Chuyên đề hình học không gian cổ điển bùi trần duy tuấn

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna “Nơi có ý chí, nơi có đường.” Tài liệu gồm 301 trang bao gồm chủ đề sau: Chủ đề Khối đa diện Phép biến hình khơng gian Chủ đề Góc khơng gian Chủ đề Khoảng cách không gian Chủ đề Thể tích khối đa diện Chủ đề Nón - Trụ - Cầu Bố cục chủ đề gồm phần sau: Kiến thức cần nắm Các dạng toán phương pháp giải (kèm theo toán minh họa) Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có đáp án lời giải chi tiết) Tài liệu sưu tầm, tổng hợp biên soạn để làm tư liệu cho em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp em ơn lại kiến thức nhanh chóng hiệu Trong q trình tổng hợp biên soạn khơng tránh khỏi sai sót đáng tiếc số lượng kiến thức tập nhiều Mong đọc giả thơng cảm đóng góp ý kiến để tài liệu sau chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp liên hệ tài liệu xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna Gmail: btdt94@gmail.com Truy cập Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ để xem thêm chuyên đề luyện thi đại học khác tổng hợp biên soạn Thầy cô cần “Cần file Word” liên hệ Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam – 15.09.2018 Tác giả: Bùi Trần Duy Tuấn  https://toanhocplus.blogspot.com Lời nói đầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG Các đường tam giác Tam giác ABC vuông A Các hệ thức lượng tam giác thường Hai tam giác đồng dạng định lí Talet Các công thức tính diện tích 10 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 10 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 10 Chứng minh hai đường thẳng vng góc 10 Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 11 Hai định lí quan hệ vng góc 11 Định lí ba đường vng góc, cơng thức diện tích hình chiếu 11 CHỦ ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN 12 A KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 12 I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ 12 Khái niệm hình đa diện 12 Khái niệm khối đa diện 12 Phân chia lắp ghép khối đa diện 14 Một số kết quan trọng 14 B PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN HAI HÌNH BẰNG NHAU 15 I PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHƠNG GIAN 15  Phép tịnh tiến theo vectơ v 15 Phép đối xứng qua tâm O 15 Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) 15 Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  15 Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp 15 II HAI HÌNH BẰNG NHAU .18 III PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN 18 Phép vị tự không gian 18 Hai hình đồng dạng 18  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học khơng gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C KHỐI ĐA DIỆN LỒI KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 19 I KHỐI ĐA DIỆN LỒI 19 II KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU .19 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 20 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 21 I ĐỀ BÀI 21 Khái niệm khối đa diện 21 Khối đa diện lồi Khối đa diện 24 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 26 Khái niệm khối đa diện 26 Khối đa diện lồi Khối đa diện 29 CHỦ ĐỀ 2: GÓC TRONG KHÔNG GIAN 31 A GĨC TRONG KHƠNG GIAN 31 I GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 31 Phương pháp 31 Một số toán minh họa 31 II GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 37 Phương pháp 37 Một số loại góc đường thẳng mặt phẳng thường gặp hình chóp 38 Một số toán minh họa 38 III GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG .43 Phương pháp 43 Một số toán minh họa 44 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 49 I ĐỀ BÀI 49 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 54 CHỦ ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 69 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 69 B GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 