Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung học

Header Page of 145 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN PH C VÀ NG NG VÀO GI I TO N PHỔ THƠNG TRUNG HỌC Chun ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC Ĩ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Footer Page of 145 Header Page of 145 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: TS Lương Quốc Tuyển Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 145 Header Page of 145 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Số phức xuất từ kỷ XIX nhu cầu phát triển Toán học giải phương trình đại số Từ đời số phức thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ giải nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật Số phức cầu nối hồn hảo phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải tích Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình Tốn học phổ thơng giảng dạy cuối lớp 12 Tuy nhiên, HS bậc PTTH số phức nội dung cịn mẻ Với thời lượng không nhiều, HS biết kiến thức số phức Vì vậy, việc khai thác ứng dụng số phức phương tiện để giải tốn cịn hạn chế Với mong muốn tổng quan số kiến thức số phức, tìm hiểu sâu ứng dụng số phức vào giải tốn chương trình tốn bậc PTTH nhằm đưa số phức trở thành công cụ giải toán định hướng PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Số phức ứng dụng vào giải tốn phổ thơng trung học” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, dạng biểu diễn số phức - Ứng dụng vào việc giải số tốn chương trình PTTH, từ giúp HS thấy ý nghĩa quan trọng số phức Tốn học nói chung giải tốn nói riêng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn việc sử dụng số phức công cụ để giải tốn, phân loại dạng tốn Footer Page of 145 Header Page of 145 sử dụng số phức để giải đưa phương pháp giải cho dạng cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu đề tài số phức, dạng biểu diễn số phức, số toán chương trình PTTH sử dụng số phức để giải - Phạm vi nghiên cứu đề tài ứng dụng số phức việc giải số tốn chương trình phổ thơng trung học Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến số phức ứng dụng - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn - Nâng cao kiến thức, kĩ sử dụng công cụ số phức nhằm đưa cách giải hiệu cho số dạng toán thường gặp trường PTTH Góp phần phát huy tính tư tự học học sinh Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu, kết luận gồm chương: Chương trình bày khái niệm, phép toán tập số phức, dạng biểu diễn số phức Chương trình bày ứng dụng số phức vào giải số tốn hình học, lượng giác, đại số chương trình phổ thơng trung học Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC Trong chương này, giới thiệu số kiến thức liên quan số phức, lịch sử hình thành khái niệm số phức, phép toán tập hợp số phức, dạng biểu diễn số phức… Các kiến thức trình bày chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [4], [6], [9] 1.1 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC Lịch sử số phức kỉ thứ XVI Đó thời kì Phục hưng tốn học châu Âu sau đêm trường trung cổ Biểu thức dạng a + b -1, b ¹ xuất q trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (cơng thức Cardano) gọi đại lượng “ảo” sau Gauss gọi số phức thường kí hiệu a + ib , kí hiệu i = -1 L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi đơn vị “ảo” 1.2 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC £ · Trường · Mọi phần tử phức xây dựng gọi trường số £ gọi số phức Vậy "z Ỵ£ , ta có z = ( a , b ) = a (1, 0) + b.