Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A′B′C ′D′ có cạnh đáy a Gọi M , N , P trung điểm AD , DC , A ' D ' Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( MNP ) ( ACC ') a a D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: ( MNP ) // ( ACA′ ) A B a C a a ⇒ d ( ( MNP ) ; ( ACA′ ) ) = d ( P; ( ACA′ ) ) = OD′ = Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh bên hợp với đáy góc 60° , đáy ABC tam giác A′ cách A , B , C Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ 2a a A a B a C D Hướng dẫn giải: Chọn A Vì VABC AA′ = A′B = A′C ⇒ A′ABC hình chóp Gọi A′H chiều cao lăng trụ, suy H trọng tâm VABC , ) A′AH = 60° a A′H = AH tan 60° = = a Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có cạnh bên a Các cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60o Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A1B1C1 ) trung điểm BC 1 Khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ bao nhiêu? a a A a B C a D 2 Hướng dẫn giải: · ' AH = 60o Ta có: A 'H ⊥ ( ABC ) → A ( ) d ( A' B 'C ') ,( ABC ) = A'H = A ' A.cos60o = a Chọn đáp án A Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30° Hình chiếu H A mặt phẳng ( A′B′C ′ ) thuộc đường thẳng B′C ′ Khoảng cách hai mặt phẳng đáy là: a a a a A B C D 2 Hướng dẫn giải: Do hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có tất cạnh a suy a a AB′ = AC ′ ⇒ B′H = HC ′ ⇒ A′H = ⇒ AH = 2 Chọn đáp án C Câu 5: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Khoảng cách ( AB′C ) ( A′DC ′ ) : A a B a C a D Hướng dẫn giải: Ta có d ( ( AB′C ) , ( A′DC ′ ) ) = d ( B′, ( A′DC ′ ) ) = d ( D′, ( A′DC ′ ) ) Gọi O′ tâm hình vng A′B′C ′D′ Gọi I hình Chiếu D′ O′D , suy I hình chiếu D′ ( A′DC ′ ) B D′I = D′O′.D′D D′O′2 + D′D = a 2 ÷ +a C A d ( AB′C ) , ( A′DC ′ ) = d D′, ( A′DC ′ ) = a a a D B′ C′ I = a O′ A′ D′ Chọn đáp án D Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A′B′C ′D′ có cạnh đáy a Gọi M , N , P trung điểm AD, DC , A′D′. Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( MNP ) ( ACC ′ ) a a B Hướng dẫn giải: Nhận xét ( ACC ′) ≡ ( ACC ′A′) Gọi O = AC ∩ BD, I = MN ∩ BD Khi đó, OI ⊥ AC , OI ⊥ AA′ ⇒ OI ⊥ ( ACC ′A′) A C Trang a D a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Suy d ( ( MNP ), ( ACC ′) ) = OI = Quan hệ vng góc – HH 11 a AC = 4 Chọn đáp án B Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A′B ′C ′D ′ có cạnh a Khoảng cách hai mặt phẳng ( ACD ′) ( BA′ C ′) A khoảng cách từ điểm D ′ đến đường thẳng A′ C ′ B khoảng cách hai điểm B D ′ C khoảng cách hai đường thẳng AC A′C ′ D khoảng cách trọng tâm hai tam giác ACD ′ BA′ C ′ Hướng dẫn giải: Ta có ( ACD′) / /( BA′C ′) DB′ ⊥ ( ACD′) (đã chứng minh SGK) DB′ ⊥ ( BA′C ′) Đáp án D Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A′B ′C ′D ′ có cạnh a Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng (CB ′D ′) ( BDA′) a a B Hướng dẫn giải: Vì ( A ' BD ) / /( B ' CD ') nên ta có: A C 2a D a d ( ( A ' BD ) , ( B ' CD ') ) = d ( C ; ( A ' BD ) ) = d ( A; ( A ' BD ) ) Vì AB = AD = AA ' = a A ' B = A ' D = BD = a nên A A ' BD hình chóp tam giác Gọi I trung điểm A ' B, G trọng tâm tam giác A ' BD Khi ta có: d ( A; ( A ' BD ) ) = AG a = 2 a Theo tính chất trọng tâm ta có: DG = DI = 3 Trong tam giác vuông AGD có: Vì tam giác A ' BD nên DI = a 6a a Chọn B = Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A′B ′C ′D ′ cạnh a Khoảng cách ( ACB ′ ) ( DA′ C ′ ) a a A a B a C D 3 AG = AD − DG = a − Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Vì ( ACB ') / /( DA ' C ') nên ta có: d ( ( ACB ') , ( DA ' C ') ) = d ( D; ( ACB ' ) ) = d ( B; ( ACB ' ) ) Vì BA = BB ' = BC = a AB ' = AC = CB ' = a nên B ACB ' hình chóp tam giác Gọi I trung điểm AC , G trọng tâm tam giác ACB ' Khi ta có: d ( B; ( ACB ' ) ) = BG a = 2 a Theo tính chất trọng tâm ta có: B ' G = B ' I = 3 Trong tam giác vng BGB ' có: Vì tam giác ACB ' nên B ' I = a 6a a Chọn C = Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = 4, AD = Mặt phẳng ( ACD ') tạo với mặt đáy góc 60o Tính khoảng cách hai mặt đáy hình hộp BG = BB '2 − B ' G = a − 12 B 5 Hướng dẫn giải: Gọi O hình chiếu D lên AC ( ACD ') ∩ ( ABCD ) = AC Ta có AC ⊥ DO AC ⊥ D ' O ( AC ⊥ ( ODD ') ⊃ OD ' ) · ' OD = 600 ⇒ (· D ' AC ) , ( ABCD ) = D A ( C ) AC = 32 + = ; DO = AD.DC 12 = AC Khoảng cách hai mặt đáy DD ' = DO.tan 600 = 12 Chọn đáp án B Trang D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: Dựng đoạn vng góc chung MN a b Khi d ( a, b ) = MN Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng : Phương pháp Chọn mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ song song với ∆ ' Khi d(D, D ') = d(D ',(a)) Phương pháp Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách cần tìm Phương pháp Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn Trường hợp 1: ∆ ∆ ' vừa chéo vừa vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng (α ) chứa ∆ ' vng góc với ∆ I Bước 2: Trong mặt phẳng (α ) kẻ IJ ⊥ ∆ ' Khi IJ đoạn vng góc chung d (∆, ∆ ') = IJ Trường hợp 2: ∆ ∆ ' chéo mà không vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng (α ) chứa ∆ ' song song với ∆ Bước 2: Dựng d hình chiếu vng góc D xuống (α ) cách lấy điểm M ∈ ∆ dựng đoạn MN ⊥ ( α ) , lúc d đường thẳng qua N song song với ∆ Bước 3: Gọi H = d ∩ ∆ ' , dựng HK PMN Khi HK đoạn vng góc chung d ( ∆, ∆ ') = HK = MN Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hoặc Bước 1: Chọn mặt phẳng (α ) ⊥ ∆ I Bước 2: Tìm hình chiếu d ∆ ' xuống mặt phẳng (α ) Bước 3: Trong mặt phẳng (α ) , dựng IJ ⊥ d , từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆ ' H , từ H dựng HM P IJ Khi HM đoạn vng góc chung d (∆ , ∆ ') = HM = IJ Sử dụng phương pháp vec tơ uuuu r uuur AM = x AB uuur uuur CN = yCD r uuu r a) MN đoạn vng góc chung AB CD uuuu MN AB = r uuur uuuu MN CD = ur uu r b) Nếu ( α ) có hai vec tơ khơng phương u1 , u2 OH = d ( O, ( α ) ) uuur ur OH u1 = uuur uu r ⇔ OH u2 = H ∈ α ( ) uuur ur OH ⊥ u1 uuur uu r ⇔ OH ⊥ u2 H ∈ α ( ) Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy ( ABCD ) Gọi K , H theo thứ tự hình chiếu vng góc A O lên SD Chọn khẳng định khẳng định sau? A Đoạn vng góc chung AC SD AK B Đoạn vng góc chung AC SD CD Trang Quan hệ vng góc – HH 11 C Đoạn vng góc chung AC SD OH D Các khẳng định sai Hướng dẫn giải: Nếu AK ⊥ AC , AK ⊥ AB ⇒ AK ⊥ ( ABC ) ⇒ AK ≡ SA (vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ SD ⇒ ∆SAD có góc vng (vơ lý) Theo tính chất hình vng CD ⊥/ AC Nếu AC ⊥ OH , AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SBD ) ⇒ AC ⊥ SO ⇒ ∆SOA có góc vng (vơ lý) Như AC ⊥/ AK , AC ⊥/ CD, AC ⊥/ OH Chọn đáp án D Câu 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách AB CD a a a a A B C D 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M , N trung điểm AB CD a Khi NA = NB = nên tam giác ANB cân, suy NM ⊥ AB Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC , nên d ( AB; CD ) = MN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có: S ABN = p ( p − AB ) ( p − BN ) ( p − AN ) (p nửa chu vi) a+a a+a a a 2a = 2 2 1 2a Mặt khác: S ABN = AB.MN = a.MN ⇒ MN = 2 = 3a a a − = 4 Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật với AC = a BC = a Tính khoảng cách SD BC 3a 2a a A B C D a Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: BC // ( SAD ) Cách khác Tính MN = AN − AM = ⇒ d ( BC ; SD ) = d ( BC ; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) ) AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( B; ( SAD ) ) = AB Mà AB ⊥ SA Ta có: AB = AC − BC = 5a − 2a = 3a Câu 4: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Khoảng cách BB ' AC bằng: a a a a A B C D 3 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: d ( BB′; AC ) = d ( BB′; ( ACC ' A′ ) ) = a DB = 2 Câu 5: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh (đvdt) Khoảng cách AA ' BD ' bằng: 2 A B C Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: d ( AA′; BD′ ) = d ( BB ′; ( DBB ′D′ ) ) = D AC = 2 Câu 6: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai cạnh đối AB CD a a a a A B C D 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M , N trung điểm AB CD a Khi NA = NB = nên tam giác ANB cân, suy NM ⊥ AB Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC , nên d ( AB; CD ) = MN Ta có: S ABN = p ( p − AB ) ( p − BN ) ( p − AN ) (p nửa chu vi) a+a a+a a a 2a = 2 2 1 2a Mặt khác: S ABN = AB.MN = a.MN ⇒ MN = 2 Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A'B 'C 'D ' Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo AD A'C ' : = A AA' D DD ' Hướng dẫn giải: B BB ' C DA' Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word AA ' ⊥ ( A ' B ' C ' D ' ) → AA ' ⊥ A ' C ' A ' C ' ⊂ ( A ' B ' C ' D ') AA ' ⊥ ( ABCD ) → AA ' ⊥ AD AD ⊂ ( ABCD Chọn đáp án A Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Khoảng cách hai đường thẳng SB CD nhận giá trị giá trị sau? A a B a C a D 2a Hướng dẫn giải: Ta có: d ( CD, SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = AD = a Chọn phương án A Câu 9: Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Khoảng cách AI OC bao nhiêu? a a a A a B C D Hướng dẫn giải: Gọi J trung điểm OB Kẻ OH vng góc AJ H Tam giác AOJ vng O , có OH đường cao A a a OA.OJ a OH = = = OA2 + OJ a a + ÷ 2 H Ta có: OC //IJ nên OC // ( AIJ ) C Do đó: O d ( AI , OC ) = d ( OC , ( AIJ ) ) = d ( O , ( AIJ ) ) = OH = a J I Chọn đáp án B B Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc với mặt đáy SA = a Tính khoảng cách SB CD a a a a A B C D Hướng dẫ giải: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Gọi H trung điểm AD ta có: d(CD;SB) = d(D; (SBH)) = d(A;(SBH)) Mà 1 1 a = + + = → d(CD;SB) = 2 2 d (A;(SBH)) AS AB AH a Chọn đáp án C Câu 11: Cho hình vng ABCD tam giác SAD nằm hai mặt phẳng vng góc với AD = a Tính khoảng cách AD SB a 21 a 21 a 15 a 15 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi E, F trung điểm AD, BC Ta có: AD, BC ⊥ (SFE) , suy SF hình chiếu SB lên mặt phẳng (SEF) Nên d(AD;SB) = d(E;SF) = SE.FE SE + FE = a a a + a2 = 21 a Chọn đáp án B Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AA1 = 2a, AD = 4a Gọi M trung điểm AD Khoảng cách hai đường thẳng A1 B1 C1M bao nhiêu? A 3a B 2a C a D 2a B Hướng dẫn giải: Ta có A1 B1 //C1 D1 suy d ( A1 B1 , C1M ) = d ( A1 B1 , ( C1D1M ) ) = d ( A1 , ( C1D1M ) ) A A1 Chọn đáp án B Trang 10 M D B1 Vì AA1 = 2a, AD = 4a M trung điểm AD nên A1M ⊥ D1M , suy A1M ⊥ ( C1D1M ) ⇒ d ( A1 , ( C1 D1M ) ) = A1M = 2a C C1 D1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Ta có: Từ A Kẻ Ax song song với BC Từ H kẻ HI ⊥ Ax Từ H Kẻ KH ⊥ SI với SI thì: d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAx ) ) = 2d ( H , ( SAx ) ) = 2HK a a a SH = AH ta n 600 = = 2 1 a 15 = + ⇒ HK = 2 HK SH IH 10 IH = AH sin 600 = d ( SA, BC ) = 2d ( H , ( SAx ) ) = HK = a 15 3a Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = Hình chiếu vng góc H đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Khoảng cách hai đường thẳng HK SD