37 CHỈÅNG 4 NÄÜI SUY V PHỈÅNG PHẠP BÇNH PHỈÅNG BẸ NHÁÚT 4.1 NÄÜI SUY ÂA THỈÏC 4.1.1 Váún âãư näüi suy Trong thỉûc tãú nhiãưu khi phi phủc häưi mäüt hm säú f(x) tải mi giạ trë ca x trãn âoản a ≤ x ≤ b m chè biãút mäüt säú hỉỵu hản giạ trë ca hm säú tải mäüt säú hỉỵu hản cạc âiãøm råìi rảc ca âoản âọ. Cạc giạ trë âọ âỉåüc cung cáúp qua thỉûc nghiãûm hay tênh toạn. Váûy ta cọ váún âãư toạn hc sau : Trãn âoản a ≤ x ≤ b cọ mäüt lỉåïi cạc âiãøm chia ( ta gi cạc âiãøm chia ny l nụt) x i , i = 0,1,2, ,n tỉïc l a ≤ x 0 , x 1 , x 2 , , x n ≤ b tỉång ỉïng tải cạc x i ta cọ giạ trë ca hm säú y = f(x) l y i = f(x i ) nhỉ trãn bng sau: Bng 4-1 x x 0 x 1 x 2 x n-1 x n y y 0 y 1 y 2 y n-1 y n Báy giåì ta phi tçm hm f(x) dỉåïi dảng mäüt âa thỉïc dỉûa vo bng trãn âáy. Gi sỉí ta xáy dỉûng âỉåüc âa thỉïc báûc n : p n (x) =a 0 x n + a 1 x n-1 + + a n-1 x + a n . Sao cho p n (x) trng våïi f(x) tải cạc nụt x i , tỉïc l p n (x i ) = y i , i = 0,1,2, ,n . Âa thỉïc p n (x) gi l âa thỉïc näüi suy ca hm f(x). Ta chn âa thỉïc âãø näüi suy hm f(x) vç âa thỉïc l loải hm âån gin, ln cọ âảo hm v ngun hm, viãûc tênh giạ trë cng dãù dng. Ta cọ p n (x) = ((a 0 x +a 1 )x +a 2 ) ) +a n Do âọ cọ så âäư Hoocne tênh giạ trë p n (c): b 0 = a 0 , b 1 = b 0 c + a 1 , b 2 = b 1 c +a 2 , ,b n = b n-1 c + a n = p n (c) 4.1.2 Sỉû duy nháút ca âa thỉïc näüi suy Âënh l 4.1 Âa thỉïc näüi suy p n (x) ca hm säú f(x) âënh nghéa åí trãn nãúu cọ thç chè cọ mäüt m thäi. Chỉïng minh: Gi sỉí cọ hai âa thỉïc p n (x) v q n (x) cng näüi suy cho mäüt hm f(x) Lục âọ ta phi cọ : p n (x i ) = y i , q n (x i ) = y i Váûy hiãûu p n (x) - q n (x) l mäüt âa thỉïc cọ báûc ≤n lải triãût tiãu tải n + 1 giạ trë khạc nhau x i vç p n (x i ) - q n (x i ) = y i - y i = 0. Do âọ p n (x) - q n (x) phi âäưng nháút khäng, nghéa l p n (x) ≡ q n (x). Âa thỉïc näüi suy cọ thãø xáy dỉûng bàòng nhiãưu cạch, nhỉng vç nọ cọ tênh duy nháút, nãn táút c cạc dảng ca nọ âãưu cọ thãø quy vãư nhau âỉåüc. 