + i 4, z = − i 5, z = + 3i Bài 8: Tìm hai số phức biết: 1, Tổng chúng − i tích chúng 5(1 − i ) 2, Hiệu chúng 6i tích chúng 2(7 + 6i ) Bài 9: Giải toán sau: 1, Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình: z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức: A = z1 + z2 2, Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình: z − z + = Tính giá trị 2 biểu thức: B = z1 + z2 3, Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình: z − z + = Tính giá trị biểu thức: P = ( z1 − 1) 2013 + ( z2 − 1) 2013 4, Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình: z − 2 z + = Tính giá trị 2013 2013 biểu thức: P = z1 + z2 5, Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình: 2(1 + i ) z − 4(2 − i) z − − 3i = Trang 14 Chuyên đề Số phức LTĐH Tính giá trị biểu thức: A = z1 + z2 6, Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình: z − z + = Tìm z − z1 + =1 tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn: z + z z2 + 7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 phương 1+ i z1 Tính diện tích trình: z − z + = điểm B biểu diễn số phức z2 = tam giác OAB, với O gốc toạ độ ( ) 8, Tìm tất số thực b, c cho số phức ( − 3i ) + 3i 12 (2 − i ) (1 + i )6 nghiệm phương trình: z + 8bz + 64c = 9, Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình: z − z + 11 = Tính giá trị biểu thức: P = z1 + z2 ( z1 + z2 ) 10, Giả sử a, b, c số phức thay đổi thoả mãn a = b = c > z nghiệm phương trình: az + bz + c = Chứng minh rằng: −1 + 1+ ≤ z≤ 2 11, Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình: z − z + = Tính giá trị biểu thức: A = z1 + z2 + z1 z2 z1 + z2 Dạng 2: Phương trình quy bậc hai Bài 1: Giải phương trình sau tập số phức: 1, z − = 2, z = i 3, z + i = 4, z − = 5, z + = 6, z + z = z + Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: 1, 3z − z + 10 z − = 2, z + z − z − 2 = 3, z − 2(1 + i ) z + 3iz + − i = 4, z − z + (3 + 2i) z + + i = 5, z − (2i − 1) z + (3 − 2i ) z + = 6, z − 2(1 + i ) z − (4 + 9i ) z − − 7i = 7, z − (4 − 5i) z + 4(2 − i) z + 8i = 8, iz + z − (1 + 4i) z − = Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức: 1, z + 3z + = 2, z + z + 25 = Trang 15 3, z − (2 − i) z − 2i = Chuyên đề Số phức LTĐH 4, z − z + 27iz − 27i = 6, ( z + 1) + ( z + 3) = 5, z + 6(1 + i ) z + + 6i = 8, ( z − z ) + ( z − z ) − 12 = 7, z + (1 − 3i ) z − 2i − = Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức: 1, ( z + i ) ( z + ) ( z − i ) = 2, ( z − z ) ( z + 3)( z + 2) = 10 2 3, ( z + i ) ( z − 2iz − 1) = 4, ( zi + 1) − 8( zi + 1) + 15 = 5, ( z + − 3i) − 6( z + − 3i) + 13 = 6, ( z + 3z + ) + z ( z + z + ) − 3z = 2 2 z −1 iz −  z −1  iz −  7,  8,  +2=0 +2=0 ÷ −3 ÷ −2 z+i z + 2i  z+i  z + 2i  Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức: (Phương