Ta sẽ dùng cả hai phơng pháp H.Cross và phơng pháp G.Kani để giải bài toán này.
Trang 1BàI tập lớn Cơ học kết cấu III
Tính hệ siêu tĩnh theo phơng pháp H.Cross & phơng pháp G.Kani
-0o0 - Số liệu hình học:
TT
c
J J d l (m) h1(m) h2(m) h3(m) a (m)
Số liệu tải trọng:
) (
m
kN
Sơ đồ hình học:
Nhận xét:
Ta thấy đây là bài toán siêu tĩnh có nút chịu chuyển vị thẳng Ta sẽ dùng cả hai phơng pháp H.Cross và
phơng
pháp G.Kani để giải bài toán này.
A.Phơng pháp H.Cross:
1.Xác định độ cứng đơn vị qui ớc của các thanh:
Tại B:
6 , 13
1
h
J
16
1
4 1
h
J
116
7
l
J
BE
Tại C:
116
7 2 , 23
4 , 1
l
J
6 , 13
1
h
J
CB
Tại D:
116
7 2 , 23
4 , 1
l
J
6 , 13
1
h
J
DE
Tại E:
6 , 13
1
h
J
4 , 14
1
h
J
2.Xác định các hệ số phân phối:
KN
W2 12
KN
W1 8
KN
P 15
m
KN
q 1 , 5
a = 2 , 4 m
L = 5 , 8 m
4 , 1
d J
4 , 1
d J
1
c
J
1
c
J
1
c
J
1
c
J
A B
E
F
Trang 2 Tại nút B:
116
7 6 , 13
1 16 1 16
1
BE BC BA
BA BA
R R R
R
116
7 6 , 13
1 16 1
6 , 13
BE BC BA
BC BC
R R R
R
116
7 6 , 13
1 16 1 116
7
BE BC BA
BE BE
R R R
R
Kiểm tra lại ta có: BA BC BE 1 Thoả mãn đk : tổng các hệ số phân phối xung quanh 1 nút
bằng
đơn vị
Tại nút C:
116
7 6 , 13 1 6 , 13
1
CD CB
CB CB
R R
R
116
7 6 , 13 1 116
7
CD CB
CD CD
R R
R
Kiểm tra lại ta có: CB CD 1 Thoả mãn đk :tổng các hệ số phân phối xung quanh 1 nút
bằng đơn vị
0 , 549242
6 , 13
1 116 7 6 , 13
1
DE DC
DE DE
R R
R
0 , 450758
6 , 13
1 116 7 116
7
DC
Kiểm tra lại ta có: DE DC 1 Thoả mãn đk: tổng các hệ số phân phối xung quanh 1 nút
bằng đơn vị
Tại nút E :
4 , 14
1 116
7 6 , 13 1
6 , 13
1
EF EB ED
ED ED
R R R R
Trang 30 , 296799
4 , 14
1 116
7 6 , 13 1 116
7
EF EB ED
EB EB
R R R
R
4 , 14
1 116
7 6 , 13 1
4 , 14
1
EF EB ED
EF EF
R R R
R
Kiểm tra lại ta có: ED EB EF 1
Thoả mãn đk : tổng các hệ số phân phối xung quanh 1 nút bằng đơn vị
3.Tính toán hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu tải trọng:
Ngăn cản chuyển vị ngang tại D & E bằng các liên kết thanh:
KN
P 15
m
KN
q 1 , 5
a = 2 , 4 m
L = 5 , 8 m
4 , 1
d J
Sử dụng bảng 6.1 và quy ớc về dấu của H.Cross , xác định các Moment nút cứng M*tại các đầu thanh do tải trọng gây ra:
M CD M DC ql 4,205kN.m
12
8 , 5 5 , 1 12
2 2
*
*
l
ab P
8 , 5
4 , 3 4 , 2 15
2 2 2
2
*
l
b a P
8 , 5
4 , 3 4 , 2 15
2 2 2
2
*
Phân phối và truyền Moment :
Trang 4D -0.3368 -0.67361 -0.82078 -0.41039
P
Từ bảng phân phối Moment căn cứ vào số liệu tìm đợc ta có lực cắt trong các thanh đứng là:
Q CB - 2,753kN ; Q BA -1,5564kN
Q DE Q ED 2,2696kN ; Q EF 1,37193kN
Xác định phản lực R1P & R2P tại liên kết đặt thêm vào hệ bằng cách dùng các mặt cắt :
Từ sơ đồ các mặt cắt ta có :
R1P (Q BA Q EF) (Q BC Q ED) 8 -7,701kN
R2P Q CB Q DE 12 -12,48kN
8 k N
P
R2
DE
Q
CB
Q
1 2 k N
BC Q
BA Q
ED
Q
EF Q
P
R2
4.Tính toán hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu chuyển vị cỡng bức theo phơng ngang tại nút D
1
B
A
C
D
E
F
Moment nút cứng:
M BE* M EB* M CD* M DC* 0
2
*
*
6 , 3
6
C FE
EF
J M
C
J
1
1
FE
1 2
*
*
4
6
C BA AB
J M
C
J
1
1
BA
4 , 3
6
C ED
DE BC
CB
J M
M M
C
J
1
1
M CB* M BC* M DE* M ED* 0 , 519kNm
Lập bảng phân phối Moment :
Từ bảng phân phối Moment căn cứ vào số liệu tìm đợc ta có lực cắt trong các thanh đứng là:
Q CB -0,199kN ; Q BA 0,192kN
Q DE -0,2103kN ; Q EF 0,24723kN