4.1.3 Âa thỉïc näüi suy Lagrangiå Dỉåïi âáy ta xáy dỉûng âa thỉïc näüi suy theo kiãøu Lagrangiå. Gi I i (x) l: )) ()() (( )) ()() (( )( 110 110 niiiiii nii i xxxxxxxx xxxxxxxx xI = + + Roợ raỡng I i (x) laỡ õa thổùc bỏỷc n vaỡ I i (x j ) = (4-1) = ij ij 0 1 Ta goỹi õoù laỡ õa thổùc Lagrangiồ cồ baớn. Bỏy giồỡ ta thióỳt lỏỷp bióứu thổùc (4-2) = = n i iin xIyxp 0 )()( Ta thỏỳy p n (x) vổỡa laỡ mọỹt õa thổùc bỏỷc n vỗ caùc I i (x) coù bỏỷc n vổỡa thoớa maợn õởnh nghộa p n (x j ) = y j vỗ (4-1. Vỏỷy p n (x) xaùc õởnh theo (4-2) laỡ mọỹt õa thổùc nọỹi suy. Ta goỹi noù laỡ õa thổùc nọỹi suy Lagrangiồ. 4.1.4 Mọỹt sọỳ trổồỡng hồỹp hay gỷp vaỡ thờ duỷ 1) Nọỹi suy bỏỷc nhỏỳt ( nọỹi suy tuyóỳn tờnh) Vồùi n = 1 ta coù lổồùi trong baớng dổồùi: Baớng 4-2 x x 0 x 1 y y 0 y 1 a thổùc nọỹi suy (4-2) seợ laỡ: p 1 (x) = y 0 I 0 (x) + y 1 I 1 (x) (4-3) 01 0 1 10 1 0 )(;)( xx xx xI xx xx xI = = Do õoù 01 0 1 10 1 01 )( xx xx y xx xx yxp + = a thổùc p 1 (x) laỡ bỏỷc nhỏỳt õọỳi vồùi x coù daỷng Ax + b. 2) Nọỹi suy bỏỷc hai Vồùi n = 2 ta coù lổồùi Baớng 4-3 x x 0 x 1 x 2 y y 0 y 1 y 2 a thổùc nọỹi suy (4-2) laỡ : p 2 (x) = y 0 I 0 (x) + y 1 I 1 (x) + y 2 I 2 (x) (4-4) ))(( ))(( )( ))(( ))(( )( 2101 20 1 2010 21 0 xxxx xxxx xI xxxx xxxx xI = = 38 ))(( ))(( )( 1202 10 2 xxxx xxxx xI −− − − = Âa thỉïc p 2 (x) l mäüt âa thỉïc báûc hai âäúi våïi x cọ dảng Ax 2 + Bx + C. 3) Thê dủ ạp dủng Cho lỉåïi Bng 4-4 x 1 2 3 4 y 17 27,5 76 210,5 Hy thiãút láûp âa thỉïc näüi suy. Gii : Ta cọ n = 3 âa thỉïc näüi suy l âa thỉïc báûc ba. Theo (4-2) ta cọ: )34)(24)(14( )3)(2)(1( 5,210 )43)(23)(13( )4)(2)(1( 76 )42)(32)(12( )4)(3)(1( 5,27 )41)(31)(21( )4)(3)(2( 17)( 3 −−− −−− + −−− −−− + + −−− − − − + −−− −−− = xxxxxx xxxxxx xp Sau khi rụt gn ta âỉåüc : p 3 (x) = 8x 3 - 29x 2 + 41,5x - 3,5 4.1.5 Sai säú näüi suy v váún âãư chn nụt näüi suy Âënh l 4-2. Nãúu hm f(x) liãn tủc trãn [a,b} v cọ trong (a,b) âảo hm âãún cáúp n+1 thç sai säú näüi suy r n (x) = f(x) -p n (x) cọ biãøu thỉïc : [ bac n x cfxr n n ,, )!1( )( )()( )1( ∈ + = + ] π (4-5) Trong âọ π(x) = (x-x 0 )(x-x 1 ) (x-x n ) (4-6) Âënh l ny cọ nghéa l nãúu tải mäüt giạ trë xạc âënh x ∈ [a,b] ta thay f(x) båíi p n (x) cho âån gin thç ta phảm phi mäüt sai säú tênh båíi (4-5). Chụ thêch : Sai säú näüi suy r n (x) phủ thüc vo âa thỉïc π(x) tỉïc l phủ thüc sỉû phán bäú cạc nụt x i trãn âoản [x 0 ,x n ]. Trong trỉåìng håüp cạc nụt cạch âãưu (hçnh 4-1 våïi n = 4) ta tháúy |π(x)| nh khi x åí khong giỉỵa ca x 0 , x n låïn dáưn khi x ra gáưn hai mụt v cng låïn khi x vỉåüt ra ngoi khong âọ. Váûy liãûu cọ thãø chn cạc nụt x i khäng cạch âãưu sao cho |π(x)| “bẹ nháút” âỉåüc khäng? Cọ cáu tr låìi l våïi a = -1, b =1 thç cạc nụt täúi ỉu âọ l : 2 . 