(0,1) = a + ib , " a , b Ỵ ¡ · Đây dạng đại số số phức z, đó: a gọi phần thực số phức z, kí hiệu Rez b gọi phần ảo số phức z kí hiệu Imz · Số phức liên hợp Footer Page of 145 Header Page of 145 Cho z = a + ib , "a, b Î ¡ , z = a - ib Î £ số phức liên hợp số phức z, kí hiệu gọi z 1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC SỐ PHỨC 1.3.1 Phép cộng Ta gọi tổng hai số phức z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 số phức z = ( a + a ) + i ( b1 + b ) kí hiệu z = z1 + z2 1.3.2 Phép trừ Phép cộng có phép tốn ngược, nghĩa với hai số phức z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 ta tìm số phức z cho z + z = z Số phức gọi hiệu hai số phức z z , kí hiệu z = z1 - z , rõ ràng từ định nghĩa ta có z = ( a - a ) + i ( b1 - b ) 1.3.3 Phép nhân Ta gọi tích hai số phức z = a + ib1 ; z = a + ib số phức z xác định z = (a1a2 - b1b2 ) + i(a1b2 + b1a2 ) Và kí hiệu z = z1 z2 1.3.4 Phép chia Giả sử z2 ¹ z = a + ib cho Khi ta tìm số phức z z = z Theo định nghĩa phép nhân ta có hệ phương trình sau : ì a a - b b = a í ỵ b a + a b = b1 Số phức z có gọi thương hai số phức z1 z2 ì a a - b2 b = a1 Kí hiệu z = z1 z2 ỵ b2 a + a b = b1 Giải hệ í Footer Page of 145 Header Page of 145 1.3.5 Lũy thừa bậc n số phức Tích n lần số phức z gọi lũy thừa bậc n số phức z Kí hiệu zn 1.3.6 Căn bậc hai số phức giải phương trình bậc hai a Căn bậc hai số phức Cho số phức w, số phức z = a + bi thoả z = w gọi bậc hai w 1.3.7 Căn bậc n Số phức w gọi bậc n số phức z w hiệu w = n z n = z Kí 1.3.8 Định lý i z = z , "z Ỵ ¡ Ì £ ii z = z , "z Ỵ £ iii z1 + z2 = z1 + z2 iv z.z = a + b ³ (" z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ ) v z1 z2 = z1 z2 Suy ra: l z = l z , "l Ỵ ¡, "z Ỵ Ê vi ổ z1 z1 ỗ ữ= ố z ø z2 vii z + z = 2Re z = 2a; z - z = 2i Im z = 2ib (" z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ ) 1.3.9 Mơ tả số kết hình học phẳng ngơn ngữ số phức Cho trước hai điểm M(m), N(n) Khi đó, độ dài đoạn MN = n - m = d ( m;n ) Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng AB Khi đó, điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k Ỵ ¡\ {1} Footer Page of 145 Header Page of 145 uuur uuur MA = k MB , a - m = k.( b - m ) a, b m tọa vị điểm A, B M theo thứ tự Từ đó, kí hiệu [ AB ] đoạn thẳng AB, kí hiệu (AB) đường thẳng AB, kí hiệu [ AB ) tia AB, ta có kết sau Cho trước hai điểm A ( a ) ,B ( b ) phân biệt điểm M ( m ) Khi M Ỵ [ AB ] Û $t ³ : z - m = t.( b - m ) Û $t Ỵ [ 0;1] : m = (1 - t ) a + tb (1) M Ỵ ( AB ) Û $t Ỵ ¡ : m - a = t.