Luân van dạy học hàm số mũ

cung cấp luận văn mẫu cho sinh viên sư phạm toán, hệ thống hóa lại kiến thức và cách giải các dạng toán có liên quan cũng như các dạng bài tập áp dụng kiến thức hàm số mũ từ đó đề xuất một số biện pháp giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và có kĩ năng giải toán phương trình mũ và bất phương trình mũ, rèn luyện khả năng lập luận và tư duy logic.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ

Giảng viên hướng dẫn

PGS TS Nguyễn Phú Lộc

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Văn Nhân Mssv: B1300407 Lớp: Sư phạm Toán K39

Cần Thơ - 2017

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Khoa Sư phạm, thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán học đã tận tình dạy dỗ, trang bị cho em những kiến thức cần thiết trong suốt bốn năm đại học Cuối cùng, em xin gửi đến quý thầy cô Khoa Sư phạm nói chung và quý thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán học nói riêng lời chúc sức khỏe, thành công trong sự nghiệp cũng như trong cuộc sống

Cần Thơ, ngày tháng năm 2017 Sinh viên thực hiện

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đứng trước sự phát triển và đi lên của đất nước đòi hỏi ngành giáo dục phải đổimới và nâng cao chất lượng dạy và học Giáo dục phải tạo nên những con người năngđộng, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và giải quyết vấn đề Trong đó toán học cóvai trò rất quan trọng trong ngành giáo dục “Dù các bạn phục vụ ngành nào, trongcông tác nào thì các kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho các bạn” (PhạmVăn Đồng) Hơn thế khi học giỏi toán sẽ giúp cho tư duy học sinh trở nên nhạy bén vàcách hệ thống kiến thức của học sinh logic, chặt chẽ và mạch lạc hơn Giúp học sinhthu nhận tri thức một cách khoa học biến nó trở thành của bản thân và có thể vận dụngchúng một cách linh hoạt và hiệu quả hơn trong đời sống

Bài tập toán cũng là một phần rất quan trọng trong việc giảng dạy môn toán.Trong quá trình giải bài tập bắt buộc học sinh phải vận dụng các định nghĩa, tính chất,khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp,… đã được học để có thể phân tích, nhậndạng và vận dụng các kiến thực và kĩ năng một cách hợp lý bằng hoạt động tri thứcphức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến, các thao tác tư duy cơ bản, … để hoàn thànhviệc giải bài tập toán

Song thực trạng dạy học hiện nay, còn tồn tại nhiều vấn đề dẫn đến việc không

ít học sinh tỏ ra chán nản và không có hứng thú trong việc học toán dẫn đến học lựctoán yếu kém mất căn bản, ngồi nhằm lớp, không có khả năng vận dụng kiến thức kĩnăng vào việc giải các dạng bài tập toán cơ bản, yếu kĩ năng tính toán… Đây là mối

lo ngại cho nhiều Trường Trung học cơ sở (THCS) và Trường Trung học phổ thông(THPT) nói chung, làm ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục và đào tạo của nhà trường

Ở chương trình Toán trung học phổ thông, ngoài các dạng toán về khảo sát hàm

số, đồ thị, giới hạn, đạo hàm, tích phân, lượng giác, phương trình vô tỉ,… Thì các bàitập về phương trình mũ và bất phương trình mũ sẽ theo học sinh trong suốt các kì thi

từ học kì, kì thi tốt nghiệp và kì thi tuyển siunh đại học, cao đẳng,… Tuy nhiên việcgiải toán các bài toán về phương trình mũ và bất phương trình mũ yêu cầu học sinhphải nắm vững nhiều kiến thức cơ bản về mũ lũy thừa và hàm số mũ,… Và vận dụng

chúng một cách linh hoạt Vì vậy người giáo viên cần xây dựng những biện pháp phùhợp có thể giúp hợp sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, các dạng phương trình mũ

và bất phương trình mũ cơ bản, dưa ra nhiều ví dụ và phương pháp giải phù hợp giúphọc sinh giải quyết bài toán một cahs dễ dàng Từ đó, học sinh có lòng say mê, yêuthích và học toán tốt hơn

Do đó chúng tôi quyết định chọn đề tài “Dạy học hàm số mũ” để làm luận văn

tốt nghiệp Thông qua đề tài tôi muốn xây đựng một hệ thống nội dung phương trình

và bất phương trình mũ một cách tổng quát , tổng hợp các dạng toán cũng như đưa racác dạng toán cụ thể Mặt khác, việc nghiên cứu đề tài giúp tôi nắm vững kiến thức vàrút ra kinh nghiệm quý báu khi giảng dạy về sau