a 2a a 3a A B C D 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: SD cắt ( ABCD ) D Từ H kẻ HI ⊥ BD , HM ⊥ SI Ta thấy song song HK BD : d ( HK , SD ) = d ( H , ( SBD ) ) = HM ∆SHD : SH = SD − HD = 2 9a 9a a − ( AD + AH ) = −a + ÷= a 4 AC a = 4 1 a = + ⇒ HM = 2 HM SH IH IH = d ( SA, BC ) = d ( H , ( SBD ) ) = HM = a Câu 50: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ), góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 60o Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 13 78 13 78 A 2a B 2a C a D a 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn D Trang 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Gọi I trung điểm AC Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC , mặt phẳng ( ABC ) kẻ AE vng góc với d E Khi AE ⊥ BE AE ⊥ AC Ta có: AC //BE ⇒ AC // ( SBE ) ⇒ d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBE ) ) Gọi AH đường cao ( SAE ) , ta có BE ⊥ SA ⇒ BE ⊥ ( SAE ) ⇒ BE ⊥ AH BE ⊥ AE Mặt khác AH ⊥ SE nên AH ⊥ ( SBE ) Do d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBE ) ) = AH Vì SA ⊥ ( ABC ) nên hình chiếu SC mặt phẳng ( ABC ) AC suy gó SC mặt · phẳng ( ABC ) SCA = 60o Xét ∆SAE vng A có: AH đường cao, SA = tan 60o AC = 3.a = a , AE = BI = a 2 1 13 = + = 2+ = nên 2 AH AE SA a 6a 6a 6a a 78 ⇒ AH = ⇒ AH = 13 13 Vậy d ( AC , SB ) = a 78 13 Câu 51: Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) , SA = a , · = 120o, lấy điểm M cạnh BC cho MC = 2MB Khoảng cách AB = AC = a , góc BAC hai đường thẳng SM AC 2a 42 a 42 A B 7 Hướng dẫn giải: Chọn B C a D 3a Dựa vào định lý Côsin tam giác ta có: · BC = AB + AC − AB AC.cos BAC BC = 3a + 3a − 2.a 3.a cos120o BC = 9a ⇒ BC = 3a CM = BC = 2a · AM = CM + CA2 − 2CM CA.cos MCA AM = 4a + 3a − 2.2a.a cos 30o AM = a ⇒ AM = a Xét tam giác ACM có CM = AM + AC = 4a nên tam giác ACM vuông A suy AC ⊥ AM mà AC ⊥ SA nên AC ⊥ ( SAM ) Gọi H hình chiếu A SM , ta có Trang 27 Quan hệ vng góc – HH 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word AH ⊥ AC ⇒ d ( AC , SM ) = AH AH ⊥ SM Xét tam giác SAM có SA = a , AM = a , AH đường cao nên 1 1 = + = 2+ = 2 AH AM SA a 6a 6a 6a a 42 AH = ⇒ AH = 7 a 42 d ( AC , SM ) = Câu 52: Trong khơng gian cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt phẳng ( SAB ) vng góc với đáy, tam giác SAB vuông cân S Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 21 21 7 A a B 3a C a D 2a 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn A Kẻ SH ^ AB Þ SH ^ (ABC ) Kẻ BM / / AC Þ AC / / (SBM ) Þ d(AC , SB ) = d(AC ,(SBM )) = d(A,(SBM )) = 2d(H ,(SBM )) Kẻ HK ^ BM, ta cú: SH ^ BM ẻ (ABC) ị BM ^ (SHK ) Kẻ HQ ^ SK , ta cú: BM ^ HQ ẻ (SHK ) ị HQ ^ (SBM) Þ d(H ,(SBM )) = HQ Xét tam giác vng SHK ta có: 1 = + 2 HQ HK SH a Trong đó: SH=AH= (do tam giác SAB vuông cân S ), HK =HB.sin60o = a = a 2 Þ 16 28 = + = Þ HQ = a 21 Þ d(AC ,SB ) = 2HQ = a 21 HQ 3a a 3a 14 Câu 53: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SD vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , AD = a, góc ·AOB = 120o, góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) 45o Khoảng cách hai đường thẳng AC SB A a B a C Hướng dẫn giải: Chọn B Vì: ïï BC ^ DC ü · o ý Þ BC ^ (SDC ) Þ SCD = 45 BC ^ SD ùù ỵ AD ị SD = DC = = a tan 60o 3a D 5a S I Trang 28 A K H C O B Quan hệ vng góc – HH 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word K OI / / SB(I ẻ SD) ị I D=SI= a , SB/ /(IAC ) Þ d(AC , SB ) = d(SB ,(IAC )) = d(B,(IAC )) = d(D,(IAC )) Kẻ IH ^ AC Þ AC ^ (I DH ) Þ DH ^ AC Kẻ DK ^ IH , ta có: DK ^ AC (AC ^ (DIH)) Þ DK ^ (IAC) Þ d(D,(IAC))=DK Xét tam giác vng DHA : ta có DH = a.sin60o = a Þ tam giác DHI vng cân a Câu 