70 DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG .70 Phương pháp 70 Một số toán minh họa 71  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học khơng gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna DẠNG 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG .76 Phương pháp 76 Một số toán minh họa 78 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 87 Phương pháp 87 Một số toán minh họa 87 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 91 Phương pháp 91 Một số toán minh họa 92 C BÀI TẬP TRẮC NGHIÊM 100 I ĐỀ BÀI 100 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 108 CHỦ ĐỀ 4: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 130 A CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 130 I THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 130 II THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI HỘP CHỮ NHẬT 130 III MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KỸ THUẬT CẦN NẮM 131 Một số khái niệm tính chất 131 Kỹ thuật tìm đường cao cách đưa tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 131 B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ DẠNG TỐN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 132 I PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN TRỰC TIẾP 132 Phương pháp 132 Một số toán minh họa 132 II PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH GIÁN TIẾP BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP CÁC KHỐI CHÓP 144 Phương pháp 144 Một số toán minh họa 144 III PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH 151 Phương pháp 151 Một số toán minh họa 151 IV BÀI TOÁN MIN MAX THỂ TÍCH 163 Phương pháp 163 Một số toán minh họa 163  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 172 I ĐỀ BÀI 172 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 183 PHẦN MỞ RỘNG: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN 212 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 212 Hệ trục tọa độ không gian 212 Tọa độ vectơ 212 Tọa độ điểm 212 Tích có hướng hai vectơ 213 Vấn đề góc 213 Vấn đề khoảng cách 214 II MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA ỨNG DỤNG HÌNH GIẢI TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 215 CHỦ ĐỀ 5: NÓN - TRỤ - CẦU 224 A MẶT NÓN 224 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 224 Mặt nón trịn xoay 224 Hình nón trịn xoay 224 Cơng thức diện tích thể tích hình nón 224 Giao tuyến mặt tròn xoay mặt phẳng 225 II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 225 ĐỀ BÀI 225 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 232 B MẶT TRỤ 247 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 247 Mặt trụ tròn xoay 247 Hình trụ trịn xoay 247 Cơng thức tính diện tích thể tích hình trụ 247 Tính chất 247 II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 248 ĐỀ BÀI 248  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học khơng gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 257 C MẶT CẦU 271 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 271 Định nghĩa 271 Vị trí tương đối điểm mặt cầu 271 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 271 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu 271 Diện tích thể tích mặt cầu 272 Một số khái niệm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 272 II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 273 ĐỀ BÀI 273 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 280  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học khơng gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG Các đường tam giác A A b c N K G H hb B B C M Trọng tâm G tam giác giao điểm ba đường trung tuyến, AG  hc AM C a Trực tâm H tam giác ABC giao điểm ba đường cao A A R b c O I r C B B Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực a C Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác Tam giác vuông