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm hệ thống hóa lại kiến thức và cách giải các dạng toán có liênquan cũng như các dạng bài tập áp dụng kiến thức hàm số mũ từ đó đề xuất một sốbiện pháo giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và có kĩ năng giải toán phươngtrình mũ và bất phương trình mũ, rèn luyện khả năng lập luận và tư duy logic

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trên cơ sở mục đích nghiên cứu, đề tài có các nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể sau:

- Tìm hiểu nội dung chương trình Toán Trung học phổ thông về hàm số mũ

- Tìm hiểu các dạng toán, cách giải về phương trình và bất phương trình mũ và

4 Đối tượng nghiên cứu

Hàm số mũ, phương trình, bất phương trình mũ trong chương trình Toán THCS

và Toán THPT

5

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu thuộc các lĩnh vực : Toán học,phương pháp dạy học toán, giáo dục học, tâm lí học, các tài liệu và bài viết có liênquan đến đề tài luận văn

- Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa đại số lớp 6, lớp 7, giải tíchlớp 12 liên quan đến kiến thức mũ – lũy thừa dựa trên cơ sở Chuẩn kiến thức, kĩ năngmôn Toán

- Phân loại và hệ thống hóa các dạng toán áp dụng kiến thức mũ – lũy thừa,hàm số mũ dựa trên cơ sở Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán

- Khảo sát thực tiễn: Tổ chức khảo sát ở trường trung học phổ thông để xem xéttính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu

PHẦN NỘI DUNG Chương 1

KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Mũ – lũy thừa

Trong phần này, chúng tôi trình bày nội dung định nghĩa, tính chất mũ – lũythừa trong chương trình Toán THCS và chương trình Toán THPT và tổng hợp một sốdạng toán và phương pháp thường gặp

và

24

− 

 

11

o Bước 1: Nếu giá trị cần tìm là số mũ thực hiện đưa về cùng cơ số

Nếu giá trị cần tìm là cơ số thực hiện đưa về cùng số mũNếu giá trị cần tìm không là cơ số và không là số mũ thực hiện

giải như những bài tìm x bình thường

o Bước 2: Tìm giá giá trị cần tìm

Tìm giá giá trị cần tìm (giải tìm x bình thường)

o Bước 3: Kết luận giá trị cần tìm

• Ví dụ

13

Bài toán 1: Tìm số n trong các biểu thức sau

1)

16 2

2n =

2)

( )3

2781

x=

2)

9 16

Theo ([3], trang 49) Cho n là một số nguyên dương.

Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

n

n

a =a a14 2 43 a

Với a≠0

0 11

n n

a a a

, ta gọi a là cơ số, số nguyên n là số mũ.

Ví dụ:

10

10 10

12

2

.Trong sách giáo khoa Giải tích 12 – nâng cao lũy thừa với số mũ nguyên đượcđịnh nghĩa từ hai định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương và lũy thừa với số mũ

0 và số mũ nguyên âm như sau:

• Lũy thừa với số mũ nguyên dương

o Định nghĩa

Theo ([4], trang 69) Nhắc lại rằng với mỗi số nguyên dương n, lũy thừa bậc n của một số a (còn gọi là lũy thừa của a với số mũ n) là số

n a

Theo ([4], trang 69) Với a≠0,n=0

hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc

a

a−

=

 Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên

để biểu thị các số rất lớn và những số rất bé

• Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

o Theo ([4], trang 70) Với a≠0,b≠0

a a a

là căn bậc 5 của

1243

− ([3], trang51)

Theo ([4], trang 72) Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b

Theo ([4], trang 73) Cho hai số không âm a,b, hai số nguyên dương m,n và hai

số nguyên p,q tùy ý, ta có:

n a = a

c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Theo ([3], trang 52) Cho số thực a dương và số hữu tỉ

,

m r n

= trong đóm∈¢,

n∈ ≥¥ n

Lũy thừa của a với số mũ r là số

r a

a = a

(a dương, n nguyên dương) ([4], trang 75)

19

d) Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Theo ([3], trang 54) Cho a là một số dương, α

Ta gọi giới hạn của dãy số ( )a r n

là lũy thừa của a với số mũ α

21

Trung học phổ thông Trung học cơ sở

x y

x

e x

* 0 < a < 1 :

x

y a= nghịch biến trên ¡

Đồ thị hàm số mũ :

25

Trong phần này, chúng tôi trình bày nội dung phương trình và bất phương trình

mũ trong chương trình Toán THPT và tổng hợp một số phương pháp giải phương trình

và bất phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT

Trong chương trình toán THPT, phương trình mũ và bất phương trình mũ đượcgiảng dạy qua “Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit” trongsách giáo khoa Giải tích 12 Mục tiêu của chương này đòi hỏi học sinh phải nắm vữngkiến thức về mũ lũy thừa và thành thạo các kỹ năng về giải các phương trình và bấtphương trình mũ đơn giản trên cơ sở các phương pháp mà sách giáo khoa đã cungcấp

