UBND QUẬN HỒNG MAI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017 – 2018 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN TỐN – LỚP ( Tiết 68 – 69) Thời gian làm : 90 phút Đề thức Ngày kiểm tra : 17 tháng năm 2018 Đề số 11 I TRÁC NGHIỆM (1,0 điểm) Chọn chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Cặp số ( −1; ) nghiệm hệ phương trình sau đây? x + 5y = A −2 6 x + y = −2 x + y = B 3 x − y = x + y = C −2 x + y = 2 x − y = D x + y = Câu Điều kiện m để phương trình x − 2mx + m − = có hai nghiệm= x1 0, x2 > là: A m = −2 B m = C m = ±2 D m = 16 Câu Cho đường trịn ( O, R ) đường kính AB, dây AC = R Khi số đo độ cung nhỏ BC là: A 600 B 1200 C 900 D 1500 Câu Độ dài đường tròn 10π (cm) Diện tích hình trịn là: A 10π ( cm ) B 100π ( cm ) C 50π ( cm ) D 25π ( cm ) II TỰ LUẬN ( 9,0 điểm) Bài I ( 2,5 điểm) x−2 + Giải hệ phương trình sau: − x − = y +1 = y +1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = x đường thẳng (d) : y = 2mx − 2m + a Với m = −1 Hãy tìm tọa độ giao điểm (P) (d) b Tìm m để (d) (P) cắt điểm phân biệt : A( x1 ; y2 ); B( x2 ; y2 ) cho tổng tung độ hai giao điểm Bài II (2,5 điêm) Giải tốn cách lập phương trình hoạc hệ phương trình Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng ngày? Bài III (3,5 điểm) Cho đường trịn ( O ) có dây cung CD cố định Gọi M điểm nằm cung nhỏ CD Đường kính MN đường trịn ( O ) cắt dây CD I Lấy điểm E cung lớn CD (E khác C,D,N); ME cắt CD K Các đường thẳng NE CD cắt P a) b) c) d) Chứng minh :Tứ giác IKEN nội tiếp Chứng minh: EI.MN=NK.ME NK cắt MP Q Chứng minh: IK phân giác EIQ Từ C vẽ đường thẳng vng góc với EN cắt đường thẳng DE H Chứng minh E di động cung lớn CD (E khác C, D, N) H ln chạy đường cố định Bài IV (0,5 điểm): Cho a; b; c > , chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b HƯỚNG DẪN GIẢI I TRẮC NGHIỆM (1,0 điểm) Chọn chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Cặp số ( −1; ) nghiệm hệ phương trình sau đây? x + 5y = B −2 6 x + y = −2 x + y = B 3 x − y = x + y = C −2 x + y = 2 x − y = D x + y = Câu Điều kiện m để phương trình x − 2mx + m − = có hai nghiệm= x1 0, x2 > là: B m = −2 B m = C m = ±2 D m = 16 Câu Cho đường tròn ( O, R ) đường kính AB, dây AC = R Khi số đo độ cung nhỏ BC là: A 600 B 1200 C 900 D 1500 Câu Độ dài đường trịn 10π (cm) Diện tích hình trịn là: A 10π ( cm ) B 100π ( cm ) C 50π ( cm ) Hướng dẫn giải −1, y = vào hệ Ta đáp án A C Câu Thay x = Câu Thay x1 = vào phương trình ta m − =0 ⇔ m =±2 Thử lại: Thay m = vào phương trình ta x2 − x = x = (thỏa mãn điều kiện đề bài) ⇔ x = Thay m = −2 vào phương trình ta D 25π ( cm ) x2 + 4x = x = (không thỏa mãn điểu kiện đề bài) ⇔ x = −4 Vậy đáp án B Câu AC= R ⇒ ∆AOC tam giác Suy góc CAB = 600 = sd BC ⇒ sd BC = 1200 Mà CAB Chọn đáp án B Câu Gọi bán kính hình trịn R Chu vi hình trịn 2π R= 10π ⇒ R= Diện tích hình trịn π R = 25π ( cm ) Vậy chọn đáp án D II TỰ LUẬN ( 9,0 điểm) Bài I ( 2,5 điểm) x−2 + Giải hệ phương trình sau: − x − = y +1 = y +1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = x đường thẳng (d) : y = 2mx − 2m + c Với m = −1 Hãy tìm tọa độ giao điểm (P) (d) d Tìm m để (d) (P) cắt điểm phân biệt : A( x1 ; y2 ); B( x2 ; y2 ) cho tổng tung độ hai giao điểm Hướng dẫn giải x−2 + − x − = y +1 ( Điều kiện xác định : x ≠ 2; y ≠ −1 ) = y +1 1 ; b +) Đặt= a= x−2 y +1 2a + b = +) Hệ phương trình ⇔ 3a − 2b = 4a + 2b = ⇔ 3a − 2b = a = 14 ⇔ 3a − 2b = a=2 (TM ) ⇔ b = −1 +) Thay a = ⇒ = ⇔ x − =1 ⇔ x = x−2 +) Thay b =−1 ⇒ =−1 ⇒ − y − =1 ⇔ y =−2 y +1 y ) ( ; −2) +) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; = 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = x đường thẳng (d) : y = 2mx − 2m + a +) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) : ⇒ x = 2mx − 2m + ⇔ x − 2mx + 2m − =0 +) Thay m = −1 vào phương trình ta : ⇒ x2 + 2x − = ⇔ ( x − 1)( x + 3) = = x = y ⇔ ⇒ −3 y = x = +) Vậy m = −1 giao điểm (P) (d) : (1;1);(−3;9) b +) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) : ⇒ x = 2mx − 2m + ⇔ x − 2mx + 2m − =0 ∆ =' m − 2m + 1= (m − 1) > 0∀m ≠ (1) +) Suy (d) (P) cắt điểm phân biệt : A( x1 ; y2 ); B( x2 ; y2 ) x1 ∈ ( P) ⇒ y1 = x12 x2 ∈ ( P) ⇒ y2 = x22 2m x +x = +) Áp dụng định lí viet ta có : x2 2m − x1= +) Vì tổng tung độ hai giao điểm nên ta có phương trình : ⇒ y1 + y2 = ⇔ x12 + x22 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ 4m − 2(2m − 1) = ⇔ 4m − 4m = m = 0(TM ) ⇔ m = 1( Loai ) +) Vậy m = (d) (P) cắt điểm phân biệt : A( x1 ; y2 ); B( x2 ; y2 ) cho tổng tung độ hai giao điểm Bài II (2,5 điêm) Giải tốn cách lập phương trình hoạc hệ phương trình Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng ngày? Hướng dẫn giải Gọi thời gian chở hàng theo kế hoạch x (ngày, x > ) 120 Năng suất đội xe theo kế hoạch (tấn/ngày) x Thời gian chở hàng thực tế x − (ngày) 125 Năng suất thực tế (tấn/ngày) x −1 Vì đội xe chở hàng vượt mức tấn/ ngày nên ta có phương trình 125 120 − = x −1 x ⇒ x − 10 x − 120 = x = ⇔ x = −4 Vì x > nên x = Vậy thời gian chở hàng theo kế hoạch ngày Bài III (3,5 điểm) N E O C I M K Q D P a) Xét đường trịn ( O ) có đường kính MN, M điểm cung nhỏ CD (gt) nên MN vng góc với CD trung điểm I CD Do đó: MI D = 900 Ta có E ∈ O; MN ⇒ MEN = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) = 900 + 900 = 1800 mà góc vị trí đối Xét tứ giác IKEN có: MI D + MEN nên tứ giác IKEN nội tiếp (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) = MNK (2 góc nội tiếp chắn cung IK ) b) Tứ giác IKEN nội tiếp (cmt) nên MEI Xét ∆MEI ∆MNK có: = MNK (cmt ) MEI EI ME ⇒ EI MN = NK ME ⇒ ∆MEI ∆MNK ( g g ) ⇒ = NK MN EMIchung c) Xét ∆MNP có đường cao ME PI cắt K nên K trực tâm ∆MNP = 900 Do NK vng góc với MP Q Từ suy NQP NQP Xét tứ giác NIQP có: = NIP = 900 mà góc nhìn NP tứ giác = QIP (vì chắn cung PQ) (1) NIQP nội tiếp Suy QNP = EIK (cùng chắn cung EK ) (2) Tứ giác IKEN nội tiếp (cm a) nên QNP Do IK phân giác EIQ = EIK Từ (1) (2) suy QIP d) Từ C vẽ đường thẳng vng góc với EN cắt đường thẳng DE H Chứng minh E di động cung lớn CD (E khác C, D, N) H ln chạy đường cố định Ta có: ME ⊥ NP DEM = DHC ( dv ) ⇒ ME / / CH ⇒ = ECH ( slt ) CH ⊥ NP MEC = MEC ( góc nt chắn cung = nhau) Mà DEM = ⇒ EHC ECH ⇒ ∆EHC cân E ⇒ EN trung trực CH ND Xét ∆DCH có: IN trung trực CD (dễ dãng cm) ⇒ NC = NH EN trung trực CH (cmt) ⇒ NC = ⇒ N tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DCH ⇒ H ∈ ( N ; NC ) Mà N, C cố định => H thuộc đường tròn cố định E chạy CD Bài IV (0,5 điểm): Đặt A = a b c b c a c a b + + = 1− +1− +1− = 3− + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a Mà a; b; c > nên: b b > a+b a+b+c c c > b+c a+b+c a a > c+a a+b+c Cộng vế ta được: b c a a+b+c + + > = a+b b+c c+a a+b+c c a b ⇔ − + + < −1 a+b b+c c+a c a b ⇔ 3− + + < −1 a+b b+c c+a ⇔ A < (*) Đặt B = a b c a b c + + = + + b+c c+a a+b a (b + c) b (c + a ) c ( a + b) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a (b + c) ≤ a+b+c ⇔ a ; b + c ta được: a 2a ≥ a (b + c) a + b + c Tương tự ta có: b 2b ≥ b (c + a ) a + b + c c 2c ≥ c ( a + b) a + b + c Từ đó, ta có: a b c 2a + 2b + 2c + + ≥ = a+b+c a (b + c) b (c + a ) c ( a + b) ⇔ B ≥ (**) Từ (*), (**) ta có: A < B hay a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b => đpcm ... (d) : ⇒ x = 2mx − 2m + ⇔ x − 2mx + 2m − =0 ∆ =' m − 2m + 1= (m − 1) > 0∀m ≠ (1) +) Suy (d) (P) cắt điểm phân biệt : A( x1 ; y2 ); B( x2 ; y2 ) x1 ∈ ( P) ⇒ y1 = x 12 x2 ∈ ( P) ⇒ y2 = x 22 2m x +x... Áp dụng định lí viet ta có : x2 2m − x1= +) Vì tổng tung độ hai giao điểm nên ta có phương trình : ⇒ y1 + y2 = ⇔ x 12 + x 22 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ 4m − 2( 2m − 1) = ⇔ 4m − 4m = m = 0(TM... Điều kiện xác định : x ≠ 2; y ≠ −1 ) = y +1 1 ; b +) Đặt= a= x? ?2 y +1 2a + b = +) Hệ phương trình ⇔ 3a − 2b = 4a + 2b = ⇔ 3a − 2b = a = 14 ⇔ 3a − 2b = a =2 (TM ) ⇔ b = −1 +) Thay