trình hồi quy) 1, z − z + z − z + = 2, z − (1 + 2i ) z + 2(1 + i) z − (1 + 2i ) z + = 3, z − (3i − 4) z + 2(2 − 3i) z − (3i − 4) z + = 4, z + (1 + 2i ) z + 2(1 + i ) z + (1 + 2i ) z + = 5, z − (7 + i) z + 2(5 + i) z − (7 + i) z + = 6, z − (3 + i ) z + (4 + 3i ) z − 2(3 + i ) z + = 7, z − (6 + 10i) z + (15i − 8) z + (6 + 10i) z + = Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức: z2 1, z − z + + z + = 3, z + z + z + z + = 5, ( z + z ) − ( z + 3z ) − 36 = 7, ( z − i ) + ( z + 3i) = 256 9, z + z + z + z + z + = 11, z + z + z + z + = 2, ( z − 2) + ( z − 2) ( z − 14 z + 13) + = 4, z + z + z + z + 16 z + 32 = 2 6, ( z + 3z + ) ( z + 11z + 30 ) = 60 2 8, ( z + 1) ( z + 8iz − 15 ) = 105 10, ( z − 1)( z + 2)( z + 4)( z + 7) = 34 12, z − z + z − 16 z + 12 = Bài 7: 1, Tìm số thực a, b để có phân tích: z + z + 3z + z + = ( z + 1)( z + az + b ) 2, Giải phương trình: z + z + 3z + z + = Bài 8: 1, Tìm số thực a, b để có phân tích: z + 3z + z − 63 = ( z − 3)( z + az + b) 2, Giải phương trình: z + 3z + 3z − 63 = Bài 9: Cho phương trình: z + (2 − 2i ) z + (5 − 4i ) z − 10i = (1) Trang 16 Chuyên đề Sớ phức LTĐH Chứng minh (1) có nghiệm ảo, từ giải phương trình (1) Bài 10: Cho phương trình: z − 2(1 + i ) z + 3iz + − i = (1) 1, Chứng minh z = nghiệm phương trình (1) 2, Tìm số thực a, b để có phân tích: z − 2(1 + i ) z + 3iz + − i = ( z − 1)( z + az + b) 3, Giải phương trình cho Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm z = i : z − (3 + i) z + (3 + 4i ) z + − mi = Với giá trị m tìm được, giải phương trình cho Bài 12: 1, Tìm số thực a, b để có phân tích: z − z + 14 z − = (2 z − 1)( z + az + b) 2, Giải phương trình: z − z + 14 z − = Bài 13: 1, Tìm số thực a, b để có phân tích: z + z + 3z + z + = ( z + 1)( z + az + b ) 2, Giải phương trình: z + z + 3z + z + = Bài 14: Gọi z1 , z2 , z3 nghiệm phức phương trình: 27 z + = ( z1 + z2 + z3 + 1) Tính giá trị biểu thức: T = z1 + z22 + z32 Bài 15: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phức phương trình: z4 − z3 − 2z + 6z − = 1 1 Tính giá trị biểu thức: T = + + + z1 z2 z3 z4 Bài 16: Cho phương trình: 3z − z + 3z + z − = (1) 1, Chứng tỏ z = + i nghiệm phương trình (1) 2, Tìm cịn lại phương trình (1) Dạng 3: Hệ phương trình phức Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  z1 z2 = −5 − 5i  z1 + z2 + z1 z2 = 1,  2 2,  2  z1 + z2 = − + 2i  z1 + z2 + z1 z2 = −1  z + w = 3(1 + i ) 3,  3  z + w = 9(−1 + i ) 3iz − w = −3 3z + (1 + i ) w = −2 + 14i 5,  6,   z − 3w = −7i  iz − (2i − 1) w = −4 + 9i Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  (2 − i ) z − (3 − 2i) w = −10 − 8i  2z + w = 1,  2,  2  (3 + 2i ) z − (−1 + i) w = + 6i 3z + w + 3zw − z + =  z + 3w = + 3i 4,   z − w = + 2i Trang 17 Chuyên đề Số phức LTĐH  z − w = −2 3,  2  