Đang tải... (xem toàn văn)
phân dạng các dạng bài tập nguyên hàm tích phân lớp 12 luyện thi đại học, phân dạng và phương pháp giải các dạng bài tập nguyên hàm tích phân từ dạng cơ bản đến các dạng đặc biệt. Cung cấp hệ thống bài tập nguyên hàm tích phân được phân dạng sẵn giúp thầy cô và học sinh dễ dàng hơn trong luyện thi
Phần 1: NGUYÊN HÀM I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hàm F(x) gọi nguyên hàm f(x) (a,b) x thuộc (a,b), ta có: F’(x)=f(x) Nếu [a,b] phải thêm F’(a+)=f(a) F’(b-)=f(b) Định lí: Nếu HS F(x) nguyên hàm HS f(x) thì: ∀C số, F(x)+C nguyên hàm f(x) Ngược lại nguyên hàm f(x) viết dạng F(x)+C, với C số Kí hiệu: � Các tinh chất nguyên hàm: f ( x) F ( x) C � (� f ( x)dx) ' f ( x) � af ( x)dx ' a � f ( x)dx ( a �R ) � f ( x )dx � g ( x )dx f ( x) g ( x)dx � � f (t )dt F (t ) C � � f u ( x ) u '( x )dx F u ( x ) C � � � * Các nguyên hàm thường gặp � 0dx C � � dx x C � � x dx � x 1 C 1 � dx ln x C � x ax x � a dx C � ln a � e x dx e x C � � �x dx x C � sin xdx cos x C � � cos xdx sin x C � � dx � (1 tan x)dx tan x C � cos x � dx � (1 cot g x)dx cot gx C � sin x � a �0 ( ax b) 1 ( ax b) dx � C � a 1 1 dx ln ax b C � ax b a e ax b dx e ax b C � a dx ax b C �ax b a cos ax sin axdx C � a sin ax cos axdx C � a II CÁC DẠNG BÀI TẬP: Vấn đề 1: Xác định nguyên hàm f(x) Dạng 1: CMR F(x) nguyên hàm f(x) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: Sử dụng định nghĩa: TH1: (a,b), B1: Xác định F’(x) (a,b) B2: chứng minh F’(x)=f(x) ∀x∈(a,b) TH2: [a,b], F ( x ) F (b) F ( x ) F (a ) F (b ) lim F (a ) lim x �a x �b xa x b B1: Xác định F’(x), , (a,b); B2: Chứng tỏ �F '( x) f ( x ), x �(a, b) � �F '(a ) f (a ) �F '(b ) f (b) � Ví dụ: F ( x) ln cos x VD1: CMR hàm số nguyên hàm hàm số f ( x) tan x Giải Ta có: số f(x) F '( x) (cos x) ' sinx tan x f ( x) cos x cos x nên F(x) nguyên hàm hàm VD2: CMR hàm số: hàm số � ex � F ( x) � x x 1 � � ex f ( x) � 2x 1 � khi x �0 x0 x �0 x0 nguyên hàm R Giải Với x≠0 ta có: � ex F '( x ) � 2x 1 � x0 x0 Với x=0, ta có: F ( x ) F (0) x x e0 lim 1 x �0 x �0 x0 x F ( x ) F (0) e x e0 F '(0 ) lim lim 1 x �0 x �0 x0 x0 � F '(0 ) F '(0 ) f (0) F '(0 ) lim � ex F '( x) � 2x 1 � Tóm lại: x �0 x0 f ( x) Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R BÀI TẬP: 1) CMR hàm số: F ( x ) ln( x x a ) với a>0 Là nguyên hàm hàm số f ( x) x a R 2 2) CMR hàm số: F ( x) a x Là nguyên hàm hàm số f ( x) x a2 x2 3) CMR hàm số: F ( x ) ln sin x nguyên hàm hàm số f ( x ) cot x �ln( x 1) , x �0 � F (x) � x � x nguyên hàm hàm số � 4) CMR hàm số: �2 ln( x 1) , x �0 �2 f ( x ) �x x2 � ,x � Dạng 2: Xác định giá trị tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a,b) PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa TH1: (a,b) B1: Xác định F’(x) (a,b) B2: Để HS F(x) nguyên hàm HS f(x) (a,b), ĐK là: F’(x)=f(x) ∀x∈(a,b); dùng đồng thức hàm đa thức để tìm giá tri tham số TH2: [a,b] B1: Xác định F’(x),F’(a+),F’(b-) Để HS F(x) nguyên hàm HS f(x) (a,b), ĐK là: �F ’ x f x , x � a, b � � � �F ’ a f a � � �F ’ b f b giá trị tham số Ví dụ: �x F ( x) � ax+b � VD1: Xác định a,b để hàm số : khi x �1 x 1 2x x �1 � f ( x) � x R � Là nguyên hàm hàm số: Giải: �2 x x �1 F '( x) � �2 x Với x≠1, ta có: Với x=1, ta có: F(x) phải liên tục x=1, đó: lim F ( x) lim F ( x) f (1) � a b � b a x �1 x �1 (1) F ( x) F (1) 2 x �1 x 1 F ( x) F (1) F '(1 ) lim a x �1 x 1 F '(1 ) lim Hàm số F(x) có đạo hàm x=1 nên F '(1 ) F '(1 ) � a (2) Thay (2) vào (1) ta có: b 1 Vậy a , b 1 VD2: Tìm a để HS F ( x) ax+1 f ( x) ( x 5) x nguyên hàm HS Giải: x �5 ta có: F '( x ) 5a ( x 5) Theo đề bài, ta có: 5a 1 , x �5 ( x 5) ( x 5) 2 � 5a � a Vậy a 2 BÀI TẬP: 1) Xác định a,b,c cho F ( x) (ax bx c) x nguyên hàm HS 20 x 30 x f ( x) ( , �) 2x ĐA: a 4, b 2, c x F ( x ) ( ax bx c ) � e 2) Xác định a,b,c cho nguyên hàm HS x f ( x) (2 x x 2) � e R ĐA: a 2, b 1, c 1 2 x e nguyên hàm HS 3) Xác định a,b,c cho F ( x) (ax bx c) � f ( x) (2 x x 7) � e2 x ĐA: a 1, b 3, c 2 Dạng 3: Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng nguyên hàm B1: tìm họ nguyên hàm f(x): F ( x) G ( x) C F a b � G (a ) C b � C b G ( a ) B2: giải ĐK Ví dụ: VD1: Tìm ngun hàm F(x) f(x) thỏa ĐK cho trước f ( x) x3 3x x 5; F (2) Giải Ta có: x4 �f ( x)dx x x 5x C F ( x) 24 F (2) � � 22 � C � C 15 x4 F ( x) x x x 15 Vậy: f ( x ) x (2m 1) x 2m Xác địnhm để nguyên hàm F(x) VD2: cho f(x) thỏa mãn điều kiện F(0)=3 F(1)=15 Giải x2 2mx C F ( x) Ta có : �C �C �F (0) � � � � 2m � � 21 � 1 2m C 15 �m �F (1) 15 � � � f ( x)dx x (2m 1) � Vậy m 21 BÀI TẬP: x ln10 F 1 e f ( x ) e 1) Cho tìm nguyên hàm F(x) cho x ĐA: F ( x) 10e 9e 20 x 30 x f ( x) x tìm nguyên hàm F(x) cho F(2)=0 2) Cho ĐA: F ( x ) (4 x x 10) x 22 3) Tìm nguyên hàm F(x) f ( x ) sin x F( ) F ( x) ( x sin x 1) ĐA: x3 3x 3x f ( x) ( x 1) 4) Tìm nguyên hàm F(x) F (0) x2 F ( x) x x 1 ĐA: Vấn đề 2: Xác định họ nguyên hàm f(x) Phương pháp 1: Phương pháp phân tích x2 Dạng � ax b dx, a �0 PHƯƠNG PHÁP : 1 x2 a2 x2 � 2� (1) �ax b b � �ax b 2b ax b b � � � a a a B1: Phân tích B2: (1) vào thực lấy nguyên hàm Ví dụ: x Tìm nguyên hàm � 1 x 39 dx Giải x2 � 1 1 x � � � x x 2 1 x x2 � � 39 dx � 1 x 36 x 36 � Dạng ax 2 37 x 1 x 1 1 x 37 39 38 x 38 dx 2dx dx dx � 37 � 38 � 39 1 x 1 x 1 x C dx , a �0 bx c PHƯƠNG PHÁP : TH1: 1 ax bx c a x x1 x x2 a x1 x2 Khi đó: �1 � � � � �x x1 x x2 � TH2 1 ax bx c a x x0 2 Khi đó: TH3 � � t tan x, t �� , � 2 � � Khi đặt Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau 4dx � a) x x b) dx � x m x 2m m m Giải a) 4dx 4 �1 � dx �2 � � x4 x2 � 5� �x x � x 1 x 4 dx dx 5� �x x x 1 x 1 �1 � � 1 � dx dx � � � � � 5� x x x x � � � � x 1 x ln ln C x 1 x b) Khi m 1 dx dx dx dx dx � � x m x 2m x 3x � x2 � x 1 x x 1 � d x 2 d x 1 x2 � � ln C x2 x 1 x 1 Khi m dx dx C � � x m x 2m x x 2 P x dx , a �0 bx c � Dạng ax PHƯƠNG PHÁP : TH1: bậc P(x) lớn 2 B1: Thực phép chia đa thức P(x) cho ax bx c P x dx x Q x ax bx c ax bx c B2: b 2ax b 2a 2a sau đặt t ax bx c C1: Phân tích x 1� A B � � � ax bx c a �x x1 x x2 � x C2: Phân tich TH2 Bậc P(x) lớn P x dx x ax bx c ax bx c Thực giống B2 (TH1) Ví dụ: Tìm họ ngun hàm x 10 x 16 x � x 5x dx a) x4 dx � x x b) Giải x3 10 x 16 x 4x 1 � � dx x dx � � � x2 5x � x x � � a) Ta có 4x 1 4x 1 A B x x x x 3 x x 2 Quy đồng VP Đồng hệ số ta được: � x A B x A 3B �A B �A 11 �� � A 3B �B 7 � 11 � � 2x dx x 11ln x ln x C � � � x x � � Vậy 10 PHƯƠNG PHÁP: � Q ' x du � u ln Q x � � � Q x �� � dv P x dx � � v� P x dx � B1: Đặt [ nguyên hàm P(x)] B2: P x ln Q x dx uv � vdu � Ví dụ: Tìm họ ngun hàm 1) ln xdx � 2) x ln x dx � ln sin x dx � sin x 3) Giải ln x � � du dx u ln x � �� �� ln xdx x.ln x � ln xdx x � dv dx � � vx � 1) Đặt � a ln x � da dx � �� ln xdx x ln x � dx x �� � db dx � � bx � Đặt ln xdx x.ln Khi đó, ta có: � � u ln x � � dv xdx � 2) Đặt 2 x2� x ln x � dx � � � x.ln x x ln x x C x � du dx � � x2 �� x2 � v � x2 x2 x2 2 �� x ln x dx ln x � xdx ln x C 2 2 � u ln sin x cos x � du dx cot gxdx � � �� sin x � dx dv � � v cot gx � sin x � 3) Đặt 25 ln sin x � � dx cot gx � ln sin x � cot g xdx sin x cot gx � ln sin x � dx cot g x dx � cot gx � ln sin x cot gx x C x P x sin x ,cos x , e dx � Dạng PHƯƠNG PHÁP: du P ' x � � u P x � � � � � dv sin x, cos x, e x dx v� sin x, cos x, e x dx � � � B1: Đặt P x sin x, cos x, e x dx uv � vdu � B2: Ví dụ: x sin xdx 1) � e cos xdx 3) � x 2) � (ĐHL_1999) xe 4) � x 1 cos xdx 2x dx Giải cos x 1 x sin xdx x dx xdx x cos xdx � � � � 2 1) Xét I � x cos xdx du dx � ux � � �� � dv cos xdx � v sin x � � Đặt I 1 1 x� sin x � sin xdx x � sin x cos x C 2 �� x sin xdx 1 x� sin x cos x x C 4 26 2) cos x 1 dx � x 1 dx � x 1 cos xdx 2 1 x dx x x C1 � Tính x � 1 cos xdx � x2 1 x 1 cos xdx � Tính du xdx � � u1 x 1 � � �� � v1 sin x dv1 cos xdx � � � Đặt Khi ta có: 1 2 x cos xdx x � sin x x sin xdx 2� 2� Tính x sin xdx � du dx � u2 x � � �� � dv sin xdx v2 cos x � � � Khi ta có: 1 1 x sin xdx x cos x cos xdx x cos x sin x C2 � � 2 � 1 1 x cos xdx x � sin x x cos x sin x C2 2� 4 Vậy x � 1 cos xdx 1 1 x x x 1 � sin x x cos x sin x C 4 � � u1 e x du1 e x dx �� � dv cos xdx v1 sin x � 3) Đặt � �� e x cos xdx e x sin x � e x sin xdx 27 e sin xdx Tính � x � � u2 e x du2 e x dx �� �� e x sin xdx e x cos x � e x cos xdx � dv sin xdx � v2 cos x Đặt � �� e x cos xdx e x sin x e x cos x � e x cos xdx � 2� e x cos xdx e x sin x e x cos x �� e x cos xdx 4).