Nội suy và phương pháp bình phương bé nhất

41 CHƯƠNG VII NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 7.1. Giới thiệu Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và tính giá trị các hàm y = f(x) nào đó. Tuy nhiên trong thực tế có trường hợp ta không xác định được biểu thức của hàm f(x) mà chỉ nhận được các giá trị rời rạc: y 0 , y 1 , ., y n tại các điểm tương ứng x 0 , x 1 , ., x n . Vấn đề đặt ra là làm sao để xác định giá trị của hàm tại các điểm còn lại. Ta phải xây dựng hàm ϕ (x) sao cho: ϕ (x i ) = y i = f (x i ) với n,0i = ϕ (x) ≈ f (x) ∀x thuộc [a, b] và x ≠ x i - Bài toán xây dựng hàm ϕ (x) gọi là bài toán nội suy - Hàm ϕ (x) gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b] - Các điểm x i ( n,0i = ) gọi là các mốc nội suy Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã xác định được biểu thức của f(x) nhưng nó quá phức tạp trong việc khảo sát, tính toán. Khi đó ta tìm hàm nội suy xấp xỉ với nó để đơn giản phân tích và khảo sát hơn. Trong trường hợp đó ta chọn n+1 điểm bất kỳ làm mốc nội suy và tính giá trị tại các điểm đó, từ đó xây dự ng được hàm nội suy (bằng công thức Lagrange, công thức Newton,…). Trường hợp tổng quát: hàm nội suy ϕ(x) không chỉ thoả mãn giá trị hàm tại mốc nội suy mà còn thoả mãn giá trị đạo hàm các cấp tại mốc đó. ϕ’(x 0 ) = f’(x 0 ); ϕ’(x 1 ) = f’(x 1 ); … … ϕ’’(x 0 ) = f’’(x 0 ); ϕ’’(x 1 ) = f’’(x 1 ); … … Nghĩa là ta tìm hàm nội suy của f(x) thỏa mãn bảng giá trị sau: 42 x i x 0 x 1 . x n y i =f(x i ) y 0 y 1 . y n y' i =f’(x i ) y' 0 y' 1 . y' n y'’ i =f’’(x i )y'’ 0 y'’ 1 . y'’ n … … … … … 7.2. Đa thức nội suy Lagrange Giả sử f(x) nhận giá trị y i tại các điểm tương ứng x i ( n,0i = ), khi đó đa thức nội suy Lagrange của f(x) là đa thức bậc n và được xác định theo công thức sau: ∑ = = n 0i i nin )x(py)x(L MS )x(TS )xx) .(xx)(xx) .(xx)(xx( )xx) .(xx)(xx) .(xx)(xx( )x(p ni1ii1ii1i0i n1i1i10 i n = −−−−− −−−−− = +− +− Đặt W(x) = (x - x 0 )(x - x 1 ) . (x - x n ) Suy ra: TS(x) = i x-x W(x) ; )(x W'MS i = L n (x) = W(x) ∑ = n 0i i i i )(xW')x-(x y Ví dụ 1. Cho hàm f(x) thoả mãn: x i 0 1 2 4 f(x i ) 2 3 -1 0 Tìm hàm nội suy của f(x), tính f(5) Giải: Cách 1: W(x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 4) W’(0) = (-1) (-2)(-4) = -8 W’(1) = 1 (-1) (-3) = 3 W’(2) = 2 (1) (-2) = -4 W’(4) = 4 (3) (2) = 24 L 3 (x) = ) )2x(4 1 )1x(3 3 )8(x 2 )(4x)(2x)(1x(x − + − + − −−− 43 = ))4x)(1x(x)4x)(2x(x4)4x)(2x)(1x(( 4 1 −−+−−+−−−− = ))1x(x)2x(x4)2x)(1x()(4x( 4 1 −+−+−−−− = )2x6x4)(4x( 4 1 2 −−− Cách 2: L 3 (x) = )2)(1(2 )4x)(1x(x 1 )3)(1(1 )4x)(2x(x 3 )4)(2)(1( )4x)(2x)(1x( 2 − −− − −− −− + −−− −−− = )2x6x4)(4x( 4 1 2 −−− 7.3. Đa thức nội suy Lagrange với các mối cách đều Giả sử hàm f(x) nhận giá trị y i tại các điểm tương ứng x i ( n,0i = ) cách đều một khoảng h. Đặt h xx t 0 − = , khi đó: x - x 0 = h*t x i - x 0 = h *i x- x 1 = h(t - 1) x i = x 1 = h(i-1) . . x - x i - 1 = h(t- (i-1)) x i - x i - 1 = h x - x i+1 = h(t -(i+1)) x i - x i+1 = -h . . x - x n = h(t - n) x i - x n = -h(n - i) )in(* .*2*1*)1(1* .*)1i(i )nt(* .*))1i(t)(1i(t(* .*)1t(t )htx(p in 0 ' n −−− −+−−−− =+ − = in )1)!*(in(!i*)it( )nt(* .*)1t(t − −−− −− L n (x 0 + ht) = t(t -1) . (t - n) ∑ = − −− − n 0i in i )!in(!i)it( )1(y Ln(x 0 + ht) = ∑ = − − − −− n 0i i n iin it cy.)1( !n )nt) .(1t(t Ví dụ 2. Tìm hàm nội suy của f(x) thoả mãn: 44 x i 0 2 4 f(x 0 ) 5 -2 1 Giải: Cách 1: W(x) = x (x - 2) (x - 4) W’(0) = (0 - 2) (0 - 4) = -8 W’(2) = (2 - 0) (2 - 4) = -4 W’(4) = (4 - 0) (4 - 2) = 8 L 2 (x) = ) 8).4x( 1 )4)(2x( 2 )0x(8 5 )(4x)(2x(x − + −− − − −− = ) )4x(4 1 )2x( 2 x4 5 ()4x)(2x(x 8 1 − + − −+−− = ))2x(x)4x(x4)4x)(2x(5( 8 1 −+−+−− = )20x24x5( 4 1 )40x48x10( 8 1 22 +−=+− Cách 2: ) 2 t C.1 1 t C2 0 t C5 ( !2 )2t)(1t(t )t2(L 2 2 1 2 0 2 2 − + − − − − −− = = ) 2t 1 1t 4 t 5 ( 2 )2t)(1t(t − + − + −− = )1t(t)2t(t4)2t)(1t(5( 2 1 2 −+−+−− = 5t12t5)10t24t10( 2 1 22 +−=+− Vậy 5x6x 4 5 )x(L 2 2 +−= 7.4. Bảng nội suy Ayken 45 Khi tính giá trị của hàm tại một điểm x=c nào đó bất kỳ mà không cần phải xác định biểu thức của f(x). Khi đó ta có thể áp dụng bảng nội suy Ayken như sau 7.4.1. Xây dựng bảng nội suy Ayken c-x 0 x 0 -x 1 x 0 -x 2 … x 0 -x n d 1 x 1 -x 0 c-x 1 x 1 -x 2 … x 1 -x n d 2 x 2 -x 0 x 2 -x 1 c-x 2 … x 2 -x n d 3 … … x n -x 0 x n -x 1 x n -x 2 … c-x n d n W(c) = (c- x 0 )( c- x 1 )…( c- x n ) : Tích các phần tử trên đường chéo W’(x i ) = (x i - x 0 )( x i – x 1 )… (x i - x i-1 ) (x i - x i+1 ) . (x i - x n ) (c - x i ) W’(x i ) = (x i - x 0 )( x i – x 1 )… (x i - x i-1 ) (c- x i )(x i - x i+1 ) . (x i - x n ) d i = (c-x i ) W’(x i ) : Tích các phần tử trên dòng i (i=0,1, …,n) f(c) ≈ L n (c) = W(c). ∑ = − n 0i ii i )(xW')xc( y f(c) ≈ W(c) ∑ = n 0i i i d y Ví dụ 3. Tính f (3. 