z w + w − z − 2w + =  z − (2 − i ) w = 5,  2  z − 3iw = + 15i  z + (4 − i ) w = 4,  2 3z + (1 + 3i ) w = 291 + 53i  (3 − i ) z + 2(2 + i ) w = 2(1 + 3i) 6,   2(2 + i ) z − (2 + 3i ) w = + 4i Bài 3: Giải hệ phương trình sau: z + w = + i  z + w + zw = 1,  2,  2  z + w = 8(1 + i )  z + w = −4(1 + i)  z + w = −1 + 2i 3,  3 2  z + w + z w + zw = 45 + 60i  z + w = −5(2 + z ) 4,   w + z = −5(2 + w)  z − 10iz + 42i = 6w + 11 6,   w − 10iw + 42i = z + 11  z + = 3w + z 5,   2w + = 3z + w Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  x + y + z = + 2i  1,  x + y − z + + 5i  x + y + 3z = + 2i   z1 = z2 = z3 =  x + iy − z − 10 =   2,  x − y + 2iz − 20 = 3,  z1 + z2 + z3 =  i ( x + y ) − (1 + i ) z = 30 z z z =1   Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình sau:  (1 − 2i ) z + (1 + 2i ) z =   z + 2i z − z + = ( ) Trang 18 Chun đề Sớ phức LTĐH §3 Dạng lượng giác sớ phức A-Tóm tắt tắt lý lý thuyết: thuyết: A-Tóm 1, Số phức dạng lượng giác: Dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) với r > , gọi dạng lượng giác số phức z ≠0 + ϕ gọi argument số phức z, xác định số đo góc lượng giác với tia đầu tia Ox, tia cuối tia OM (M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức) Argument số phức z đo rađian, argument z có dạng ϕ + k 2π ( k ∈ ¢ ) + r mơđun số phức z, tức r = z 2, Nhân chia số phức dạng lượng giác: Xét hai số phức z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ; z2 = r2 (cos ϕ + i sin ϕ ) Khi ta có: + z1 z2 = r1r2 [ cos(ϕ1 + ϕ ) + i sin(ϕ1 + ϕ ) ] , với r1 ≥ 0, r2 ≥ + z1 r1 = [ cos(ϕ1 − ϕ ) + i sin(ϕ1 − ϕ ) ] , với r1 ≥ 0, r2 > z2 r2 3, Công thức Moivre: Xét số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , với số nguyên dương n ta có: z n = [ r (cos ϕ + i sin ϕ ) ] = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) n n *Chú ý: i, Với r = ta có (cos ϕ + i sin ϕ ) = ( cos nϕ + i sin nϕ ) ii, Căn bậc hai số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ( r > ) hai số phức ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ    ϕ  r  cos + i sin ÷ − r  cos + i sin ÷ = r  cos  + π ÷+ i sin  + π ÷ 2 2    2   2 iii, Từ cơng thức Moivre, ta chứng minh bậc n số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) gồm n số phức phân biệt biểu diễn dạng n   ϕ k 2π r  cos  + n  n   ϕ k 2π ÷+ i sin  + n  n  ÷ ; với k nhận giá trị nguyên từ đến n −  B-Phương pháp pháp giải giải toán: tốn: B-Phương Dạng 1: Biểu diễn sớ phức dạng lượng giác ● Chuyển số phức từ dạng đại số z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ; a + b > ) sang dạng lượng giác sau: + Tính r = z = a + b a b + Tìm ϕ thoả mãn đồng thời cos ϕ = sin ϕ = r r Trang 19 Chuyên đề Số phức LTĐH Khi dạng lượng giác cần tìm z z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ● Mỗi số phức z có nhiều argument, ϕ argument argument có dạng ϕ + k 2π ( k ∈ ¢ ) z n có argument nϕ ● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy z1 , z2 có z1 argument ϕ1 , ϕ z1 z2 có argument ϕ1 + ϕ , ϕ1 − ϕ z2 Bài 1: Viết số phức sau dạng lượng giác: 1, z = i 2, z = + i 3, z = −1 + i 4, z = + 3i 5, z = − i 6, z = − − i 7, z = −1 + 3i 8, z = − 3i 9, z = − + i 4 Bài 2: Viết số phức sau dạng lượng giác: ( ) ( 1, z = − 3i (1 + i ) 3+i −1 + i 4, z = ) 3, z = 2i 2, z = + 3i (1 − i ) 5, z = + 2i ( 3−i ) 6, z = (1 + i )(−2 − 2i )i 1  i ÷÷(−3 + 3i ) + 2i 9, z =  − 2  Bài 3: Viết dạng lượng giác tìm bậc hai số phức sau: 7, z = 3(1 − i)(−5 + 5i ) 1, z = (3 − i )(1 − 3i ) 4, z = ) 7, z = + 3i ( −1 − i) Bài 4: 1, Tính cos ( ( 5, z = ( − 3i 1+ i ) + 2i ) ( −5 ( 2, z = + 3i (1 + 3i) (i − 3)(1 + 12i ) + 2i ( 8, z = 8, z = ( 3, z = −2i −4 + 3i (3 + 3i) + 17i ) 3+i ) 2, Viết dạng lượng giác số phức: z = + 6, z = (2 11 + 3i ) + 5i (−1 + i ) + 3i ) ( 9, z = ( − i (1 + 7i )(1 − 2i ) π π sin 8 ) ( 3+i ) ( −1 + i ) ) −1 i Bài 5: Tuỳ theo góc ϕ , viết số phức sau dạng lượng giác: 1, z = + cos ϕ + i sin ϕ 2, z = + cos ϕ − i sin ϕ 3, z = − cos ϕ + i sin ϕ 4, z = − cos ϕ − i sin ϕ 5, z = + sin ϕ + i cos ϕ 7, z = cos ϕ + i (1 + sin ϕ ) 8, z = cos ϕ + i (1 − sin ϕ ) 10, z = − sin ϕ + i cos ϕ + cos ϕ + i sin ϕ 6, z = − sin ϕ + i cos ϕ − cos ϕ − i sin ϕ 9, z = + cos ϕ + i sin ϕ 11, z = ( − cos ϕ − i sin ϕ ) ( + cos ϕ + i sin ϕ ) Trang 20 ) Chuyên đề Số phức LTĐH Bài 6: Viết dạng lượng giác tìm bậc hai số phức sau: π π π π π π  1, z = −2  cos + i sin ÷ 2, z = cos − i sin 3, z = sin + i cos 6 17 17 17 17  π π π π π π   4, z = −  cos + i sin ÷ 5, z =  − cos + i sin ÷ 6, z = − cos − i sin 7 6 6   Bài 7: Tìm argument tính mơđun số phức sau: 1, z = − 6i 2, z = − + 15i 3, z = + − i 4, z = − − i 5, z = − + i 6, z = (4 + 7i)( −3 − 11i) + 11 3i −1 − 3i + 5i − 2i −4 8, z = 9, z = − 3i + 5i + 2i +i Bài 8: Tìm argument tính môđun số phức sau: π π π π 1, z = − cos − i sin 2, z = + sin − i cos 12 12 5 7, z = ( 3, z = ( + 2i ) (1 − i )6 5, z = + 3i ) 2013 + (2 ( (1 + i )6 − 2i + − 3i Bài 9: 1, Tính cos ) ) 2013 4, z = ( (1 − i ) 3−i − 6, z = ( + ) ( 10 3−i (1 + i ) ) + 2i ) −33 + 19 3i + 13 3i π π sin 12 12 π π + i sin ) 6 2, Xác định môđun argument số phức: z = 6+ 2+ 6− i 4(cos ( ) Bài 10: Cho số phức z có mơđun Biết argument z ϕ , tìm argument số phức: 1, w = z 2, w = − 3, w = z + z 4, w = z + z 2z Bài 11: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức z, biết: 7π 1, z = argument iz 2, z = argument i.z π −3π z argument 1+ i Bài 12: Tìm số phức z dạng lượng giác biết rằng: 5π 1, z = argument (1 + i ) z 12 3, z = Trang 21 Chuyên đề Số phức LTĐH ( ) 2, zz = argument − 3i z π 3, z − = z − argument z − argument