ABC vuông A A α B  Các tỉ số lượng giác: AC BC AC + tan   AB + sin   AB BC AB + cot   AC + cos   H C M  Độ dài đường trung tuyến AM   Hệ thức lượng:  AH.BC  AB AC  AB2  BH.BC , AC  CH.CB  Định lí Pitago: BC  AB2  AC  Diện tích: S   AH  BH.HC AB.AC  https://toanhocplus.blogspot.com BC  Trang 1   , AH  HB.HC 2 AH AB AC Hình học khơng gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Các hệ thức lượng tam giác thường Cho tam giác ABC có: + Độ dài cạnh tương ứng a , b , c + Chiều cao tương ứng kẻ từ đỉnh A , B , C , hb , hc + r , R bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp ABC + p abc (nửa chu vi ABC ) A a) Định lý cosin: b) Định lý sin: A b c b c B R O C a b2  c  a2 2bc a  c  b2  b2  a  c  2ac cos B  cos B  2ac a  b2  c  c  a  b2  2ab cos C  cos C  2ab  a  b2  c  2bc cos A  cos A  B  C a a b c    2R sin A sin B sin C c) Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: d) Cơng thức tính A diện tích tam giác: A b c H N K hb G hc a B B Gọi S diện tích ABC : C M C 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 1  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 abc  ; SABC  p.r 4R  AM  AB2  AC BC   SABC   BN  BA2  BC AC   SABC  CK  CA  CB2 AB2   SABC  SABC  p  p  a  p  b  p  c  Hai tam giác đồng dạng định lí Talet A B M N A C M P  ABC ∽ MNP chúng có góc tương ứng B MN / / BC  AB MN   Nếu ABC ∽ MNP thì AC MP  https://toanhocplus.blogspot.com N Trang C AM AN MN   AB AC BC Hình học khơng gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Các cơng thức tính diện tích  Diện tích tam giác  Diện tích tam giác vng A B SABC  A Diện tích  đều: S  AB AC h C B a B SHVuong  a C H A B S Đường chéo h/vuông: a O  AB  CD  AH SHCN  AB AD D a  Diện tích hình thang  Diện tích hình vng hình chữ nhật A Chiều cao  đều: a2 D C C H  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc B o Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc tích hai đường chéo o Hình thoi có hai đường chéo vng góc A C S AC.BD D trung điểm đường II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng  vng góc mp( P) ta chứng minh  vng góc với hai đường thẳng a , b cắt nằm mp( P ) Trình bày   a  ( P) Ta có:    b  ( P)    P a A b P Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng  vng góc với đường thẳng d ta chứng minh  vng góc với mp( P) chứa d Trình bày  Ta có:    P   d    d d P  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 10 Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn SG  tan 60.AG  https://facebook.com/duytuan.qna a SG 2a  a ; SA   sin 60 a 2a  2a a 2a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho R  SO  Câu 23 Chọn A A Ta có: SIO ∽ SGA  SI SG SI SA   SO   SO  SO SA SG Gọi M trung điểm BC suy BC  AM , BC  DM , AM  DM ( ABC DBC tam giác K đều) Do BC   AMD  Trong  AMD  mặt phẳng trung trực , dựng AH  MD AH   BCD  , d   BCD  I trọng O J B tâm tam giác DBC nên d trục đáy BCD D HI M Gọi O giao d MK ( O giao điểm C hai trục hai đáy DBC ABC ) Mặt khác  AMD  mặt phẳng trung trực BC nên OB  OC  OA  OD hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD  a   2 a a 11 2 AM  DM  ; DK  AD  a , MK  MD  DK     a   MK     3  2    Ta có tan KMD DK OI DK.MI 2a 33   OI   MK MI MK 33 r  OD  OI  ID2 với ID  a a 55 MD  suy r  3 11 Câu 24 Chọn D S Gọi M trung điểm AB Vì SAB nằm d mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy nên SM   ABC  Gọi G trọng tâm ABC Vì ABC nên G tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC Dựng đường thẳng d qua G vng góc với mp  ABC  J A Gọi J tâm tâm đường tròn ngoại tiếp SAB Dựng d' C M G đường thẳng d qua J vng góc với mp  SAB  Gọi O giao điểm d d Khi O tâm mặt cầu B ngoại tiếp hình chóp S ABC với r  OC Do SAB ABC tam giác cạnh nên ta có: 3 3 JM  '   ; GC  3  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 287 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2  3  3 15   Xét OGC vuông G ta có: OC  GC  GO           2  15  