( b - a ) Û $t Ỵ ¡ : m = (1 - t ) a + tb a Góc hai đường thẳng Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm M ( z1 ) ,M ( z2 ) a k = arg zk ,k = 1, Khi đó: uuuur uuuur uur uuuur uur uuuur ( OM ,OM ) º ( Ox,OM ) - ( Ox,OM ) ( mod 2p ) hay góc định hướng tạo tia OM với tia OM arg z2 z1 b Tích vơ hướng hai số phức Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M ( z1 ) ,M ( z2 ) Khi uuuur uuuur · OM OM = OM OM cosM 1OM d Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Footer Page of 145 ( 2) Header Page of 145 M ( z0 ) đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm D : a z + a z + b = d ( M , D ) = a z0 + a z0 + b a a e Đường tròn Đường tròn tâm M ( z0 ) bán kính R tập hợp điểm M(z) cho M M = R hay z - z0 = R tức z z - z0 z - z0 z + z0 z0 - R = Từ đường trịn có phương trình dạng z z + a z + a z + b = , a Ỵ £ , b Ỵ ¡ Đường trịn có tâm với tọa vị -a , bán kính R = aa - b f Mơ tả phép biến hình phẳng ngơn ngữ số phức Phép dời hình Phép tịnh tiến Biểu thức phép tịnh tiến z' = f ( z ) = z + v Phép quay Biểu thức phép quay z' - z0 = ei a ( z - z0 ) Phép đối xứng trục Phép đối xứng qua đường thẳng l phép biến hình biến điểm M(z) thành điểm M'(z') cho l trung trực MM' Từ Footer Page of 145 Header Page 10 of 145 Phép đối xứng qua trục thực: z' = f ( z ) = z Phép đối xứng qua trục ảo: z' = f ( z ) = - z Phép vị tự tâm C ( z0 ) , tỷ số r Ỵ ¡ phép biến hình * uuuur uuur biến điểm M(z) thành điểm M'(z') mà CM ' = r.CM Do đó, có biểu thức z' = r.( z - z0 ) + z0 g Điều kiện thẳng hàng, vng góc nằm đường tròn Định lý Ba điểm M ( z1 ) ,M ( z2 ) ,M ( z3 ) thẳng hàng æz -z z3 - z1 Ỵ ¡ * hay Im ç ÷ = z2 - z1 è z2 - z1 ø Định lý Bốn điểm M k ( zk ) ,k = 1, ,3, nằm đường thẳng hay đường tròn z3 - z2 z3 - z4 : Ỵ¡ z1 - z2 z1 - z4 h Tích hai số phức Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M ( z1 ) ,M ( z2 ) uuuur uuuur uuuur uuuur · OM ´ OM = OM OM sin M 1OM 1.4 CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 1.4.1 Biểu diễn số phức dạng cặp số thực Footer Page 10 of 145 10 Header Page 12 of 145 Nhờ phép tương ứng: M(a; b) a a + bi, ta xem số phức điểm mặt phẳng tọa độ hay vectơ với điểm đầu gốc tọa độ O(0; 0) điểm mút M(a; b) 1.4.4 Biểu diễn số phức dạng ma trận Xét tập hợp ma trận cấp hai dạng đặc biệt trường số thực ìỉ a b ỹ M := ớỗ a; b ẻ Ă ý ữ ợố -b a ứ ỵ cho phép tốn cộng nhân thực theo quy tắc thông thường đại số ma trận Khi số phức z = a + bi đặt tương ứng với ma trận: æ a ỗ ố -b b ữ a ứ ú ánh xạ đơn trị - Qua ánh xạ tồn trường ỉ a bư số phức ánh xạ lên tập hợp M ma trận dng ỗ ữ ố -b a ứ 1.4.5 Biu din số phức dạng lượng giác dạng mũ a Dạng lượng giác số phức Vì điểm có tọa độ (a, b) mặt phẳng tương ứng với véc tơ có bán kính véc tơ r = a2 + b2 góc cực tương ứng j Do số phức z biểu diễn dạng z = r (cosj + isin j ) Đây dạng lượng giác số phức, r, j bán kính cực góc cực số phức z Bán kính r gọi modun số phức z, kí hiệu r = z Góc cực j gọi argument số phức z, kí hiệu j = Argz Footer Page 12 of 145 11 Header Page 13 of 145 b Dạng mũ số phức Để đơn giản cách viết số phức ta đặt cosj ± i sin j = e ± ij ij dạng lượng giác biến đổi thành dạng số mũ z = re số phức z ¹ Dễ dàng chứng minh z1 = r1 e ij1 ; z = r2 e ij thì: z1 z = r1r2 