1 12 cos π + + = n i x i i= 0,1, ,n (4-7) Âọ l cạc nghiãûm ca âa thỉïc Trãbỉsẹp: ]arccos)1cos[( 2 1 )( 1 xnxT n n += + Lục âọ ta cọ π(x) = |T n+1 (x) | n 2 1 ≤ . Cạc nụt (4-7) thỉa åí khong giỉỵa âoản [-1,1] v mau âáưn åí gáưn hai nụt -1,+1 (hçnh 4-2). 39 Khi a ≠ -1 v b ≠ 1 ta dng phẹp âäøi biãún ab bax t − − − = 2 âãø âỉa khong a ≤ x ≤ b vãư khong -1≤ t ≤ 1 räưi chn cạc nụt t i theo (4-7). 40 -1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 1 Hçnh 4-1 Hçnh 4-2 4.1.6 Näüi suy bàòng âa thỉïc Niutån Ta xẹt mäüt phỉång phạp khạc âãø tçm âa thỉïc näüi suy phỉång phạp Niutån. • Khại niãûm t hiãûu Gi sỉí hm f(x) cọ lỉåïi â cho nhỉ trong bng 4-1. Tè hiãûu cáúp mäüt ca y tải x i , x j l : )( )( ],[ ji ji ji xx yy xxy − − = Tè hiãûu cáúp hai ca y tải x i , x j , x k l )( ]),[],[( ],,[ ki kjji kji xx xxyxxy xxxy − − = V tiãúp tủc nhỉ thãú ta cọ cạc tè hiãûu cáúp cao hån. Våïi y(x) = P n (x) l mäüt âa thỉïc báûc n thç tè hiãûu cáúp mäüt tải x, x 0 l : )( )]()([ ],[ 0 0 0 xx xPxP xxP nn n − − = l mäüt âa thỉïc báûc n-1. Tè hiãûu cạp hai tải x, x 0 , x 1 l : )( ]),[],[( ],,[ 1 100 10 xx xxPxxP xxxP nn n − − = L mäüt âa thỉïc báûc n-2, v.v v tåïi tè hiãûu cáúp n+1 thç : P n [x, x 0 , ,x n ] = 0 Tỉì cạc biãøu thỉïc trãn ta suy ra: P n (x) =P n (x 0 ) + (x - x 0 )P n [x, x 0 ] P n [x, x 0 ] = P n [x 0 , x 1 ] + (x - x 1 ) P n [x, x 0 , x 1 ] 41 P n [x, x 0 , x 1 ] = P n [x 0 , x 1 , x 2 ] + (x - x 2 ) P n [x, x 0 , x 1 , x 2 ] . . . . . . P n [x, x 0 , , x n-1 ] = P n [x 0 , , x n ] + (x - x n ) P n [x, x 0 , , x n ] Chuù yù õóỳn P n [x, x 0 , ,x n ] = 0 ta ruùt ra : P n (x) = P n (x 0 ) + (x - x 0 )P n [x 0 , x 1 ] + (x - x 0 )(x - x 1 )P n [x 0 , x 1 , x 2 ] + + (x - x 0 ) (x - x n-1 ) P n [x 0 , , x n ] (4-8) Nóỳu P n (x) = p n (x) laỡ õa thổùc nọỹi suy cuớa haỡm y = f(x) thỗ : P n (x i ) = p n (x i ) = y i vồùi i = 0,1,2, ,n. Do vỏỷy caùc tố hióỷu tổỡ cỏỳp mọỹt tồùi