2.1.1 Phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường

THPT

Trong mục này, chúng tôi trình bày nội dung phương trình mũ trong dạy họctoán ở trường THPT và tổng hợp một số phương pháp giải phương trình mũ thườnggặp

x

y a=

a) Nội dung phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT

Trong Giải tích 12– cơ bản, phương trình chứa ẩn ở mũ được trình bày trongmục 1, “Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit” Nội dung dựa trên bài toánthực tế về lãi xuất ngân hàng để đưa đến sự yêu cầu trong thực tiễn là giải các phươngtrình chứa ẩn ở mẫu (phương trình mũ) giới thiệu phương trình mũ cơ bản và cách giảiphương trình mũ cơ bản thông qua ví dụ cụ thể và biện luận số nghiệm của phươngtrình

Theo Giải tích 12– cơ bản, phương trình mũ cơ bản định nghĩa như sau:

Phương trình mũ cơ bản có dạng

Phương trình mũ cơ bản có dạng

Đưa hai vế về cùng cơ số

32, ta được:

( )5 7 2 11,5

Nhận xét rằng ta có thể đưa 2 số của phương trình về lũy thừa của cùng cơ số 3

Ta có

( )

2 1 1

x= −

.Bài toán 3: Giải phương trình

2.3x+ −6.3x− − =3x 9

Theo ([4], trang 123)Giải

Ta có:

2.3x+ −6.3x− − =3x 9

29

2)

1

255

Ta có

1255

x x

• Bước 3: Giải phương trình m t.2 +n t p + =0 1( )

• Bước 4: Giải phương trình

x x

⇔ + =

⇔ = −

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= −2

.Bài toán 3: Giải phương trình 3.4 2.6 9

t t

( loại )

t t

t t

x

⇔ = −

Vậy phương trình có nghiệm là

32

t t

Vậy phương trình có nghiệm là x=1

o Ta thực hiện lấy lôgarit cơ số a (0< ≠a 1

)của của hai vế phương

o Ta thực hiện lấy lôgarit cơ số b (0< ≠b 1

)của của hai vế phương

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 5, ta được

2

log 5x+ =log 2 ⇔ + =x 2 log 25

37

log 2 2

x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=log 2 25 −

Bài toán 2: Giải phương trình

3

00

x x

Dễ thấy hai vế của phương trình luôn xác định với mọi x và luôn nhận giá trị

dương Do đó có thể lôgarit hóa hai vế với cơ số 2.Ta có

1

1 log 3

x x

( )2 2

log 7 5x x =log 1⇔log 7x +log 5x =log 1

2 5

x x

1 log 2

x x

Vậy phương trình có nghiệm là x=0

1

1 log 2

x=+

.4)

x x

x x

a) Nội dung phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT

Trong Giải tích 12– cơ bản, bất phương trình chứa ẩn ở mũ được trình bàytrong mục 1, “Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit” Trong mụcnày trình bày bất phương trình mũ cơ bản, cách giải và biện luận bất phương trình mũthông qua ví dụ cụ thể

Theo Giải tích 12– cơ bản, bất phương trình mũ cơ bản định nghĩa như sau:

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau

2 2 3 0

t − − <t

.Bất phương trình này có nghiệm là − < <1 t 3

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (−∞;1)

x x

x x

x x

<



⇔  >

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (−∞ ∪,1) (2,+∞)

.2)

• Bước 3: Giải bất phương trình m t 2 +n t p + >0 1( ) ( < ≥ ≤; ; )

• Bước 4: Giải bất phương trình

t t

Khi đó, ta có

t t

t t

t t

x

⇔ ≥

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [1,+∞)

2.2 So sánh phương trình và bất phương trình mũ trong chương trình Toán – cơ bản và Toán – nâng cao ở trường THPT

Trong chương trình Toán phổ thông, chương trình Toán – nâng cao dựa trênnền tảng kiến thức của Toán – cơ bản và nâng cao một số bài toán ở dạng phức tạphơn

Sau đây, chúng tôi trình bày những điểm khác nhau cơ bản về nội dung phươngtrình và bất phương trình mũ trong chương trình Giải tích 12 cơ bản và Giải tích 12nâng cao

Giải tích 12 – cơ bản Giải tích 12 – nâng cao

Phân phối

chương trình

Phương trình và bất phươngtrình mũ được giảng dạy qua

“Chương II: Hàm số lũy thừa,hàm số mũ và hàm số lôgarit”

• Phương trình mũ được giảngdạy qua “Bài 5: Phương trình

mũ và phương trình lôgarit”

• Bất phương trình mũ đượcgiảng dạy qua “Bài 6: Bấtphương trình mũ và bấtphương trình lôgarit”

• Bất phương trình mũ được giảngdạy qua “Bài 9: Bất phương trình

mũ và lôgarit”