e i (j1 +j ) z1 r1 i (j1 -j ) = e ; r2 ¹ z r2 ; Phép nâng số phức z = a + ib = r ( c os j + i sin j ) lên lũy thừa bậc n số phức thực theo công thức Moivre: z n = r n e i nj ; w k = n z = n re i j + kp n ; k = ;1; ; n - Cơng thức Moivre Cho số phức dạng lượng giác z = r (cosj + isin j ) , theo cơng thức ta có z n = [r (cosj + isin j )]n = r n (cosnj + isin nj ), "n Ỵ N Công thức gọi công thức Moivre Ngược lại, ta nâng bậc mũ n số w = n r (cos ta Footer Page 13 of 145 j + 2kp j + kp + i sin ), ( k Ỵ Z ), n n z 12 Header Page 14 of 145 CHƯƠNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG TRUNG HỌC Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng số phức vào giải số dạng toán hình học, lượng giác đại số Các kiến thức trình bày chủ yếu tham khảo tài liệu [2], [3], [5], [6], [7, [8], [9], [10] 2.1 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 2.1.1 Các tốn chứng minh tính chất hình học tính toán Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy cho tam giác ABC, với đỉnh A(1; 0), B(0; 3) C(-3; -5) uur 1) ur Xác uur định r điểm I thỏa mãn điều kiện: 2IA - 3IB + 2IC = 2) Xác định trọng tâm G tam giác ABC điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Nhận xét: Vì đồng số phức với điểm mặt phẳng tọa độ Oxy nên từ giả thiết tốn ta xác định tọa độ điểm I hay G thông qua thông qua việc biểu diễn điểm vectơ theo tọa độ phức Vì tốn giải số phức Footer Page 14 of 145 Header Page 15 of 145 13 Học sinh thường làm phương pháp tọa độ, xuất phát từ việc gọi tọa độ điểm áp dụng biểu thức vectơ cho Từ tính tọa độ I nhờ tính chất hai vectơ Như vậy, sử dụng số phức để giải toán có thuận lợi bật điểm có tọa độ phức, cịn theo cách cũ ta phải xác định hai tọa độ Bài toán Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm E F uur uuur uur uuur cho EB = k EC , FB = FC ( k ¹ 1) k 1) Tính uuur uuur uuur uur uuur AE, AF , EF theo AB, AC 2) Chứng minh tam giác ABC, AEF có trọng tâm 3) Trên AB lấy điểm D, AC lấy điểm I cho uuur uur uuur r uuur uuur uur uur DA = k DB, IC = k IA Chứng minh AE + BI + CD = Bài toán (Bất đẳng thức Ptolemy) Cho tứ giác ABCD Chứng minh ta ln có AB.CD + AD.BC ³ AC.BD Dấu đẳng thức xảy A, B, C, D theo thứ tự đỉnh tứ tứ giác lồi nội tiếp đường trịn Bài tốn (Bài tốn Napoleon) Lấy cạnh BC, CA, AB tam giác ABC làm đáy, dựng tam giác với tâm tương ứng A0 ,B0 ,C0 Chứng minh : A0 ,B0 ,C0 đỉnh tam giác Bài tốn (IMO 1977) Cho hình vng ABCD Dựng phía hình vng tam giác ABK, BCL, CDM, DAN Footer Page 15 of 145 Header Page 16 of 145 14 Chứng minh trung điểm đoạn thẳng KL, LM, MN, NK, BK, BL, CL, DM, DN, NA đỉnh thập nhị giác Nhận xét: Bài tốn hồn tồn giải phương pháp tọa độ, hay phương pháp tổng hợp, nhiên lời giải dài Bằng công cụ số phức để giải toán làm giảm đáng kể động tác biến đổi phức tạp vec tơ 2.1.2 Các tốn tính chất thẳng hàng, đồng quy Số phức tỏ hiệu toán thẳng hàng, đồng quy Bài toán Cho ABCD BNMK hai hình vng khơng giao nhau, E trung điểm AN Gọi F chân đường vng góc hạ từ B xuống đường thẳng CK Chứng minh điểm E, F, B thẳng hàng Bài toán ( Định lí nhím) Trong mặt phẳng