phương pháp tính nguyễn quốc lân c3 nội suy va bình phương cực tiểu sinhvienzone com

NGUYỄN QUỐC LÂN 04/2006 SinhVienZone.Com... NỘI DUNG --- 2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU 3- NỘI SUY NEWTON MỐC CÁCH ĐỀU 4- NỘI SUY GHÉP TRƠN SPLINE BẬC BA SinhVienZone

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506

CHƯƠNG 3

NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006)

SinhVienZone.Com

NỘI DUNG

-

2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE

5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU)

4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA

SinhVienZone.Com

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY

-

-x k : mốc nội suy, y k : giá trị (hàm) nội suy

Từ bảng này, nội suy giá trị y bảng tại điểm x = ?

Mốc nội suy x0 x1 … x =   xk  … xn-1 xnGiá trị nội suy y0 y1 … y = ? … yn-1 yn

Nội suy đa thức: Xác định đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(x k ) = y k , k = 0 … n  y bảng  P()

Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (x k , y k ) }, k = 0  n

SinhVienZone.Com

NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE

-

-Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(x k ,y k )} , k = 0  n

! đa thức L(x), bậc  n, thoả đ/kiện nội suy L(xk ) = y k , k = 0 … n

Cách 1: 3 mốc  n = 2  L(x) = ax 2 + bx + c (3 hệ số cần tìm)

Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(x k ,y k )} , k=02

Tại x = 3, y bảng ?

Mốc nội suy xk 2 2.5 4

Giá Trị nội suy yk 0.5 0.4 0.25

4 0 5

.

2

5 0 2

16

4 0 5

2 25

6

5 0 2

4

c b a

c b a

c b a

y  L(3) = 0.325

SinhVienZone.Com

VÍ DỤ SAI SỐ

a

x x

x x

n

x f

x L x

! 1

max )

( )

144 , 100

) 3 (

3 max )

( max

b a

 115   L  115  

! 3

1

Kết quả: Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên!

Ước lượng sai số của việc xấp xỉ giá trị bằng đa thức nội suy Lagrange bậc hai hàm y = xây dựng tại các mốc x 0 = 100, x 1 = 121, x 2 = 144 Yêu cầu: Làm tròn kết quả (sai số) đến chữ số lẻ thứ 4

115

x

SinhVienZone.Com

NHIỀU MỐC  ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ

Đa thức nội suy: L(x) = 0.5L 0 (x) + 0.4L 1 (x) + 0.25L 2 (x)

2

 x L

 2 2 5  2 4 

4 5

.

2 )

SinhVienZone.Com

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT

-

-(n+1) mốc  (n+1) đa thức nội suy cơ sở Đa thức nội suy

cơ sở L k (x) tại x k (k = 0 … n): L k (x k ) = 1, L k (x i ) = 0  i  k:

1

k

k k

x L x

L x

L x

L x

L

x L

x x

x x

x

x x

L

n k

k k

k k

k

n k

(

1 1

0

1 1

( )

( )

Ưu điểm: Công thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x) Chỉ phụ thuộc bộ mốc {x k } (0  k  n), không phụ thuộc y k

SinhVienZone.Com

L

 ) 5 3 (

4 5 3 3 5 3 1 5

3 5

3

1

L

8 ) ( 7 ) ( 5 )

Viết biểu thức L k (x) (Không tính!) Thay x  Giá trị

SinhVienZone.Com

NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU

-

-Bảng {(x k ,y k )} , k = 0  n, mốc nội suy cách đều: x 0 , x 1

= x 0 + h, x 2 = x 1 + h … x n = x n-1 + h Lập bảng sai phân :

SinhVienZone.Com

ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

!

) 1 (

) 1 (

! 2

1

y n

n t

t

t y

t

t y

t y

! 2

1

y n

n t

t y

t

t y

t y

x

n n

Đa thức theo t & Sai phân nằm trên đường chéo tiến

Sai phân nằm trên đường chéo lùi (từ cuối bảng đi lên)

SinhVienZone.Com

VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON

VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON

-

-Tất cả sai phân: Nội suy Newton  Lagrange!

