Vecto trong không gian

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Trang Quan hệ vng góc – HH 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Định nghĩa phép tốn • Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hồn tồn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: uuur uuur uuur + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC uuu r uuur uuur + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC uuur uuur uuur uuuur + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A′ B′ C′ D′ , ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hê thức trung điểm đoạn trung uur thẳng: uur r ChouuIu rlà u uur điểm uur đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA + IB = 0; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tamuuu giác: r uuu rChouuG ur rtrọng utâm uu r uuu r tam uuugiác r ABC, uuur O tuỳ ý Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: tứ ABCD, tuỳ Ta uuu r uCho uu r G uuulà r trọng uuur tâm uuu rdiện uuu r uuur Ouu ur ý u uurcó: r GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃!k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có: uuu r uuu r uuur uuur uuuu r OA − kOB MA = k MB; OM = 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b khơng r r r r r r phương Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃ ! m, n ∈ R: c = ma + nb r r r r • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: ∃ ! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vơ hướng hai vectơ • Góc hai vectơ khơng gian: uuu r r uuur r r r · · AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 ) • Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian: rr r r r r r r r u v = u v cos(u , v ) + Cho u , v ≠ Khi đó: rr r r r r + Với u = hoaëc v = Qui ước: u v = r r rr + u ⊥ v ⇔ u v = Các dạng toán thường gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng bốn điểm đồng phẳng, phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: - Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng r r r r r - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: cr = ma + nb a, b, c đồng phẳng r r r r + Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a, b,c không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: r r r r x = ma + nb + pc Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word c) Tính tích vơ hướng cuả hai véc tơ khơng gian d) Tính độ dài đoạn thẳng, véctơ Quan hệ vng góc – HH 11 r2 r r r2 + Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng sở a = a ⇒ a = a Vì để tính độ dài đoạn MN ta thực theo bước sau: r r r - Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b, c so cho độ dài chúng tính góc chúng có thểuutính uur r r r - Phân tích MN = ma+ nb+ pc uuuur uuuur r r r - Khi MN = MN = MN = ma+ nb+ pc ( ) r2 r2 r2 r r r r r r = m2 a + n2 b + p2 c + 2mn cos a,b + 2npcos b, c + 2mpcos c, a ( ) ( ) ( ) e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng bốn điểm để giải tốn hình khơng gian Sử dụng kết uuur uuur uuur • A , B,C , D bốn điểm đồng phẳng ⇔ DA = mDB + nDC • A , B,C , D bốn điểm đồng phẳng với điểm O ta có uuur uuur uuur uuur OD = xOA + yOB + zOC x + y + z = B – BÀI TẬP uuu r r uuu r r uuur r Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ , M trung điểm BB′ Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c Khẳng định sau đúng? uuuu r r r 1r uuuu r r r 1r uuuu r r r 1r A AM = b + c − a B AM = a − c + b C AM = a + c − b D 2 uuuu r r r 1r AM = b − a + c Hướng dẫn giải: Chọn D Ta phân tích sau: uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur AM = AB + BM = CB − CA + BB′ r r uuur r r r = b − a + AA′ = b − a + c 2 Câu 2: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành uuu r uuu r uuur uuur r A OA + OB + OC + OD = B OA + OC = OB + OD 1 1 C OA + OB = OC + OD D OA + OC = OB + OD 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Trước hết, điều kiện cần đủ để ABCD hình bình hành là: uuur uuu r uuur BD = BA + BC Với điểm O khác A , B , C , D , ta có: uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r BD = BA + BC ⇔ OD − OB = OA − OB + OC − OB uuu r uuur uuur uuur ⇔ OA + OC = OB + OD uur r uur r uuu r r Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; uuu r r SD = d Khẳng định sau đúng? Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file wordr r Quan hệ vng góc – HH 11 r r r r r r r r r r r r r r r A a + c = d + b B a + b = c + d C a + d = b + c D a + b + c + d = Hướng dẫn giải: Chọn A r Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta phân tích sau: d uur uuu r uuu r r r r a  SA + SC = SO c b u u r u u u r u u u r (do tính chất đường trung tuyến)   SB + SD = 2SO uur uuu r uur uuu r r r r r ⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB = b , uuur r uuur r AC = c , AD = d Khẳng định sau đúng? uuur r r r uuur r r r A MP = c + d − b B MP = d + b − c 2 uuur r r r uuur r r r C MP = c + b − d D MP = c + d + b 2 Hướng dẫn giải: Chọn A r Ta phân tích: r b uuur uuuu r uuuu r d MP = MC + MD (tính chất đường trung tuyến) r c r uuur uuuu r r r uuuu r uuur uuuu = AC − AM + AD − AM = c + d − AM 2 u u u r r r r r r = c + d − AB = c + d − b 2 ( ( ) ) ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ( ( ) ) uuuu r r Câu 5: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ′ = u , r r uuur r uuuu r r uuuu CA ' = v , BD′ = x , DB′ = y Khẳng định sau đúng? uur r r r r uur r r r r A 2OI = ( u + v + x + y ) B 2OI = − ( u + v + x + y ) 2 uur r r r r uur r r r r C 2OI = ( u + v + x + y ) D 2OI = − ( u + v + x + y ) 4 Hướng dẫn giải: r r x v Chọn D Ta phân tích: r uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur r r r r uuuu y u u + v = AC ′ + CA′ = AC + CC ′ + CA + AA′ = AA′ r uuuu r uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r r uuuu x + y = BD′ + DB′ = BD + DD′ + DB + BB′ = 2BB′ = AA′ uuur uuur uur r r r r ⇒ u + v + x + y = AA′ = −4 A′A = −4.2OI uur r r r r ⇒ 2OI = − ( u + v + x + y ) Câu 6: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi I K tâm hình bình hành ABB′A′ BCC ′B′ Khẳng định sau sai? uur uuur uuuur A IK = AC = A′C ′ 2 B Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng uuur uur uuur C BD + IK = BC uuur uur uuuur D Ba vectơ BD ; IK ; B′C ′ không đồng phẳng Hướng dẫn giải: ( ( ) ( ) ( ) ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Chọn D A tính chất đường trung bình ∆B′AC tính chất hình bình hành ACC ′A′ B IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng C tích: uuu r uu r việc uuur ta uphân uur u uur uuur uuur uuur uuur BD + IK = BC + CD + AC = BC + CD + AD + DC uuur uuur uuur = BC + BC = BC uuur uur uuuur D sai giá ba vectơ BD ; IK ; B′C ′ song song trùng với mặt phẳng ( ABCD ) Do đó, theo định nghĩa đồng phẳng vectơ, ba vectơ đồng phẳng Câu 7: Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “ G trọng tâm tứ diện ABCD uuu r uuu r uuur uuur r GA + GB + GC + GD = ” Khẳng định sau sai? A G trung điểm đoạn IJ ( I , J trung điểm AB CD ) B G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD C G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC D Chưa thể xác định Hướng dẫn giải: Chọn D Ta gọi I J trung điểm AB CD Từ uuu rgiảuuthiết, ur uuta ur biến uuurđổirnhư sau: uur uuu r r uur uuu r r GA + GB + GC + GD = ⇔ 2GI + 2GJ = ⇔ GI + GJ = ⇒ G trung điểm đoạn IJ Bằng việc chứng minh tương tự, ta chứng minh phương án B C phương án đúng, phương án D sai r r uuur uuur r uuu Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x = AB ; y = AC ; zr = AD Khẳng định sau đúng? uuur r r r uuur r r r A AG = ( x + y + z ) B AG = − ( x + y + z ) 3 uuur r r r uuur r r r C AG = ( x + y + z ) D AG = − ( x + y + z ) 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M trung điểm CD Ta phân tích: uuur uuu r uuur uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r r AG = AB + BG = AB + BM = AB + AM − AB r x z 3 r uuu r  uuur uuur uuu r  uuu r uuur uuur r r r y = AB +  AC + AD − AB  = AB + AC + AD = ( x + y + z ) 2  ( ( ) ( ) ) uuu r r uuur r Câu 9: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Đặt AB = a ; BC = b M điểm xác định uuuu r r r OM = a − b Khẳng định sau đúng? ( ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 A M tâm hình bình hành ABB′A′ B M tâm hình bình hành BCC ′B′ C M trung điểm BB′ D M trung điểm CC ′ Hướng dẫn giải: Chọn C Ta phân tích: uuuu r r r uuur uuur uuur uuur uuur OM = a − b = AB − BC = AB − AD = DB 2 2 ′ ⇒ M trung điểm BB r ( ) ( ) ( ) a r r r r r r u r r b r r r r r Câu 10: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3b − 2c Chọn khẳng địnhu rđúng? r r u r A Hai vectơ y; z phương B Hai vectơ x; y phương r r r u r r C Hai vectơ x; z phương D Ba vectơ x; y; z đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B u r r r u r + Nhận thấy: y = −2 x nên hai vectơ x; y phương Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur r A Nếu ABCD hình bình hành OA + OB + OC + OD = uuu r uuur uuur uuur r B Nếu ABCD hình thang OA + OB + 2OC + 2OD = uuu r uuur uuur uuur r C Nếu OA + OB + OC + OD = ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur uuur r D Nếu OA + OB + 2OC + 2OD = ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Chọn B Câu 12: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định đúng? uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuur A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur C CD1 , AD, A1C đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng Hướng dẫn giải: D Chọn C C + M , N , P, Q trung điểm AB, AA1 , DD1 , CD Ta có CD1 / /( MNPQ ); AD / / ( MNPQ ) ; A1C / /(MNPQ ) uuuu r uuur uuuu r ⇒ CD1 , AD, A1C đồng phẳng A B D1 A1 r r r r C1 B1 r r u r r r r r r r Câu 13: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a + b; y = a − b − c; z = −3b − 2c Chọn khẳng địnhr đúng? u r r A Ba vectơ x; y; z đồng phẳng r r B Hai vectơ x; a phương Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 r r r u r r C Hai vectơ x; b phương D Ba vectơ x; y; z đôi phương Hướng dẫn giải: Chọn A u r r r r u r r Ta có: y = x + z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng Câu 14: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuu r uuuur uuuur uuuu r AB + B1C1 + DD1 = k AC1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: D Chọn B C ( ) uuu r uuuur uuuur uuu r uuur uuuu r uuuu r + Ta có: AB + B1C1 + DD1 = AB + BC + CC1 = AC1 Nên k = A B D1 C1 A1 B1 uuuu r r Câu 15: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D ′ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ′ = u , r u r uuur r uuuu r r uuuu CA′ = v , BD′ = x , DB′ = y Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? uur r uur r r r r u r r r u A 2OI = − (u + v + x + y ) B 2OI = − (u + v + x + y ) uur r r r u r uur r r r u r C 2OI = (u + v + x + y ) D 2OI = (u + v + x + y ) Hướng dẫn giải: D Chọn A + Gọi J , K trung điểm AB, CD +Ta có: J A K C B O D’ A’ uur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur r r r r u 2OI = OJ + OK = OA + OB + OC + OD = − (u + v + x + y ) ( ) Trang C’ B’ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word uuur Quan hệ vuông góc – HH 11 r uuur r uuur r uuur ur Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1 = a, AB = b, AC = c, BC = d , đẳng thức sau, r đẳng r r thức ur r đúng? r r r ur A a + b + c + d = B a + b + c = d Hướng dẫn giải: Chọn C r r ur r C b − c + d = r r r D a = b + c A C uuur uuur uuu r r r ur r r + Dễ thấy: AB + BC + CA = ⇒ b + d − c = B A1 C1 B1 Câu 17: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uur uuur A BD, AK , GF đồng phẳng B BD, IK , GF đồng phẳng uuur uuur uuur uuur uur uuur C BD, EK , GF đồng phẳng D BD, IK , GC đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B  IK //( ABCD ) uur uuur uuur  + GF //( ABCD ) ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng  BD ⊂ (ABCD)  + Các véctơ câu A, C , D khơng thể có giá song song với mặt phẳng D C A B K I H E Câu 18: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? r r r A Nếu giá ba vectơ a, b, c cắt đơi ba vectơ đồng phẳng Trang G F http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 r r r r B Nếu ba vectơ a, b, c có vectơ ba vectơ đồng phẳng r r r C Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng r r r D Nếu ba vectơ a, b, c có hai vectơ phương ba vectơ đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn A + Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng Câu 19: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r r A AC1 + A1C = AC B AC1 + CA1 + 2C1C = uuuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r C AC1 + A1C = AA1 D CA1 + AC = CC1 Hướng dẫn giải: Chọn A D C + Gọi O tâm hình hộp ABCD A1B1C1D1 + Vận dụng cơng thức trung điểm để kiểm tra A B O D1 C1 A1 B1 Câu 20: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: uuu r uuur uuur uuur ur A Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = O uuur uuur B Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD uur uuu r uur uuu r C Cho hình chóp S ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD Hướng dẫn giải: Chọn C uur uuu r uur uuu r uur uuur uur uuur uur uur uuur SB + SD = SA + SC ⇔ SA + AB + SA + AD = SA + SA + AC uuur uuur uuur ⇔ AB + AD = AC ⇔ ABCD hình bình hành B A D C uuur uuur Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Ta có AB.EG bằng? A a 2 C a B a Hướng dẫn giải: Chọn B D ( B A uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuuruuuu r AB.EG = AB EF + EH = AB.EF + AB.EH uuur2 uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur = AB + AB AD ( EH = AD ) = a (Vì AB ⊥ AD ) ) Trang a2 C D F E H G http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 22: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là: uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur A OA + OB = OC + OD B OA + OC = OB + OD uuu r u uur uuur uuu2r uuu r 2uuu r uuur uuu2r r C OA + OC = OB + OD D OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn giải: Chọn C uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur A OA + OC = OB + OD ⇔ OA + OA + AC = OA + AB + OA + BC uuur uuur uuur ⇔ AC = AB + BC B D C Câu 23: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi I K tâm hình bình hành ABB’ A’ BCC ′B′ Khẳng định sau sai ? uur uuur uuuur A Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng B IK = AC = A′C ′ 2 uuur uur uuuur uuur uur uuur C Ba vectơ BD; IK ; B′C ′ không đồng phẳng D BD + IK = BC Hướng dẫn giải: Chọn C uur uuur A Đúng IK , AC thuộc ( B′AC ) uur uuu r uuuur r r r r r r uuur uuuur B Đúng IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c = AC = A′C ′ 2 2 uur uuu r uuuur r r r r r r C Sai IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c 2 uuur uur r r r r r uuuur ⇒ BD + IK = −b + c + b + c = 2c = 2B′C ′ ⇒ ba véctơ đồng phẳng uuur uur r r r r r uuuur uuur D Đúng theo câu C ⇒ BD + IK = −b + c + b + c = 2c = B′C ′ = BC Câu 24: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M , N cho AM = 3MD , BN = 3NC Gọi P, Q trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur A Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng uuu r uuur uuur uuu r uuur uuuu r C Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng D Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng Chọn A ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur  MN = MA + AC + CN  MN = MA + AC + CN r uuuu r uuur uuur ⇒  uuuuur uuuuu r uuur uuur A Sai  uuuu  MN = MD + DB + BN 3MN = 3MD + 3DB + 3BN uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r ⇒ MN = AC − 3BD + BC ⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng Trang 10 http://dethithpt.com chun tài Quan hệ vng góc – HH 11 uuur uuuur uuu r – Website uuuur uuur uđề uu r thiuu uurliệuuufile uur word Do BC = B1C1 BA = B1 A1 nên BC + BA = B1C1 + B1 A1 A uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur Do AD + D1C1 + D1 A1 = AD + D1 B1 = A1 D1 + D1 B1 = A1 B1 = DC nên uuur