BÁO CÁO CHỦ ĐỀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

I.Các khái niệm cơ bản về khoảng cách 1.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 2.Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song 3.Khoảng cách giữa ha

I.Các khái niệm cơ bản về

khoảng cách

1.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 2.Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song

3.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

1.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng(a) Gọi H là hình chiếu

vuông góc của O lên mặt phẳng (a) Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp(a).

2.Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song

•Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng

(α), khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mp(α).

b, Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là

khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

3.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau

Đường vuông góc chung : Đường thẳng 

cắt 2 đường thẳng chéo nhau a, b và vuông

góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là

đường vuông góc chung của 2 đường thẳng a

và b

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo 

nhau: 

Nếu đường vuông góc chung  cắt 2 đường

thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì

độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách

giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.

Nhận xét.

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳngsong song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Qua các định nghĩa và nhận xét vừa nêu ta rút ra kết luận: Bài toán tìm khoảng cách giữa đường thẳng

song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều

đưa về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng Nếu muốn làm tốt các bài tập về

khoảng cách khác thì trước tiên và trọng điểm là giúp học sinh giải quyết các bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cách xác định hình chiếu vuông góc H của

điểm M trên mặt phẳng (α)

• Dựng mặt phẳng (β) đi qua M và (β)⊥(α)) đi qua M và (β) đi qua M và (β)⊥(α)) (α) ⊥(α)

• Tìm giao tuyến ∆ = (α) ∩ (β) đi qua M và (β)⊥(α)).

• Trong (β) đi qua M và (β)⊥(α)), dựng MH ∆ tại H ⊥(α)

Vậy H là hình chiếu vuông góc của điểm M

trên mặt phẳng (α).

SA A A n

IV.Sai lầm của học sinh khi xác định

khoảng cách

Để tính khoảng cách đúng, chính xác thì yếu tố quan trọng nhất đó là dựng đúng khoảng cách đó Bài toán về khoảng cách trong hình học không gian thuần túy thường trừu

tượng và khó đối với học sinh Điều này cũng làm cho

không ít học sinh thắc mắc, sai lầm khi học phần này.

Cụ thể:

Bài toán 1: Trong hình chóp tam giác S.ABC, đường cao

đi qua đỉnh C của đáy Mặt bên (SAB) là một tam giác

vuông có cạnh huyền AB = a, hợp với dáy 1 góc β) đi qua M và (β)⊥(α) và

Tính khoảng cách từ đỉnh C đến mp (SAB)

Dự kiến sai lầm:

- HS xác định góc giữa 2 mp (SAB) và (ABC) và khoảng cách từ C đến (SAB)

chưa chính xác

- Vì SC  (ABC) nên góc giữa (SAB) và (ABC) là SAC Vậy SAC = β Từ C kẻ

CH  SA Khi đó d C SAB( ,( )) CH

Xét trong ∆SAB vuông tại S, với AB = a, SAB  nên ta có: SA = a.cosα, SB = α, SB = a.sα, SB = inα Trong tam giác vuông SAC có CA = a.cosα, SB = α.cosα, SB = β, SC = acosα, SB = α.sα, SB = inβ

Do đó: 1 2 12 12

CH CA CS ⇒ CH = a.cosα, SB = α.cosα, SB = β.sα, SB = inβ

Phân tích sai lầm:

- Xác định góc do trực giác và không nắm rõ định nghĩa góc giữa 2 mp Trước

hết ta phải xác định giao tuyến của 2 mp (SAB)⋂(ABC) = AB

Tìm mp(α) vuông góc với AB Từ C kẻ CI ⊥ AB Khi đó (SCI) ⊥ AB

Vậy ((SAB),(ABC)) = SIC = β

- Khoảng cách từ điểm C đến mp(SAB) là khoảng cách từ điểm C đến hình

chiếu của nó trên mp(SAB) Ở đây H xác định như trên là không phải hình chiếu của C trên (SAB) Vì ta có thể chứng minh được CH không vuông góc với

Thông thường trong SGK chỉ đưa ra những định lý khái quát và trừu tượng nên những phương pháp này chỉ rõ cho HS cách xác định mp chứa điểm A và xuông góc với mp(α) như thế nào Bởi khó khăn chủ yếu của HS là xác định mặt phẳng này

2 Phương pháp 2: Dựa trên cơ sα, SB = ở đã có một khoảng cách có sα, SB = ẵn

- Nếu có một điểm A’

- AA’ sα, SB = ong sα, SB = ong với mp(α) thì d(A,(α)) = d(A’,(α) )

Khoảng cách của đường thẳng a ( a sα, SB = ong sα, SB = ong với mp(α) ) đến (α) là khoảng cách từ một điểm trên đường a đến (α)