Nội dung

Hình thành phương pháp thôngqua ví dụ cụ thể, có lời giảiminh họa

Hình thành phương pháp thôngqua các ví dụ, phân tích rõ ràngcác bước biến đổi tương đương,có lời giải minh họa

2

m a +n a + =p

,( ). ( )

A x B x

a =b

,( ) ( )

2

m a +n a + =p

,( ). ( ) . ( )

A x B x C x

a b =c d

,

• Bất phương trình( ) ( , , )

f x

a > < ≤ ≥b

,

51

(< ≤ ≥, , )

a, b, c, m, n, p : là hằng số( )

A x

, B x( )

, f x( )

: là cácbiểu thức bậc nhất hoặc bậc haimột ẩn

A x

, B x( )

, f x( )

là các biểuthức bậc nhất hoặc bậc hai mộtẩn

Trong mục này, chúng tôi tổng hợp các dạng toán về phương trình và bấtphương trình mũ trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trong những nămgần đây Qua mỗi bài toán, chúng tôi hướng dẫn cách giải và đưa ra đáp án cụ thể.Tổng hợp từ các tài liệu [5], [6], [7] và trên trang wed https://booktoan.com/,

https://tailieu.vn/

đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây

x=

và x=3

t =  ÷  

hoặc

32

Nhân cả hai vế cho ( 2 1− )x

ta thu được phương trình

(Đề thi tuyển sinh vào

Đại học khối D, năm 2006)

Hướng dẫn

Biến đổi phương trình về dạng tích (24x−4 −1 2) ( 2x−4 x+ +2 2) =0Đáp án x=1

2.3.2 Các dạng bất phương trình mũ thường gặp trong

những đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây

Hướng dẫn

59

Biến đổi bất phương trình về dạng tích

Hướng dẫn

Biến đổi bất phương trình về dạng tích (2x+2 x2− −2x 3)(2x−4.2 x2− −2x 3) >0

Đáp án

73,2

S  

=   

Chương 3

THIẾT KẾ MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

3.1 Nhận – biết

Những câu hỏi trắc nghiệm nhận – biết chủ yếu là những câu hỏi cơ bản về

phương trình mũ như nhận biết, đối chiếu, phân loại, tìm nghiệm một cách máy mócdựa vào công thức nghiệm của phương trình mũ cơ bản và kiến thức đã được học

3.1.1 Phương trình mũ

Câu 1: Nghiệm của phương trình 2 32

x = là?

khẳng định nào sau đây đúng?

A Có nghiệm x=log7( )−8

Câu 4: Cho phương trình

A Cho hai số mũ bằng nhau.

B Đặt dấu trừ trước một biểu thức mà không cho biểu thức vào ngoặc

C Đáp án đúng

D Đặt dấu trừ trước một biểu thức mà không cho biểu thức vào ngoặc

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình

2 139

x = là?

9 =

=

B Sai công thức.

C Sai công thức

D Đáp án đúng

3.2 Thông – hiểu

Những câu hỏi trắc nghiệm thông hiểu chủ yếu là những câu hỏi cơ bản về

phương trình mũ như hiểu, diễn giải, suy diễn, so sánh, phân biệt chứng tỏ và tìmnghiệm một cách máy móc những phương trình mũ đơn giản

3.2.1 Phương trình mũ

Câu 11: Phương trình

1 3

2 2

16

x =

có bao nhiêu nghiệm?

Hướng dẫn

Đáp án B

Câu 12: Phương trình

1 3

25 =

Từ (1) sang (2) người ta đã thực hiện

A Lấy lôgarit vế trái với cơ số 5

B Lấy lôgarit hai vế với cơ số 5

C Nhân log5 vào hai vế

D Nhân log5 vào vế trái

D Đổi dấu hạng tử trong biểu thức đúng.

Câu 17: Nghiệm của bất phương trình

3 4

B khi nhân cho trừ −1

không đổi chiều bất đẳng thức

=)

C.Ngược với điều kiện đúng

D Ngược với điều kiện đúng và thêm dấu bằng.

Câu 20: Cho bất phương trình

B Chia hai vế bất phương trình cho 4

A.Thói quen đặt t theo cảm tính.

B Đáp án đúng

C Điều kiện sai

D Chia cho thằng bìa.

B Lấy nghiệm của phương trình bậc hai ở mũ

C Số đối của hai nghiệm

71

43

−

Hướng dẫn

A Đáp án đúng.

B Nghiệm của phương trình ẩn phụ

C Tổng các nghiệm của phương trình ẩn phụ

A Tổng các nghiệm của phương trình.

B Hiệu các nghiệm của phương trình

C Hiệu các nghiệm của phương trình

x<

B

25

x≤

C

25

x>

D

25