cỏỳp n cuớaPn vaỡ y trong cọng thổùc (4-8) laỡ truỡng nhau. Vỗ vỏỷy thay cho (4-8) ta coù : p n (x) = y 0 + (x - x 0 ) y[x 0 , x 1 ] + (x - x 0 )(x - x 1 ) y[x 0 , x 1 , x 2 ] + + (x - x 0 ) (x - x n-1 ) y[x 0 , , x n ] (4-9) a thổùc naỡy goỹi laỡ a thổùc Niutồn tióỳn xuỏỳt phaùt tổỡ nuùt x 0 cuớa haỡm y = f(x). Ta cuợng tờnh õổồỹc õa thổùc Niutồn luỡi xuỏỳt phaùt tổỡ nuùt x n cuớa haỡm y = f(x) laỡ : p n (x) = y n + (x - x n ) y[x n , x n-1 ] + (x - x n )(x - x n-1 ) y[x n , x n-1 , x n-2 ] + + (x - x n )(x - x n-1 ) (x - x 1 ) y[x n , , x 0 ] (4-10) * Chuù yù : 1)Theo õởnh nghộa tố hióỷu coù tờnh chỏỳt õọỳi xổùng : y[x i , x j ] = y[x j , x i ] y[x i , x j , x k ] = y[x k , x j , x i ] 2) a thổùc Niutồn (4-9) truỡng vồùi õa thổùc Lagrangiồ, nhổng thióỳt lỏỷp caùch khaùc. Theo caùch cuớa Niutồn khi thóm mọỹt nuùt x n+1 vaỡo lổồùi nọỹi suy ta chố phaới thóm vaỡo p n (x) mọỹt sọỳ haỷng : P n+1 (x) = p n (x) + (x - x 0 ) (x - x n-1 )(x - x n ) y[x 0 , , x n ,x n+1 ] maỡ khọng phaới xỏy dổỷng laỷi tỏỳt caớ caùc õa thổùc cồ baớn nhổ caùch thióỳt lỏỷp cuớa Lagrangồ. 4.1.7 Trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu Giaớ sổớ caùc nuùt x i caùch õóửu, tổùc laỡ : x i = x 0 + ih, i = 0,1,2, , n. 1) Khaùi nióỷm sai phỏn tióỳn Sai phỏn tióỳn cỏỳp mọỹt taỷi i : y i = y i+1 - y i Sai phỏn tióỳn cỏỳp hai taỷi i : 2 y i = (y i ) = y i+2 - 2y i+1 + y i . . . . . Sai phỏn tióỳn cỏỳp n taỷi i : n y i = ( n-1 y i ) Khi õoù ta coù : n n n hn y xxy h y xxxy h y xxy ! ], ,[ 2 ],,[ ],[ 0 0 2 0 2 210 0 10 = = = Bỏy giồỡ ta õỷt x = x 0 + ht trong õa thổùc Niutồn tióỳn (4-9) ta coù : 00 2 00 ! )1) (1( !2 )1( )( 0 y n nttt y tt ytyxp n htxx n + ++ ++= += (4-11) Goỹi laỡ a thổùc Niutồn tióỳn xuỏỳt phaùt tổỡ x 0 trong trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu. Vồùi n = 1 ta coù : 001 0 )( ytyxp htxx += += Vồùi n = 2 ta coù : 0 2 002 2 )1( )( 0 y t tt ytyxp htxx ++= += 2) Khaùi nióỷm sai phỏn luỡi Tổồng tổỷ nhổ khaùi nióỷm sai phỏn tióỳn ta coù caùc sai phỏn luỡi taỷi i õổồỹc xaùc õởnh : )( 2)( 1 21 2 1 i n i n iiiii iii yy yyyyy yyy = +== = Ta coù õa thổùc Niutồn luỡi xuỏỳt phaùt tổỡ x n trong trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu : n n nnn htxx n y n nttt y tt ytyxp + + ++ + ++= += ! )1) (1( !2 )1( )( 2 0 (4-12) 4.1.8 Thờ duỷ Cho lổồùi giaù trở ( ỏy cuợng chờnh laỡ caùc giaù trở cuớa haỡm sinx) : Baớng 4-5 x 0,1 0,2 0,3 0,4 y 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 Haợy tờnh giaù trở gỏửn õuùng taỷi y(0,14) vaỡ y(0,46) Giaới : Dổỷa vaỡo lổồùi ta tỗm haỡm y dổồùi daỷng mọỹt õa thổùc nọỹi suy. Ta thỏỳy caùc nuùt ồớ õỏy caùch õóửu vồùi h = 0,1 nón ta aùp duỷng õa thổùc Niutồn. 42 Ta lỏỷp baớng sai phỏn : Baớng 4-6 i x y y 2 y 3 y 0 0.1 0.09983 0.09884 1 0.2 0.19867 -0.00199 0.09685 -0.00096 2 0.3 0.29552 -0.00295 0.09390 3 0.4 0.38942 i x y y 2 y 3 y a) Tờnh y(0,14) vỗ 0,14 0,1 0,2 nón ta duỡng õa thổùc Niutồn tióỳn xuỏỳt phaùt tổỡ x 0 = 0,1 vồùi h = 0,1 dổỷa vaỡo caùc sai phỏn tióỳn õi xuọỳng ồớ baớng 4-6 (gaỷch dổồùi mọỹt gaỷch) : 00096,0 !3 )2)(1( 00199,0 !2 )1( 09884,009983,0)( 1,01,0 += += ttttt xp tx ặẽng vồùi x = 0,14 ta coù 0,14 = 0,1 + 0,1t t = 0,4. Thay vaỡo vóỳ phaới ta tờnh õổồỹc y(0,14) p(0,1 + 0,1.0,4) = 0,13954336. Sai sọỳ tờnh theo cọng thổùc (4-5). Trổồỡng hồỹp naỡy ta bióỳt y(x) = sinx vaỡ n = 3 nón: |sin n+1 (x)| = |sin (4) (x)| = |sinx| 1 (x) = (x - 0,1)(x - 0,2)(x - 0,3)(x - 0,4) (0,14) = (0,14 - 0,1)(0,14 - 0,2)(0,14 - 0,3)(0,14 - 0,4) 10 -4 Theo (4-5) ta coù |sin(0,14) - 0,13954336| 6 4 10.2,4 !4 10 Ta thỏỳy rũng sọỳ 0,13954336 coù nhióửu chổợ sọỳ õaùng nghi ta qui troỡn õóỳn 5 chổợ sọỳ leớ thỏỷp phỏn : y(0,14) = sin(0,14) = 0,13954 10 -5 b)Tờnh y(0,46) = sin(0,46). Vỗ 0,46 > 0,4 ta duỡng õa thổùc Niutồn luỡi xuỏỳt phaùt tổỡ x 3 = 0,4. Dổỷa vaỡo caùc sai phỏn luỡi (gach dổồùi hai gaỷch) trong baớng 4-6: 00096,0 !3 )2)(1( 00295,0. !2 )1( 09390,0.38942,0)( 1,04,0 + + + ++= += ttttt txP tx Vồùi x = 0,46 ta coù 0,46 = 0,4 + 0,1t t = 0,6. Thay t = 0,6 vaỡo vóỳ phaới ồớ trón ta tờnh õổồỹc : Sin(0,46) ) p(0,4 + 0,1.0,6) = 0,4439446 Sai sọỳ tờnh theo (4-5) nhổ trón ta coù |sin(0,46) - 0,4439446| 3,8.10 -5 Ta quy troỡn õóỳn 5 chổợ sọỳ leớ thỏỷp phỏn õổồỹc sin(0,46) = 0,44394 10 -5 Nhỏỷn xeùt : Sai sọỳ khi tờnh sin(0,46) gỏỳp 5 lỏửn khi tờnh sin(0,14). Bồới vỗ 0,46 [0,1;0,4] tổùc laỡ ta phaới ngoaỷi suy coỡn 0,14[0,1;0,4] õuùng