Chuyên đề: Số chính phương

Trường THCS Nhơn Tân Gv: Huỳnh Văn Rỗ Ngày soạn: 27/01/2008 TUẦN 21 Ngày dạy: 31/01/2008 Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Tiết 5, 6: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. I/ MỤC TIÊU: 1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương. 2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giảimột số dạng toán có liên quan. 3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế. II/ LÝ THUYẾT: (Tiết trước) 1/ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên. 2/ Một số tính chất của số chính phương: 3/ Nhận biết một số chính phương: 4/ Hằng đẳng thức vận dụng: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 và a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) III/ BÀI TẬP: BÀI TẬP BÀI GIẢI Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng và một mệnh đề sai: 1/ n có chữ số tận cùng là 2 2/ n + 20 là một số chính phương 3/ n – 69 là một số chính phương Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n – 69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3. Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng. Đặt n + 20 = a 2 ; n – 69 = b 2 (a, b ∈ N và a > b) => a 2 – b 2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1 Do đó: a b 89 a b 1 + =   − =  suy ra a = 45. Vậy n = 45 2 – 20 = 2005 Bài 2: Cho N là tổng của 2 số chính phương. Chứng minh rằng: a/ 2N cũng là tổng của 2 số chính phương. b/ N 2 cũng là tổng của 2 số chính phương. Gọi N = a 2 + b 2 (a, b ∈ N) a/ 2N = 2a 2 + 2b 2 = a 2 + b 2 + 2ab + a 2 + b 2 – 2ab = (a + b) 2 + (a – b) 2 là tổng của 2 số chính phương. b/ N 2 = (a 2 + b 2 ) 2 = a 4 + 2a 2 b 2 + b 2 = a 4 – 2a 2 b 2 + b 2 + 4a 2 b 2 = (a 2 – b 2 ) 2 + (2ab) 2 Bài 3: Cho A, B, C, D là các số chính phương. Chứng minh rằng: (A + B)(C + D) là tổng của 2 số chính phương. Theo bài toán thì: A = a 2 ; B = b 2 ; C = c 2 ; D = d 2 ; Nên: (A + B)(C + D) = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2abcd – 2abcd + a 2 d 2 + b 2 c 2 = (ac + bd) 2 + (ad – bc) là tổng của 2 số chính Tự chọn 7; Năm học 2007 – 2008 Trường THCS Nhơn Tân Gv: Huỳnh Văn Rỗ phương. Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z sao cho: x = y + z. Chứng minh rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng của 3 số chính phương. Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z) 2 = 0 => x 2 + y 2 + z 2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0 => 2(xy + xz – yz) = x 2 + y 2 + z 2 Bài 5: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả mãn: a – b = c + d. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 luôn là tổng của 3 số chính phương. Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0 => 2a(a – b – c – d) = 0 Nên ta suy ra: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2a(a – b – c – d) = (a – b) 2 + (a – c) 2 + (a – d) 2 Bài 6: Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Ta có: n 2 + (n + 1) 2 + n 2 (n + 1) 2 = n 4 + 2n 3 + 3n 2 + 2n + 1 = = (n 2 + n + 1) 2 n 2 + n là một số chẵn n 2 + n + 1 là một số lẻ. Suy ra (n 2 + n + 1) 2 là một số chính phương lẻ. Bài 7: Cho a n = 1 + 2 + 3 + . + n a/ Tính a n+1 b/ Chứng minh rằng a n + a n+1 là một số chính phương a/ Từ bài toán ta suy ra: a n+1 = 1 + 2 + 3 + . + (n + 1) b/ a n + a n+1 = (1 n)n 2 + + (1 n 1)(n 1) 2 + + + = (n 1)(n n 2) 2 + + + = = (n + 1) 2 IV/ RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG: Tự chọn 7; Năm học 2007 – 2008 . Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Tiết 5, 6: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. I/ MỤC TIÊU: 1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính. như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương. 2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giảimột số dạng