Phương trình bậc 2 3 4

TỔNG HỢP CƠNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122 Mối liên hệ x1 , x2 Giải phương trình ax2  bx  c  Giải biện luận ax2  bx  c  Sử dụng công thức nghiệm: + Xét a   m , với m tìm thay vào phương trình để kiểm tra xem có nghiệm b   x1  x2   a khơng Tính   b2  4ac (  '  b '2  ac ) : Định lí Vi – Ét:  + Xét a  , tính   b2  4ac ( tính ' )  Nếu   phương trình có  x x  c nghiệm phân biệt: - Nếu   , suy điều kiện m, suy phương trình vơ nghiệm;  a b b   b   Các công thức liên hệ x1 , x2 : - Nếu   , suy m, suy phương trình có nghiệm kép x   ; x1  ; x2  2a 2a 2a 2 x1  x2   x1  x2   x1 x2  Nếu   phương trình có nghiệm b   b   2 - Nếu   , suy m, suy phương trình có hai nghiệm x1  ; x2   x1  x2    x1  x2   4x1 x2 b 2a 2a kép x1  x2   3 Phương trình có hai nghiệm dương phân Tìm m để phương trình có 2a x1  x2   x1  x2   3x1 x2  x1  x2  biệt ( nằm bên phải Oy) nghiệm dương  Nếu   phương trình vơ nghiệm 4 2 2 x  x  x  x  x x   Các em phải xét TH: 2  Nhẩm nghiệm : TH1: Xét  a   m kiểm tra a  0;   1 x1  x2  x  x  m  n  x1  m    + Dùng Vi-Ét:   TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu b  x1 x2 x1 x2  x1.x2  m.n  x2  n 0 TH3: Phương trình có hai nghiệm dương  x1  x2  a  phân biệt  x1  x1  x2    x1  x2   x1 x2  c  TH4: Phương trình có nghiệm kép dương + Nếu a  b  c   c  x1 x2  a  x12  x22   x1  x2  x1  x2  TH5: có nghiệm dương, nghiệm   x2  a 3 2 Phương trình có nghiệm dương x1  x2   x1  x2   x1  x2  x1 x2   x1  1 TH1: kiểm tra a   m   + Nếu a  b  c   c x14  x24  x12  x22 x12  x22  a  0;  x     a  6 2 2  a  0; x1  x2   x1  x2  x1  x1 x2  x2  TH3: Xét    phương trình có  a  b  S   b TH2: Xét    phương trình có hai Tìm hai số biết tổng – tích:  Nếu phương trình: ax  bx  c   0  a b  P  c  2a có hai nghiệm x1 ; x2   0; ( với S  4P ) Khi a, b nghiệm a  nghiệm kép dương S  x1  x2 ; P  x1 x2 thì: phương trình: x2  Sx  P  TH4: Phương trình có nghiệm nghiệm trái dấu x12   x1  x2  x1  x1.x2  S.x1  P nghiệm dương Tìm m để phương trình có nghiệm x0  Ta thay x  x0 vào phương trình để tìm m, sau đo thay m tìm trả lại phương trình giải , kiểm tra kết luận Chứng minh phương trình ln có nghiệm – vô nghiệm: - Xét a   m kiểm tra - Xét a  Nếu   với m a.c  phương trình ln có nghiệm Nếu    phương trình vơ nghiệm Phương trình có hai nghiệm phân biệt – nghiệm kép a  PT có hai nghiệm phân biệt :    a  PT có nghiệm kép :      x13   S  P  x1  S.P x   S  2SP  x1  P  S  P  Lập phương trình bậc hai biết nghiệm + Nếu phương trình có hai nghiệm S  a  b  Phương a, b ta tính   P  a.b trình cần tìm: x2  S.x  P  + Nếu hai nghiệm f  x1  ; f  x2  ta   S  f  x1   f  x2  tính :     P  f  x1  f  x2  Phương trình cần tìm: x2  S.x  P  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (hai nghiệm nằm bên trái trục tung)   a  0;    b  0  x1  x2  a  c   x1 x2  a  Tìm m để phương trình có nghiệm âm Các em xét TH: TH1: Xét a   m kiểm tra TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu TH3: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt TH4: Phương trình có nghiệm kép dương TH5: có nghiệm âm, nghiệm  LỚP TOÁN THẦY THÀNH NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN 0975.705.122 TỔNG HỢP CƠNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122 Phương trình có nghiệm âm Phương trình có hai nghiệm trái dấu + Cùng dấu (nghiệm nằm hai phía Oy) Phương trình có hai nghiệm trái dấu : Hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá TH1: a   m kiểm tra   a  0;       a  a  0; a  0; TH3: Xét    phương trình có       0 trị tuyệt đối lớn hơn: TH2: Xét    phương trình có hai   b  0   c c c b  2a  x1 x2     0; 0   0; a a  a a nghiệm kép âm TH4: Phương trình có nghiệm Phương trình có hai nghiệm phân biệt Hai nghiệm trái dấu mà nghiệm dương có