laỡ nọỹi suy. 43 4.2 phỉång phạp bçnh phỉång bẹ nháút 4.2.1 Khại niãûm Gi sỉí cọ hai âải lỉåüng (váût ly,ï họa hc, cå hc, ) x v y cọ liãn hãû phủ thüc nhau theo mäüt dảng â biãút, chàóng hản : 1. y = a + bx 2. y = a + bx + cx 2 3. y = a + b cosx + csinx 4. y = ae bx 5. y = ax b Nhỉng chỉa xạc âënh củ thãø âỉåüc hm vç chỉa tçm âỉåüc cạc tham säú a, b, c. Âãø xạc âënh chụng ta phi xạc âënh cạc càûp giạ trë tỉång ỉïng (x i ,y i ), i = 1,2, ,n. Tỉïc l phi biãút mäüt lỉåïi gäưm n nụt xạc âënh. Bng 4-7 x x 1 x 2 x n y y 1 y 2 y n Dỉûa vo âọ chụng ta xạc âënh cạc tham säú a, b, c bàòng phỉång phạp bçnh phỉång bẹ nháút. 4.2.2 Trỉåìng håüp y = a + bx Gi sỉí y phủ thüc x dỉåïi dảng y = a + bx khi âọ y i - ( a - bx i ) = ε i ; i = 1, 2, ,n l cạc sai säú tải xi, do âọ (4-13) ∑ = −−= n i ii bxayS 1 2 )( L täøng cạc bçnh phỉång ca cạc sai säú. S phủ thüc a, b cn cạc x i , y i â biãút. Báy giåì ta xạc âënh a, b sao cho S l bẹ nháút Tỉïc l täøng cạc bçnh phỉång ca sai säú l bẹ nháút. Nhỉ váûy a v b s l nghiãûm ca hãû phỉång trçnh : 0;0 = ∂ ∂ = ∂ ∂ b S a S (4-14) Tỉïc l ∑∑∑ ∑ ∑ =+ =+ iiii ii yxxbxa yxbna 2 (4-15) Tỉì bng 4-7 ta tênh ra cạc täøng Σx i , Σy i , Σx i 2 , Σx i y i thay vo hãû (4-15) räưi gii hãû âọ ta tçm âỉåüc a, b. Thê dủ : Biãút quan hãû giỉỵa x v y cọ dảng y = a + bx v cọ lỉåïi sau : x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 44 Haợy xaùc õởnh a, b bũng phổồng phaùp bỗnh phổồng beù nhỏỳt. Giaới: Ta lỏỷp baớng caùc giaù trở sau x i y i x i 2 x i y i -1,1 0,78 1,21 -0,858 2,1 7,3 4,41 15,33 3,2 9,2 10,24 29,44 4,4 11,9 19,36 52,36 n = 5 5,2 13,3 27,04 69,16 13,8 42,48 62,26 165,432 Tổỡ baớng ta vióỳt õổồỹc hóỷ phổồng trỗnh : 5a + 13,8b = 42,48 13,8a + 62,26b = 165,432 Giaới hóỷ ta coù a = 2,9939036 3 ; b = 1,9935131 2. Vỏỷy coù quan hóỷ laỡ : y = 3 + 2x Ta thổớ tờnh laỷi caùc giaù trở cuớa y theo xi vaỡ so saùnh vồùi giaù trở õaợ cho nhổ baớng dổồùi õỏy : x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 y mồùi 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4 Ta thỏỳy sai sọỳ laỡ khaù nhoớ 2% 4.2.3 Trổồỡng hồỹp caùc quan hóỷ khaùc 1) Trổồỡng hồỹp y = a + bx + cx 2 vaỡ y = a + b cosx + csinx Nhổợng trổồỡng hồỹp naỡy