cho đa giác đơn A0 A1 An -1 Xét véc-tơ uur , uj ur uur uur uur uuuuur uur uuuuur u1 ,u2 , ,un mà u j ^ Aj -1 A j ( coi An º A0 ) , u j = Aj -1 Aj hướng miền đa giác đơn Chứng minh ur uur uur u1 + u2 , + un = Bài toán Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC ta dựng tam giác đồng dạng có hướng ADB, BEC, CFA Chứng minh tam giác ABC DEF có trọng tâm Bài tốn (Đường tròn Euler đường thẳng Euler) Footer Page 16 of 145 15 Header Page 17 of 145 Cho tam giác A1 A2 A3 có tâm đường trịn ngoại tiếp O, trực tâm H, trọng tâm G Gọi B1 ,B2 ,B3 trung điểm cạnh A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 ; P1 ,P2 ,P3 chân đường cao hạ từ hạ từ A1 , A2 , A3 xuống đỉnh tương ứng; C1 ,C2 ,C3 trung điểm đoạn thẳng nối từ đỉnh A1 , A2 , A3 với trực tâm tam giác Chứng minh a) H, O, G thẳng hàng đường thẳng qua ba điểm gọi đường thẳng Euler b) Chín điểm B1 ,B2 ,B3 , P1 ,P2 ,P3 , C1 ,C2 ,C3 thuộc đường tròn, gọi đường tròn Euler 2.1.3 Các tốn quan hệ song song, vng góc Bài tốn 10 (Đề vơ địch Anh 1983) Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D trung điểm AB J trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IJ ^ CD Bài toán 11 ( IMO 17, 1975) Về phía ngồi tam giác ABC, dựng tam giác ABR, BCP, CAQ cho: Chứng minh rằng: = 90, RQ = RP Bài toán 12 Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm C, dựng hình vng ABDE Trong nửa mặt phẳng bờ Footer Page 17 of 145 16 Header Page 18 of 145 BC chứa điểm A, dựng hình vng BCFG Chứng minh GA ^ CD Nhận xét: Để ý đến biểu thức tọa độ phép biến hình, ta thấy phép tịnh tiến tương ứng phép cộng số phức, phép quay tương ứng với phép nhân số phức có mođun 1, phép vị tự phép nhân với số thực, phép vị tự quay phép nhân với số phức 2.1.4 Các tốn đại lượng hình học Bài tốn 13 Cho ba hình vng biểu diễn hình vẽ Hãy so sánh tổng a + b g Bài toán 14 Cho tam giác ABC với trọng tâm G điểm M mặt phẳng Chứng minh rằng: MA2 + MB2 +MC2 = GA2+GB2+GC2+3MG2 2.1.5 Các toán xác định tập hợp điểm Bài tốn 15 Cho hình bình hành ABCD 1) Chứng minh rằng: ( MA + MC ) - ( MB + MD ) 2 2 số, khơng bị phụ thuộc vị trí điểm M 2) Tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB + MC + MD = k (k số thực) Nhận xét: Nhận thấy biểu thức có chứa bình phương độ dài đoạn thẳng Các đại lượng bình phương mơđun số phức tương ứng Từ áp dụng kiến thức số phức ta dễ dàng suy yêu cầu toán Footer Page 18 of 145 17 Header Page 19 of 145 Bài toán 16 Cho tam giác ABC, đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi Tìm quỹ tích trung điểm M, N cạnh tương ứng AB, AC trọng tâm G tam giác ABC trường hợp: a) Độ dài đường cao AA' không đổi b) Chân A' đường cao AA' cố định c) Độ dài đường cao AA' khơng đổi Bài tốn 17 Cho đường trịn (C) đường kính AB = 2R, điểm M chuyển động (C), A' điểm đối xứng A qua M Tìm tập hợp điểm A' trọng tâm G tam giác A'AB Bài toán 18 Cho nửa đường trịn có đường kính AB = 2R cố định Điểm C chuyển động nửa đường tròn Về phía ngồi tam giác ABC dựng tam giác ACD vng cân A Tìm tập hợp điểm D Bài tốn 19 Cho đường trịn (C) tâm O, bán kính R, BC dây cung cố định