phương pháp tính nguyễn quốc lân c3 nội suy va bình phương cực tiểu sinhvienzone com

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK om - ne C PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 0506 Zo CHƯƠNG nh Vi en NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU TS NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006) Si • SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn NOÄI DUNG - C om 1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE Zo ne 2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE nh Vi en 3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU) 4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA Si 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY x0 x1 … x =   xk  … xn-1 xn Giá trò nội suy y0 y1 … … yn-1 yn ne Mốc nội suy C om Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp liệu { (xk, yk) }, k =  n y=? nh Vi en Zo xk : mốc nội suy, yk : giá trò (hàm) nội suy Từ bảng này, nội suy giá trò ybảng điểm x = ? Si Nội suy đa thức: Xác đònh đa thức y = P(x) thoả điều kiện noäi suy P(xk) = yk, k = … n  ybảng  P() SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE om Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(xk,yk)} , k =  n C ! ña thức L(x), bậc  n, thoả đ/kiện nội suy L(xk) = yk, k = … n Zo ne Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng liệu: {(xk,yk)} , k=02 Giá Trò nội suy yk 0.5 nh Vi en Mốc nội suy xk 2.5 0.4 0.25 Tại x = 3, ybảng ? Cách 1: moác  n =  L(x) = ax2 + bx + c (3 hệ số cần tìm)  a  b  c     25 a  b  c   16 a  b  c  25  Si  L      L     L    25  SinhVienZone.com ybảng  L(3) = 0.325 https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DỤ SAI SỐ - f (x)  L(x)   n 1 x  x  x    x  x n    Noäi om  a ,b  f  n  ! C Sai số: max ne Ước lượng sai số việc xấp xỉ giá trò Zo nội suy Lagrange bậc hai hàm y = suy x đa thức 115 xây dựng x nh Vi en moác x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144 Yêu cầu: Làm tròn kết (sai số) đến chữ số lẻ thứ f 115 f x  x  M  max Si Giaûi:  a ,b    L 115   M  f (3) ( x )  max  115  100 100 , 144 8 5 x 115  121 115  144  3! Kết quả: SinhVienZone.com Nhắc lại: Sai số: làm tròn lên! https://fb.com/sinhvienzonevn NHIỀU MỐC  ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ Moác NS 2.5 Giá Trò NS 0.5 0.4 C om Đa thức nội suy sở xk: Lk(xk) = 1, Lk(xi) =  i  k ÑTNSCS L0(x) ÑTNSCS L1(x)  x   x        Si L1  x   ne Zo 0 0 nh Vi en ÑTNSCS L2(x) 0.25 L2 x   mốc  ĐT NSCS L0 ( x )   x   x        L2 x   x   x   Lx L1  x       L0 x  Đa thức nội suy: L(x) = 0.5L0(x) + 0.4L1(x) + 0.25L2(x) Thiết lập công thức tổng quát với (n + 1) mốc {(xk, yk)}? SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn CÔNG THỨC TỔNG QUÁT (n+1) mốc  (n+1) đa thức nội suy sở Đa thức nội suy ne C 1   L k  x1     L k  x k 1   L k  x k 1     L k  x n   Zo  Lk xk   Lk x0 om sở Lk(x) xk (k = … n): Lk(xk) = 1, Lk(xi) =  i  k: nh Vi en Lk (x)   x  x    x  x k   x  x k     x  x n   x k  x    x k  x k   x k  x k     x k  x n  ,0  k  n Si  Đa thức nội suy L ( x )  y L ( x )  y L ( x )    y n L n ( x ) Ưu điểm: Công thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x) Chỉ phụ thuộc mốc {xk} (0  k  n), không phụ thuộc yk SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DUÏ - om Bảng mốc 1, 2, 3, ; giá trò 5, 7, 8, Viết biểu thức ne 1  1  1    L    0625 L1 3   nh Vi en Zo L0 x    x   x   x   C đa thức nội suy sở Tính giá trò bảng x = 3.5?                