15 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho là: V       3  54 Câu 25 Chọn B S Gọi H trung điểm cạnh BC Vì ABC nên AH  BC Vì  SBC    ABC   SBC    ABC   BC nên AH   SBC  Do H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC nên A C AH trục đường trịn ngoại tiếp SBC G 6a Vì ABC nên trọng tâm G tâm đường H trịn ngoại tiếp tam giác B Vậy ta có GA  GB  GC Mà G  AH nên GS  GB  GC Suy GS  GA  GB  GC Vậy G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC  3a Bán kính: R  GA  6a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: V   3a Câu 26 Chọn C    32 3 a3 A' C' Ta có tam giác ABC vng A nên tâm đường tròn ngoại I' tiếp tam giác ABC trung điểm I BC Gọi trung điểm BC  I  tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ B' O ABC ABC  thuộc đường thẳng II  Xét hình chữ nhật BCC B có tâm hình chữ nhật trung điểm O II  Tam giác ICO có OC  IO  IC A C I B Mà II   AA  a , BC  a , nên bán kính R  OC  a Câu 27 Chọn C S   120 nên Xét hình thoi ABCD có BAD AD  AC  AB , suy A tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy BCD M Theo giả thiết SA vng góc với đáy  ABCD  nên đường thẳng SA trục đáy BCD d I B A C D  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 288 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi M trung điểm SD , mặt phẳng  SAD  kẻ đường thẳng d vng góc với SD M , d cắt SA I Ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD Lúc R  IS a 10 a 10 IS SM SM.DS 5a   IS    Ta có ISM ∽ DSA  DS SA SA 3a Câu 28 Chọn A S Gọi H trung điểm BC   60  AH  a ; BH  a BC  a Có AB  a , BAH 2 V ABCD  a3 1 a  DH a2  DH  DH SABC  16 2 Vậy DA  AH  DH  D a M Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đường trịn R  AO  BC  a sin A A C Vậy H trung điểm AO H Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , đường I O B thẳng cắt AD S với D trung điểm SA a a 3a , SA  DA  SM  SA  2 Từ trung điểm M đoạn AD kẻ đường vng góc với AD , cắt SO I Vậy SO  DH  Dễ dàng có I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Hai tam giác vuông SAO SIM đồng dạng nên MI SM a a 21   MI  a  OA SO a Bán kính mặt cầu RABCD  ID  MI  MD  a 91 Câu 29 Chọn B Gọi V1 thể tích khối cầu có cách quay hình trịn tâm  O  quanh trục AD Gọi V2 thể tích khối nón có cách quay tam giác AHC quanh trục AD Thể tích cần tìm V  V1  V2 Đường trịn tâm O có bán kính R  OA  Ta có V1    3  3 3 3 3 3 Khối nón có bán kính đáy r  , chiều cao h  , V2      2 2 Thể tích cần tìm V  V1  V2  23 3 Câu 30 Chọn A  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 289 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Ta có BC  a2  2a2  2.a.a 2.cos45  a2  BC  a S Suy tam giác ABC vuông B BC  AB   BC   SAB   BC  AB1 BC  SA  C1 AB1  CB   AB1   SBC   AB1  CB1 AB1  SB  B1 Gọi I trung điểm AC , suy IC  IA  IB A 45° C I Tam giác AB1C vuông B1 suy IC  IA  IB1 Tam giác AC1C vuông C1 suy IC  IA  IC1 B Do hình chóp A.BCC1 B1 nội tiếp mặt cầu tâm I , bán kính r  IA  a a 2 a 3 Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC1 B1 V        Câu 31 Chọn C Gọi M , N trung điểm CD AB A  AB  CN  AB  MN ; tương tự CD  MN Ta có:   AB  DN N Suy MN đường trung trực đoạn vng góc 4a chung AB CD Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD I thuộc MN I B D 6a Xét tam giác ANC vuông N có: M CN  AC  NA2  22a2  4a2  2a C Xét tam giác CMN vng M có: MN  CN  CM  18 a2  a2  3a  IM  IN  3a  IM  IN  3a Lại có:   2 2 2  IM  MC  IN  NA  IM  IN  NA  MC   IM  IN  3a IM  a   IM  IN  3a        IM  IN  IM  IN   5a  IN  a  IM  IN   a   Vậy bán kính cần tìm R  IM  MC  85 a  9a2  a Câu 32 Chọn A Gọi bán kính đường trịn đáy hình trụ R Theo giả thiết hình vẽ thì:  Hình trụ có bán kính đường tròn đáy R , chiều cao 6R  Mặt cầu có bán kính R  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 290 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  Hình nón có bán kính đường trịn đáy R , chiều cao 4R Thể tích lượng nước ban đầu V thể