õóửu coù quan hóỷ tuyóỳn tờnh õọỳi vồùi a, b, c nón cuợng giaới quyóỳt nhổ trổồỡng hồỹp trón. Chúng haỷn y = a + bx + cx 2 thỗ a, b, c laỡ nghióỷm cuớa hóỷ phổồng trỗnh : iiiii iiiii iii yxxcxbxa yxxcxbxa yxcxbna =++ =++ =++ 2432 32 2 3) Trổồỡng hồỹp y = ae bx vaỡ y = ax b Caùc trổồỡng hồỹp naỡy coù quan hóỷ phi tuyóỳn õọỳi vồùi a, b nón ta thổỷc hióỷn mọỹt sọỳ bióỳn õọứi. ọỳi vồùi y = ae bx vồùi a>0 Lỏỳy logarit thỏỷp phỏn hai vóỳ ta coù : 45 lgy = lga + bxlge ỷt lgy =Y, lga = A, bloge = B, x = X ta coù: Y = A + BX õỏy chờnh laỡ daỷng y = a + bx ta õaợ xeùt ồớ trón, Chuù yù rũng tổỡ lổồùi sọỳ lióỷu x,y ta suy ra lổồùi sọỳ lióỷu X,Y vồùi X = x; Y = lgy. Tổỡ õoù ta tỗm õổồỹc A, B. Tổỡ A, B ta tỗm ra a, b. ọỳi vồùi y = ax b vồùi a > 0, x > 0. Lỏỳy logarit hai vóỳ ta coù : lgy = lga + b lgx ỷt lgy = Y, lg a = A, b = B, lgx = X ta coù : Y = A + BX ta laỷi giaới quyóỳt nhổ trón. BAèI TP Cỏu 1 : Nọỹi suy bũng õa thổùc Niuton õóứ tỗm x sao cho f(x) = 3.756. Bióỳt baớng giaù trở sau : x 50 52 54 56 f(x) 3.684 3.732 3.779 3.825 Cỏu 2 : Tỗm f (x) taỷi x = 0.15. Bióỳt: x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x) 1.0000 0.9975 0.9900 0.9776 0.9604 Cỏu 3 : Tỗm sọỳ lióỷu coỡn thióỳu trong baớng sau x 0 1 2 3 4 y 1 3 9 ? 81 Cỏu 4 : Bióứu dióựn phỏn thổùc 22 36 23 2 + + xxx xx thaỡnh tọứng caùc phỏn thổùc tọỳi giaớn. Cỏu 5 : Bióỳt y coù quan hóỷ vồùi x daỷng y = a + bx + cx 2 vaỡ õaợ bióỳt lổồùi sau : x 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 y 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28 Haợy xaùc õởnh haỡm y(x). 46 . Sin(0 ,46 ) ) p(0 ,4 + 0,1.0,6) = 0 ,44 3 944 6 Sai sọỳ tờnh theo (4- 5) nhổ trón ta coù |sin(0 ,46 ) - 0 ,44 3 944 6| 3,8.10 -5 Ta quy troỡn õóỳn 5 chổợ sọỳ leớ thỏỷp phỏn õổồỹc sin(0 ,46 ) = 0 ,44 3 94 10 -5 Nhỏỷn. 0,2)(x - 0,3)(x - 0 ,4) (0, 14) = (0, 14 - 0,1)(0, 14 - 0,2)(0, 14 - 0,3)(0, 14 - 0 ,4) 10 -4 Theo (4- 5) ta coù |sin(0, 14) - 0,139 543 36| 6 4 10.2 ,4 !4 10 Ta thỏỳy rũng sọỳ 0,139 543 36 coù nhióửu. 2,1 7,3 4, 41 15,33 3,2 9,2 10, 24 29 ,44 4, 4 11,9 19,36 52,36 n = 5 5,2 13,3 27, 04 69,16 13,8 42 ,48 62,26 165 ,43 2 Tổỡ baớng ta vióỳt õổồỹc hóỷ phổồng trỗnh : 5a + 13,8b = 42 ,48 13,8a