L (3 )  L (3 )  Si L ( x )  L ( x )  L ( x )  L  x   L ( x )  L    4375 Viết biểu thức Lk(x) (Không tính!) Thay x  Giá trò SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU Bảng {(xk,yk)} , k =  n, mốc nội suy cách đều: x0, x1 Gtrò NS x0 y0 x1 y1 x2 x3 C Moác NS nh Vi en om = x0 + h, x2 = x1 + h … xn = xn-1 + h Lập bảng sai phân :  yk  yk Zo ne yk y0 y2  y1 y3 y2  y0  y0  y1 VD: Baûng sai xk yk Ví dụ: y0 = y1 – y0 phân mốc Si Caáp 1: yk = yk+1 – yk 2yk = yk+1 – yk … SinhVienZone.com (cách đều) https://fb.com/sinhvienzonevn y 2y ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON - h t t   2!  y0    t ( t  1)  ( t  n  1) n! n  y0 Zo N  x   y  t y  C  x = x0 +th  Đa thức nội suy tiến: ne t  x  x0 om Đa thức nội suy Newton tiến: x x0 (đầu bảng) nh Vi en Đa thức theo t & Sai phân nằm đường chéo tiến Đa thức nội suy Newton lùi: x  xn (cuối bảng) h  x = xn + th  Đa thức nội suy luøi: Si t  x  xn N  x   y n  t  y n 1  t t   2!  yn2    t  ( t  n  1) n! n  y0 Sai phân nằm đường chéo lùi (từ cuối bảng lên) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON Đa thức nội suy tieán: x  15 x  15  t   x  15  t om t t   C N ( t )  2588  0832 t  0026  0006 3! sin16 = 2756 Zo ne x = 16  t = 0.2  N1(0.2) = 2756 nh Vi en Đa thức nội suy lùi: x  55  t  N ( t )  8192  0532 t  0057 t  t   t   x  55  x  55  t t t    0003 t  t   t   3! Si x = 54  t = –0.2  N2(–0.2) = 0.80903 sin54 = 8090 Câu hỏi: Tính x = 54 với Nội suy tiến Nhận xét? Tất sai phân: Nội suy Newton  Lagrange! SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn HIỆN TƯNG RUNGE - Nội suy hàm f(x) = 1/(1+ 25x2), x  [-1, 1] đa om thức nội suy, mốc cách Tính L(0.95), so sánh ne C giá trò tính với giá trò xác f(0.95) Zo Lập bảng nội suy: mốc cách [–1, 1]  nh Vi en x0 = –1, x1 = –0.5, x2 = 0, x3 = 0.5, x4 = & yk = f(xk) yk –1 Si xk 038 Giaù trò L(0.95) = SinhVienZone.com –0.5 0 138 0.5 138 038 Giá trò xác f(0.95) = 0.04 https://fb.com/sinhvienzonevn KẾT QUẢ Si nh Vi en Zo ne C om So sánh đồ thò hàm ban đầu f(x) đa thức nội suy P4(x) Tăng số nút khiến sai số tăng! SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn NỘI SUY GHÉP TRÔN - om Noäi suy Lagrange: Bậc lớn  Đồ thò phức tạp C Thay đa thức nh Vi en nội suy bậc Zo đa thức ne nội suy bậc n thấp (bậc 1, 2, …) Si đoạn [xk, xk+1], k=0…n–1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Ý TƯỞNG NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC - om ne S2 x nh Vi en Zo S0 x S1x  C S  x1   y1 S x0  Si S ' '0  x   y0  x , x1  SinhVienZone.com  S  x1   S  x1    S '  x   S '1  x    S ' '  x   S ' '1  x   x1 , x  https://fb.com/sinhvienzonevn x2 , x3  XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BAÄC - Tìm hàm bậc đoạn, liên tục có ñaïo 2 3 –4 C y Zo ne nh Vi en Hàm nội suy: x om hàm đến cấp nội suy bảng số liệu sau:  S  x   a  b x  c x  d x , x  1 ,  S x   S  x   a  b x  c x  d x , x  2 ,3   1 1 Si Dạng thuận tiện hơn:  S  x   a  b  x     , x  1 ,  S x    S  x   a  b1  x     , x   ,  SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BAÄC om 1/ Hàm dạng bậc đoạn [xk,xk+1], k =  n –1  S  a  b  x  x   c  x  x   d  x  x  , x   x , x1    S  a  b1  x  x   c  x  x   d  x  x  , x   x , x  S      S  a  b  x  x   c  x  x    , x   x n 1 , x n   n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 nh Vi en Zo ne C 2/ Điều kiện nội suy: S(xk) = yk, k = 0, … n Si 3/ Ghép trơn: S  x k 1   S k 1  x k 1   k   S k '  x k 1   S k 1 '  x k 1  k     S k "  x k 1   S k 1 "  x k 1  4/ Điều kiện biên tự nhiên: S’’(x0) = S’’(xn) = SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn n   GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC om I/ Độ dài hk = xk+1 – xk, k = … n –1 Hệ số ak = yk, k = … n C II/ c = [c0, … cn]T nghiệm (cn = S’’(xn)/2) hệ Ac = e với Si nh Vi en Zo ne 0    1   h ( h  h1 ) h1     0  h1 ( h1  h ) h  A     