CHUYÊN đề KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ( PHẦN i)

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ( PHẦN I) A Cơ sở lí thuyết phương pháp giải Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O ∆ Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ Kí hiệu d (O, ∆) * Nhận xét - ∀M ∈ ∆, OM ≥ d (O, ∆ ) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ta + Xác định hình chiếu H O ∆ tính OH + Áp dụng công thức Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu O (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d (O,(α )) * Nhận xét - ∀M ∈ (α ), OM ≥ d (O,(α )) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) ta sử dụng cách sau: Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O (α) tính OH * Phương pháp chung - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vuông góc với (α) - Tìm giao tuyến ∆ (P) (α) - Kẻ OH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ) Khi d (O,(α )) = OH Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy chân đường vuông góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy Cách Sử dụng công thức thể tích Thể tích khối chóp V = 3V S h ⇔ h = Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh S hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S Cách Sử dụng phép trượt đỉnh Ý tưởng phương pháp là: cách trượt đỉnh O đường thẳng đến vị trí thuận lợi O ' , ta quy việc tính d (O,(α )) việc tính d (O ',(α )) Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) M, N ∈ ∆ d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) d ( M ;(α )) MI = d ( N ;(α )) NI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn d ( N ;(α )) I trung điểm MN d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) Đặc biệt, M trung điểm NI d ( M ;(α )) = Cách Sử dụng tính chất tứ diện vuông Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính công thức OH = OA + OB + OC Cách Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng công thức sau: Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M ;(α )) = với M ( x0 ; y0 ; z0 ) , (α ) : Ax + By + Cz + D = A2 + B + C uuur r MA ∧ u r d ( M , ∆) = r với ∆ đường thẳng qua A có vectơ phương u u r ur uuur u ∧ u ' AA ' ur d (∆, ∆ ') = r ur với ∆ ' đường thẳng qua A ' có vtcp u ' u ∧u' Cách Sử dụng phương pháp vectơ Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với Cho điểm đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm ∆ đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d (∆,(α )) * Nhận xét - ∀M ∈ ∆, N ∈ (α ), MN ≥ d ( ∆,(α )) - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d ((α );( β )) * Nhận xét - ∀M ∈ (α ), N ∈ ( β ), MN ≥ d ((α );( β )) - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng ∆ cắt a b đồng thời vuông góc với a b gọi đường vuông góc chung a b Đường vuông góc chung ∆ cắt a H cắt b K độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d ( a , b) * Nhận xét TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn - ∀M ∈ a, N ∈ b, MN ≥ d (a, b) Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm sau: + Tìm H K từ suy d (a, b) = HK + Tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi d (a, b) = d (b,( P )) + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi d (a, b) = d (( P ),(Q )) + Sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt - Nếu a ⊥ b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vuông góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d (a, b) = IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vuông góc chung AB CD B Các ví dụ minh họa I) Phương pháp tính trực tiếp Ví dụ · Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD = 600 , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Lời giải S a) Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK ) Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH Ta có ∆ABD ⇒ BD = a ⇒ BO = Trong tam giác vuông OBC có: F a ; AC = a 