uuuur uuuur uuur AD + D1C1 + D1 A1 = DC nên B uuur uuu r uuur uuur uuuur uuuu r Do BC + BA + BB1 = BD + DD1 = BD1 nên C Câu 52: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q trung điểm AB CD Chọn khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur A PQ = BC + AD B PQ = BC + AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur C PQ = BC − AD D PQ = BC + AD Hướng dẫn giải: : Chọn B.uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur Ta có : PQ = PB + BC + CQ PQ = PA + AD + DQ uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur nên 2PQ = PA + PB + BC + AD + CQ + DQ = BC + AD Vậy PQ = BC + AD Câu 53: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ M điểm AC cho AC = 3MC Lấy N đoạn C ′D cho xC ′D = C ′N Với giá trị x MN //D′ 1 A x = B x = C x = D x = 3 Hướng dẫn giải: : Chọn A ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) Câu 54: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuur uuuur uuuur uuur BD − D′D − B′D′ = k BB′ A k = Hướng dẫn giải: : Chọn C B k = C k = uuur uuuur uuuur uuur Ta có BD + DD′ + D′B′ = BB′ nên k = Trang 20 D k = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu 55: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? Quan hệ vng góc – HH 11 uur uuu r uuu r A Vì I trung điểm đoạn AB nên từ O ta có: OI = OA + OB uuu r uuur uuur uuu r r B Vì AB + BC + CD + DA = nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng uuuu r uuur r C Vì NM + NP = nên N trung điểm đoạn NP uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur D Từ hệ thức AB = AC − AD ta suy ba vectơ AB, AC , AD đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn uuu rB uuur uuur uuu r r Do AB + BC + CD + DA = với điểm A, B, C , D nên câu B sai Câu 56: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? r r r A Ba véctơ a, b, c đồng phẳng ba véctơ có giá thuộc mặt phẳng B Ba tia Ox,Oy,Oz vng góc với đơi ba tia khơng đồng phẳng r r r r r C Cho hai véctơ không phương a b Khi ba véctơ a, b, c đồng phẳng có r r r , cho c = ma + nb , cặp số mn , cặp số mn r r r r r r r D Nếu có ma + nb + pc = ba số m, n, p khác ba véctơ a, b, c đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn A r r r Ba véctơ a, b, c đồng phẳng ba véctơ có giá song song thuộc mặt phẳng Câu A sai Câu 57: Gọi M , N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P làuur1 điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng uu r uur uur r thức vectơ: IA + (2k − 1) IB + k IC + ID = A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: : Chọn C uu r uur uur uur r Ta chứng minh IA + IB + IC + ID = nên k = r r r Câu 58: Cho ba vectơ a, b, c Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? r r r r r r r A Nếu a, b, c không đồng phẳng từ ma + nb + pc = ta suy m = n = p = r r r r r r r B Nếu có ma + nb + pc = , m + n + p > a, b, c đồng phẳng r r r r r r r C Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ ta có ma + nb + pc = a, b, c đồng phẳng r r r r r r D Nếu giá a, b, c đồng qui a, b, c đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn D Câu D sai Ví dụ phản chứng cạnh hình chóp tam giác đồng qui đỉnh chúng không đồng phẳng uur r uuu r r uuur r Câu 59: Cho hình lăng trụ ABCA′B′C ′ , M trung điểm BB’ Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c Khẳng định sau đúng? uuuu r r r 1r uuuu r r r 1r uuuu r r r 1r A AM = a + c − b B AM = b + c − a C AM = b − a + c D 2 uuuu r r r 1r AM = a − c + b Hướng dẫn giải: : Chọn C uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur r r r Ta có AM = AB + BM = CB − CA + BB ′ = b − a + c 2 Trang 21 ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word uuur Quan hệ vng góc – HH 11 r uuu r r uuur r uuur ur Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA′B′C ′ Đặt AA′ = a, AB = b, AC = c, BC = d Trong biểu thức véctơ r rsaur đây, biểu thức nàorđúng r r ur r r r ur r r r ur A a = b + c B a + b + c + d = C b − c + d = D a + b + c = d Hướng dẫn giải: Chọn C r r ur uuur uuur uuur uuu r uuur r Ta có: b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = Câu 61: Cho tứ diện ABCD I trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức uur uur uur uuu r uur uur uur uuu r A 6SI = SA + SB + SC B SI = SA + SB + SC uu r uur uur uuu r uu r uur uur uuu r C SI = SA − SB + SC D SI = SA + SB + SC 3 Hướng dẫn giải: Chọn D uur uur uuu r uu r uu r uur uur uuu r Vì I trọng tâm tam giác ABC nên SA + SB + SC = 3SI ⇔ SI = SA + SB + SC 3 Câu 62: Trong mệnh đề sau, mệnh đề A Ba véctơ đồng nằm mặt phẳng r r rphẳng ba véctơ r r r B Ba véctơ a, b, c đồng phẳng có c = ma + nb với m, n số ur r r r ur C Ba véctơ khơng đồng phẳng có d = ma + nb + pc với d véctơ D Ba véctơ đồng phẳng ba véctơ có giá song song với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn D Câu A sai ba véctơ đồng phẳng ba r rvéctơ có giá song song với mặt phẳng Câu B sai thiếu điều kiện véctơ a, b khơng phương ur r r r r r r ur Câu C sai d = ma + nb + pc với d véctơ khơng phải điều kiện để véctơ a, b, c đồng phẳng Câu 63: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuur uuur uuur uuuur r AC + BA′ + k DB + C ' D = ( ) ( ) A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: Chọn B uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuuur uuur uuur r Với k = ta có: AC + BA ' + DB + C ' D = AC + BA ' + C 'B = AC + C 'A' = AC + CA = ( ) Câu 64: Cho hình chóp S ABC Lấy điểm A′, B′, C ′ thuộc tia SA, SB, SC cho SA = a.SA′, SB = b.SB′, SC = c.SC ′ , a, b, c số thay đổi Tìm mối liên hệ a, b, c để mặt phẳng ( A′B′C ′ ) qua trọng tâm tam giác ABC Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Hướng dẫn giải: Chọn A Nếu a = b = c = SA = SA′, SB = SB ′, SC = SC ′ nên ( ABC ) ≡ ( A′B′C ′ ) Suy ( A′B′C ′ ) qua trọng tâm tam giác ABC => a + b + c = đáp án uur r uur r uuu r r uuu r ur Câu 65: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA = a, SB = b, SC = c , SD = d Khẳngrđịnh r ur sau r r r ur r r r ur r r r r r ur A a + c = d + b B a + c + d + b = C a + d = b + c D a + b = c + d Hướng dẫn giải: Chọn A r r uur uuu r uuu r a + c = SA + SC = 2SO r r ur r r uuu r => a + c = d + b Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có:  r ur uur uuu b + d = SB + SD = SO Câu 66: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur A AG = AB + AC + AD B AG = AB + AC + AD uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur r C OG = OA + OB + OC + OD D GA + GB + GC + GD = Hướng dẫn giải: Chọn A uuur uuu r uuu r uuur uuur Theo giả thuyết với O điểm ta ln có: OG = OA + OB + OC + OD Ta thay điểm O điểm A ta có: uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur AG = AA + AB + AC + AD ⇔ AG = AB + AC + AD 4 uuur uuu r uuur uuur Do AG = AB + AC + AD sai Câu 67: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 với tâm O Chọn đẳng thức sai uuur uuur uuur uuuur uuuu r uuur uuur uuur A AB + AA1 = AD + DD1 B AC1 = AB + AD + AA1 uuu r uuuu r uuur uuuu r r uuu r uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r C AB + BC1 + CD + D1 A = D AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 Hướng dẫn giải: Chọn A uuur uuur uuur uuur uuuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur Ta có AB + AA1 = AB1 , AD + DD1 = AD1 mà AB1 ≠ AD1 nên AB + AA1 = AD + DD1 sai uuur r uuur r Câu 68: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB = b , AC = c uuur ur , AD = d Khẳng định sau uuur r ur r uuur ur r r A MP = (c + d + b) B MP = (d + b − c ) 2 uuur r r ur uuur r ur r C MP = (c + b − d ) D MP = (c + d − b) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D r ur r uuur uuur uuu r uuu r uuuu r uuur uuur r ur r Ta có c + d − b = AC + AD − AB = AP − AM = MP ⇔ MP = (c + d − b ) Câu 69: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B BA1 , BD1 , BD đồng phẳng ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) Trang 23 ) http://dethithpt.com uuur uuuu r uuur – Website chuyên đề thi tài liệu file word uuur uuuu r uuuu rQuan hệ vng góc – HH 11 C BA1 , BD1 , BC đồng phẳng D BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn C uuur uuuu r uuur Ta có véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng chúng có giá nằm mặt phẳng ( BCD1 A1 ) r uuu r u r uuur r uuur Câu 70: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x = AB; y = AC ; z = AD Khẳng định sau đúng? uuur r u r r uuur r r r u A AG = ( x + y + z ) B AG = − ( x + y + z ) 3 uuur r u r r uuur r r r u C AG = ( x + y + z ) D AG = − ( x + y + z ) 3 Hướng dẫn giải: Chọn A uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: AG = AB + BG; AG = AC + CG; AG = AD + DG uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur r u r r ⇒ 3AG = AB + AC + AD + BG + CG + DG = AB + AC + AD = x + y + z uuur uuur uuur r Vì G trọng tâm tam giác BCD nên BG + CG + DG = Câu 71: Cho hình chóp S ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uur uuu r uur uuu r A Nếu ABCD hình bình hành SB + SD = SA + SC uur uuu r uur uuu r B Nếu SB + SD = SA + SC ABCD hình bình hành uur uuu r uur uuu r C Nếu ABCD hình thang SB + SD = SA + 2SC uur uuu r uur uuu r D Nếu SB + SD = SA + 2SC ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Chọn C Đáp án C sai ABCD hình thang có đáy AD BC ta có uuu r uur uuu r uur SD + SB = SC + SA Câu 72: Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k uuuu r uuur uuur thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k AD + BC ( B k = A k = ) D k = C k = Hướng dẫn giải: Chọn B uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur MN = MA + AD + DN  r uuur uuur uuur  ⇒ 2MN = AD + BC + MA + MB + DN + CN Ta có: uuuu MN = MB + BC + CN  uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Mà M N trung điểm AB CD nên MA = BM = − MB; DN = NC = −CN uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur Do MN = AD + BC ⇒ MN = AD + BC 2uuu r r uuur r uuur r Câu 73: Cho tứ diện ABCD Đặt AB = a, AC = b, AD = c, gọi M trung điểm BC Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? uuuur r r r uuuur r r r A DM = a + b − 2c B DM = −2a + b + c 2 uuuur r r r uuuur r r r C DM = a − 2b + c D DM = a + 2b − c 2 Hướng dẫn giải: Chọn A ( ( ( ) ) ) ( ( Trang 24 ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 uuuur uuur uuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur Ta có: DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC = AB − AD + BA + AC 2 r uuur uuur r r r r r r uuu = AB + AC − AD = a + b − c = a + b − 2c 2 2 Câu 74: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tìm giá trị k thích hợp điền vào uuur uuur uuur uuur đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = k DG 1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: Chọn C uuur uuur uuur uuur Chứng minh tương tự câu 61 ta có DA + DB + DC = 3DG uuur uuu r uuur uuu r Câu 75: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F điểm thỏa nãm EA = kEB, FD = kFC P ,Q , R uuur uuur uuur uuur uuu r uuur điểm xác định PA = lPD ,QE = lQF , RB = lRC Chứng minh ba điểm P ,Q , R thẳng hàng.Khẳng định sau đúng? A P, Q, R thẳng hàng B P, Q, R không đồng phẳng C P, Q, R không thẳng hàng D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: ( ( ) ) Chọn C uuur uuu r uuur uuur Ta có PQ = PA + AE + EQ ( 1) uuur uuur uuur uuur PQ = PD + DF + FQ ( ) uuur uuur uuur uuur Từ ( ) ta có l PQ = l PD + l DF + l FQ ( 3) Lấy ( 1) − ( 3) theo vế ta có uuur uuur uuur ( 1− l ) PQ = AE − l DF uuur uuur l uuur ⇒ PQ = AE − DF 1− l 1− l uuu r r uuu l uuur EB − FC Tương tự QR = − l − l uuu r uuu r uuur uuur Mặt khác EA = k EB, FD = k FC nên uuur r kl uuur uuu r uuur l uuur −k uuu PQ = AE − DF = EB − FC = −kQR 1− l 1− l 1− l 1− l Vậy P, Q, R thẳng hàng Câu 76: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD , G trung điểm IJ uu r uuur uuur a) Giả sử a.IJ = AC + BD giá trị a là? A B C −1 D b) Chouu đẵng thức sau, đẵng thức đúng? u r uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuur uuur ur A GA + GB + GC + GD = B GA + GB + GC + GD = 2IJ uuu r uuu r uuur uuur uu r uuu r uuu r uuur uuur uu r C GA + GB + GC + GD = JI D GA + GB + GC + GD = −2 JI uuur uuur uuuu r uuuu r c) Xác định vị trí M để MA + MB + MC + MD nhỏ A Trung điểm AB B Trùng với G C Trung điểm AC Trang 25 D Trung điểm CD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Hướng dẫn giải: uu r uu r uuur uuu r  IJ = IA + AC + CJ uu r uuur uuur r uur uuur uuu r ⇒ IJ = AC + BD a)  uu  IJ = IB + BD + DJ uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur b) GA + GB + GC + GD = GA + GB + GC + GD ( ) ( Quan hệ vng góc – HH 11 ) uur uuu r uur uuu r r = 2GI + 2GJ = GI + GJ = uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r c) Ta có MA + MB + MC + MD = MG nên uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD nhỏ M ≡ G ( ) Câu 77: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định vị trí điểm M , N AC DC ' MN bằng? BD ' B cho MN P BD ' Tính tỉ số Hướng dẫn giải: A C D Chọn A uuu r r uuur r uuur r BA = a, BC = b, BB ' = c uuuu r uuur uuur uuuur Giả sử AM = x AC , DN = yDC ' uuuu r r r uuur r r r Dễ dàng có biểu diễn BM = ( − x ) a + xb BN = ( − y ) a + b + yc uuuu r r r r Từ suy MN = ( x − y ) a + ( − x ) b + yc ( 1) uuuu r uuuu r r r r Để MN P BD ' MN = zBD ' = z a + b + c ( ) r r r r r r Từ ( 1) ( ) ta có: ( x − y ) a + ( − x ) b + yc =z a + b + c r r r r ⇔ ( x − y − z ) a + ( − x − z ) b + ( y − z ) c =0 ( ) ( )  x = x − y − z =    ⇔ 1 − x − z = ⇔  y = y − z =    z =  uuuu r uuur uuur uuuur Vậy điểm M , N xác định AM = AC , DN = DC ' 3 uuuu r uuuu r uuuu r MN = Ta có MN = zBD ' = BD ' ⇒ BD ' Câu 78: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a góc · ' A ' D ' = 600 , B · ' A' A = D · ' A ' A = 1200 B a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A ' D ; AC ' với B' D A (·AB, A ' D ) = 600 ; (·AC ', B ' D ) = 900 B (·AB, A ' D ) = 500 ; (·AC ', B ' D ) = 900 C (·AB, A ' D ) = 400 ; (·AC ', B ' D ) = 900 D (·AB, A ' D ) = 300 ; (·AC ', B ' D ) = 900 Trang 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 b) Tính diện tích tứ giác A ' B ' CD ACC ' A ' A S A ' B ' CD = a ; S AA 'C 'C = a 2 B S A ' B 'CD = a ; S AA 'C ' C = a 2 2 C S A ' B 'CD = a ; S AA 'C ' C = 2a 2 D S A ' B 'CD = a ; S AA 'C 'C = a 2 c) Tính góc đường thẳng AC ' với đường thẳng AB, AD, AA ' A ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos B ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos C ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos D ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) Hướngudẫn uur giải: r uuuuu r r uuuuur r a) Đặt AA ' = a, A ' B ' = b, A ' D ' = c uuuur r r Ta có A ' D = a + c nên uuur uuuur cos ·AB, A ' D = cos AB, A ' D ( ) ( ) r r r uuu r uuuur a a+c AB A ' D = uuur uuuur = r r r AB A ' D a a+c r r r r r a2 Để ý a + c = a , a a+ c = Từ cos ·AB, A ' D = ⇒ (·AB, A ' D ) = 60 uuuu r r r uuuur r r r Ta có AC ' = b + c − a, B ' D = a − b + c , từ tính uuuu ruuuur r r r r r r AC 'B ' D = b + c − a a − b + c = ⇒ (·AC ', B ' D ) = 900 ( ) ( ( ) ) ( )( ) uuuur r r r uuuur r r r uuuur uuuur r r r r r r b) A ' C = a + b + c, B ' D = a − b + c ⇒ A ' C B ' D = a + b + c a − b + c = ⇒ A ' C ⊥ B ' D nên S A ' B ' DC = ( )( ) A ' C.B ' D 2 Dễ dàng tính A ' C = a 2, B ' D = a ⇒ S A ' B ' CD = a 2a = a uuur uuur S AA 'C 'C = AA ' AC sin AA ', AC , AA ' = a, Ac = a ( ) uuur uuur uuur uuur Tính sin AA ', AC = − cos AA ', AC = uuur uuur Vậy S AA ' C ' C = AA ' AC sin AA ', AC = a.a = a2 c) ĐS: ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) Trang 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 79: Cho tam giác ABC , cơng thức tính diện tích sau AB AC − BC 2 1 uuur uuur C S = AB AC − AB.AC 2 Hướng dẫn giải: A S = ( 1 uuur uuur AB AC + AB AC 2 uuu r uuur AB AC − AB AC D S = ( B S = ) ( ) ) Chọn D 1 ABAC sin A = AB AB sin A = AB AC ( − cos A ) 2 uuu r uuur = AB AC − AB AC Câu Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N , P, Q thuộc AB, BC , CD, DA cho uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur AM = AB, BN = BC , AQ = AD, DP = k DC 3 M , N , P , Q Hãy xác định k để đồng phẳng 1 1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: S ABC = ( ) Chọn A Cách uuuu r uuu r uuuu r uuu r r uuu Ta có AM = AB ⇒ BM − BA = − BA 3 uuuu r uuu r ⇒ BM = BA uuur uuur Lại có BN = BC MN P AC Vậy Nếu M , N , P, Q đồng phẳng ( MNPQ ) ∩ ( ACD ) = PQ P AC uuur uuur PC QA ⇒ = = hay DP = DC ⇒ k = PD QD 2 uuur r uuur r uuur r Cách Đặt DA = a, DB = b, DC = c khơng khó khăn ta có biểu diễn uuuu r r uuuu r r r uuur 2r 1r 1r 1r MN = − a + b , MP = − a − b + kc , MN = − a − b 3 3 uuuu r uuur uuuu r Các điểm M , N , P, Q đồng phẳng vec tơ MN , MP, MQ đồng phẳng uuur uuuu r uuuu r ⇔ ∃x, y : MP = xMN + yMQ r 2r 1r  r r  r 1r ⇔ − a − b + kc = x  − a + c ÷+ y  − a − b ÷ 3     r urr Do vec tơ a, b,c không đồng phẳng nên điều tương đương với Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11  − x − y = −   ⇔ x = , y = 1, k = − y = −  2 3 x = k  · · Câu 80: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a , ·ASB = BSC = CSA = α Gọi ( β ) mặt phẳng qua A trung điểm SB, SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( β ) a2 cos α − 16 cos α + a2 C S = cos α − cos α + Hướng dẫn giải: a2 cos α − cos α + a2 D S = cos α − 16 cos α + A S = B S = Chọn D Gọi B ', C ' trung điểm SB, SC Thiết diện tam giác AB ' C ' uuuu r uuuu r AB '2 AC '2 − AB '.AC ' Theo tập S AB 'C ' = uuuu r uuur uur uur uur Ta có AB ' = SB ' − SA = SB − SA uuruur ⇒ AB '2 = SB + SA2 − SASB a = ( − cos α ) Tính tương tự, ta có uuuu ruuuu r a2 AB ' AC ' = ( − 3cos α ) ( Vậy SAB'C ' = ) 2 a4 a4 5− 4cos α ) − ( − 3cos α ) ( 16 16 a2 = cos α − 16 cos α + Câu 81: Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng ( α ) cắt tia SA, SB, SC , SG ( G trọng tâm tam giác SA SB SC SG + + =k ABC ) điểm A ', B',C ',G ' Ta có Hỏi k bao nhiêu? SA ' SB ' SC ' SG ' A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Do G trọng tâm ∆ABC nên uuu r uuur uuur r uuu r uur uur uuu r GA + GB + GC = ⇒ 3SG = SA + SB + SC SG uuur SA uuur SB uuur ⇔3 SG ' = SA ' + SB ' SG ' SA ' SB ' SC uuur + SC ' SC ' Mặt khác A ', B ', C ', G ' đồng phẳng nên Trang 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word SA SB SC SG + + =3 SA ' SB ' SC ' SG ' Quan hệ vuông góc – HH 11 Chú ý: Ta có kết quen thuộc hình học phẳng uuur : uuur uuuu r r Nếu M điểm thuộc miền tam giác ABC S a MA + Sb MB + Sc MC = S a , Sb , Sc diện tích tam giác MBC , MCA, MAB Vì ta có tốn tổng qt sau: Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng ( α ) cắt tia SA, SB, SC , SM ( M điểm thuộc miền tam giác ABC ) điểm A ', B ', C ', M ' S a SA Sb SB S c SC S SM + + = ( Với S a , Sb , Sc diện tích tam giác SA ' SB ' SC ' SM ' MBC , MCA, MAB S diện tích tam giác ABC ) Câu 82: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng ( α ) cắt cạnh SA, SB, SC , SD A ', B ', C ', D ' Đẳng thức sau đúng? SA SC SB SD SA SC SB SD +2 = +2 + = + A B SA ' SC ' SB ' SD ' SA ' 2SC ' SB ' 2SD ' SA SC SB SD SA SC SB SD + = + − = − C D SA ' SC ' SB ' SD ' SA ' SC ' SB ' SD ' Hướng dẫn giải: uur uuu r uur uuu r uuu r Gọi O tâm hình bình hành ABCD SA + SC = SB + SD = 2SO SA uuur SB uuur SB uuur SC uuur ⇔ SA ' + SC ' = SB ' + SC ' Do A ', B ', C ', D ' đồng phẳng SA ' SB ' SB ' SC ' SA SC SB SD + = + nên đẳng thức ⇔ SA ' SC ' SB ' SD ' Chứng minh: Câu 83: Cho hình chóp S ABC có SA = a, SB = b, SC = c Một mặt phẳng ( α ) qua trọng tâm tam giác ABC , cắt cạnh SA, SB, SC A ', B ', C ' Tìm giá trị nhỏ 1 + + 2 SA ' SB ' SC '2 A B C D 2 2 2 a +b +c a +b +c a + b2 + c2 a +b +c Hướng dẫn giải: Chọn D uuu r uur uur uuu r Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có 3SG = SA + SB + SC SA uuur SB uuur SC uuur = SA ' + SB ' + SC ' SA ' SB ' SC ' SA SB SC a b c + + =3⇔ + + =3 Mà G, A ', B ', C ' đồng phẳng nên SA ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: 1  b c    a 2 Ta có  + + a +b +c ) ≥ + + ÷ 2 ÷(  SA ' SB ' SC '   SA ' SB ' SC '  Trang 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 1 ⇔ + + ≥ SA '2 SB '2 SC '2 a + b + c Đẳng thức xảy 1 a b c = = + + = ta kết hợp với aSA ' bSB ' cSC ' SA ' SB ' SC ' a + b2 + c a + b2 + c a + b2 + c SA ' = , SB ' = , SC ' = 3a 3b 3c 1 + + Vậy GTNN 2 SA ' SB ' SC ' a + b2 + c2 Câu 84: Cho tứ diện ABCD , M điểm nằm tứ diện Các đường thẳng AM , BM , CM , DM cắt mặt ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB ) , ( ABC ) A ', B ', C ', D ' Mặt phẳng ( α ) qua M song song với ( BCD ) cắt A ' B ', A ' C ', A ' D ' điểm B1 , C1 , D1 Khẳng định sau Chứng minh M trọng tâm tam giác B1C1 D1 A M trọng tâm tam giác B1C1D1 B M trực tâm tam giác B1C1 D1 C M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B1C1 D1 D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác B1C1 D1 Hướng dẫn giải: Chọn D Vì M nằm tứ diện ABCD nên uuur uuur uuuu r uuuu r r tồn x, y , z , t > cho xMA + yMB + zMC + tMD = ( 1) Gọi ( α ) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( BCD ) ( α ) P( BCD )  Ta có ( BB ' A ') ∩ ( α ) = MB1 ⇒ MB1 P BA '  ( BB ' A ') ∩ ( BCD ) = BA ' MB1 MB ' uuuur MB ' uuur = ⇒ MB1 = BA ' ( ) BA ' BB ' BB ' Trong ( 1) , chiếu vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương Do ( ACD ) ta được: uuuur uuur uuuur uuuur r uuuur uuur r xMB ' + yMB + zMB ' + tMB ' = ⇒ ( x + y + z ) MB ' + yMB = uuuur uuur MB ' y ⇒ ( x + y + z + t ) MB ' = yBB ' ⇒ = BB ' x + y + z + t uuuur uuur y BA ' ( 3) Từ ( ) suy MB1 = x+ y+ z+t uuuur uuur z CA ' ( ) Tương tự ta có MC1 = x+ y+ z+t uuuur u u u u r z MD1 = DA ' ( ) x+ y+ z+t Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Mặt khác chiếu vec tơ ( 1) lên mặt phẳng ( BCD ) theo phương AA ' tì thu uuuur uuuur uuuur r y A ' B + z A ' C + t A ' D = Vậy từ ( 3) , ( ) , ( ) ta có uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuu r r MB1 + MC1 + MD1 = yBA ' + zCA ' + t DA ' = , hay M trọng tâm tam giác B1C1D1 x+ y+ z +t Câu 85: Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = b, AB = DC = c Gọi S diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất mặt) Tính giá trị lớn 1 + 2+ 2 2 ab bc ca 2 A B C D S S S S Hướng dẫn giải: Do tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c nên ∆BCD = ∆ADC = ∆DAB = ∆CBA abc Gọi S ' diện tích R bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt S = S ' = , nên bất R 1 2 2 đẳng thức cần chứng minh 2 + 2 + 2 ≤ ⇔ a + b + c ≤ R ab bc ca S Theo công thức Leibbnitz: Với điểm M G trọng tâm tam giác ABC MA2 + MB + MC = GA2 + GB + BC + 3MG = ( a + b + c + 9MG ) Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta R = aa + b + c + 9OG ≥ a + b + c Câu 86: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' điểm M , N , P xác định uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuu r MA = k MB ' ( k ≠ ) , NB = xNC ', PC = yPD ' Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng 2+k + 2k 1+ k +k D x = ,y=− ,y =− ,y=− A x = B x = C x = , y = − 2−k k − 2k 2k 1− k k 2−k 2k Hướng dẫn giải: ( ) Chọn D uuur r uuu r r uuur r Đặt AD = a, AB = b, AA ' = c Từ giả thiết ta có : uuuu r k r r AM = b + c ( 1) k −1 uuu r r r uuur r y r r x r r c − b ( 3) AN = b + a + c ( ) AP = a + b + y −1 x −1 Từ ta có uuuu r uuur uuuur x r r  x k r = a − b + − MN = AN − AM  ÷c x −1 k −1  x −1 k −1   x y r + − ÷c  x −1 y −1  uuur uuur uuuu r r y r  y k r MP = AP − AM = a − ( + )b +  − ÷c y −1 k −1  y −1 k −1  Ba điểm M , N , P thẳng hàng tồn λ cho uuuu r uuur MN = λ MP ( *) ( ) ( ) ( ) Trang 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 uuuu r uuur r r r 1+ k ,y=− Thay vec tơ MN , MP vào ( *) lưu ý a, b, c không đồng phẳng ta tính x = 1− k k Câu 87: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Một đường thẳng ∆ cắt đường thẳng AA ', BC , C ' D ' lần uuuur uuur MA lượt M , N , P cho NM = NP Tính MA ' MA MA =1 = A B MA ' MA ' Hướng dẫn giải: C MA =2 MA ' D MA = MA ' Chọn C uuur r uuu r r uuur r Đặt AD = a, AB = b, AA ' = c uuuu r uuur r Vì M ∈ AA ' nên AM = k AA ' = kc uuur uuur r uuuur r N ∈ BC ⇒ BN = l BC = la , P ∈ C ' D ' ⇒ C ' P = mb uuuur uuur uuu r uuuur r r r Ta có NM = NB + BA + AM = −la − b + kc uuur uuur uuur uuuuu r uuuur r r r NP = BN + BB ' + B ' C ' + C ' P = (1 − l )a + mb + c uuuur uuur r r r r r r Do NM = NP ⇒ −la − b + kc = 2[ ( − l ) a + mb + c ] −l = ( − l )  MA ⇔  −1 = 2m ⇔ k = 2, m = − , l = Vậy = 2 MA ' k =  Câu 88: Giả sử M , N , P ba điểm nằm ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC Gọi I giao điểm ba mặt phẳng ( BCM ) , ( CAN ) , ( ABP ) J giao điểm ba mặt phẳng ( ANP ) , ( BPM ) , ( CMN ) Ta S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức sau đúng? MS NS PS JS MS NS PS JS + + + = + + + = A B MA NB PC JI MA NB PC JI MS NS PS JS MS NS PS JS + + + = + + +1 = C D MA NB PC JI MA NB PC JI Hướng dẫn giải: Chọn D Goi E = BP ∩ CN , F = CM ∩ AP , T = AN ∩ BM Trong ( BCM ) có I = BF ∩ CT ( ANP ) có NF ∩ PT = J uur r uur r uuu r r Đặt SA = a, SB = b, SC = c uuur uuur uuu r uuur uur uuur SM = xMA, SN = y NB, Sp = zPC uuur r x r uuu y r uur z r a, SN = b, SP = c ( x > 0, y > 0, z > ) Ta có SM = x +1 y +1 z +1 uuu r uuur uur  ST = α SM + ( − α ) SB T ∈ AN ⇒  uuu r uuu r uur Do T = AN ∩ BM nên  T ∈ BM  ST = β SN + ( − β ) SA uuur uur uuu r uur ⇒ α SM + ( − α ) SB = β SN + ( − β ) SA Trang 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 r βy r r r r αx r ⇔ a + (1−α ) b = b + ( − β ) a Vì a, b khơng phương nên ta có x +1 y +1 x   αx α= = 1− β   r r r x + y + uuu x y  x +1  ⇔ ⇒ ST = a+ b  βy y x + y +1 x + y +1  β = = 1− α  y +1 x + y +1   Hoàn toàn tương tự ta có : uur r r uuu r r r y z z x SE = b+ c, SF = c+ a y + z +1 y + z +1 z + x +1 z + x +1 Làm tương tự hai giao điểm I = BF ∩ CT NF ∩ PT = J ta : uur r r r uur r r r 1 SI = xa + yb + zc , SJ = xa + yb + zc x + y + z +1 x+ y+z+2 uur x + y + z + uur uur uu r SI ⇒ SJ = ( x + y + z + 1) IJ Suy SJ = x+ y+z+2 SI SM SN SP = x + y + z +1 = + + +1 Vậy S , I , J thẳng hàng IJ MA NB PC ( ) ( Trang 34 ) ... BM = CB − CA + BB′ r r uuur r r r = b − a + AA′ = b − a + c 2 Câu 2: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình... nb r r r r • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: ∃ ! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vơ hướng hai vectơ • Góc hai vectơ không gian: uuu r r uuur r r r · · AB = u... file word Quan hệ vng góc – HH 11 VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Định nghĩa phép tốn • Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hồn tồn tương tự mặt phẳng