đường kính đường trịn (C), điểm A chuyển động cung lớn BC Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABC 2.2 ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC 2.2.1 Các tốn tính tốn Bài tốn 20 Hạ bậc f ( x) = cos x Yêu cầu toán biến đổi lũy thừa bậc cao cosx hay sinx như: cos n x , sin n x Footer Page 19 of 145 cos p x.sin p x thành tổng chứa 18 Header Page 20 of 145 số hạng bậc cos a x hay sin b x Như tốn sử dụng cơng thức Euler để giải quyết, tức giải số phức Nhận xét: Cần ý hạ bậc thành thạo biết kết hợp với công thức Moivre có phương pháp giải phương trình lượng giác bậc cao phương trình lượng giác có chứa biểu thức sin cosin cung bội hiệu Bài toán 21 Chứng minh cos p 1+ = Bài toán 22 S1 = sin a + sin 2a + + sin na S2 = cos a + cos2a + + cos na 2.2.2 Các toán chứng minh đẳng thức, cơng thức lượng giác Bài tốn 23 Chứng minh với số tự nhiên n, ta có a) cos nx = cosn x - Cn2 x cosn-2 xsin2 x + Cn4 x cosn-4 xsin4 x - Cn6 x cosn-6 xsin6 x + + A n với A = ( -1) sin n x A = -1 ( ) n chẵn, n-1 Cn-1cosx sin n-1 x n n lẻ b) sin nx = Cn1 cosn-1 x.sinx - Cn3 x cosn-3 x sin x + Cn5 x cosn-5 x sin x - B Footer Page 20 of 145 19 Header Page 21 of 145 n -2 ( )2 với B = -1 Cnn-1cosx.sin n x n chẵn, B = -1 n2-1 sin n x n lẻ ( ) 3 5 c) tan nx = Cn tan x - Cn tan x + Cn x tan x - 2 4 - Cn tan x + Cn x tan x - Bài tốn 24 Chứng minh cơng thức: sin 5j = 16 sin j - 20 sin j + sin j c os5j = 16 cos j - 20 cos j + cos j Bài toán 25 Chứng minh rằng: a) cos p 3p 5p + cos + cos = 7 b) cos p 2p 3p - cos + cos = 7 Bài toán 26 Cho a, b, c số thực cho: cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = Chứng minh rằng: cos2a + cos2b + cos2c = sin2a + sin2b + sin2c = 2.2.3 Các tốn phương trình lượng giác Bài tốn 27 Giải phương trình lượng 32cos x - cos6 x = Bài tốn 28 Giải phương trình lượng giác : a) cos x + cos3 x + cos5 x + cos7 x + cos9 x = Footer Page 21 of 145 giác 20 Header Page 22 of 145 b) tan x + cot x = 2 Nhận xét chung: Thông qua kiến thức số phức, giáo viên lấy ví dụ đơn giản phức tạp dần lượng giác mà giải ngôn ngữ số phức, qua phân tích, so sánh, đánh giá để gây hứng thú cho học sinh việc dùng số phức để giải toán lượng giác 2.3 ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ TỐN TỔ HỢP 2.3.1 Các tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Bài toán 29 Chứng minh với số thực , bi (i = 1, 2, …, n), ta có: (a1 + a2 + + an )2 + (b1 + b2 + + bn )2 £ a 21 + b21 + a 22 + b22 + + a n + b2 n Bài toán 30 Cho a1 , a2 hai số thực Chứng minh: a12 + (1 - a )2 + a2 + (1 - a1 ) ³ Bài toán 31 Chứng minh rằng: a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2 ³ ( a + b + c ) , "a, b Bài toán 32 ( ) cos x cos y + sin ( x - y ) + 4sin x sin y + sin ( x - y ) ³ ( "x, y Ỵ R ) (Đại học Cơng đoàn – 1995) Footer Page 22 of 145 21 Header Page 23 of 145 Nhận xét: Qua toán nêu trên, ta thấy ứng dụng số phức vào việc chứng minh bất đẳng thức thật thú vị Ẩn chứa cách giải toán bất đẳng thức phương pháp số phức việc sử dụng ảo để chứng minh thực 2.3.2 Các tốn chứng minh cơng thức đại số, tổ hợp Bài toán 