0  hn  2 ( hn   hn 1 ) hn 1      Bước III: bk  dk  SinhVienZone.com a k 1  a k hk c k 1  c k 3hk    ( a  a1 ) ( a1  a )   h1 h0        3(a3  a2 ) ( a  a1 )    h2 h1 e        ( a n 1  a n  )   ( a n  a n 1 )    hn 1 hn      h k ( c k  c k 1 ) , k  n  , k   n 1 https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC - om Laäp hàm nội suy spline bậc g(x) thoả điều kiện biên x0 = Giá trò NS y0 = x1 = x2 = x3 = y1 = y2 = y3 = nh Vi en Zo ne Mốc NS C tự nhiên nội suy baûng sau a  b  x    c  x    d  x   , x  1 ,    S   a  b1  x    c  x    d  x   , x   ,    a  b  x    c  x    d  x   , x  3 ,  2 2 Si Hàm spline Bước I: Độ dài bước chia Hệ số: h  h1  h  a k  y k ,  k   a  , a  1, a  , a  SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC - 1 ck 0 0 dk nh Vi en ek om bk C ak ne hk Zo k Si Bước II: c3 = g”(x3)/2  c = [c0, c1, c2, c3]T nghiệm III/ bk, dk,  k  2: SinhVienZone.com d0  c1  c h0  b0  a1  a h0  https://fb.com/sinhvienzonevn h  c  c1   BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU - C Tháng om Thực nghiệm: Thống kê lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thò Si nh Vi en Zo ne Lượng mưa 550 665 540 580 610 605 570 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn … PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT) - Nhiều liệu & yk có sai số: p đặt L(xk) = yk: vô nghóa! C om Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(xk, yk)} theo nghóa BPCT n  ne F   h ( x k )  y k hxk Si y  h(x) nh Vi en Zo k 1  SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn   yk TRƯỜNG HP TUYẾN TÍNH  F  a , b     ax om h tuyến tính: h(x) = ax + b n  k 1 ne C n n  n a x  b  xk   xk yk F   k    k 1 a k 1 k 1    n n F     a  x k  nb  b  yk   k 1 k 1 nh Vi en Zo Điểm dừng: k  b  yk Giải hệ phương trình ẩn tìm a, b So với đường cong y = h1(x)  Tổng S =  (h1(xk) – yk)2: bé tốt Si VD: Tìm hàm bậc xấp xỉ bảng sau theo nghóa BPCT xk yk 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 SinhVienZone.com 10 12.5 13 15.6 https://fb.com/sinhvienzonevn ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO + bx + c n  F a , b , c    ax om h(x) = ax2 k  bx k  c  yk  k 1  a  xk  b   c     k 1  n   a  xk  b   c     k 1 n  a x     k  b   nc  k 1 ne Zo nh Vi en Điểm dừng: F   a  F   b   F  c C n Si Tổng quát: Điểm dừng hàm tổng bình phương độ lệch h = ax2 + bx SinhVienZone.com n  F a , b    ax k 1 k  bx k  yk   F a https://fb.com/sinhvienzonevn  F b  HÀM MŨ y = h(x) = beax  lny = ax + lnb  Tương quan bậc om lnyk & xk Lập bảng {(xk, lnyk)} xác đònh a & lnb .C   ax k n n ne n F a , b    a  x k  ln b  x k    k 1 k 1   n a x k  n ln b     k 1  ln b  ln y k nh Vi en Zo k 1  k xk yk lnyk xk2 xklnyk 1.00 5.10 1.629 1.0000 1.629 1.25 5.79 1.756 1.5625 2.195 1.50 6.53 1.876 2.2500 2.814 phương cực 1.75 7.45 2.008 3.0625 3.514 tiểu 2.00 8.46 2.135 4.0000 4.270  7.50 9.404 11.875 14.422 VD: Xấp xỉ Si bảng số với p/pháp bình SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn ... - C om 1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE Zo ne 2- SAI SỐ NOÄI SUY LAGRANGE nh Vi en 3- NOÄI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU) 4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA Si 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU SinhVienZone.com... nh Vi en Zo xk : mốc nội suy, yk : giá trò (hàm) nội suy Từ bảng này, nội suy giá trò ybảng điểm x = ? Si Nội suy đa thức: Xác đònh đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(xk) = yk, k = …... TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY x0 x1 … x =   xk  … xn-1 xn Giá trò nội suy y0 y1 … … yn-1 yn ne Mốc nội suy C om Nội suy: Bảng chứa (n+1)