z + cộng π với z 2π 4, z = argument 3+i 5, z = ( ) z (1 − i ) + 3i π argument 16 12 −13 + 3i z+3 π z −3 π 7, z − = z − 3i argument i.z 6, − z = i − z argument 2π − 3i 8, z − i = + z − z argument − z Bài 13: Cho hai số phức z1 = + i z2 = + i 1, Tính mơđun argument hai số phức nói z13 2, Tính mơđun argument số phức z , z z2 2 π π sin 12 12 π π π π   Bài 14: Cho hai số phức z1 =  cos + i sin ÷ z2 =  cos + i sin ÷ 3 4   Viết dạng lượng giác số phức: z1 1 1, z1 z2 2, 3, 4, z2 z1 z2 3, Từ suy giá trị xác cos Bài 15: Cho số phức z1 = − i , z2 = −2 − 2i z3 = z1 z2 1, Viết z1 , z2 , z3 dạng lượng giác 2, Từ suy giá trị xác cos 7π 7π sin 12 12 3, Tính w = z1 z2 ( −i ) 2013 2014 Bài 16: Viết dạng lượng giác số phức: z =  π 5π   sin − i sin ÷   Trang 22 Chuyên đề Số phức LTĐH Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải tốn Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 1, z = i9 4, z = ( ( 3−i + 3i ) ) ( 2, z = − 3i 21 ) 16 π π  3, z =  cos − i sin ÷i + 3i 3  ( (1 + i )10 ( 1− i) 18  + 7i  5, z =  ÷  6+i  (1 − i)9 6, z = ) 10 ( + i )9 Bài 2: Tìm số phức z cho: 1 1, z hai số phức liên hợp 2, z hai số phức liên hợp z z 32 10 + 22i 3, z hai số phức liên hợp 4, z = + 3i z Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau: ( ) 1, A = (1 − i )10 ( 3+i ( −1 − i ) 10 ) 21  + 3i  3, C =  ÷ ÷  − 3i  2013  i  2, B =  ÷  1+ i  4, D = ( (1 + i )10 3+i ) Bài 4: Tìm số nguyên dương n để số phức sau số thực, số ảo? n  + 3i  2, z =  ÷÷  − 3i  n  + 11i  1, z =  ÷  − 7i  n  13 + 9i  4, z =  ÷ ÷  12 − 3i  5, z = (7 + 17i ) (2 + 3i ) n n n  − 3i  3, z =  ÷÷  − 3i  6, z = ( −59 − 11 3i (3 − 2i ) ) n 2n Bài 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ cho: n n−  3−i   5−i  z1 =  số ảo ÷ ÷ số thực z2 =  − 3i ÷ − i    Bài 6: Giải toán sau: ( ) ( 1, Tính giá trị biểu thức: A = + i (1 − i )5 + (1 + i )5 − i 2013 2, Tìm phần thực, phần ảo số phức w = z + z 2013 , biết z + ) =1 z 3, Cho số phức z = − + i Tính w = z 2011 + z 2012 + z 2013 2 4, Cho số phức z = − i Tính C = − z + z − z + z − − z + z10 2 5,(A-2013) Cho số phức z = + 3i Viết dạng lượng giác số phức z Tìm phần thực, phần ảo số phức w = (1 + i) z Trang 23 .. .Chuyên đề Số phức LTĐH ur uu r + u1 + u2 biểu diễn số phức z1 + z2 ur uu r + u1 − u2 biểu diễn số phức z1 − z2 4, Phép nhân số phức: *Định nghĩa 5: Tích hai số phức z1... sin 12 12 3, Tính w = z1 z2 ( −i ) 2013 2014 Bài 16: Viết dạng lượng giác số phức: z =  π 5π   sin − i sin ÷   Trang 22 Chuyên đề Số phức LTĐH Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải. .. số phức z ≠ thoả mãn điều kiện: z + Trang 10 1 ≤ Chứng minh: z + ≤ z z Chuyên đề Số phức LTĐH Dạng 2: Biểu diễn số phức tập hợp điểm r ● Véc tơ u ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi uuuur