Hướng dẫn giải tất cả các dạng toán khoảng cách qua từng ví dụ chi tiết. Áp dụng cho kỳ thi THPTQG
February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] CHUN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A LÝ DO CHỌN CHUN ĐỀ - Loại tốn tính khoảng cách hình học khơng gian loại tốn hay, đòi hỏi tư học sinh THPT thường gặp đề thi đại học - Nhằm giúp em có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo gợi cho em hướng giải tốt gặp dạng toán Bài viết giới thiệu với bạn số phương pháp giải tốn khoảng cách hình học không gian, với hi vọng giúp em học sinh khơng lúng túng gặp dạng tốn Nội dung chuyên đề bao gồm: + Phần I: Lý thuyết + Phần II: Bài tập Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ I Lý thuyết Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P MH , với H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng P { ( ) - Phƣơng pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phƣơng pháp chung: Muốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng Việc xác định hình chiếu điểm mặt phẳng ta thường dùng cách sau: Cách 1: Bước Tìm mặt phẳng Q chứa M vng góc với P Bước Xác định giao tuyến: d ( P ) (Q ) Bước Trong (Q) , dựng MH d ( H d ) ( P) (Q) d ( P) (Q) MH ( P) d ( M ;( P)) MH (Q) MH Cách 2: Nếu biết trước đường thẳng d ( P) ta dựng Mx d Khi H Mx (P ) hình chiếu vng góc M lên ( P ) d ( M ;( P )) MH February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] Cách 3: Dựa vào tính chất trục tam giác Cho ABC nằm P Nếu MA MB MC hình chiếu vng góc điểm M lên P tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC Khi đó: MO ( P ) d ( M ;( P)) MO 1.1 PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khoảng cách từ chân đƣờng cao tới mặt bên Bài tốn: Cho hình chóp có đỉnh S Hình chiếu vng góc S lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên ( SAB ) Bước Kẻ HI AB ( I AB ) Bước Kẻ HK SI ( K SI ) Khi đó: d ( H , ( SAB)) HK SH HI SH HI 2 Khoảng cách từ điểm mặt đáy tới mặt đứng (chứa đƣờng cao) Bài tốn: Cho hình chóp có đỉnh S Hình chiếu vng góc S lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt bên ( SHB ) Bước Kẻ AK HB ( K HB ) Bước AK HB AK (SHB) AK SH Khi đó: d ( A, ( SHB )) AK Giả sử ta ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( P ) mà không thực Đồng thời từ điểm B ta lại dựng trực tiếp khoảng cách tới ( P ) ta thực tính khoảng cách gián tiếp sau: Cách (Đổi điểm) Tính thơng qua tỉ số khoảng cách AB ( P) d ( A, ( P)) d ( B, ( P)) February 26, 2018 AB ( P) I [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] d ( A, ( P)) AI d ( B, ( P)) BI Cách (Đổi đỉnh) Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳngtrong nhiều trường hợp qui tốn thể tích khối đa diện Việc tính khoảng cách dựa vào cơng thức: h 3V : V , S , h thể tích, diện tích đáy chiều cao hình chóp S h V : V , S , h thể tích, diện tích đáy chiều cao hình lăng trụ S Phƣơng pháp áp dụng đƣợc trƣờng hợp sau: Giả sử qui tốn tìm khoảng cách tốn tìm chiều cao hình chóp (hoặc lăng trụ) Dĩ nhiên, chiều cao thường khơng tính trực tiếp cách sử dụng phương pháp thơng thường định lí Pytago, cơng thức lượng giác,… Tuy nhiên, khối đa diện lại dễ dàng tính thể tích diện tích đáy Như vậy, chiều cao xác định công thức đơn giản Khoảng cách từ đƣờng thẳng đến mặt phẳng song song với - Định nghĩa: Khoảng cách đƣờng thẳng a mặt phẳng ( P ) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng ( P ) - Kí hiệu: d(a, (P)) = d(M, (P)) , M điểm nằm a - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng ( P ) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song - Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng - Kí hiệu: d(( ),( ) ) = d(M,( ))=d(C,( )) , M điểm nằm ( ) C điểm thuộc ( ) - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] - Định nghĩa: Cho a, b hai đường thẳng chéo không gian Các điểm M, N MN a nằm đường thẳng a b cho Khi đó, MN gọi đoạn vng góc MN b chung a b Khoảng cách a b độ dài đoạn MN - Nhận xét Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đếnmặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại - Phƣơng pháp chung Cho a , b hai đường thẳng chéo Bước Tìm giao điểm I b mặt phẳng đáy Bước Qua I kẻ đường thẳng Ix song song với a Gọi ( ) mặt phẳng chứa b Ix a ( ) Bước d (a, b) d (a, ( )) d ( M , ( )) M điểm thuộc đường thẳng a Và ý a qua chân đường cao H ta chọn M H 2.1 PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN Phƣơng pháp a) Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Đường thẳng cắt hai đường thẳng a, b vng góc với đường gọi đường vng góc chung a b Đoạn thẳng MN gọi đoạn vng góc chung a b b) Một số hướng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo TH1: Khi a , b chéo a b - Bước Dựng mặt phẳng ( P ) chứa b vng góc với a M - Bước Trong ( P ) dựng MN b N - Bước Đoạn MN đoạn vuông góc chung a b d (a, b) MN TH2: Khi a , b chéo a b Mục tiêu: Chuyển khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ đường đến mặt phẳng - Bước Dựng mặt phẳng ( P ) chứa b song song với a - Bước { ( ) February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách mặt phẳng song song Bước 1: Dựng hai mặt phẳng ( P ) , (Q) cho a ( P ) (Q) (b) Bước 2: Khi d (a, b) d ((Q ), ( P )) d ( M , (Q )) II Bài tập vận dụng Cho hình chóp S.ABC có SA ( ABC ) , tam giác ABC vng C Tính khoảng cách từ B đến ( SAC ) biết AC 3a, AB 5a Hƣớng dẫn giải: BC SA BC (SAC ) BC AC d ( B, ( SAC )) BC AB AC 4a Cho hình chóp cách từ đến có đáy tam giác vng với , Khoảng Hƣớng dẫn giải: Kẻ BH AC ( H AC ) BH ( SAC ) d ( B, ( SAC )) BH AB.BC AB BC 2a 5 Cho hình chóp có đáy tam giác vuông Khoảng cách từ đến Hƣớng dẫn giải: Hƣớng dẫn giải: Kẻ AH SB ( H SB ) BC AB BC (SAB) BC AH SA BC vng góc với đáy, , February 26, 2018 [Chun đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học không gian] BC AH AH ( SBC ) AH SB SA AB d ( A, ( SBC )) AH Cho hình chóp SA2 AB 2, đơi vng góc, có Tính khoảng cách từ điểm diện tích tam giác đến mặt phẳng (SBC) Hƣớng dẫn giải: Kẻ AH vng góc với BC H Kẻ AK vng góc với SH K Khi d A, SBC AK AB Ta có BC = AC AC AB AH AC AB d ( A, (SBC ) AK a S a , SA SA AH SH SBC SH a 33 nên SH AH a a 330 33 có đáy ABC tâm giác vng cân C, cạnh huyền có độ dài 8𝑎 Gọi M trung Cho hình chóp điểm BC H trung điểm AM Biết Hƣớng dẫn giải: Kẻ BK BK SH AM AM ( ABC ) d ( B, ( SAM )) AB S AMB 8a AC S a 11 ABC BK SH BK ( SAM ) BK BC 4a BK AM 1 AC.BC 2 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng February 26, 2018 BK AC.BC AM 4a 10 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] 4a 10 d ( B, (SAM )) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ diểm A đến mặt phẳng (SBC) Hƣớng dẫn giải: Kẻ AI SB BC AB SA ( ABCD) SA BC AI AI SB SA SD AI AD BC ( SBC ) a 21; AI BC ( SAB) d ( A, ( SBC )) SA AB SA d ( A,( BC )) AI AB 4a 21 37 4a 21 37 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Khoảng cách hai đường thẳng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy, Hƣớng dẫn giải: Vì CD ( SAB ) d (CD, SB) d (CD, ( SAB)) d ( D, ( SAB)) Vì DA AB DA (SAB) d ( D,(SAB)) DA a DA SA Vậy d (CD , SB ) d (D ,(SAB )) a Cho tứ diện có cạnh Khoảng cách hai đường thẳng Hƣớng dẫn giải: Gọi M , N trung điểm AB CD Vì BCD ACD tam giác cạnh a AN CD a MN ( ABN ) Nên AN BN CD ( ABN ) CD MN (1) BN CD Mặt khác, AN BN ABN cân N February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] MN AB (2) Từ (1) (2) MN đoạn vng góc chung AB CD a a 2 a Do đó: d ( AB, CD) MN AN AM Vậy d ( AB, CD) a 2 có đáy hình chữ nhật với Cho hình chóp tạo với mặt phẳng đáy , cạnh góc vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng Hƣớng dẫn giải: Vì AB ( SCD) d ( AB, SC ) d ( AB, ( SCD)) d ( A, ( SCD)) Trong ( SAD ) , kẻ AH SD , ( H SD ) CD AD Vì CD (SAD) CD AH CD SA AH SD Vì AH ( SCD) d ( A,( SCD)) AH AH CD ̂ ̂ ̂ =600 Ta có: ̂ SA SA AB AB Xét SAB vng A , ta có: ̂= a Vậy d ( AB, SC) AH SA AD SA2 AD2 [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng 2a.a 4a2 3a2 a 21 vng góc với nhau, cắt theo giao tuyến đặt Lấy C , D thuộc Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) cho AC , BD vuông góc với Hƣớng dẫn giải: Lấy A , B thuộc February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] ( P) (Q) Ta có: ( P) (Q) AC (Q) AC BD AC ( P) AC Ta lại có: BD AB BD ( ABC ) (1) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống Vì ABC vng cân A nên AH AH BC a 2 Từ (1) suy AH BD AH ( BCD ) Do H chân đường cao hạ từ A lên ( BCD ) d ( A, ( BCD)) AH [Đề ĐH 2014 - Khối A & A1] Cho hình chóp có đáy a 2 hình vng cạnh a, trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp hình chiếu vng góc S mặt phẳng khoảng cách từ A đến mặt phẳng Hƣớng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB, suy SH Do SH SD HD Ta có SH ( ABCD ) DH SD2 a3 SH S ABCD 3 Gọi K hình chiếu vng góc H BD E hình chiếu vng góc H SK Ta có BD HK BD SH , nên BD ( SHK ) Suy ra: VS ABCD Suy BD Do HE HE Mà HE ( SBD) Ta có ̂ SK √ 1 SA.S ABCD 2a.a 3 HS HK a Suy HE 2 HS HK VS ABCD Do d ( A, ( SBD )) 2d ( H , ( SBD )) , a HE 2a ( AH AD2 ) a February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] [Đề THPT Quốc gia 2015] Cho hình chóp mặt phẳng , góc đường thẳng có đáy mặt phẳng hình vng cạnh a, SA vng góc với Hình chiếu vng góc S trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng Hƣớng dẫn giải ̂ Ta có ̂ Suy SA AC 2a 1 SA.S ABCD 2a.a a 3 Kẻ đường thẳng d qua B song song AC Gọi M hình chiếu vng góc A d ; H hình chiếu vng góc A SM Ta có SA BM , MA BM nên AH BM , suy VS ABCD AH ( SBM ) Tam giác SAM vng A , có đường cao AH , nên AH SA2 AM Vậy d ( AC, SB) AH 2a 10 a [ĐH-B13] Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh a, mặt bên mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp mặt phẳng Hƣớng dẫn giải a Mà ( SAB ) vng góc với ( ABCD ) theo giao tuyến AB nên Gọi H trung điểm AB, suy SH SH AB SH ( ABCD ) a3 SH S ABCD Do AB CD H AB nên d ( A, ( SCD )) Do VS ABCD d ( H , ( SCD )) Gọi K trung điểm CD I hình chiếu vng góc H SK Ta có: HK CD Mà SH CD CD ( SHK ) CD HI Do HI ( SCD) 10 tam giác nằm khoảng cách từ A đến February 26, 2018 Suy d ( A, ( SCD)) HI [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] SH HK SH HK 21 a [Đề ĐH 2012 – Khối A & A1] Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng 60° Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Hƣớng dẫn giải Ta có ̂ góc SC S.ABC , suy ̂ Gọi D trung điểm cạnh AB Ta có HD a a , CD= a a 21 , SH=HC.tan60 = 3 Kẻ Ax BC Gọi N K hình chiếu vng góc HC HD CD H Ax SN AH nên d ( SA, BC ) d ( B, ( SAN )) d ( H , ( SAN )) Ta có Ax ( SHN ) nên Ax HK Do đó: HK Ta có BC ( SAN ) BA Suy d ( H , ( SAN )) AH 2a , HN