1 13 a 39 = + = ⇔ OK = 2 OK OB OC 3a 13 E Trong tam giác vuông SOK có: B D 1 16 a = + = ⇔ OH = 2 OH OS OK 3a a Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH = b) Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) Kẻ EF / / OH ( F ∈ SK ) Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH = Ví dụ (Đề thi Đại học khối A năm 2010) H A a B D K O C TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Lời giải · Ta có: ∆MAD = ∆NCD ⇒ ·ADM = DCN ⇒ MD ⊥ NC Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MD ⊥ SH MD ⊥ ( SHC ) Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) S Suy HK đoạn vuông góc chung DM SC nên d ( DM , SC ) = HK Ta có: CD 2a HC = = CN SH ×HC 3a HK = = × 19 SH + HC 2 3a Vậy d ( DM , SC ) = 19 K N A D H M B C II) Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP dễ dàng Vậy ta nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) việc tính thể tích khối chóp nói trên, khoảng cách từ P S đến (AMN) thay khoảng cách từ C đến (SAB) Lời giải Gọi O tâm hình vuông ABCD, SO ⊥ (ABCD) M, N trung điểm SA SB nên 1 a2 S AMN = S ANS = S ABS = 16 PC / /( AMN ) ⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = d ( (C ,( AMN )) ) M N D P C A Vậy: O B TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 1 VP AMN = S AMN d ( ( P,( AMN )) ) = S ABS d ( (C ,( AMN )) ) 3 1 1 = VC ABS = VS ABC = S ABC SO S ABC = a , SO = SA2 − AO = a 4 2 3V 1 a a ⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = PAMN = a Vậy VAMNP = a = S AMN 12 2 48 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK) Phân tích Khối chóp AOHK ASBD có chung đỉnh, đáy nằm mặt phẳng nên ta tính thể tích khối chóp OAHK, tam giác AHK cân nên ta tính diện tích Lời giải Cách 1: VOAHK = S AHK d ( O; ( AHK ) ) S Trong đó: 1 a ; = + = ⇒ AH = AH AB AS 2a a ∆SAD = ∆SAB ⇒ AK = AH = + Ta có HK BD đồng phẳng vuông góc với SC nên HK // BD AI cắt SO G trọng tâm tam giác SAC, G thuộc HK nên G J I K D H A O C B HK SG 2 2a Tam = = ⇒ HK = BD = BD SO 3 giác AHK cân tai A, G trung điểm HK nên AG 2 1 2a AI = SC = 2a = 3 3 1 2a 2a 2a S AHK = AG.HK = = 2 3 1 +VOAHK = VAOHK = d ( A; ( OHK ) ) S ∆OHK = d ( A; ( SBD ) ) S ∆OHK = h.S ∆OHK 3 AG = Tứ diện ASBD vuông A nên: 1 1 a 10 = + + = ⇒ h = h AS AB AD 2a Tam giác OHK cân O nên có diện tích S 1 a 10 2a 5a 2a S = OG.HK = = ⇒ VOAHK = Sh = 2 27 ⊥ HK TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn ⇒ d ( O; ( AHK ) ) = 3VOAHK S AHK 2a 27 = a = 2 2a 3× Cách 2: Ta chứng minh VOAHK = VSABD BD; OG = SO 3 1 2 ⇒ SOHK = HK ×OG = × BD ×SO = S SBD 2 9 2 1 a3 ⇒ VAOHK = VSABD = × SA × AB ×AD = 9 27 Ta có: HK = Cách 3: Giải phương pháp tọa độ sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O ≡ A, B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; ; a )  2a a   2a a   a a  ; ÷, K  ;0; ÷, O  ; ;0 ÷ 3 3     2   uuur uuur  uuur AH , AK  AO Áp dụng công thức V = 6 Tính SH, SK suy tọa độ H  0; Cách 4: SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) xác định theo phương SC * AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒AH ⊥ SC Tương tự AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK) * Giả sử (AHK) cắt SC I, gọi J trung điểm AI, OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK) SA = AC = a ⇒ ∆SAC cân A ⇒ I trung điểm SC Vậy OJ = 1 a IC = SC = 2a = 4 III) Phương pháp trượt Ví dụ (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Phân tích Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 vị trí thuận lợi C quy việc tính d ( B1 ; ( A1 BD ) ) thành tính d ( C ; ( A1 BD ) ) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bài giải * Gọi O giao điểm AC BD B1 C1 ⇒ AO ⊥ ( ABCD ) Gọi E trung điểm AD ⇒ OE ⊥ AD & A1E ⊥ AD ⇒ ·A EO = 600 A1 D1 a AO = OE.tan ·A1 EO = 2 S ABCD = a 3a Vlt = AO S ABCD = B C K O H * Tính d ( B1 ; ( A1 BD ) ) : A E D Cách 1: Do B1C // (A1BD) ⇒ d ( B1 ; ( A1BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) ( ) Hạ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ ( A1BD ) ⇒ d C ; ( A1 BD ) = CH = Cách 2: d ( B1; ( A1 BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) = d ( A; ( A1BD ) ) = CB.CD CB + CD = a 3VA ABD S A BD 1 a 1 a a2 S∆A BD = AO BD = × ×2a = 2 2 a 3× a ⇒ d ( B1 ; ( A1BD ) ) = = a Trong đó: VA1 ABD = Vlt = Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O có cạnh a, SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) ( ) ( ) Phân tích: Do OA ∩ ( SBC ) = C , nên thay việc tính d O, ( SBC ) ta tính d A, ( SBC ) , ( ) ( tương tự ta quy việc tính d G , ( SAC ) thông qua việc tính d E , ( SAC ) d ( B, ( SAC ) ) ) hay TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Lời giải a) Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C nên: d ( O, ( SBC ) ) d ( A, ( SBC ) ) = OC = AC S ⇔ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) Gọi H hình chiếu A SB ta có:  AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC )  AH ⊥ BC  G H Trong tam giác vuông SAB có: A D F 1 a = + = ⇔ AH = AH SA2 AB 3a 2 1 a ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH = 2 E O C B b) Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB d ( G, ( SAC ) ) Do EG ∩ ( SAB ) = S nên d ( E , ( SAC ) ) = GS 2 = ⇔ d ( G, ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) ES 3  BO ⊥ AC ⇒ BO ⊥ ( SAC ) ; BE ∩ ( SAC ) = A BO ⊥ SA  Ta có:  a a 1 a ⇒ d ( G, ( SAC ) ) = × = ⇒ d ( E , ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) ) = BO = 2 IV) Phương pháp sử dụng tính chất tứ diện vuông Định nghĩa Tứ diện vuông tứ diện có đỉnh mà ba góc phẳng đỉnh góc vuông Tính chất Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính công thức OH = OA2 + OB + OC A Chứng minh Giả sử AH ∩ BC = D , OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH ⊥ BC (1) OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ OD Trong tam giác vuông OAD OBC ta có OH = + , = OA2 OD OD OB 1 1 = + + Vì OH OA2 OB OC + H O OC C D B TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Mục tiêu phương pháp sử dụng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ đỉnh tam diện vuông đến mặt huyền áp dụng tính chất Ví dụ Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA ' BB ' Tính khoảng cách B ' M CN Phân tích Để tính khoảng cách B ' M CN ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với B ' M , dùng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách tứ diện vuông Lời giải Gọi O, D trung điểm BC CN OACD diện vuông O AMB ' N hình bình hành ⇒ NA / / B ' M Mặt phẳng (ACN) chứa CN song song B ' M nên A' C' ta B' M D N tứ C A với O B d ( B ' M , CN ) = d ( B ' M ,( ACN )) = d ( B ',( ACN )) = d ( B,( ACN )) = 2d (O,( ACD )) = 2h Áp dụng tính chất tứ diện vuông ta h2 = OA2 + OC + OD = 64 3a ⇔h= a a Vậy d ( B ' M , CN ) = Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CM A ' D Lời giải Gọi N trung điểm BB ' D' C' A ' NCM hình bình hành nên A ' N / / CM Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A ' D song song với CM nên A' B' d (CM , A ' D ) = d (CM ,( A ' ND )) M với = d ( M ,( A ' ND)) = d ( M ,( A ' DE )) O G Gọi E = AB ∩ A ' N N D O = AD '∩ A ' D, G = AD '∩ AM G trọng tâm tam giác ADD ' Do d ( M ,( A ' DE )) GM = = A B d ( A,( A ' DE )) GA Tứ diện AA ' DE vuông A nên 1 1 2a = + + = ⇒ d ( A ,( A ' DE )) = d ( A,( A ' DE )) AA '2 AD AE 4a a Vậy d (CM , A ' D ) = d ( M ,( A ' DE )) = d ( A,( A ' DE )) = V) Sử dụng phương pháp tọa độ * Phương pháp: C E TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình xét Bước 2: Chuyển toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải toán phương pháp toạ độ, chuyển sang ngôn ngữ hình học Ví dụ Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng ( α ) qua đường chéo B’D a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) b) Xác định vị trí mặt phẳng ( α ) cho diện tích thiết diện cắt mp ( α ) hình lập