nghiệm trái dấu nghiệm âm giá trị tuyệt đối lớn hơn:  Tìm m để phương trình có nghiệm Phương trình có hai nghiệm đối a  0;   Ta xét TH: Phương trình có hai nghiệm đối :  a  0; dấu khi:     TH1: a   m kiểm tra  a  0; c 0    0 a      c b TH2:  a   0; 0  S  0; P    a a  Phương trình có hai nghiệm nghịch Hệ thức x1 , x2 không phụ thuộc m Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đảo Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo a  a  Điều kiện có nghiệm :  Phần 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm :  điều kiện bị ẩn  0     a0 - Dựa vào định lý Viet : câu hỏi ( điều kiện căn, mẫu số, cạnh tam giác )  khi:   0 Phần 2: Ưu tiên hàng đầu cho dạng toán nhẩm nghiệm Khi nhẩm nghiệm xong b  S  x1  x2     kiểm tra xem có phải chia trường hợp không Nếu không nhẩm nghiệm ta biến c  a  x1 x2   theo m  đổi điều kiện thay Vi – Ét a   P  x x  c  Chứng minh có PT có nghiệm a  Tìm m để phương trình a1 x  b1 x  c1  a2 x  b2 x  c2  có nghiệm chung - Rút m theo S P Cách : ( Dùng phương pháp cộng Cách 1: - Tính 1 ;  - Khử m tìm hệ thức có S P, - Giả sử x nghiệm chung, lập hệ phương để khử m, tìm x) - Chỉ 1    1    S  x1  x2 - Rút tham số từ phương trình cho ta hệ thức trình ( ẩn x tham số ) nên có biệt số không âm (chú ý thay  - Thế giá trị tham số vào phương trình  P  x1 x2 đến giả thiết) - Giải hệ phương trình tìm x , tìm tham số lại tìm x x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m - Thử lại : Thay giá trị tham số vào - Thay giá trị x tìm m Tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức chứa x1 , x2 phương trình, giải phương trình, tìm nghiệm - Rút kết luận chung a  - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt:  - Rút kết luận   Phương trình có hai nghiệm phân biệt nguyên b  Cách 1:  x1  x2  a - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt - Dùng định lí Vi Ét để tính:  - Tính   x1 x2 tìm m để x1 ; x2 số nguyên c  x x   a Cách 2: Dùng Vi ét để tìm hệ thức x1 , x2 không phụ thuộc vào m tìm biến đổi b biểu thức   x1  x2  a Cách 3: Rút m theo x đưa toán - Thay  vào biểu thức để tìm GTNN; GTLN LỚP TỐN THẦY THÀNH  x x  c NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN  a 0975.705.122 TỔNG HỢP CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122 So sánh số với nghiệm phương trình ax2  bx  c  PT có nghiệm x1  x0  x2 PT có nghiệm x0  x1  x2 PT có nghiệm x1  x2  x0 PT có nghiệm x1  x2  x0 Trường hợp 1: Phương trình có a  0; a  0;   a  0;      x  x0 0 0 0 Cách 1:    nghiệm  Cách 1: (Dùng cho lớp 9) Cách 1: (Dùng cho lớp 9)    x  x  x  x    x1  x0 x1  x2  x0 x1  x2  x0    + Thay x2  x0 vào phương trình   ( Dùng cho lớp 9)  x1  x0  x2  x0    x1  x0  x2  x0   để tìm m, thay m trả lại phương  a  0;  a  0;  a  0; trình để tìm nghiệm lại kết   0  0 Cách 2:    luận   Cách 2:  (Dùng cho lớp 10) Cách 2:  (Dùng cho lớp 10) a f  x   Trường hợp 2: Phương trình có   x1  x2  x0  x1  x2  x0 nghiệm x1  x2  x0 ( giải  a f  x0    a f  x0   (Dùng cho lớp 10) bảng bên cạnh) PT có nghiệm x1  c  b  x2 PT có nghiệm x1  c  x2  b PT có nghiệm c  x1  b  x2 Tương tự cho toán: x0  x1  x2 a  a  a      PT có nghiệm c  x1  x2  b      Cách 1:    a  Cách 1:  x1  c  x2  c   Cách 1:  x1  c  x2  c    x1  c  x2  c       x  b  x  b       x1  b  x2  b    x1  b  x2  b     x  x  2b  x  x  2c Cách 1:  x1  c  x2  c   a        a  a   x1  b  x2  b   Cách 2:     2c  x  x  2b  a f  b       a f  c     a   Cách 2:  a f  b   Cách 2:  a f  b         a f  c    a f  c     x  x  2b  x  x  2c Cách 2: a f  b      Phương trình bậc ba ax3  bx2  cx  d  a f  c   2c  x  x  2b Phương trình có nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm Phương trình có nghiệm  Nhẩm nghiệm x0 đưa phương Đưa phương trình dạng:  x  x0   ax2  bx  c   Nhẩm nghiệm x0 