phương pháp tính nguyễn quốc lân c6 bổ sung parabolic sinhvienzone com

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK om - ne C PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG nh Vi en Zo BỔ SUNG PARABOLIC TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) Si • SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC - om Bài toán truyền nhiệt & đkiện biên + đk đầu u=0 nh Vi en Ω u=0 Δt Δx Si t Zo ne C ∂u ∂ u ( x, t ) − a ( x, t ) = f ( x, t ), < x < 1, t > ∂t ∂x u ( x,0) = u0 ( x), ≤ x ≤ u (0, t ) = u (1, t ) = 0, t > u0 ( x ) x Mieàn Ω = { (x,t) | ≤ x ≤ , t ≥ } Phân hoạch Ω : Lưới theo x độ dài Δx, theo t độ dài Δt ⇒ Các đường thẳng x = i Δx, t = k Δt Xấp xỉ ∂u/∂t, ∂u/ ∂x & ĐK biên, đầu ⇒ Giá trò u điểm chia SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN ne C om ⎧ ∂u ∂ 2u ⎪⎪ ∂t ( x, t ) − ∂x ( x, t ) = xt , < x < 1.5, t > ⎨ (0, t ) = u (1.5, t ) = 0, t > 0; u ( x,0) = x(1.5 − x ), ≤ x ≤ 1.5 ⎪u1 4444244443 144444244444 ⎪⎩ Điều Kiện Biên: x = & x =1.5 Điều Kiện Đầu: t = Zo Xây dựng công thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với t nh Vi en Δt = 0.2, Δx = 0.5 bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian ∂ u u Tieán: u u − 0.5 , ≈ ( ) 0.2 ∂t 0.2 0.5 − × 0.5 + 0.5 u (0 ) 0.5 ∂ 2u (0.5,0) ≈ 2 ∂ x ( ) x = x = 0.5 x = 1.0 x = 1.5 ∂u ∂ 2u u11 − 0.5 − 0.5 (0.5,0) − (0.5,0) = 0.5 × ⇒ − = ⇒ u = 0.1 ∂t ∂x 0.2 0.5 Si 1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn MINH HOAÏ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN LÙI ne C om ⎧ ∂u ∂ 2u ⎪⎪ ∂t ( x, t ) − ∂x ( x, t ) = xt , < x < 1.5, t > ⎨ , t ) = u (1.5, t ) = 0, t > 0; u ( x,0) = x(1.5 − x ), ≤ x ≤ 1.5 ⎪u1(04 444244443 144444244444 ⎪⎩ Điều Kiện Biên: x = & x =1.5 Điều Kiện Đầu: t = Zo Xây dựng công thức tính u(1) (mức thời gian 1) theo u(0) với t nh Vi en Δt = 0.2, Δx = 0.5 bởi: Sai phân lùi theo t từ mốc thời gian 1 ∂ u − u Luøi: u u , ≈ ( ) 0.2 ∂t − 0.2 u12 − 2u11 + u01 0.5 u (0 ) 0.5 ∂ 2u (0.5,0.2) ≈ 2 ∂ x ( ) x = x = 0.5 x = 1.0 x = 1.5 ∂u ∂ 2u 0.5 − u11 u12 − 2u11 (0.5,0.2) − (0.5,0.2) = 0.5 × 0.2 ⇒ − = 0.1 ∂t ∂x 0.5 − 0.2 Si 1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn PHÂN HOẠCH VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC - u12 Nuùt (iΔx, kΔt) ⇒ u(iΔx, kΔt)= uik nh Vi en u0 (0 ) u0 (Δx ) u0 (2Δx ) C u11 Ot (t > 0) : Caùc đoạn độ dài Δt ne u22 Zo u (0, Δt ) u12 om Ox: Các đoạn độ dài Δx = l/(n+1) Điều kiện biên: THUẦN NHẤT (u = 0) x = 0, x = l Si điều kiện ban đầu (t = 0): u0k = unk+1 = , k ≥ ; ui0 = u0 (iΔx ) = u0i , i = → n + 14442444 1444442444443 Điều Kiện Biên ( x = & x = l ) SinhVienZone.com Điều Kiện Ban Đầu ( t = ) https://fb.com/sinhvienzonevn SƠ ĐỒ SAI PHÂN VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC - u (1) , f (1) u11 Sai phaân (iΔx, kΔt ) u12 SinhVienZone.com = [ ] k k T f1 ,K , f n om , f u32 u31 ∂u ∂ u − a = f ( x, t ) ∂ x ∂t Biết u(0), f(k) ∀ k ≥ Giả sử biết u(k) ⇒ Cần tính u(k+1) ∂ u ∂u (i, k ) − a (i, k ) = f i k ∂ x ∂t uik +1 − uik ∂u (i, k ) = Δt ∂t uik+1 − 2uik + uik−1 ∂ 2u (i, k ) = ∂x (Δx )2 Si tieán: u22 nh Vi en u (0 ) , f (0 ) ] C u12 [ (k ) ne u (2 ) , f (2 ) = k k T u1 ,K , un Zo Ký hiệu: u (k ) ∂u k +1 Lùi: (i, k + 1) − K = f i ∂t (iΔx , (k + 1)Δt ) ∂u uik +1 − uik = ∂t Δt ∂ 2u uik++11 − 2uik +1 + uik−+11 = ∂x (Δx )2 https://fb.com/sinhvienzonevn HIỆN (TIẾN) – ẨN (LÙI) (ĐK BIÊN THUẦN NHẤT) om Bieát u(0),f(k) ∀k ≥ Giả sử biết u(k) Hiện: u ( k +1) = Au ( k ) + (Δt ) f ( k ) Zo ne C AÅn: Bu ( k +1) = u ( k ) + (Δt ) f ( k +1) Ma trận vuông B nh Vi en Ma trận vuông A a (Δt ) ⇒ Cần tính u(k+1) λ = (Δx) Si K K 0⎤ ⎡1 − 2λ λ K K ⎤ ⎡1 + 2λ − λ ⎢ λ − 2λ λ K 0⎥ ⎢ − λ + 2λ − λ K ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A=⎢ λ O O 0⎥ B = ⎢ − λ O O 0⎥ ⎥ ⎥ ⎢ M O O O O ⎢ M O O O O ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ K λ − 2λ ⎥⎦ − λ + 2λ ⎥⎦ ⎣⎢ K Tính trực tiếp: u(k) sang u(k+1) SinhVienZone.com Giải hệ p/trình: u(k) → u(k+1) https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DỤ (ĐIỀU KIỆN BIÊN THUẦN NHẤT) - C om ⎧ ∂u ∂ 2u ⎪ ( x, t ) − ( x, t ) = sin πxt , < x < 1, t > ⎨ ∂t ∂x ⎪u (0, t ) = u (1, t ) = 0, t > 0; u ( x,0) = sin πx,0 ≤ x ≤ ⎩ Zo ne Tính u t = 0.2 với Δt = 0.1, Δx = 0.25: a/ Sđồ b/ Sđồ ẩn nh Vi en f(x,t) = sin(πxt) , u0(x) = sin(πx) , a = ⇒ λ = 1.6 mốc ⇒ ma trận cấp Si a/ u(k+1) = A⋅u(k) + (Δt)⋅f(k) ⎤ ⎡− 2.2 1.6 A = ⎢ 1.6 − 2.2 1.6 ⎥ ⎢ ⎥ 1.6 − 2.2⎥⎦ ⎢⎣ SinhVienZone.com b/ B.u(k+1) = u(k) + (Δt)⋅f(k+1) = b(k+1) 0⎤ ⎡ 4.2 − 1.6 B = ⎢− 1.6 4.2 − 1.6⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1.6 4.2⎥⎦ https://fb.com/sinhvienzonevn KEÁT QUẢ TÍNH TOÁN a/ Sô đồ hiện: om f(x,t) = sin(πxt) , u0(x) = sin(πx) nh Vi en Zo ne C ⎤ ⎡0.707 ⎤ ⎡− 2.2 1.6 ⎡0 ⎤ u (1) = Au (0 ) + Δt ⋅ f (0 ) = ⎢ 1.6 − 2.2 1.6 ⎥ ⎢ ⎥ + 0.1 ⋅ ⎢0⎥ = K ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1.6 − 2.2⎥⎦ ⎢⎣0.707 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎤ ⎡0.045⎤ ⎡− 2.2 1.6 ⎡0.078⎤ u ( ) = Au (1) + Δt ⋅ f (1) = ⎢ 1.6 − 2.2 1.6 ⎥ ⎢0.062⎥ + 0.1 ⋅ ⎢0.156⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1.6 − 2.2⎥⎦ ⎢⎣0.045⎥⎦ ⎣⎢ ⎣⎢0.233⎥⎦ Si b/ Sơ đồ ẩn: Bu(1) = u(0) + Δt.f(1) ⇒ 0⎤ ⎡ 4.2 − 1.6 ⎡0.078⎤ ⎡0.715⎤ ⎡0.707 ⎤ ⎢− 1.6 4.2 − 1.6⎥u (1) = ⎢ ⎥ + 0.1⋅ ⎢0.156⎥ = ⎢1.016 ⎥ ⇒ u (1) ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0.707 ⎥⎦ ⎢⎣ − 1.6 4.2⎥⎦ ⎢⎣0.233⎥⎦ ⎢⎣0.730⎥⎦ SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn PARABOLIC – ÑK BIÊN HẰNG SỐ, KHÁC - om Bài toán truyền nhiệt & điều kiện biên khác + đk đầu u=β Ω Giá trò λ, ma trận A, B: không đổi nh Vi en t Zo ne C ∂ u ∂u ( x, t ) − a ( x, t ) = f ( x, t ), < x < 1, t > ∂x ∂t u (0, t ) = α & u (1, t ) = β , t > u ( x,0) = u0 ( x), ≤ x ≤ u =α Hieän: u ( k +1) = Au ( k ) + Δt ⋅ f ( k ) + λc AÅn: Bu ( k +1) = u ( k ) + Δt ⋅ f ( k +1) + λc Si Δt Δx u0 ( x ) SinhVienZone.com x Thêm vectơ c: c = [α , K 0, β ] : đầu α , β T https://fb.com/sinhvienzonevn PARABOLIC – ĐK BIÊN TỔNG QUÁT (THAY ĐỔI) - om BT truyền nhiệt & điều kiện biên tổng quát + đk đầu u=β Ω Giá trò λ, ma trận A, B: không đổi nh Vi en t Zo ne C ∂ u ∂u ( x, t ) − a ( x, t ) = f ( x, t ), < x < 1, t > ∂x ∂t u (0, t ) = α (t ) & u (1, t ) = β (t ), t > u ( x,0) = u0 ( x), ≤ x ≤ u =α Hieän: u ( k +1) = Au ( k ) + Δt ⋅ f ( k ) + λc ( k ) AÅn: Bu ( k +1) = u ( k ) + Δt ⋅ f ( k +1) + λc ( k ) Si Δt Δx u0 ( x ) SinhVienZone.com x Vectô c (k ) = [α , K 0, β (k ) ] (k ) T : giaù trò hàm biên α(t), β(t) mức thứ k https://fb.com/sinhvienzonevn ... (0.5,0.2) − (0.5,0.2) = 0.5 × 0.2 ⇒ − = 0.1 ∂t ∂x 0.5 − 0.2 Si 1 SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn PHAÂN HOẠCH VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC ... 1444442444443 Điều Kiện Bieân ( x = & x = l ) SinhVienZone. com Điều Kiện Ban Đầu ( t = ) https://fb .com/ sinhvienzonevn SƠ ĐỒ SAI PHÂN VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC ... O O O O ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ K λ − 2λ ⎥⎦ − λ + 2λ ⎥⎦ ⎣⎢ K Tính trực tiếp: u(k) sang u(k+1) SinhVienZone. com Giải hệ p/trình: u(k) → u(k+1) https://fb .com/ sinhvienzonevn VÍ DỤ (ĐIỀU KIỆN BIÊN THUẦN NHẤT)