Trang 5 Xác định phản lực r11& r21 tại liên kết đặt thêm vào hệ bằng cách dùng các mặt cắt :
Từ sơ đồ các mặt cắt ta có :
r12 Q CB Q DE 0,8485kN
r11 (Q BA Q EF) (Q BC Q ED) -0,409kN
12
r
DE Q CB
Q
BC
Q
BA
Q
ED Q
EF
Q
11
r
0.3183 0.3744 0.3073 0.5492 0.4508 0.4508 0.5492 0.2968 0.36165 0.3416
1
M 0.381 0.387 -0.3914 0.00122 -0.285 0.28502 0.2906 -0.2911 -0.015 -0.4241 0.43904 0.451
5.Tính toán hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu chuyển vị cỡng bức theo phơng ngang tại nút E
Moment nút cứng:
4 , 3
6
C ED
DE CB BC
J M
M M
C
J
1
M BC* M CB* M DE* M ED* 0,51903 kNm
2
z
B
A
E
F
2
z
Trang 6
Lập bảng phân phối Moment :
Từ bảng phân phối Moment căn cứ vào số liệu tìm đợc ta có lực cắt trong các thanh đứng là:
Q BC 0,1563kN ; Q BA -0,044kN
Q DE 0,15772kN ; Q EF -0,0513kN
Xác định phản lực r12 & r22 tại liên kết đặt thêm vào hệ bằng cách dùng các mặt cắt :
Từ sơ đồ các mặt cắt ta có :
r21 (Q BA Q EF) (Q BC Q ED) -0,409kN
r22 Q CB Q DE 0,314kN
2
22
r
DE Q CB
Q
BC
Q
BA
Q
ED Q
EF
Q
21
r
6.Giải hpt chính tắc:
0 0 2 2 22 1
21
1 2 12 1
11
P P
R X r X
r
R X r X
r
0 12,48 -0,314 0,409
-0 7,701 -0,409 -0,8485
2 1
2 1
X X
X X
138,855 76,0564 2
1
X X
Moment uốn tại các đầu thanh : M M P M1X1 M2X2 M P M1 M2
p
1
2
M 18.781 9.0401 3.734 -13.23 9.2458 -9.204 -15.979 15.931 -31.447 11.859 19.588 27.3997
Trang 7 Từ đó ta vẽ được biểu đồ Moment của hệ như sau:
A
C
E D
1 8 , 7 8 1
9 , 0 4 0 1
3 , 7 3 4
1 5 , 7 9 7
3 1 , 4 4 7
9 , 2 4 5 8
6 , 3 0 7 5
M
k N m
2 1 , 1
B
1 3 , 2 3
9 , 2 4 5 8
1 1 , 8 5 9
1 9 , 5 8 8
2 7 , 3 9 9 7
F
B.Phơng pháp G.Kani:
Xác định Moment nút cứng:
M CD M DC -4,205kNm ;
M BE -12,371kNm ; M EB 8,73246kNm
Tại nút B : M B 12, 371kNm
Tại nút C : M C 4, 205kNm
Tại nút D : M D 4, 205kNm
Tại nút E : M E 8, 73246kNm
Xác định hệ số phân phối do xoay theo công thức : ik ik
2
1
Tại nút B: BA 0, 1591 ; BC -0,1872 ; 25 -0,1536
Tại nút C: CB 0, 2746 ; CD -0,2254
Tại nút D: DC -0,2254 ; DE -0,27462
Tại nút E : EB -0,1484 ; ED -0,18082 ; EF -0,17078
Xác định hệ số chuyển vị thẳng theo công thức :
)
2
2 3
r
ik ik ik
ik ik ik
R m
R
Tầng II: Các thanh đứng có chiều dài bằng nhau và có hai đầu đều là nút nên:
h II 3 , 4m ;m BC 1 ;m DE 1
Trang 8 BC DE 1
ik
r ik
h
h
0735 0 0735 0
0735 0 1 2
3
, ) , ,
(
,
BC
0735 0 0735 0
0735 0 1 2
3
, ) , ,
(
,
EF
Tầng I: Các thanh đứng có điều kiện liên kết nh nhau nhng có chiều dài khác nhau
Chọn : h I h12 4m ;m12 1 ;m65 1
12 1;65 1,1111
ik
I ik
h h
0694 0 1111 1 1 0625 0 1111 1 1
0625 0 1 2
3
2
) , , ,
, (
,
AB
0694 0 11 1 1 0625 0 1 1
0694 0 11 1 2
3
2
) , , ,
(
, ,
FE
Kiểm tra : m121212 m565656 1 , 5 Đúng
Xác định Moment tầng:
áp dụng :
3
r r r
h Q
M (9.39) Với :
) )
) (
1
r
ki ik ik r
d ik ng
h Q
P Q
(9.35)
Tầng II : Dùng mặt cắt ngay sát dới nút C và D
Theo (9.35) ta có:
M M
h M
M h Q
Q P
DE DE BC
CB
d DE d
BC ng II
12 0 0 0 0 12
1 1
) (
) (
) (
) (
M II 13 , 6kNm
3
4 , 3 12
Tầng I : Dùng mặt cắt ngay sát dới nút 2 và 5
h M
M h Q
Q P
EF BA AB AB
d Eè d BA ng
M I 26 , 7kNm
3
4 20
Tính Moment do xoay '
ik
M và Moment do chuyển vị thẳng '
ik
M theo các công thức
i
ik ki i
ik
)
' '
r
ki ik ik r
ik
Kết quả đợc ghi vào sơ đồ : Quá trình tính toán dừng lại ở chu trình 14 khi kết quả đã hội tụ