54: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, BC = a 3, AB = a ; hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) đường thẳng SC tạo với mặt đáy DK = DH sin45o = ( ABCD ) góc 60o Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 5a Hướng dẫn giải: Chọn D A B 15a C 5a D 15a Gọi O giao điểm AC BD Ta có ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO, ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) OC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng · = 600 ( ABCD ) ⇒ (·SC , ( ABCD ) ) = SCO Gọi M trung điểm SD ⇒ OM PSB ⇒ SB P( ACM ) Trong mặt phẳng ( SBD ) kẻ MH PSO ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) Khi d ( SB, AC ) = d ( SB, ( ACM ) ) = d ( B , ( ACM ) ) = 2d ( H , ( ACM ) ) = 2HI a d ( D, AC ) = AC a Có OC = = a ⇒ SO = OC tan 600 = a ⇒ MH = 2 1 20 a 15 a 15 Vậy d ( SB, AC ) = HI = = + = ⇒ HI = 2 HI HM HK 3a 10 Câu 55: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB = BC = a, AD = 2a Các mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Ta có HK = Trang 29 Quan hệ vng góc – HH 11 60 Khoảng cách hai đường thẳng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Biết góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD ) CD SB a 2a A B 5 Hướng dẫn giải: Chọn B o C 2a D a Gọi O giao điểm AC BD ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO, ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , Ta có ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Gọi E trung điểm AD , H = AC ∩ BE ⇒ BE PCD ⇒ CD P( SBE ) ⇒ d ( CD, SB ) = d ( C , ( SBE ) ) = 3d ( O, ( SBE ) ) = 3OI Kẻ OM ⊥ AB, SO ⊥ AB ⇒ SM ⊥ AB · ⇒ ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = SMO = 600 a , AC = 6 2a 2a OM = AD = ⇒ SO = OM tan 600 = 3 1 75 2a 2a = + = ⇒ OI = ⇒ d ( CD, SB ) = 2 OI OH SO 4a 5 Tính AC = a ⇒ OH = Câu 56: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông Đường thẳng SD tạo với đáy ABCD 3a góc 60o Gọi M trung điểm AB Biết MD = , mặt phẳng ( SDM ) mặt phẳng ( SAC ) vng góc với đáy Khoảng cách hai đường thẳng CD SM theo a là: a 3a a 15 3a 15 A B C D 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có ( SMD ) ∩ ( SAC ) = SG suy SG ⊥ ( ABCD ) Kẻ GH ⊥ AB , GK ⊥ SH Khi đó, d ( DC , SM ) = d ( DC , ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = GD 3a 15 d ( G , ( SAB ) ) = 3GK = GM Câu 57: Một hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2 tạo với mặt đáy góc 45o Tính khoảng cách SA BC Trang 30 Quan hệ vng góc – HH 11 D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 3 3 B C Hướng dẫn giải: Chọn A + Vì SABC hình chóp tam giác nên SO ⊥ ( ABC ) ( Với O trọng tâm ∆ABC ) + Xét ∆SOA Vuông O có: J · - SAO = 45 mà H SA = 2 nên OA = SO = ⇒ AI = - Với H chân đường cao hạ từ O A 1 = + ⇒ OH = Ta có: OH OA2 SO + Trong ∆SIA Gọi J chân đường cao hạ từ I xuống SA Lại có BC ⊥ ( SAI ) nên BC ⊥ IJ Từ IJ đương vng góc chung SA & BC A OH OA OH AI + Xét ∆AIJ : = ⇒ IJ = = IJ AI OA S C O I B 3a · Câu 58: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 60o SO = Biết SA = SC SB = SD Hỏi khoảng cách SA BD ? 3a 3a 3a 3a A B C D 14 14 Hướng dẫn giải: SO ⊥ AC Ta có: ⇒ SO ⊥ ( ABCD) ⇒ DB ⊥ SO SO ⊥ DB DB ⊥ SO Ta có: ⇒ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ AC Trong mp ( SAC ) , kẻ OH ⊥ SA ( H ∈ SA) , ta có: OH ⊥ SA, OH ⊥ BD d ( SA, DB ) = OH Do đó: Ta có: 2 a 21 3a a SA = SO + OA = ÷ + = ÷ ÷ Tam giác SOA vng O, có OH đường cao, ta có: SO.OA 3a a 3a OH = = = SA a 21 14 2 Vậy d ( SA, DB) = OH = 3a 14 Chọn B Câu 59: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60o Khi khoảng cách hai đường thẳng AB SD A B C Trang 31 D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm CD Ta có: ( SCD ) I ( ABCD ) = CD ( SOI ) ⊥ CD ( SOI ) I ( ABCD) = OI ,( SOI ) I ( SCD) = SI ⇒ (· SCD),( ABCD) = (·OI , SI ) = 600 ( ) Ta có: AB / / CD ⇒ AB / /( SCD ) ⇒ d ( AB, SD ) = d ( AB,( SCD )) = d ( A,( SCD )) = 2d (O,( SCD )) Trong mp ( SOI ) , kẻ OH ⊥ SI ( H ∈ SI ) , ta có: OH ⊥ ( SCD ) OI = Do đó: d (O,( SCD )) = OH Ta có: SI = SO + OI = 22 + SO = tan 60 4 = 3 SO.OI 3 = =1 SI Do đó: d ( AB, SD ) = 2d (O,(SCD )) = 2OH = 2.1 = Chọn B Câu 60: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc cạnh AB cho AH = HB Góc Tam giác SOI vng O, có đường cao OH nên OH = mặt phẳng ( SCD ) mặt phẳng ( ABCD ) 60o Khoảng cách hai đường thẳng SC AD theo a 6a 39 6a 13 a 39 a 13 A B C D 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) điểm H nên SH ⊥ ( ABCD ) Kẻ HM ⊥ CD ( M ∈ CD) , ta có: ( ABCD) I ( SCD) = CD ( SHM ) ⊥ CD · · Ta có: ⇒ ( ABCD),( SCD) = SMH = 60 ( SHM ) I ( ABCD) = HM ( SHM ) I ( SCD) = SM AD / / BC ⇒ AD / /( SBC ) d ( AD, SC ) = d ( A,( SBC )) = 3d ( H ,( SBC )) Kẻ HI ⊥ SB ( I ∈ SB ) , ta có: HI ⊥ (SBC ) d ( H ,( SBC )) = HI ( ) Ta có: SH = HM tan 600 = 2a SB = SH + HB = a 13 SH HB 2a 39 6a 39 Vậy d ( AD, SC ) = 3HI = Chọn A = SB 13 13 Câu 61: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vuông C , AB = 5a; BC = 4a Cạnh SA vng góc với đáy góc mặt phẳng ( SBC ) với mặt đáy ( ABC ) 60o Gọi D trung điểm Suy ra: IH = cạnh AB Khoảng cách hai đường thẳng SD BC là: 3a 39 3a 13 a 13 A B C 13 13 13 Trang 32 D a 39 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vuông góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AC , ta có: BC / /( SMD ) ⇒ d ( BC , SD) = d (C ,( SMD )) = d ( A,( SMD )) Kẻ AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) , ta có: AH ⊥ (SMD ) SA AM 3a 39 = SM 13 3a 13 Với SM = SA2 + AM = Chọn A Câu 62: hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a, tam giác SAB cân đỉnh S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, mặt phẳng ( SCD ) tạo với đáy góc 60o Khoảng cách AB SD là: a 177 6a 177 2a 177 3a 177 A B C D 59 59 59 59 Hướng dẫn giải: Dựng hình chữ nhật ABED , ta có tam giác ACD vng cân C Gọi H, K trung điểm AB, ED , ta có: SH ⊥ ( ABCD) Gọi F đối xứng A qua B, kẻ HM ⊥ DF ( M ∈ DF ) · Suy ra: ( SHM ) ⊥ DF (· SCD),( ABCD) = SMH = 600 ⇒ d ( A,( SMD)) = AH = 3a AC = 4 AB / / ED ⇒ AB / /( SED ) d ( Ta có: AB , SD ) = d ( H ,( SED )) Kẻ HI ⊥ SK , ta có: HI ⊥ (SED ) d ( H ,( SED)) = HI Ta có: HM / / AC ⇒ HM = a 59 2 SI IK 6a 6a 177 = = Suy ra: HI = SK 59 59 Chọn B Câu 63: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc SB mặt phẳng ( ABC ) 60° , M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC là: 4a 51 2a 51 a 51 a 51 A B C D 51 51 17 Hướng dẫn giải: Gọi N , I trung điểm AC , BC MN đường trung bình ∆ABC ⇒ MN€ BC Ta có: SK = SH + HK = ⇒ BC€ ( SMN ) Ta có: d ( BC ; SM ) = d ( BC ; ( SMN ) ) = d ( I ; ( SMN ) ) = d ( A; ( SMN ) ) Dễ thấy Trang 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word BC ⊥ ( SAI ) ⇒ MN ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAI ) theo giao tuyến SH Quan hệ vng góc – HH 11 Trong mặt phẳng ( SAI ) kẻ AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SMN ) Vậy d ( BC ; SM ) = d ( A; ( SMN ) ) = AK a a ⇒ AH = AI = 2 · = 60° ⇒ SA = AB.tan 60° = a Vì SA ⊥ ( ABC ) nên ( SB; ( ABC ) ) = ( SB; AB ) = SBA 1 1 16 17 = 2+ = 2+ = 2 AK SA AH 3a 3a 3a a 51 ⇒ AK = 17 Câu 64: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh 2a Mặt bên SAB tam giác đều, SI vng góc với ( SCD ) I trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SO AB là: 3a a a a A B C D 2 MN / / AB Kẻ Ta có: AI = ⇒ d ( SO, AB ) = d ( AB, ( SMN ) ) = d ( I , ( SMN ) ) Ta có AB ⊥ SI ⇒ MN ⊥ SI , AB ⊥ OI ⇒ MN ⊥ OI ⇒ MN ⊥ ( SOI ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SOI ) Kẻ IH ⊥ SO ⇒ IH ⊥ ( SMN ) ⇒ IH = d ( I ; ( SMN ) ) Gọi J trung điểm CD Do SI ⊥ ( SCD ) ⇒ SI ⊥ SJ ⇒ SO = JI =a 3a a = 2 2S 1a a a + S ∆OSI = OE.SI = a = ⇒ IH = ∆OSI ⇒ IH = 22 SO Câu 65: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I , AB = a, AD = 2a Gọi M trung điểm cạnh AB N trung điểm đoạn MI Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt + Do ∆SIO cân O kẻ OE ⊥ SI ⇒ OE = OI − IE = a − Trang 34 Quan hệ vng góc – HH 11 phẳng ( ABCD ) trùng với điểm N Biết góc tạo đường thẳng SB với mặt phẳng ( ABCD ) 45o Khoảng cách hai đường thẳng MN SD theo a là: a a a A a B C D Hướng dẫn giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Do MN / / AD ⇒ MN / / ( SAD ) ⇒ d ( MN , SD ) = d ( MN , ( SAD)) = d ( N , ( SAD )) Kẻ NE ⊥ AD, SN ⊥ AD ⇒ AD ⊥ ( SNE ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SNE ) NH ⊥ SE ⇒ NH ⊥ ( SAD) Kẻ ⇒ d ( N , ( SAD ) ) = d ( MN , ( SAD ) ) = NH · ; ABCD = SBN Ta có : SB ( ) · = 450 Xét ∆BMN ⇒ a2 a2 a a BN = BM + NM = + = ⇒ SN = 4 2 a a NE.NS 2 =a = Do NH = 2 a NE + NS Câu 66: hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B ; AB = BC = a; AD = 2a ; SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD) 45o Gọi M trung điểm cạnh AD Khoảng cách hai đường thẳng SM BD là: a 22 a a 11 a 11 A B C D 11 11 22 Hướng dẫn giải: · , ( ABCD ) = SCA · Ta có : SC = 450 2 Gọi E , K giao điểm AC với BD, NM Kẻ MN / / BD ⇒ BD / / ( SMN ) ⇒ d ( SM , BD ) = d ( BD, ( SMN ) ) = d ( E , ( SMN ) ) Do MN / / BD ⇒ K trung điểm AE ⇒ d ( E ; ( SMN ) ) = d ( A, ( SMN ) ) Kẻ AE ⊥ MN , SA ⊥ MN ⇒ MN ⊥ ( SAE ) ⇒ ( SAE ) ⊥ ( SMN ) Kẻ AF ⊥ SE ⇒ FA ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, (SMN ) ) = FA Xét ∆ABC ⇒ AC = a ⇒ SA = a a a AN AM a AE = = = 2 AN + AM a + a2 FA = SA AE SA2 + AE = a 5 = a 22 11 55 a Trang 35 Quan hệ vng góc – HH 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word · Câu 67: Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD = 60o Gọi G trọng tâm tam giác ABD, SG ⊥ ( ABCD ) SG = a Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách đường thẳng AB SM theo a a a a a A B C D 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: Gọi J , K hình chiếu H lên DC , SJ d ( AB, SM ) = d ( AB, ( SDC ) ) = d ( A, ( SDC ) ) = d ( G , ( SDC ) ) · 3 SG.GJ SG.GC.sin GCJ = GK = = 2 SJ SG + GJ · SG.GC.sin GCJ = S · SG + GC.sin GCJ ( ) a AC.sin 300 3 = 2 a 6 2 0 ÷ + AC.sin 30 ÷ 3 a AO.sin 300 3 = 2 a 6 2 0 ÷ + AO.sin 30 ÷ 3 a K H A a a .sin 300 3 B 600 a = = 2 a 6 2 a + .sin 30 ÷ ÷ 3 G O D J M C Câu 68: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB vng S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết SA = a cạnh bên SB tạo với mặt đáy ( ABCD ) góc 30o Khoảng cách hai đường thẳng SA BD là: a 21 2a 2a 21 a A B C D 7 7 Hướng dẫn giải: S Chọn C Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A song song với AC a Gọi L, M hình chiếu H lên d , SL M A L 30 H Trang 36 D O C B Quan hệ vuông góc – HH 11 BA BA = d ( H , ( SAL ) ) = HM HA HA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word d ( SA, BD ) = d ( BD, ( SAL ) ) = d ( B , ( SAL ) ) a BA SH HL BA SH HL = = sin 300 SH HL = SH HL HA SL HA SH + HL2 = a.cos600 SH + HL2 SH + HL2 SH ⇒ SH = a SA HL HL · sin LAH = ⇔ sin ·ABO = AH AH AH a cos 600 = ⇒ AH = SA sin 600 = a a 21 AO HL AO.AH 2 4 = = a ⇔ = ⇔ HL = = AH = a 2 SH + HL2 AB AH AB a + a Câu 69: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a Gọi H trung điểm cạnh AB ; tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy ; góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABCD ) 60o Khoảng cách hai đường thẳng CH SD : SH HL 2a 2a 10 a 2a B C D 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D Vì H trung điểm cạnh AB ; tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy nên SH ⊥ ( ABCD ) A S a A a D B H I O C · Gọi I hình chiếu H AC suy góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABCD ) góc SIH = 600 IH BC a a a = ⇔ IH = = Ta có ∆ABC : ∆AIH ⇒ AH AC a a Gọi K điểm đối xứng H qua A ta có tứ giác CDKH hình bình hành suy CH song song với mặt phẳng ( SDK ) ⊃ SD Trong ∆SHI vuông H có SH = IH = Nên ta có: d ( CH ,SD ) = d ( CH , ( SDK ) ) = d ( H , ( SDK ) ) Trang 37 Quan hệ vng góc – HH 11 Gọi E, F hình chiếu H DK SE Khi ta có d ( H , ( SDK ) ) = HF a a BH BC 2a 2 HE = d B , H C = = = ( ) Ta có BH + BC a + 2a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word a 2a 2 = 2a = 2a HF = = Trong ∆SHE vuông H có Chọn D 5a SH + HE a 8a + Câu 70: hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , tam giác SAB cân 2a S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ D đến ( SBC ) Khoảng cách hai đường thẳng SB AC : a 10 a 10 2a 10 2a A B C D 10 5 Hướng dẫn giải: S Chọn B Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A song song với AC Gọi K , I hình chiếu H lên d , SK L 2a 2a d ( D, ( SBC ) ) = ⇔ d ( A, ( SBc ) ) = I 3 a a K A ⇔ d ( H , ( SBC ) ) = ⇔ HI = a H B 2a 3 O 1 D = + C 2 HI SH HB a ⇔ = + ⇔ = ⇔ SH = 2 a SH a SH a HK HK · · sin KBH = ⇔ sin CAB = HB HB a 2a CB HK HB.CB 5a ⇔ = ⇒ HK = = = AC HB AC 5.a SH HE d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBK ) ) = 2d ( H , ( SBK ) ) = HL SH HK SH HK SH SH a 10 =2 = =2 = 2 SK SH 2 SH + HK Câu 71: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 3a, có SH ⊥ ( ABC ) với H thuộc cạnh AB cho AB = AH Góc tạo SA mặt phẳng ( ABC ) 60o Khoảng cách hai đường thẳng SA BC là: a 3a 15 a 15 3a A B C D 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: =2 Trang 38 Quan hệ vng góc – HH 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Vẽ đường thẳng d qua A song song với BC Gọi F , G hình chiếu H lên d , SF SH tan 600 = ⇒ SH = a a HF HF a · sin FAH = ⇔ sin 600 = ⇒ HF = AH a a a SH HF = 15 a HG = = SH + HF 3a + a d ( BC , SA ) = d ( B, ( SAF ) ) S G A 60 F H B 3a C 15 a Câu 72: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm AD, góc đường thẳng SB mặt đáy 60o Gọi M trung điểm DC Khoảng cách hai đường thẳng SA BM : a 285 3a 285 a 285 2a 285 A B C D 19 19 Hướng dẫn giải: S Chọn C Vẽ đường thẳng d qua A song song với BM Gọi O, P hình chiếu H lên d , SO P Ta có: = 3d ( H , ( SAF ) ) = 3HG = A O D H 60 M B C a2 a BH = AB + AH = a + = SH a 15 tan 600 = ⇒ SH = BH 2 2 a a OH OH CM OH CM AH 2 = 5a · · sin OAH = ⇔ sin MBC = ⇔ = ⇔ OH = = AH AH BM AH BM a 10 a2 + 2 a 15 a 95a SO = SH + OH = + = ÷ ÷ ÷ ÷ 10 2 d ( SA, BM ) = d ( N , ( SAO ) ) = 4d ( H , ( SAO ) ) SH OH = 4HP = = SO Trang 39 a 15 a 10 = 285 a 19 95a N http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Trang 40 Quan hệ vng góc – HH 11 ... uuuu r ⇒ AC ∧ AM = 2a ; −a ; − 2a r Mặt phẳng ( ACM ) qua điểm A có vtpt n = 2; −1; − ( ) ( ( ( 2a 11 11 ) ) ) 2 x − y − z = ⇒ d ( D;( ACM )) = ( 2 2a +1+ = 2a 22 11 Trang 24 ) nên có phương... có cạnh a Khoảng cách hai mặt phẳng ( ACD ′) ( BA′ C ′) A khoảng cách từ điểm D ′ đến đường thẳng A′ C ′ B khoảng cách hai điểm B D ′ C khoảng cách hai đường thẳng AC A′C ′ D khoảng cách trọng... Website chuyên đề thi tài liệu file word a 2 2 2 2 HD = HA + AD = a ⇒ SH = SD − HD = 3a AO = 2 2 SH HI a 21 a 21 Do đó: HJ = Vậy d ( SD, HK ) = = a ⇒ HJ = 2 SH + HI 7 Chọn đáp án C Câu 37: Cho hình