tích khối trụ nên V   R2 R  6 R3 Thể tích lượng nước tràn V1 tổng thể tích khối nón khối cầu nên 8 R3 V1   R2 R   R  3 Thể tích lượng nước cịn lại cốc V2  V  V1  6 R3  8 R3 10 R3  3 10 R3 V Do tỉ số thể tích lượng nước lại lượng nước ban đầu là:  3  V 6 R Câu 33 Chọn A S d Gọi E trung điểm AB Dễ thấy SE   ABCD  Dựng trục d qua O song song với SE Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng F qua G vng góc với mặt phẳng  ABC  cắt d G I I tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 3  SG  SE  ; B GI  EO  AD  ; R  SI  SG2  GI   4 32 Suy thể tích khối cầu ngoại tiếp là: V   R3    3 Câu 34 Chọn D Ta có SE  I A D O C Gọi I tâm mặt cầu  S  , theo giả thiết I tâm tứ diện ABCD Gọi O 3 a a AB2 a AO    ; R  AI  4 4     Ta có T  MA  MB2  MC  MD  MA  MB  MC  MD          MI  IA  MI  IB  MI  IC  MI  ID       MI  MI IA  IB  IC  ID  IA2  R2  IA2  2a2 tâm tam giác BCD AI              Câu 35 Chọn C S Gọi H hình chiếu S mặt phẳng  ABC  SH đường cao hình chóp Gọi M , I trung điểm BC , SA Ta tích khối chóp S ABC I a nên ta có 11 AB.SH  a3  SH  2a 32 C M A H B  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 291 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Dễ thấy năm điểm A , B , H , C , S thuộc mặt cầu tâm I ngoại tiếp hình chóp S ABC Mặt khác A , B , H , C thuộc mặt phẳng nên tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn   90  BHC   900  HM  BC  a  SM  HM  SH  a 21 Mà BAC 2 Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: SM  SB2  SC BC SB2  SC BC 13a2    SM   4 (1) R2  CI  CA2  SC SA2 4a2  SC   R2   R2 (2) R2  BI  BA  SB2 SA2 a2  SB2   R2   R2 (3) Từ (1), (2),(3) ta có R2  a2  SB2 4a2  SC 5a2 SB2  SC 5a2 13a2       a2 2 2 2 3a Câu 36 Chọn B R C B I Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi  K ; r  đường r tròn ngoại tiếp ABCD K A D Khi IA.IC  IB.ID  r  IK (theo phương tích đường trịn) Suy r  IK  h  r  h  IK Gọi O , R  mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có R2  OA  OK  r  Vậy Rmin  C B h2 5 h  h  IK  h2  R  4 D A h I tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD Câu 37 Chọn A S Gọi H trung điểm AB , suy AH   ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB O tâm hình vng ABCD G I Từ G kẻ GI // HO suy GI trục đường A D tròn ngoại tiếp tam giác SAB từ O kẻ H OI // SH OI trục đường trịn ngoại tiếp B hình vng ABCD K O C Ta có hai đường nằm mặt phẳng cắt I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 292 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna R  SI  SG  GI  a 21 21 a Suy thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD V   R3  54 Câu 38 Chọn A S G A I a B H O D C Gọi H trung điểm AB  SH  AB (vì SAB đều) Mặt khác  SAB    ABCD   SH   ABCD  Gọi O giao điểm AC , BD  O tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Gọi G trọng tâm SBC  G tâm đường tròn ngoại tiếp  SBC Qua O dựng đường thẳng d //SH  d trục đường tròn  O  Qua G dựng đường thẳng  //OH   trục đường tròn  H  d    I  IA  IB  IC  ID  IS  I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABCD Xét tam giác SAB có cạnh a  SH  Mặt khác IG  OH  3a  SG  a AD a  2 Xét tam giác vuông SIG : IS2  SG  IG  a2  a 5a2 a   IS  4 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABCD là: S  4 R2  5 a Câu 39 Chọn A Ta có R2  r  h2 h2 r R  4 O2 Mà diện tích xung quanh hình trụ : R h2 S  2 rh  2 h R  h I h Xét hàm số f  h   4R2  h2  h R2  h  R 2   r B O1 A Dấu xảy h  R Câu 40 Chọn D  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 293 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi chiều cao hình nón x ,   x  R  S Gọi bán kính đáy hình nón r ta có: r  OM  OH  R   x  R   2Rx  x  x  R  x  1 Thể tích hình nón V   r x   x  R  x  3 x x     2R  x  x x Mặt khác ta lại có  R  x     2      O H M x2 R3 2R  x    27 32 R3 Suy V   x  R  x   27 32 R3 x 4R , dấu “=” xảy  R  x  x  27 Chú ý: Ta khảo sát hàm V   x  R  x   f  x   0; 2R  để tìm max