CHUYÊN-ĐỀ-TỔ-HỢP BẤT BIẾN ĐƠN BIẾN

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP BẤT BIẾN VÀ ĐƠN BIẾN Nhóm Giáo viên hướng dẫn Niên khóa: 2017-2018 BẤT BIẾN  Bất biến đại lượng định tính hay tính chất quan hệ phần tử tập hợp mà không thay đổi với biến đổi  Định nghĩa: Cho Ω tập hợp trạng thái T tập hợp phép biến đổi từ Ω vào Ω Hàm số f: Ω → R gọi bất biến tập trạng thái Ω tập phép biến đổi T Ví dụ: Xét tổng S = a+b+c ta thay đổi a, b, c theo hốn vị rõ ràng S không đổi, nghĩa S bất biến f(t(ω)) = f(ω) ∀ω ∈ Ω, ∀ t ∈ T MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 2014, sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số tổng hai số xóa, việc làm thực liên tục số bảng Hỏi số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Vì lần thực trò chơi ta thay hai số tổng chúng bảng nên tổng số bảng không thay đổi thời điểm Vậy, đại lượng khơng đổi (đại lượng bất biến) tốn tổng số bảng Mà tổng số ban đầu 2014 + + +… + 2014 = ∑ (=n ) n =1 Nên suy số cuối 2029105 ( + 2014 ) × 2014 = 2029105 Ví dụ 2: Bàn cờ vua x bị hai ô góc đối diện Hỏi lát phần lại bàn cờ quân Domino x không? Lời giải  Mỗi quân Domino (2 x 1) lát vào bàn cờ chiếm ô trắng đen Do đó, lát phần lại bàn cờ số trắng = số ô đen  Nhưng hai ô hai góc đối diện bàn cờ hai màu nên phần lại số màu trắng số ô màu đen Vậy không lát phần lại bàn cờ quân Domino (2 x 1) Bất biến hiệu số số ô trắng số ô đen bàn cờ ⇒ ≠ Ví dụ 3: Trên bảng, người ta viết 2008 dấu (+) 2009 dấu (−) Giả sử lần, hai dấu bị xóa viết thay dấu (+) chúng giống thay dấu (−) chúng khác Sau thực 4016 lần vậy, dấu lại bảng Lời giải:    Thay dấu (+) số 1, thay dấu (−) số −1 Khi lần thực cách làm theo đề mơ tả dạng sau: hai số xóa thay tích chúng Như thời điểm thực tích số bảng khơng thay đổi Ban đầu tích số bảng −1 nên cuối tích số bảng −1  Vậy dấu lại bảng dấu (−) Đại lượng bất biến tích tất số bảng ĐƠN BIẾN  Đơn biến (còn gọi bất biến đơn điệu) đại lượng mà ln tăng ln giảm q trình biến đổi Sau định nghĩa chặt chẽ đơn biến  Định nghĩa: Cho Ω tập hợp trạng thái T tập hợp phép biến đổi từ Ω vào Ω Hàm số f: Ω →N gọi đơn biến tập trạng thái Ω tập phép biến đổi T f •   f(t(ω)) f(ω) ∀ω ∈ Ω, ∀ t ∈ T Chú ý dấu đơi thay dấu >, ≥, ≤ Ngoài ra, tập đích N thay tập hợp có thứ tự tốt • Đơn biến sử dụng việc chứng minh q trình dừng Ví dụ: Xét số ngun dương (a, b, c) Phép biến đổi T biến (a, b, c) thành (|b– c|, |c–a|, |a – b|) Khi chứng minh hàm số S(a, b, c) = a + b + c hàm không tăng, tức đơn biến phép biến đổi T MỘT SỐ VÍ DỤ VD1: Cho số nguyên không âm a, b, c Mỗi lần thực hiện, ta biến (a, b, c) thành (|b – c|, |c – a|, |a – b|) Chứng minh sau số hữu hạn phép biến đổi, ta thu có chứa số Lời giải:   Đặt M = max{a,b,c} Ta chứng minh (a, b, c) không chứa số M giảm sau thực phép biến đổi Thật vậy, khơng tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥c Khi ta có |b – c| < b ≤ a, | c- a| < a, | a – b| < a, suy max(|b – c|, |c – a|, |a – b|) < a = max(a, b, c) Như vậy, ta chưa thu số M nhỏ đơn vị (do tính chất số ngun)  Q trình khơng thể kéo dài vơ hạn Vì thế, chắn phải có lúc xuất số Ví dụ 2: Trong quốc hội Mỹ, nghị sĩ có khơng q kẻ thù (nếu A kẻ thù B B kẻ thù A) Chứng minh chia quốc hội thành viện cho viện, nghị sĩ có khơng q kẻ thù   Lời giải:  Trước tiên ta chia quốc hội thành viện (V1) (V2) Ta tìm cách chuyển nghị sĩ cho số đối thủ nghị sĩ viện giảm  Xét nghị sĩ A, A có khơng q đối thủ viện ta để yên A có khơng hai đối thủ viện ta chuyển A sang viện lại Gọi S(n) số cặp đối thủ viện sau lần chuyển n Do nghị sĩ khơng có q ba đối thủ nên S(n+1)