Bồi dưỡng HSG Toán 9 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN VÒNG TỈNH PHẦN SỐ HỌC // Bài 1: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a+1 b+1 + a b là số nguyên. Gọi d là ước chung của a và b. Chứng minh rằng: d a b≤ + . Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n – 41 là hai số chính phương Bài 3: Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn: 2 2 1 ( 2) abc n cba n = − = − ( n ∈ N, n > 2) Bài 4: Cho 100 số tự nhiên a 1 , a 2 … a 100 thỏa mãn: 1 2 100 1 1 1 19 a a a + + + = Chứng minh rằng: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau. Bài 5: Tìm các số nguyên dương x, y để C = 3 1 x x xy + − có giá trị nguyên dương. Bài 6: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn: (a-b)(b-c)(c-a) = a + b + c. Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho 27. Bài 7: a/ Cho A = k 4 + 2k 3 – 16k 2 – 2k + 15 với k ∈ Z. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16. b/ Cho 2 số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng: Nếu ab là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho a 2 + b 2 + c 2 là một số chính phương. Bài 8: Cho a, b là các số thực thay đổi thỏa mãn a 3 + b 3 = 2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của M = a + b. Bài 9: Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất: Với mỗi số nguyên lẻ a mà a 2 ≤ n thì n chia hết cho a. Bài 10: a/ Tìm số tự nhiên a để N = a 2 + 10a + 136 có giá trị là một số chính phương. b/ Tìm các số chính phương có 4 chữ số thỏa mãn: Chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm bằng nhau; chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau. Bài 11: a/ Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a 2 + c 2 = b 2 + d 2 . Chứng minh rằng: a + b + c + d là hợp số. b/ Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: (x 2 – 3) M (xy + 3) Bài 12: Cho x, y là các số thực sao cho 1 x y + và y + 1 x là các số nguyên. Chứng minh: Các số sau cũng là các số nguyên A = 2 2 2 2 1 x y x y + ; B = 2011 2011 2011 2011 1 x y x y + Bài 13: Cho a, b là các số nguyên và p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh: Nếu p 4 là ước của a 2 +b 2 và a(a + b) 2 thì p 4 cũng là ước của a(a + b). Bài 14: Cho dãy số 10, 10 2 , 10 3 , …, 10 20 . Chứng minh rằng: Trong dãy số trên có 1 số khi chia cho 19 thì có số dư là 1. Bài 15: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn ab = cd. Chứng minh rằng: Số A= a 2012 + b 2012 + c 2012 + d 2012 là hợp số. Phan Sơn – Trường THCS Tam Dương Bồi dưỡng HSG Toán 9 Bài 16: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn: ( 1) ( 1) ( 1) xy z yz x zx y + + + M M M Bài 17: Xét một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số. Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách nào đó ta được số tự nhiên B. Giả sử A B− = 11…1 ( gồm n chữ số 1, n ∈ N * ). Tìm giá trị nhỏ nhất của n và chỉ rõ cặp số A, B thỏa mãn giá trị nhỏ nhất đó của n. Bài 18: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương phân biệt (a, b, c) khác 1 sao cho abc – 1 chia hết cho (a – 1)(b – 1)(c – 1). Bài 19: Chứng minh rằng Trong 2010 số khác nhau tùy ý được lấy ra từ tập hợp A= { 1, 2, 3 … 2008 2009 }, có ít nhất hai số x, y thỏa mãn: 2009 2009 0 1x y< − < . Bài 20: Tìm các chữ số a, b, c thỏa mãn: ( )abc a b c= + Bài 21: Tìm số có 5 chữ số abcde thỏa mãn: 3 abcde ab= Bài 22: Cho số tự nhiên n và n + 2 số nguyên dương a 1 , a 2 , …. a n+2 thỏa mãn điều kiện: 1 ≤ a 1 < < a 2 < …< a n+2 ≤ 3n. Chứng minh rằng: Luôn tồn tại 2 số a i , a j ( 1 ≤ j ≤ i ≤ n +2) sao cho n < a i - a j < 2n. Bài 23: Trong tập hợp N* xét hai số P = 1.2.3….(n-1).n = n! và S = 1+2+3 +…+ (n-1)+n Tìm các số tự nhiên n ( n>2) sao cho P chia hết cho S. Bài 24: Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của a được kí hiệu [a] – là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. Xét dãy số a 0 , a 1 , ….a n được cho bởi công thức a n = 1 2 2 n n+ − . Hỏi trong 200 số { a 0 , a 1 , ….a 199 }có bao nhiêu số khác 0 ( biết 1,41 < 2 < 1,42 ) Bài 25: Gọi S(n) là tổng tất cả các ước lẻ lớn nhất của các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 2 n ( n ≥ 0). Chứng minh rằng: S(n) = 4 2 3 n + Bài 26: Cho 3 số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn đồng thời các điều kiện: i) a là ước của b + c + bc. ii) b là ước c + a + ca. iii) c là ước của a + b + ab. a/ Hãy chỉ ra một bộ ba số (a, b, c) thỏa mãn các điều kiện trên. b/ CMR: a, b, c không thể đồng thời là các số nguyên tố. Bài 27: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho ( 1)( 1)( 1)xy yz zx xyz − − − cũng có giá trị là một số nguyên. Phan Sơn – Trường THCS Tam Dương . Bồi dưỡng HSG Toán 9 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN VÒNG TỈNH PHẦN SỐ HỌC // Bài 1: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho. 20: Tìm các chữ số a, b, c thỏa mãn: ( )abc a b c= + Bài 21: Tìm số có 5 chữ số abcde thỏa mãn: 3 abcde ab= Bài 22: Cho số tự nhiên n và n + 2 số nguyên dương a 1 , a 2 , …. a n+2 thỏa mãn. A= a 2012 + b 2012 + c 2012 + d 2012 là hợp số. Phan Sơn – Trường THCS Tam Dương Bồi dưỡng HSG Toán 9 Bài 16: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn: ( 1) ( 1) ( 1) xy z yz