Chuyên đề: Số chính phương

I/ MỤC TIÊU: 1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.. 2/ Kỹ năng: Học sinh có

Trường THCS Nhơn Tân Gv: Huỳnh Văn Rỗ Ngày soạn: 27/01/2008 TUẦN 21 Ngày dạy: 31/01/2008

CHÍNH PHƯƠNG.

I/ MỤC TIÊU:

1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan

cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương

2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và

giảimột số dạng toán có liên quan

3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.

II/ LÝ THUYẾT: (Tiết trước)

1/ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

2/ Một số tính chất của số chính phương:

3/ Nhận biết một số chính phương:

4/ Hằng đẳng thức vận dụng:

(a  b)2 = a2  2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b)

III/ BÀI TẬP:

Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết

rằng trong 3 mệnh đề sau có 2

mệnh đề đúng và một mệnh đề

sai:

1/ n có chữ số tận cùng là 2

2/ n + 20 là một số chính phương

3/ n – 69 là một số chính phương

Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n – 69 có chữ số tận cùng là 3 Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3 Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái giã thiết Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b  N và a > b)

=> a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1

Do đó: a b 89a b 1 

 suy ra a = 45 Vậy n = 452 – 20 = 2005

Bài 2: Cho N là tổng của 2 số

chính phương Chứng minh rằng:

a/ 2N cũng là tổng của 2 số chính

phương

b/ N2 cũng là tổng của 2 số chính

phương

Gọi N = a2 + b2 (a, b  N) a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab = (a + b)2 + (a – b)2 là tổng của 2 số chính phương b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 + b2+ 4a2b2

= (a2 – b2)2 + (2ab)2

Bài 3: Cho A, B, C, D là các số

chính phương Chứng minh rằng:

(A + B)(C + D) là tổng của 2 số

chính phương

Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2; Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) =

= a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd – 2abcd +

a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) là tổng của 2 số chính

Tự chọn 7; Năm học 2007 – 2008

Trường THCS Nhơn Tân Gv: Huỳnh Văn Rỗ

phương

Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z

sao cho: x = y + z Chứng minh

rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng của

3 số chính phương

Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0

=> x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0

=> 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2

Bài 5: Cho a, b, c, d là các số

nguyên thoả mãn: a – b = c + d

Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 +

d2 luôn là tổng của 3 số chính

phương

Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0

=> 2a(a – b – c – d) = 0 Nên ta suy ra:

a2 + b2+ c2 + d2 = a2 + b2+ c2 + d2 + 2a(a – b – c – d)

= (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2

Bài 6: Cho 2 số chính phương

liên tiếp Chứng minh rằng tổng

của 2 số đó cộng với tích của

chúng là một số chính phương lẻ

Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 =

= (n2 + n + 1)2

n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ

Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ

Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + + n

a/ Tính an+1

b/ Chứng minh rằng an + an+1 là

một số chính phương

a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + + (n + 1) b/ an + an+1 = (1 n)n2 + (1 n 1)(n 1) 2  = (n 1)(n n 2) 2  =

= (n + 1)2

IV/ RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG:

Tự chọn 7; Năm học 2007 – 2008