V Câu 41 Chọn A S Vậy max V  An1 E An I A4 H A1 A3 A2 Ký hiệu hình chóp đa giác S.A1 A2 An H hình chiếu S  A1 A2 An    Ta có: SA1 ,  A1 A2 An    SA1 , HA1   SA H  30   Xét SA1 H vng H ta có: SH  SA1 sin 30  a a , A1 H  SA1 cos 30  2 Gọi I tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp Kẻ IE  SA1 , ta có: SEI ∽ SHA1 Suy ra: SE.SA1 SA12 SE SI   SI   a SH SA1 SH 2SH Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp: V   a Câu 42 Chọn D  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 294 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi  P  mặt phẳng qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy hình nón Khi  P  cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện đường trịn lớn Viên kẹo có đường kính lớn đường trịn lớn đường tròn nội tiếp tam giác SAB Nửa chu vi tam giác SAB p  13 Diện tích tam giác SAB S  1 AB.d  S , AB   10  52  39 2 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB : r  10 39 S 39  , đường kinh 2r  13 p 13 Câu 43 Chọn C S Gọi  S  mặt cầu có tâm I bán kính R  Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình   vuông tâm O , cạnh a  a  I Ta có OA  a AC a   OI  IA2  OA2  81  2 D A O a2 Mặt khác ta lại có SO  SI  IO   81  Thể tích khối chóp S.ABCD V  C B 2 a2 a   81    a2   3a  a 81    Đặt a2  t ,  a  nên  t  162  t 324  3t Xét hàm số f  t   3t  t  81   , với  t  162 ta có f   t    ;   t 12 81  t  108 t  108 t t   Giải pt: f   t    81   9   t  t    t   t  144 12  t  144 81       12    Ta có bảng biến thiên t f  t  162 144   576 f t  Từ bảng biến thiên ta có Vmax  576 t  144 hay a  12 Vậy thể tích lớn khối chóp nội tiếp hình cầu cầu có bán kính V  576 Câu 44 Chọn B  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 295 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna z O y I x Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ Mỗi bóng xem mặt cầu tâm I  a; b; c  Vì bóng tiếp xúc với hai tường nhà nên chúng tiếp xúc với       mặt phẳng tọa độ  d I ,  xOy   d I ,  yOz   d I ,  zOx   R  a  b  c   I  a; a; a  Gọi M  x; y ; z  điểm nằm bóng có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc ; ;  M  1; 2;  M nằm bóng IM  d  I ,  xOy    a 2   a  1   a     a    a  2a  14 a  21   *  Vì  *  có biệt thức    nên có hai nghiệm phân biệt a1 , a2 a1  a2  Khi tổng đường kính hai bóng  a1  a2   14 Câu 45 Chọn A A a a B D H a a C Gọi H trọng tâm tam giác BCD G tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Khi bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là:         r  d G ,  ABC   d G ,  BCD   d G ,  ACD   d G ,  ABD  3.VG BCD Ta có: VG BCD  SBCD d G ,  BCD   d G ,  BCD   SBCD     Mà VG BCD  VG ABC  VG ABD  VG ACD (vì SBCD  SABC  SABD  SACD ) Mặt khác VG BCD  VG ABC  VG ABD  VG ACD  VABCD  VG BCD   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 296 V ABCD Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn BH  https://facebook.com/duytuan.qna a a ; AH  AB2  BH  3 a2 a a3 a3 VABCD    VG BCD  VABCD  12 48    r  d G ,  BCD   3.VG BCD SBCD a3 a  48  12 a 4 a3 Vậy thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện là: V   r  216 Câu 46 Chọn A SI   SAB    SAB    P  Nhận xét:  SI  P    Mặt khác:  SAB  chứa đường kính đường trịn tâm O nên  SAB  cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn lớn qua ba điểm S , A , B Do tâm mặt cầu tâm đường trịn ngoại tiếp SAB x S K R x R H a I R x A O y B P Cách 1: Trong mặt phẳng  SAB  , chọn hệ trục Oxy cho I  0;  ; A  a;  ; B  3a;  ; S  0; a  Ta có tâm H đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình 2 2 x  2a  AE  BE  x  a   y   x  3a   y  7a      a  H  a; 2 2    AE  SE  x  a   y  x   y  2a   y  Khi mặt cầu qua ba điểm S , A , B có bán kính R  AE  a 65 Cách 2: Xét SAB có AB  a , SA  SI  IA2  a 5, SB  SI  IB2  a 13 SA.SB a 5a 13 a 65 SA.SB.AB R   SSAB  SI AB  2SI 2.2a 4R  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 297 