phương bé A Phân tích: Với hình lập phương ta chọn hệ toạ độ thích hợp, tạo độ đỉnh biết nên việc tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’ Lời giải Chọn hệ toạ độ cho gốc toạ độ O ≡ D ' ( 0;0;0 ) N z B C D H y A' B' A ' ( 0;1;0 ) , B ' ( 1;1;0 ) , C ' ( 1;0;0 ) , A ( 0;1;1) , C ( 1;0;1) Gọi M điểm đoạn thẳng C’D’, tức M ( x;0;0 ) ; ≤ x ≤ x D' M C' a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) ⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y − z = ⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) = ( α ) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có mặt đối diện song song với nên ( α ) cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM DN//MB’ Vậy thiết diện hình bình b) Giả sử hành DMB’N Gọi H hình chiếu M DB’ Khi đó: S DMB ' N = DB '×MH = DB '×d ( M , DB ' ) Ta có: DB ' = uuuu r uuuu r  MD; DB ' 2x2 − 2x +   d ( M , DB ') = = uuuu r DB ' 1 3  Dấu đẳng thức xảy x = S DMB ' N = x − x + =  x − ÷ + ≥ 2 2  1  Nên diện tích S DMB ' N nhỏ M  ;0;0 ÷, hay M trung điểm D’C’ 2  10 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn     Hoàn toàn tương tự M ( 0; y;0 ) ⇒ M  0; ;0 ÷ Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ M trung điểm D’C’ M trung điểm D’A’ Ví dụ 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Gọi M điểm di động cạnh CD Xác định vị trí M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ Lời giải Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho z S C A y M K B D x O ≡ A ( 0;0;0 ) , B ( 1;0;0 ) , C ( 1;1;0 ) , D ( 0;1;0 ) , S ( 0;0;1) 0uu≤uu rt ≤ BM = ( t − 1;1;0 ) uur uuuu r  SB, BM  t − 2t +   d ( S , BM ) = = uuuu r t − 2t + +2 BM M điểm di động CD nên M ( t ;1;0 ) với t − 2t + Xét hàm số f ( t ) = [0;1] t − 2t + +2 −2 ( t − 1) f '( t ) = 2 ( t − 2t + ) Ta có bảng biến thiên: t f’(t) −∞ +∞ - + f(t) 11 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 3 , đạt t = [ 0;1] max f ( t ) = , đạt t = Từ bảng biến thiên ta có f ( t ) = [ 0;1] Do d ( S , MB ) lớn M ≡ C & d ( S , BM ) = d ( S , MB ) nhỏ M ≡ D & d ( S , BM ) = VI) Sử dụng phương pháp véc tơ véc tơ * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa giả thiết kết luận toán hình học cho ngôn ngữ “véc tơ” Bước 2: Thực yêu cầu toán thông qua việc tiến hành biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc Bước 3: Chuyển kết luận “véc tơ” sang kết hình học tương ứng Ví dụ 11 (Đề thi đại học khối D năm 2007) · Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ·ABC = BAD = 900 , BA = BC = a , AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) S Lời giải uuu r r uuur r uuu r r Đặt AB = a; AD = b; AS = c r r r r r r Ta có: a ×c = 0; b ×c = 0; a ×b = uur r r uuu r r r r uuu r r r SB = a − c; SC = a + b − c; SD = b − c Gọi N chân đường vuông góc hạ từ H lên N E H K A Q phẳng (SCD) Khi uuur uuur uuu r uuu r uuu r uur HN = HS + SN = − SB + xSC + ySD 2r  x  r  r =  x − ÷a +  + y ÷b +  − x − y ÷c 3  2  3  mặt P ⇒ d ( H ;( SCD)) = HN SH = Dễ dàng tính SB B : M 12 C D TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn  r2  x   r2   r2 uuur uuu r x − a + + y b − − x − y c = x =  ÷  ÷  ÷   HN ×SC =  3 2  3   ⇒ ⇒ Ta có:  uuur uuu r r r y = −1  HN ×SD =  x + y  b −  − x − y  c =  ÷  ÷    3  uuur r r r  r r r a ⇒ HN = a + b + c ⇒ HN = a + b + c÷ = 12 6   Cách 2: Gọi d1 , d khoảng cách từ điểm H B đến mp(SCD), ta có: d1 SH 2 3V 2V = = ⇔ d1 = d = × BSCD = BSCD d SB 3 S∆SCD S ∆SCD 1 1 a3 Trong VBSCD = SA ×S ∆BCD = SA ×S ∆BID = SA × AB ×ID = 3 3 CD ⊥ AC ⇒ CD ⊥ SC Ta có:  CD ⊥ SA  1 ⇒ S ∆SCD = SC ×CD = SA2 + AB + BC × CE + ED = a 2 2 a ⇒ d1 = Cách 3: Sử dụng tính chất tứ diện vuông Phân tích Trong toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) khó khăn Vì vậy, ta tìm giao điểm K AH (SCD) quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) việc tính khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi M giao điểm AB CD, K