đưa phương trình dạng:  x  x0   ax2  bx  c   Để phương trình có nghiệm phân biệt : f  x   ax2  bx  c  phải có hai nghiệm phân  a0  x0      m  f x   0  biệt khác Để phương trình có nghiệm : TH1: f  x   ax2  bx  c  phải có nghiệm kép   a0  khác x0      m  b   x0  2a TH2: f  x   ax2  bx  c  hai nghiệm phân biệt ,  a0  nghiệm x0      m  f x   0  trình dạng:  x  x0   ax2  bx  c   Để phương trình có nghiệm : TH1: f  x   ax2  bx  c  vô a  m nghiệm     TH2: f  x   ax2  bx  c  có   a0  nghiệm kép x0      m  b   x0  2a LỚP TOÁN THẦY THÀNH NGUYỄN KHÁNH TỒN 0975.705.122 TỔNG HỢP CƠNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122 Phương trình bậc trùng phương ax4  bx2  c  1 Cách giải Đặt t  x2  t  0 Suy at  bt  c  (2) Giải phương trình (2) suy t, sau kiểm tra điều kiện t  thay vào x  t để tìm x ý x  t   x   t Phương trình có nghiệm Đặt t  x2  t  0 Suy at  bt  c  (2) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt  a  ;     b Suy ra:  0 m  a  c  a  Phương trình có nghiệm Đặt t  x2  t  0 Suy at  bt  c  (2) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm có nghiệm 0, nghiệm dương :  a  ;    b  S   m kiểm tra lại a  c   P  a  Phương trình vơ nghiệm Để phương trình (1) vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm phân biệt âm  0    Giáo viên: Nguyễn Chí Thành   m  S     P  Phương trình có nghiệm Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm kép nghiệm nghiệm     P  âm ⇔      m   S   P   Phương trình ( x  a )( x  b)( x  c )( x  d )  m với a  b  c  d Đặt t  x  (a  b) x , đưa phương trình bậc hai (t  ab)(t  cd)  m Ví dụ:  x  3 x  2 x  1 x  6 84   x  3 x  6 x  2 x  1  84   x2  3x  18 x2  3x    84 Đặt x  3x  a Phương trình (1) có dạng:  a  18 a  2  84 Phương trình hồi quy ax4  bx3  cx2  dx  e  mà ad  eb2 d  t đưa phương trình Đặt b Kiểm tra x  có phải nghiệm phương trình khơng chia hai vế cho  t t2   t x ta được: a  x    b  x    c  Sau đặt x   a x x x     Phương trình dạng ( x  a)4  ( x  b)  c ab , đưa phương trình trùng phương theo t Chú ý: ( x  y)4  x  x3 y  x y  xy3  y LỚP TOÁN THẦY THÀNH NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN 0975.705.122 Đặt t  x  Phương trình có hai nghiệm Đặt t  x2  t  0 Suy at  bt  c  (2) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có : TH1: Xét a  suy m, thay m trả lại kiểm tra TH2: Có nghiệm kép dương:  a  ;     b 0 m   a  c  a   a  ;  TH3: Có hai nghiệm trái dấu:     m c  0 a Phương trình dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   rx2 với ab  cd Đưa phương trình dạng:  x2   a  b  x  ab   x   c  d  x  cd   rx Kiểm tra x  có phải nghiệm phương trình khơng chia hai vế cho x ab ab cd     x  x  a  b   x  x  c  d   r ( ý tách x  x.x ) Đặt t  x  x    Ví dụ:  x2  3x   x2  x  18 168x  x  1 x  2 x  3 x  6 168x2   x2  x  6 x2  5x    168x2 Nhận xét: x  khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình (1) cho x 6  6  ta được:  x    x    168 Đặt x   t x  x x   t t Phương trình có dạng:  t   t  5  168  t  12t  133    t  19 Phương trình ax  bx  cx  bx  a  Nhận xét x  khơng phải nghiệm phương trình   1  Với x  , chia vế phương trình cho x ta được: a  x    b  x    c  x x    Đặt t  x  , đưa phương trình bậc hai theo t x ... đưa phương trình bậc hai (t  ab)(t  cd)  m Ví dụ:  x  3  x  2  x  1 x  6  84   x  3  x  6 x  2  x  1   84   x2  3x  18 x2  3x     84 Đặt x  3x  a Phương trình. .. TỒN 0975.705. 122 TỔNG HỢP CƠNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705. 122 Phương trình bậc trùng phương ax4  bx2  c  1 Cách giải Đặt t  x2  t  0... THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC – BẬC - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705. 122 Phương trình có nghiệm âm Phương trình có hai nghiệm trái dấu + Cùng dấu (nghiệm nằm hai phía Oy) Phương trình