5) khi biết f(x) thoả mãn x i 1 2 3 4 5 y i 3 2 7 -1 0 Giải Xây dựng bảng nội suy Ayken 2.5 -1 -2 -3 -4 60 1 1.5 -1 -2 -3 -9 2 1 0.5 -1 -2 2 3 2 1 -0.5 -1 3 4 3 2 1 -1.5 -36 W(3.5) = 1.40625 46 f(3.5) ≈ L 4 (3.5) = 3 1 2 7 9 2 20 1 −+− 7.4.2. Thuật toán - Nhập: n, x i , y i (i = 0, n), c - w = 1; s = 0; - Lặp i = 0 → n { w = w*(c - x i ) d = c - x i Lặp j = 0 → n Nếu j != i thì d = d * (x i - x j ) s = s + y i /d } - Xuất kết quả: w * s 7.5. Bảng Nội suy Ayken (dạng 2) Xét hàm nội suy của 2 điểm: x 0 , x 1 L 01 = 01 0 1 10 1 0 xx xx y xx xx y − − + − − = 01 0110 xx )xx(y)xx(y − −−− = Hàm nội suy của hai điểm x 0 , x i Xét hàm p(x) có dạng: y 0 x 0 -x y 1 x 1 -x x 1 -x 0 y 0 x 0 -x y i x i -x L 0i (x) = x i -x 0 L 01 (x) x 1 -x L 0i (x) x i -x p(x) = x i - x 1 47 L 01 (x 0 ) (x i – x 0 ) - L 0i (x 0 ) (x 1 – x 0 ) y 0 (x i - x 1 ) p(x 0 ) = x i - x 1 = x i - x 1 = y 0 y 1 (x i - x 1 ) P(x 1 ) = x i - x 1 = y 1 -y 1 (x 1 - x i ) P(x i ) = x i - x 1 = y i Vậy p(x) là hàm nội suy của 3 điểm x 0 , x 1 , x i Tổng quát: Hàm nội suy của n+1 điểm x 0 , x 1 , . x n L 012 .n-2 n-1 (x) x n-1 -x L 012 .n-2 n (x) x n -x L 012 .n (x) = x n - x n-1 Bảng Nội suy Ayken (dạng 2) x i y i L oi (x) L o1i (x) L o12i (x) . L o12 .n (x) x i - x x 0 y 0 x 0 - x x 1 y 1 L o1 (x) x 1 - x x 2 y 2 L o2 (x) L o12 (x) x 2 - x x 3 y 3 L o3 (x) L o13 (x) L o123 (x) . . x n y n L on (x) L o1n (x) L o12n (x) . L o12 .n (x) x n - x Ví dụ 4. Cho f(x) thoả mãn: x i 1 2 3 4 5 y i 2 4 5 7 8 Tính f (2.5) 48 Giải: Áp dụng bảng Ayken (dạng 2) x i y i L oi (x) L o1i (x) L o12i x L o123i x x i - x 1 2 -1.5 2 4 5 -0.5 3 5 4.25 4.625 0.5 4 7 4.5 4.875 4.5 1.5 5 8 4.25 4.875 4.562 4.407 2.5 Vậy f(2.5) ≈ 4.407 Chú thích : L 01 (-2.5) = (2(-0.5) - 4(-1.5)) / (2-1) = 5 7.6. Nội suy Newton 7.6.1. Sai phân Cho hàm f(x) và h là hằng số, khi đó: ∆f(x) = f (x + h) - f(x) được gọI là sai phân cấp 1 đốI vớI bước h. ∆ 2 f(x) = ∆[∆f(x)] : sai phân cấp 2 Tổng quát: ∆ k f(x) = ∆[∆ k-1 f(x)] : sai phân cấp k Cách lập bảng sai phân: x i f(x i) ∆f(x i) ∆ 2 f(x i) ∆ 3 f(x i) … ∆ n f(x i) x 0 y 0 x 1 y 1 ∆f(x 0) x 2 y 2 ∆f(x 1) ∆ 2 f(x 0) x 3 y 3 ∆f(x2 ) ∆ 2 f(x 1 ) ∆f 3 (x 0 ) . … … … x n y n ∆f(x n-1) … … … ∆ n f(x 0) 49 7.6.2. Công thức nội suy Newton Giả sử hàm f(x) nhận giá trị y i tại các mốc x i cách đều một khoảng h. Khi đó hàm nội suy Newton là một đa thức bậc n được xác định như sau: L n (x) = C o ϕ 0 (x) + C 1 ϕ 1 (x) + . + C n ϕ n (x) (*) Trong đó: ϕ 0 (x) = 1; h xx )x( 0 1 − =ϕ ; !2h )xx)(xx( )x( 2 10 2 −− =ϕ ; …. !nh )xx) .(xx)(xx( )x( n 1n10 n − −−− =ϕ Lớp các hàm ϕ i (x) có tính chất sau: - ϕ i (x 0 ) = 0 ∀i = n,1 - ∆ϕ k (x) = ϕ k-1 (x) * Xác định các hệ số C i (i = n,0 ) Sai phân cấp 1 của L n (x) : (1) ∆L n (x) = C 0 ∆ϕ 0 (x) + C 1 ∆ϕ 1 (x) + C 2 ∆ϕ 2 (x) + . + C n ∆ϕ n (x) = C 1 ϕ 0 (x) + C 2 ϕ 1 (x) + . + C n ϕ n-1 (x) Sai phân cấp 2 của L n (x) : (2) ∆ 2 L n (x) = C 1 ∆ϕ 0 (x) + C 2 ∆ϕ 1 (x) + .