3 Để tính khoảng cách từ A đến (α) người ta có thể vận dụng hệ thức lượng trong tam giác … Ngoài ra có thể dựa vào

+ V = 1

3Bh ⇒ h = 3V

B với : V là thể tích của hình chóp tạo bởi A và (α)

B là diện tích của hình F trên (α)

h là đường cao hạ từ A xuống (α) , h = d(a,(α) ) + ( ,( ))

Bài tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có sα, SB = áu mặt đều là hình thoi có một

góc bằng 600 và cạnh a Đường cao của hình chóp là 6

3

a Tính đội dài đoạn vuông góc chung của A’C’ va BB’

Dự kiến sai lầm:

- Xác định đường vuông góc chung của A’C’ và BB’ là không đúng

Kẻ A’H (ABCD) Ta có A’DA, ABD, AA’B, ⊥(α)

A’BD là những tam giác đều Do đó hình chóp

A’.ABD là hình chóp đều Vậy H là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABD

- Nối BO’.T ừ O’ kẻ O’I BB’ Khi đó O’ thuộc ⊥(α)

A’C’, I thuộc BB’ nên O’I là đường vuông góc

chung của BB’ và A’C’

Phân tích sai lầm: Xác định đoạn vuông góc chung của A’C’ và BB’ là sα, SB = ai

- Đây là sα, SB = ai lầm mà đa sα, SB = ố HS mắc phải khi học phần này Đa sα, SB = ố HS lấy một

điểm trên đường thẳng này rồi từ điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc đến đường thẳng kia

Đoạn vuông góc chung có nghĩa là đoạn thẳng mà vuông góc đồng thời với hai đường thẳng đó Do đó ở đây O’I không vuông góc với A’C’ nên không thể kết luận đó là đoạn vuông góc chung của A’C’ và BB’

Ta thấy B’O’ A’C’, xem thử B’O’ BB’? ⊥(α) ⊥(α)

Ta có: BD A’H, BD AC BD ⊥(α) ⊥(α) ⇒ BD ⊥ ⊥(α)

(ACC’A’) Suy ra BD AA’, BD BB’ ⊥(α) ⊥(α)

Vậy B’O’ BB’ Hay B’O’ là đoạn vuông góc ⊥(α)

chung của A’C’ và BB’

Và B’O’ = B’D’ = a

Đây là trường hợp đặc biệt đoạn vuông góc

chung đã có sẵn Những trường hợp tổng

quát hơn thì ta phải dựng nó và dựng như thế

nào ? Thường dùng phương pháp sau, nếu

năm kỹ phương pháp này thì bất kỳ một bài

toán dựng đoạn vuông góc chung nào đều có

thể giải quyết được

Bước 1: - Dựng (α) chứa b và song song với a

Dựng (α) : Từ 1 điểm trên đường thẳng b kẻ đường thẳng a’ song song với a Khi đó (α) = (a’,b) và d(a,b) = d(a,(α) )

Bước 2: Xác định (β) đi qua M và (β)⊥(α)) vuông góc với (α)

Xác định (β) đi qua M và (β)⊥(α)): - Từ một điểm O trên đường

thẳng a, kẻ đường thẳng d1 a’ tại K ⊥(α)

TỪ CÁC VÍ DỤ TRÊN TA THẤY RẰNG

• Trong việc giải bài tập khoảng cách là học sinh phải biết vẽ các hình biểu diễn, xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng…Đây là vấn đề gây ra nhiều khó khăn cho hoc sinh

• Hình học không gian là sự tiếp nối của hình học phẳng Do vậy, trước khi học khoảng cách trong không gian ta phải nắm vững các khái niệm, định lí liên quan với nó trong hình học phẳng Đối với những học sinh yếu về hình học phẳng thì sẽ gặp khó khăn khi giải các bài tập về khoảng cách trong không gian

• Nhiều học sinh khi dựng được hình rồi nhưng không tính được khoảng cách do kiến thức về tính toán không còn nhớ

Giáo viên cần :

-Cần xây dựng hệ thống lý thuyết đầy đủ và rõ ràng để học sinh nắm chắc từ đó áp dụng vào các bài toán cụ thể -Đưa ra các bài toán có tính phân bậc để tạo hứng thú cho học sinh khi giải và giúp khắc sâu kiến thức

-Khi giải cần tạo các tình huống để học sinh mắc sai lầm

và từ đó đưa ra biện pháp khắc phục giúp học sinh nhớ lâu và lần sau không mắc

-Đa dạng cách làm hướng làm giúp tư duy học sinh được phát triển

IV.Hệ thống bài tập

BÀI 1: Cho mặt phẳng (α), điểm A không thuộc mặt phẳng (α), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (a),M là điểm bất kì nằm trên mp(α) E là điểm thuộc AM sao cho

d Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng (α) D là

trung điểm của JC Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (α)

d(E, (a)) = EP.

Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp(a)) và M, P, H thẳng hàng

Theo định lí Tallet ta có :

Khi đó EP = k AH hay d(E, (a)) = k h (1)

Vì I là trung điểm của AM nên :

d(I, (a)) = 1/2.h (áp dụng kết quả (1) với k =1/2

c.Dễ thấy IJCQ là hình chữ nhật nên IQ = JC

Do đó d(J, (a)) = d(I, (a)) hay d(J, (a)) =1/2.h.

d D là trung điểm của JC nên

Lúc đó d(D, (α)) =1/2 d(J, (a)) = 1/4 h

hay d(D, (a)) = 1/4.h

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

• Nhận xét: Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau ta

chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt kia, áp dụng giả thiết bài toán ta có được câu a Trên kết quả câu a

phẳng (SBC) và các khoảng cách đã biết như : d(A, (SBC)), d(J,

(SBC)), hay d(I, (SBC))



Kẻ AH ┴ SB (H thuộc SB) Do ∆SAB vuông cân nên

H là trung điểm của SB, khi đó AH ┴ ( SBC) nên d(A, (SBC)) = AH

Xét ∆SAB vuông cân tại A Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

Khi đó

Bài 3

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a O là tâm hình vuông

ABCD

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC);

c G1 là trọng tâm ∆SAC Từ kẻ đường thẳng song song với SB cắt

OB tại I Tính khoảng cách từ điểm G1 đến mp(SBC), khoảng cách

từ điểm I đến mp(SBC);

d J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);

e Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm đến mp(SBC)

a Kẻ AH ┴ SB(1);

Ta có SA ┴ AD ( vì SA ┴(ABCD))

Mà AB ┴ AD (ABCD là hình vuông) suy ra AD ┴ (SAB)

c G1 là trọng tâm ∆SAC nên :

d J, O lần lượt là trung điểm của SD, DB nên JO

là đường trung bình của tam giác SDB Suy ra

Vẫn là hệ thống các câu hỏi nhỏ vừa thu hút, lôi cuốn sự tập trung hoạt động của học sinh, vừa từng bước giải quyết bài toán khá

phức tạp Cũng ví dụ này nếu ta sửa lại yêu cầu bài toán:

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC)

Hoặc chỉ yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) (với G

là trọng tâm ∆SDC) thì làm thế nào? điều này không phải là đơn giản mà đòi hỏi phải có sự hoạt động tối đa của trí óc

Nếu ta đưa ra bài toán dưới dạng này sẽ gây ra khó khăn, vướng mắc đối với việc giải của học sinh làm ảnh hưởng đến tư duy tích cực và dễ chán nản

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI

ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Với các bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song, hai đường

thẳng chéo nhau thì ta đưa về bài toán tính khoảng cách từ

Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC))

Ta có AO  (SBC)  C và do đó

d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;

SO  (ABCD) nên SO  BC

Kẻ SJ  BC thì I là trung điểm của BC

Suy ra BC  (SOJ)  (SBC)  (SOJ)

(SBC)  (SOI)  SI, kẻ OH  SI (H  SI)

Với giả thiết của bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh tính tiếp:

b Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và SB;

c Từ B kẻ đường thẳng song song với SC cắt CH tại K, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và SK.

Theo lối tư duy trên học sinh sẽ nhận ra:

d(AD, SB) = d(A, (SBC)) =

d(AD, SK) = d(AD, (SBC)) =

Bài 2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

vuông góc với mp(ABCD), SA = a E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

a.AC và SD

b.AC và SE

Bài giải :

E là điểm đối xứng của B qua A nên  AEDC là hình bình hành Do đó AC //

ED hay AC // (SED) (1)

suy ra d(AC, SD) = d(AC, (SED)) = d(A, (SED));

* Tính d(A, (SED))

SA  ED, kẻ SK  ED(KED) thì ED  (SAK) suy ra (SED)  (SAK);

(SED)  (SAK)  SK Kẻ AH  SK (HSK) thì d(A, (SED)) = AH

SAK và EAD là các tam giác vuông tại A Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Suy ra hay

Vậy

Vì AC // (SED) (theo 1) nên d(AC, SE) = d(AC, (SED)) =

Qua các ví dụ về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thấy rằng các bài toán đều đưa về tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.Vì vậy giáo viên cần sắp xếp bài toán có tính hệ thống để giải toán của học

sinh nhẹ nhàng hơn, phát huy được lối tư duy tích cực, sự

kế thừa kết quả đã có, kỹ năng đã biết phục vụ vào giải các bài toán mới.