giao điểm AH với SM Ta có: BH = Suy H trọng tâm tam giác SAM BS d ( H , ( SCD ) ) KH = = Từ ta có: d ( A, ( SCD ) ) KA Do tứ diện ASDM vuông A nên: d ( 1 1 = + + = ⇔ d ( A, ( SCD ) ) = a 2 A, ( SCD ) ) AS AD AM a ( ) Vậy d H , ( SCD ) = a * Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc quan trọng giải toán phương pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải ba véc tơ không đồng phẳng 13 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn + Hệ véc tơ gốc nên hệ véc tơ mà chuyển yêu cầu toán thành ngôn ngữ véc tơ cách đơn giản Ví dụ 12 (Đề thi ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC S E Giải:  → →  → →  → → Đặt : OA = a, OB = b, OS = c → → → → → → Ta có : a c = 0, b c = 0, a b = uuuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r MN = MA + AC + CN = SD + AC + CB 2 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1 = SO + OD + AC + CO + OB 2 3r 1r =− a− c 2 (  → ) ( M P c A ) B b O N → AC = −2 a Gọi PQ đoạn vuông góc chung MN AC , ta có: uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur PQ = PM + MA + AQ = xMN + SD + y AO r  r r r r = x  − a − c ÷+ −c − b − ya   r 1r r  = −  y + x ÷a − ( x + 1) c − b  2  r2  r2 3  uuur uuuu r y + x a + x + a ( ) =  x = −1 ÷  PQ ×MN =     ⇒ ⇒  uuur uuur r  PQ ×AC = 2  y + x  a =  y = ÷    uuur 1r a2 a 2 ⇒ PQ = − b ⇒ PQ = OB = ⇔ PQ = ( ) Cách 2:  MP / / AD  Ta có:  ; MP = AD  ⇒ MN / / ( SAC )  NC / / AD  nên tứ giác MNCP hình bình hành  NC = AD   BO ⊥ SO ⇒ BO ⊥ ( SAC ) BO ⊥ AC  Do hình chóp SABCD ⇒  14 D a C TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 1 a ⇒ d ( MN ; AC ) = d ( N ; ( SAC ) ) = d ( B; ( SAC ) ) = BO = BD = 2 4 C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) · vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 2.Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’,I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) C BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 15 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Phương pháp : Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo theo cách : ; , ta tiến hành Cách : Dựa vào định nghĩa ( Xác định đường vuông góc chung ) Cách thường tiến hành ta biết hai đường thẳng ta làm sau : ; vuông góc với Khi Bước : Xác định mặt phẳng (P) chứa vuông góc với đường thẳng Tức đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (P) , có đường thẳng Bước : Tìm giao điểm I đường thẳng với mặt phẳng (P) Từ I kẻ IH vuông góc với ε Khi IH đoạn vuông góc chung hai đường thẳng ; , với H Bước : Tính độ dài đoạn thẳng IH Ta thường vận dụng hệ thức lượng tam giác tam giác đồng dạng ; định lý Pitagor để tính độ dài đoạn IH Cách : Dựa vào khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Giả sử ta cần tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 16 ; , ta tiến hành sau : TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 17 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 18 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 19 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 20 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 21 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 22 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 23 ... 1: Do B1C // (A1BD) ⇒ d ( B1 ; ( A1BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) ( ) Hạ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ ( A1BD ) ⇒ d C ; ( A1 BD ) = CH = Cách 2: d ( B1; ( A1 BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) = d ( A; ( A1BD ) ) = CB.CD... Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH = b) Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) Kẻ EF / / OH ( F ∈ SK ) Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC... song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d (( α ) ;( β )) * Nhận xét - ∀M ∈ ( ), N ∈ ( β ), MN ≥ d (( α ) ;( β )) - Việc tính khoảng cách hai