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Cách 3: Gọi mặt cầu tâm H qua đường tròn tâm O điểm S Khi ta có tứ giác HOIS hình thang vng O I Ta có SI  OI  2a  2OA Gọi R  HA  HS  HB bán kính mặt cầu cần tìm  HA  HO  OA  x  a  Kẻ HK  SI  K  SI  , đặt HO  x  KI  x      HS  HK  SK   a  x   a  2a  x  Vì HA  HS nên 7a  4a  x  a  x   7a  a 65 Vậy R  HA     a2    Câu 47 Chọn C A Gọi O trung điểm AB , M điểm đường trịn  C  Ta có IM  OM  OI  R2   h  R   Rh  h O 1 Thể tích hình nón: V  AI SC   h. Rh  h2 3  Đặt f  h     2Rh  h3   I ( R tham số) Tập xác định D   0; R  f 'h   B 4R Rh  3h  ; f '  h    h   3 f 0  ; f  R   R  32 R R ; f     81  4R 4R Hay thể tích hình nón lớn đạt h  Câu 48 Chọn D S Vậy hàm số f  h  đạt giá trị lớn h  S E a I D A M O O B Giả sử SO  x ta có: SI  x  a ; SE   https://toanhocplus.blogspot.com M N  x  a N C  a  x2  2ax Trang 298 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Xét SEI ∽ SON ta có: https://facebook.com/duytuan.qna IE.SO SE IE  NO    SO NO SE ax x  ax  ax  4a2 x2 Thể tích khối chóp V  x     x  ax   x  2a  Xét hàm số f  x   f   x  x  4ax  x  2a  x2 x  2a   2a  x  ; f   x    x  4a (do  2a  x ) Bảng biến thiên 2a x f x 4a –    f  x  8a Vậy giá trị nhỏ thể tích V  32a3 Câu 49 Chọn D S G K I D A M E O C B Gọi M trung điểm AB G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , O tâm hình vng ABCD Ta có OM   SAB  Dựng trục hình vng ABCD trục tam giác SAB , chúng đồng phẳng cắt I tức OI , GI trục hình vng ABCD trục tam giác SAB   Bán kính mặt cầu R  SI Ta có 4 R2  84 cm  R  21  cm  Đặt AB  x  cm  Trong tam giác vuông SGI ta có SI  SG  GI  1 , ta có GI   1 x x , SG  thay vào tính x   Dựng hình bình hành ADBE Khoảng cách d BD SA d  d BD ,  SAE       d  d B ,  SAE   2d M ,  SAE  Kẻ MK  AE ta có  SAE    SMK   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 299 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  https://facebook.com/duytuan.qna SM.MK  d M ,  SAE   d  M , SK   Ta có SM  SM  MK 2 x x   3 , MK  2   Thay giá trị vào   tính d M ,  SAE   Vậy khoảng cách SA BD 21 21 Câu 50 Chọn A S M2 I E M1 I1 B H A Gọi I1 , I tâm mặt cầu  S1   S2  1 a a  Gọi H trung điểm AB Khi ta có SAB R1  SH  3 Hạ I1 M1  SA , I M2  SA Xét SI M có sin 30 ο  I M2  SI  I M SI Khi ta có SH  SI  I E  EH  3r1  3r2  2r1  r1  3r2 Chứng minh tương tự ta có r2  3r3 ,…., rn  3rn1 Do dãy bán kính r1 , r2 ,…, rn , lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với r1  công bội q  a Suy dãy thể tích khối cầu  S1  ,  S2  , …,  Sn  ,… lập thành cấp số nhân lùi a 3 3 vô hạn với V1     a công bội q1    27   54 Vậy tổng thể tích khối cầu  S1  ,  S2  , ,  Sn  , là: V  V1 3  a  q 52 Câu 51 Chọn B  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 300 Nón - Trụ - Cầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna a A r H C I b B M H Gọi r , Rmc bán kính đáy khối nón khối cầu; a , b , c kích thước hình hộp chữ nhật Dễ dàng thấy a  4r , ABC cạnh 2r nên BH  Rmc AB  r  b  r  2r 4 1 4  4  r  Vkc   Rmc    r      r Vkn   r h   r (do h  r ) 3 3 3  3 337 4  r   Rmc  Ta có phương trình  r     r  3 3 Từ a  12 , b   3 Gọi D , E, F đỉnh hình nón DEF có cạnh nội tiếp đường trịn có bán kính HM    Từ IH  IM  HM   2 sin 60  , c  Rmc  IH  r     Vậy thể tích nước ban đầu thể tích khối hộp chữ nhật:     Vkhcn  abc  12.9  3  1209, cm  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 301 Nón - Trụ - Cầu ... hình KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna B PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN HAI HÌNH BẰNG NHAU I PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHƠNG GIAN o Trong không gian, quy tắc đặt tương... không gian 18 Hai hình đồng dạng 18  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna... https://toanhocplus.blogspot.com S' Trang 11 Hình học khơng gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN  A KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN