Bài tập lớn Làm tập sau, cán lớp thu nộp cho giáo viên tr-ớc ngày thi kết thúc môn học Phần I: Lí thuyết xác suất trình ngẫu nhiên Lm 60% s bi Gieo xúc xắcliên tiếp n lần, tìm xác suất để tổng sè chÊm xt hiƯn ë n lÇn gieo chia hÕt cho Mét tËp 10 vÐ ®ã cã vé có th-ởng Chọn ngẫu nhiên vé, tìm xác suất để có vé có th-ởng Một xạ thủ bắn bia, xác suất trúng bia xạ thủ 0, 75 Tìm xác suất để sau lần bắn liên tục, lần bắn cuối (lần thứ 4) lần xạ thủ b¾n tróng bia xs cổ điển có câu A B chơi trò chơi nh- sau: A gieo đồng thời xúc xắc Nếu tổng 11, A thắng cuộc, tổng 2,3 12, A thua Các tr-ờng hợp lại, A lặp lại trò chơi có ng-ời thắng ng-ời thua Tìm xác suất để A thắng Chọn ngẫu nhiên số thực d-ơng x, y không v-ợt Tìm xác suất biến cố: y x xy Các hộp đ-ợc đánh số 1, 2, , N vµ hép mang sè k chøa k bi đỏ, N k bi trắng (k = 1, 2, , N ) Chän ngÉu nhiªn mét hép từ hộp chọn ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để viên bi đ-ợc chọn bi ®á Mét häc sinh lµm bµi thi gåm câu hỏi Xác suất giải câu câu hỏi đầu 0,75, giải câu cuối 0,4 Tìm luật phân bố số câu giải Tính kì vọng ph-ơng sai X có phân bố đoạn [0, ] Hãy tìm hàm mật độ Y = eX hàm mËt ®é cđa Z = sin X có câu X Y hai đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập, phân bố đoạn [0, 1] Xác định hàm mật độ X + Y 2X + Y Hãy tính kì vọng ph-ơng sai chúng 10 Giả sử X Y hai đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập có phân bố (1, 1) Hãy tính hàm mật độ X + Y 11 Giả sử X Y hai đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập có phân bố mũ với tham số Hãy tính hàm mật độ |X Y | 12 Hàm mật độ đồng thời X Y có dạng C sin x cos y h(x, y) = nÕu (x, y) ∈ (0, π4 ) × (0, π4 ), nÕu (x, y) ∈ / (0, π4 ) × (0, π4 ) (a) Xác định C (b) X Y có độc lập không? Tại sao? (c) Tính xác suất P (2Y < X) 13 Biết hàm mật độ (X, Y ) b»ng h(x, y) = 12 11 (x + xy + y2 ) nÕu (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1), nÕu (x, y) ∈ / (0, 1) × (0, 1) (a) TÝnh EX, DX (b) Tìm xác suất P (Y + X < 1) (c) X Y có độc lập không? Tính cov(X, Y ) hệ số t-ơng quan (X, Y ) 14 Giả sử X Y hai đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn N(0,1) H·y tÝnh x¸c suÊt P (X < Y ) 15 Các trạng thái M-a, Nắng, Tuyết lập thành xÝch Markov víi ma trËn chun Câu đề thi M-a TuyÕt N¾ng M-a Π = 21 1 N¾ng 2 1 Tuyết 2 Tìm phân bố xác suất giới hạn tập trạng thái M-a, Nắng, Tuyết Hãy tìm ma trận chuyển xác suất n sau n b-íc NÕu π0 = ( 25 , 15 , 25 ) phân bố xác suất ban đầu trạng thái M-a, Nắng, Tuyết Hãy tìm phân bố xác suất sau ngày trạng thái M-a, Nắng, Tuyết Nếu hôm trời nắng, trạng thái thời tiết (M-a, Nắng, Tuyết) ngày có nhiều khả xảy nhất? Nếu hôm trời m-a, trung bình phải đợi để có nắng? 16 Xét mét xÝch Markov hót víi ma trËn chun 1 Π= 4 0 3 3 Xác định xác suất chuyển n, xác suất giới hạn thời gian trung bình để hệ thống dịch chuyển từ trạng thái sang trạng thái hút Phần II: Thống kê toán hồi quy bội Lm 50% s bi Giả thiết trọng l-ợng gói đ-ờng đại l-ợng ngẫu nhiên có phân bè chn víi ®é lƯch chn b»ng σ = 0, 05 Chọn ngẫu nhiên 30 gói đ-ờng tính trọng l-ợng trung bình chúng X = 0, 98 Hãy tìm khoảng tin cậy cho trọng l-ợng trung bình gói đ-ờng với độ tin cậy 95% Cho mẫu ngẫu nhiên sau đại l-ợng ngẫu nhiên cã ph©n bè chuÈn: 4, 7; 3, 01; 4, 65; 3, 52; 3; 3, 26; 3, 1; 3, 41; 5, 64; 2, 97 4, 89; 4, 55; 4, 89; 2, 72; 4, 57; 3, 94; 3, 61; 6, 22; 3, 02; 2, 47 Hãy tìm khoảng tin cậy với độ tin cậy 98% cho kì vọng đại l-ợng ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên sau có phân bố chuẩn Giá trị X 6.9 7.2 - 7.8 Số lÇn ni 14 7.8 - 8.4 8.4 - 9.0 - 9.6 9.6 - 10.2 (a) Với độ tin cậy 94%, tìm khoảng tin cậy cho kì vọng EX đại l-ợng ngẫu nhiên đó, biết ph-ơng sai cho = (b) Tr-ờng hợp ph-ơng sai ch-a biết, với độ tin cậy 94%, tìm khoảng tin cậy cho EX Tr-ớc ngày bầu cử, thăm dò d- luận qua 500 cư tri cho thÊy sè ng-êi đng øng cử viên A 245 Tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ phiếu bầu cho ứng cử viên A với ®é tin cËy 90% Së gi¸o dơc mét tØnh nä b¸o c¸o: tØ lƯ häc sinh tèt nghiƯp phỉ thông trung học tỉnh 88% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 học sinh, số có 340 em đỗ tốt nghiệp Với mức ý nghĩa 5% kiểm định báo cáo họ có cao không? L-ợng xăng tiêu thụ loại xe máy (trên quãng đ-ờng 100km) đại l-ợng ngẫu nhiên có phân bè chn víi ®é lƯch chn σ = 0, Bảng sau cho biết l-ợng xăng tiêu thụ (tính theo lÝt) cđa 12 chiÕc xe m¸y STT L-ợng xăng tiêu thụ (X) 1,8 1,8 1,51 1,61 1,55 STT 10 11 12 L-ợng xăng tiêu thụ (X) 1,49 1,6 1,86 1,92 1,7 1,5 Hãy kiểm định giả thiết l-ợng xăng tiêu thơ trung b×nh (H) : m ≥ 1, víi ®èi thiÕt (K) : m < 1, Møc ý nghĩa kiểm định = 0, 05 Với mÉu ngÉu nhiªn cđa X ∈ N (m, σ2 ) cho tập Hãy kiểm định giả thiết (H): giá trị trung bình đại l-ợng ngẫu nhiên ®ã b»ng 4,4 víi ®èi thiÕt (K): m = 4, Cho mức ý nghĩa kiểm định = 0, 04 Đo chiều cao giống tuổi, kết đ-ợc ghi lại bảng sau ChiỊu cao cđa c©y