Đa thức nội suy tiến: x  15

! 3

2

1 0006

0 2

1 0026

0 0832

0 2588

0 )

2

1 0003

0 2

1 0057

0 0532

0 8192

0 )

SinhVienZone.Com

HIỆN TƯỢNG RUNGE

-Nội suy hàm f(x) = 1/(1+ 25x 2 ), x  [-1, 1] bằng đa

thức nội suy, 5 mốc cách đều Tính L(0.95), so sánh

giá trị tính được với giá trị chính xác f(0.95)

Lập bảng nội suy: 5 mốc cách đều trên [–1, 1] 

x 0 = –1, x 1 = –0.5, x 2 = 0, x 3 = 0.5, x 4 = 1 & y k = f(x k )

038

0 0.138 1 0 138 0 038

Giá trị L(0.95) = Giá trị chính xác f(0.95) = 0.04

KẾT QUẢ

-

-So sánh đồ thị hàm ban đầu f(x) và đa thức nội suy P 4 (x)

Tăng số nút có thể khiến sai số tăng!

SinhVienZone.Com

NỘI SUY GHÉP TRƠN

k = 0 … n – 1

SinhVienZone.Com

Ý TƯỞNG NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3

1

 x S

0

1 1 1

0

1 1 1

0

' ' '

' '

x S

x S

x S

x S

x S x

XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3

2 , 1 ,

3 1

2 1 1

1 1

3 0

2 0 0

0 0

x x

d x

c x b a

x S

x x d x

c x b a

x S x

2

2 , 1 ,

1

0 0

0

x x

b a

x S

x x

b a

x S x

NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3

-

-1/ Hàm dạng bậc 3 trên từng đoạn [x k ,x k+1 ], k = 0  n –1

2/ Điều kiện nội suy: S(x k ) = y k , k = 0, 1 … n

x x d x

x c x

x b a

S

x x x

x x d x

x c x

x b a

S

S

, ,

, ,

, ,

1

2 1 1

1 1

1 1

2 1

3 1 1

2 1 1

1 1

1 1

1 0

3 0 0

2 0 0

0 0

0 0







SinhVienZone.Com

GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC 3

-

-I/ Độ dài h k = x k+1 – x k , k = 0 … n –1 Hệ số a k = y k , k = 0 … n Bước III: II/ c = [c 0 , … c n ] T là nghiệm (c n = S’’(x n )/2) hệ Ac = e với                           1 0

0 ) ( 2 0

0 ) ( 2 0 0 0 ) ( 2 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 n n n n h h h h h h h h h h h h A                                                  0 ) ( 3 ) ( 3

) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0 0 1 1 1 2 n n n n n n h a a h a a h a a h a a h a a h a a e 1

0 ,

3

) 2

h

a

a

k

k k

k

1 0

,

SinhVienZone.Com

VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3

-

-Lập hàm nội suy spline bậc 3 g(x) thoả điều kiện biên

tự nhiên và nội suy bảng sau

2 1

h

Mốc NS x0 = 1 x1 = 2 x2 = 3 x3 = 4 Giá trị NS y0 = 2 y1 = 1 y2 = 3 y3 = 2

BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3

0 0

1 0

c c

h a

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT)

Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(x k , y k )} theo nghĩa BPCT

SinhVienZone.Com

TRƯỜNG HỢP TUYẾN TÍNH

a F

k

k n

k

k

y nb

x a

y x x

b x

a

1 1

1 1

1 2

Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn tìm a, b So với đường cong y

= h 1 (x)  Tổng S =  (h 1 (x k ) – y k ) 2 : càng bé càng tốt

VD: Tìm hàm bậc 1 xấp xỉ bảng sau theo nghĩa BPCT

y 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13 15.6

SinhVienZone.Com

ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO

ax c

b a F

1

2 2

, ,

c F b F a F

x a

c b

x a

c b

x a

Tổng quát: Điểm dừng hàm tổng bình phương độ lệch

n

k k

ax b

a F

2 2

F

SinhVienZone.Com

y = h(x) = be ax  lny = ax + lnb  Tương quan bậc 1

giữa lny k & x k Lập bảng {(x k , lny k )} xác định a & lnb.

a F

1

2

ln ln

x a

x b

x a

k

k

ln ln

1

1 1