33 Chứng minh rằng: a) Cn - Cn + Cn - Cn + Cn + = b) Cn1 - Cn3 + Cn5 - Cn7 + Cn9 + = ( ) n cos n ( ) sin n p4 n Bài toán 34 Chứng minh rằng: ( 2) + = n ( ) Cn1 - 3Cn3 + 5Cn5 - 7Cn7 + = n Cn0 - 2Cn2 + 4Cn4 - 6Cn6 Bài toán 35 Tính tổng S1 = p n -3 p sin ( n - 1) n -1 å cos ( n - 1) £ k < n +1 Cn3k Bài tốn 36 a Tính tổng S = n åC k =0 k n cos kx b Chứng minh m -1 2 m -1 cos m x = å C2km cos(2m - 2k ) x + C2mm k =0 Footer Page 23 of 145 p 22 Header Page 24 of 145 Nhận xét: Để số phức cơng cụ để giải tốn hình học phẳng, lượng giác, đại số đòi hỏi phải nắm vững sử dụng linh hoạt kiến thức số phức 2.3.3 Các tốn giải phương trình, hệ phương trình Bài tốn 37 Giải phương trình bậc 3: ax3+ bx + cx + d = 0, ú: ( a 0), a, b, c, d ẻÊ Bài tốn 38 Giải phương trình: x3 + 3x2 - 3x -14 = Bài toán 39 Giải phương trình : x3 + x + 24 x + 19 = Bài toán 40 Giải hệ phương trình: ïì x - 3xy = -1 í ïỵ3 x y - y = Bài tốn 41 Giải hệ phương trình: ìï x - xy = í ïỵ6 x y - y = Bài tốn 42 Giải hệ phương trình: ì 16 x - 11y =7 ïx + x + y2 ï í ï y - 11x + 16 y = -1 ïỵ x + y2 Footer Page 24 of 145 Header Page 25 of 145 23 3x - y ì ï x + x2 + y2 = ï Bài tốn 43 Giải hệ phương trình í x y + ïy =0 ïỵ x2 + y Bài tốn 44 Giải hệ phương trình: ì ỉ = ù x ỗ1 + 2 ữ ï è x +y ø í ï y ỉ1 - = ù ỗ x2 + y2 ữ ứ î è Bài toán 45 Giải hệ phương trình sau: ì ỉ ù x ỗ1 + ữ=2 ù ố x+ ỳ í ï y ỉ1 - = ỗ ữ ù ố x- yứ ợ Bài tốn 46 Giải hệ phương trình sau: ì ổ ù 10 x ỗ + ữ=3 x +ỳ ï è í ï y ỉ - = -1 ù ỗố x + y ữứ ợ Footer Page 25 of 145 ( x, y Ỵ R ) Header Page 26 of 145 24 KẾT LUẬN Luận văn “Số phức ứng dụng vào giải tốn phổ thơng trung học” hồn thành mục tiêu đề thể qua nội dung sau: Nhắc lại, hệ thống bổ sung kiến thức cần thiết số phức, kiến thức mẻ quan trọng chương trình phổ thơng Giới thiệu phương pháp giải tốn hình học phẳng, lượng giác, đại số ngôn ngữ số phức nhằm khai thác tối ưu ứng dụng số phức - phương pháp tỏ có nhiều ưu điểm riêng so với phương pháp khác Hệ thống phân loại số lớp tốn hình học phẳng, lượng giác, đại số giải phương pháp số phức để đưa phương pháp giải chi tiết, lời giải ngắn gọn, cụ thể nhằm minh họa rõ ứng dụng thể qua hệ thống toán chọn lọc đề thi quốc gia quốc tế, định lý tiếng hình học Đặc biệt, số tốn tìm tập hợp điểm, ứng dụng phép biến hình hình học phẳng, tốn chứng minh bất đẳng thức tương đối khó học sinh giải chi tiết theo phương pháp Trong q trình làm luận văn, có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau Footer Page 26 of 145 ... cụ giải tốn định hướng PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Số phức ứng dụng vào giải toán phổ thông trung học” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, dạng biểu diễn... phức để giải - Phạm vi nghiên cứu đề tài ứng dụng số phức việc giải số tốn chương trình phổ thông trung học Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan... Chương trình bày ứng dụng số phức vào giải số toán hình học, lượng giác, đại số chương trình phổ thông trung học Footer Page of 145 3 Header Page of 145 CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC Trong chương