+ C n ∆ϕ n-1 (x) = C 2 ϕ 0 (x) + C 3 ϕ 1 (x) + . + C n ϕ n-2 (x) . … … Sai phân cấp n của L n (x) : (n) ∆ n L n (x) = C n ϕ 0 (x) = C n Thay x = x 0 vào (*), (1), (2), , (n) ta được: C 0 = L n (x 0 ) ; C 1 = ∆L n (x 0 ) ; C 2 = ∆ 2 L n (x 0 ) ; . ; C n = ∆ n L n (x 0 ) 50 Vì L n (x) ≈ f(x) nên: L n (x 0 ) ≈ f(x 0 ) ; ∆L n (x 0 ) ≈ ∆f(x 0 ) ; ∆ 2 L n (x 0 ) ≈ ∆ 2 f(x 0 ) ; …; ∆ n L n (x 0 ) ≈ ∆ n f(x 0 ) Vậy : !nh )xx) .(xx)(xx( )x(f . !2h )xx)(xx( )x(f h xx )x(f)x(f)x(L n 1n10 0 n 2 10 0 2 0 00n − −−− ∆++ −− ∆+ − ∆+≈ Ví dụ 5. Xây dựng hàm nội suy Newton thoả mãn: x i 1 2 3 4 5 y i 2 4 5 7 8 Giải Lập bảng sai phân: x i f(x i ) ∆f(x i ) ∆ 2 f(x i ) ∆ 3 f(x i ) ∆ 4 f(x i ) 1 2 2 4 2 3 5 1 -1 4 7 2 1 2 5 8 1 -1 -2 -4 Hàm nội suy Newton: !4 )xx)(xx)(xx)(xx( 4 !3 )xx)(xx)(xx( 2 !2 )xx)(xx( 1 xx 22)x(L 3210 210100 n −−−− − −−− + −− − − +≈ [...]... cặp giá trị tương ứng (xi, yi), i=1, 2, …,n bằng thực nghiệm, sau đó áp dụng phương pháp bình phương bé nhất * Trường hợp: y = ax + b Gọi εi sai số tại các điểm xi εi = yi - a - bxi Khi đó tổng bình phương các sai số: S = n ∑ i =1 ε i2 Mục đích của phương pháp này là xác định a, b sao cho S là bé nhất Như vậy a, b là nghiệm hệ phương trình: 1 ∂S =0 ∂a ∂S =0 ∂b Ta có: S = Σ(yi2 + a2 + b2xi2 - 2ayi - 2bxiyi...7.7 Nội suy tổng quát (Nội suy Hecmit) Xây dựng hàm nội suy của f(x) thoả mãn giá trị hàm và giá trị đạo hàm các cấp theo bảng giá trị sau: xi x0 x1 xn yi =f(xi) y0 y1 yn y'i=f’(xi) y'0 y'1 y'n yi'’= f’’(xi) y''0 y’’1 y’’n … … … yi(k) =f(k)(xi) y1(k) y2(k) yn(k) Giả sử hàm nội suy cần tìm là đa thức bậc m: Hm(x) k m=n+ ∑ si i =1 (Si : số... H1(x) thoả mãn: xi 1 H1(xi) H1(x) = 0 22/9 2/3 22 ( x − 1) 2 ( x − 1) − 16 x + 22 + = 9 (0 − 1) 3 (1 − 0) 9 Vậy H4(x) =(x2 –7x +12)/3 + x(x-1)(x-3)(-16x +22)/9 7.8 Phương pháp bình phương bé nhất Giả sử có 2 đại lượng (vật lý, hoá học, …) x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một trong các dạng đã biết sau: - y = fax + b - y = a + bx + cx2 Tuyến tính - y = a + bcosx + csinx - y = aebx Phi tuyến tính... trị của x và y theo bảng sau: xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15 yi 0.96 1.06 1.17 1.29 1.58 Lập công thức thực nghiệm của y dạng aebx 55 Giải Ta có: y = aebx Lấy Logarit cơ số e hai vế: Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa về dạng: Y = A + BX X i = xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15 Yi = lnyi -0.04 0.06 0.18 0.25 0.46 ΣXi ΣXi2 ΣXiYi ΣYi 4.35 3.93 0.92 0.89 Phương pháp bình phương bé nhất: A,... x i = i =1 n n i =1 i =1 n ∑ yi i =1 n a∑ xi + b∑ xi =∑ xi yi 2 i =1 Giải hệ phương trình ta được: a, b * Trường hợp y = a + bx + cx2 Gọi εi sai số tại các điểm xi εi = yi - a - bxi - cxi2 54 Khi đó tổng bình phương các sai số: S = n ∑ i =1 ε i2 Các hệ số a, b xác định sao cho S là bé nhất Như vậy a, b, c là nghiệm của hệ phương trình: n ∂S =0 ∂a ∂S =0 ∂a n na + b ∑ x i + c ∑ x i =1 n n i =1 n = n... Tiếp tục giải tương tự như trên, cuối cùng đưa về bài toán tìm hàm nộI suy Lagrange (không còn đạo hàm) Sau đó thay ngược kết quả ta được hàm nội suy Hecmit cần tìm Hm(x) Ví dụ 6 Tìm hàm nội suy của hàm f(x) thoả mãn: xi 0 1 3 f(xi) 4 2 0 f’(xi) 5 -3 Giải: Hàm nội suy cần tìm là đa thức H4(x) H4(x) = L2(x) + W(x) H1(x) 52 W(x) = x(x-1)(x-3) =x3 – 4x2 +3x L 2 (x ) = 4 ( x − 1)( x − 3) x ( x − 3) +2 3 −2... Đạo hàm đến cấp k suy ra Hp(k-1)(xi) Ta xác định hàm Hp(x) thoả mãn: xi x0 x1 xn Hp(xi) h0 h1 hn Hp’(xi) h'0 h'1 h'n h0(k-1) h1(k-1) hn(k-1) Hp(k-1)(xi) Về bản chất, bài toán tìm hàm Hp(x) hoàn toàn giống bài toán tìm hàm Hm(x) Tuy nhiên ở đây bậc của nó giảm đi (n+1) và giả thiết về đạo hàm giảm đi một cấp Tiếp tục giải tương tự như trên, cuối cùng đưa về bài toán tìm hàm nộI suy Lagrange (không... =1 n ∑ xi i =1 2 yi Giải hệ phương trình ta được a, b, c * Trường hợp: y = aebx Lấy Logarit cơ số e hai vế: Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa về dạng: Y = A + BX Giải hệ phương trình ta được A, B => a = eA, b=B * Trường hợp y = axb Lấy Logarit cơ số 10 hai vế: Lgy = lga + blgx Đặt Y = lgy; A = lga; B = b; X = lgx Ta đưa về dạng: Y = A + BX Giải hệ phương trình ta được A, B =>... 0.06 0.18 0.25 0.46 ΣXi ΣXi2 ΣXiYi ΣYi 4.35 3.93 0.92 0.89 Phương pháp bình phương bé nhất: A, B là nghiệm hệ phương trình n nA + B ∑ X i =1 n n i =1 i = n ∑ i=1 i =1 Yi n A ∑ X i + B ∑ X i = ∑ X i Yi 2 i =1 5A + 4.35B =0.89 4.35A + 3.93B = 0.92 Giải hệ phương trình ta được: A = -.069, B = 1 Suy ra: a = eA = ½, b = B =1 Vậy f(x) = 1 e 2 x 56 . 41 CHƯƠNG VII NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 7.1. Giới thiệu Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và tính giá trị. đó áp dụng phương pháp bình phương bé nhất. * Trường hợp: y = ax + b Gọi ε i sai số tại các điểm x i ε i = y i - a - bx i Khi đó tổng bình phương các sai