Vậy d ( SA, BC ) ( SAN ) HK AH sin 60 a SH HN , HK= SH HN a 42 12 a 42 [ĐHD12] Cho hình hộp đứng có đáy hình vng, tam giác vng cân, Tính thể tích tứ diện khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng theo a Hƣớng dẫn giải Tam giác A ' C a vuông cân A ABB ' C ' nên a a AA ' AC Do AB B ' C ' 2 1 a3 B ' C '.S ABB ' B ' C ' AB.BB ' 48 Gọi H chân đường cao kẻ từ A A ' AB VABB 'C ' 11 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] February 26, 2018 BC nên AH ( A ' BC ), ( BCD ') Do AH d ( A, ( BCD ')) Ta có: AH A ' B AH Hay AH Ta có AH AB A ' A2 a2 AH a 6 Do d ( A, ( BCD ')) [ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác có đáy hình thoi đường chéo AC = 4, SO vng góc với đáy ABCD, O giao điểm AC BD Gọi M trung điểm SC Tìm khoảng cách hai đường thẳng SA BM Hƣớng dẫn giải Ta có MO đường trung bình tam giác SAC SA MO SA (MBD) d ( SA, MB) d (SA, (MBD)) d ( S , ( MBD)) SC cắt mặt phẳng (MBD) trung điểm M SC nên d ( S , ( MBD)) d (C , ( MBD)) Gọi K chân đường vng góc hạ từ M xuống SA, đặt H CK MO BD SO , lại có ABCD hình thoi nên Ta có SO ( ABCD ) BD AC BD MO SA, CK ( SAC ) SA CH CH BD (1) MO (2) Từ (1), (2) suy H chân đường vng góc hạ từ C xuống (MBD) Từ SA CH SO CK Vậy d ( SA, MB) AO 2S ABC SA 3, S ABC 2.4 2 AC.SO 4.2 2 suy [ĐHA10] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) hai đường thẳng DM SC Hƣớng dẫn giải Ta có CDN DAM CN DM 12 Tính khoảng cách [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] February 26, 2018 Mặt khác SH Kẻ HK Ta có S SC CMD DM DM ( SCN ) HK DM d ( SC , DM ) S S S ABCD Mặt khác SCDM ADM CH DM CBM CH 1 19 2 CH SH 12a 2a HK d ( DM , SC ) 19 DM SC HK a2 2SCDM DM 2a HK 2a 19 [Đề thi thử ĐH_Trƣờng THPT Cao Thắng_2012] Cho hình chóp có đái đỉnh , trung điểm gọi , góc , hình chiếu vng góc tính khoảng cách từ trung điểm tam giác vuông cân lên thỏa mản đến Hƣớng dẫn giải BC AB AC 4a BC 2a BI a Kẻ BK vng góc với AH K BK ( SAH ) d ( B;( SAH )) BK Mà 1 2 BK BA BI 2a d ( B;( SAH )) BK a d ( E;( SAH )) ES d ( B;( SAH )) BS d ( E;( SAH )) a 2 Cho hình chóp đến mặt phẳng có Giả sử Hƣớng dẫn giải Dựng AD BC ( D C ) AH SD ( H SD ) Thật vậy, từ giả thuyết ta có CD SA , lại có CD AD 13 Tìm khoảng cách từ February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian] (do dựng) CD ( SAD ) AH CD , mà AH SD AH ( SCD ) H chân đường vng góc hạ từ A lên ( SBC ) Ta có AD AB sin ABD 2a sin 60 a AH đường cao tam giác SAD vuông A nên: 1 1 2 2 2 AH AS AD 9a 3a 9a AH 3a 3a Vậy d ( A; SBC ) AH 2 [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác vng có Gọi trung điểm Tính khoảng cách hai đường thẳng , cạnh bên Hƣớng dẫn giải Lấy N trung điểm BB ' , ta có MN đường trung bình tam giác B ' BC B ' C MN B ' C ( AMN ) Do d ( B ' C ; AM ) d ( B ' C ;( AMN )) d ( B ';( AMN )) Lại có BB ' cắt ( AMN ) N trung điểm BB ' nên d ( B ';( AMN )) d ( B;( AMN )) Hình chóp B.AMN có BA, BM , BN đơi vng góc nên 1 1 a d ( B;( AMN )) 2 d ( B;( AMN )) BA BM BN a a a a Vậy d ( B ' C; AM ) a 14 ... khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng ( P ) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song - Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách. .. Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo February 26, 2018 [Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách hình... dựng trực tiếp khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( P ) mà không thực Đồng thời từ điểm B ta lại dựng trực tiếp khoảng cách tới ( P ) ta thực tính khoảng cách gián tiếp sau: Cách (Đổi điểm)