Đặt du xdx � � u1 x � � � � 2x � v1 e dv1 e x dx � � � �� x e x dx Tính x e sin x cos x C 2 2x x e � xe2 x dx du dx � u2 x � � � � 2x � 2x 2x v2 e dv e dx � � xe dx � Đặt � �� xe x dx 2x 1 xe �e x dx xe x e x C1 2 �� x e x dx 2x 2x 2x x e xe e C 2 BÀI TẬP CHUNG 1) Tìm họ nguyên hàm hàm số b) f ( x) ln x a) f ( x) x ln x �ln x � f ( x) � � �x � d) j) f ( x) x ln x ( x 1) c) f ( x) x ln x ln( x 1) f ( x) x2 e) h) ln(1 cos x) g) f ( x) sin x � f ( x) k) ln(ln x) x f ( x) f ( x) x ln( x x 1) f) x2 i) f ( x ) sin(ln x) ln x x l) f ( x) ln(cos x) cos x 28 2) Tìm họ nguyên hàm hàm số a) f ( x) x sin x cos x b) f ( x) x cos x x c) f ( x ) e sin x f ( x) e x tan x tan x d) f ( x) x cos x e) f) f ( x) x sin x j) f ( x) x sin x e3 x i) f ( x ) x � g) k) f ( x) e x l) x h) f ( x) e cos x f ( x) x3 5x x � e2 x f ( x) x sin x m) f ( x) sin x ĐÁP ÁN u ln x � � 1) a).HD đặt �dv x dx ; Đs F ( x) x3 x3 ln x C F ( x) x4 x4 ln x C 16 b) F ( x) x ln x x C c) HD đặt u ln x � � �dv x dx ; Đs � u ln x � � dv dx � x d) HD đặt � ; ln x F ( x ) ln x x C x Đs � u ln x 1 � � dv dx � x e) HD đặt � ; x 1 F ( x) ln x 1 ln C x x Đs � u ln x x � � � x dv dx � F ( x) x ln x x x C x � f) HD đặt ; Đs j) HD đặt u ln x � � x � dv dx � x 1 � x2 F ( x) ln x ln C x 1 x 1 ; Đs 29 � u ln ln x � � �dv dx x h) HD đặt � ; � u sin ln x � dv dx i).HD đặt � ; g) HD đặt Đs ln(ln x ) ln x C Đs F ( x ) ln x � Đs F ( x) � x sin ln x x cos ln x � � C 2� u ln t � � sau đặt �dv dt t cos x � f ( x) � ln tdt F ( x) cos x � ln cos x � � � C � u ln x � � dv dx � x k) HD đặt � ; Đs F ( x) x ln x x C � u ln cos x � � dv dx � cos x � l) HD đặt ; Đs 2).a) HD f ( x) Đặt F ( x ) tan x � ln cos x tan x x C 1 x sin x cos x x sin x x sin x cos x 2 1 1 x sin x x sin x sin x x sin x x sin x 4 u1 x � � �dv1 sin xdx ; u2 x � � �dv2 sin 3xdx 1 1 F ( x ) x cos x sin x x cos x sin x C 36 4 Đs b) HD đặt � u x2 � �dv cos xdx Đs F ( x) 1 x sin x x cos x sin x C 2 F ( x) x e sin x cos x C u1 sin x � � dv1 e x dx � c) HD đặt Đs ux � � d) HD đặt �dv cos xdx Đs F ( x) x x sin x x cos x C 30 x e) Đs F ( x) e tan x C ux � � �dv sin xdx f) HD đặt j) HD Đs x cos x đặt f ( x) F ( x) Đs F ( x) x sin x x x cos x C ux � � dv cos xdx � 1 x sin x cos x C 4 1 f ( x) e x cos x e x e x cos x 2 h) HD Đs F ( x) u cos x � � x Đặt �dv e dx x e 2sin x cos x C 10 ux � � 3x i).HD đặt �dv e dx Đs F ( x) 3x 3x xe e C g).HD Cách 1: � u1 x x x � � dv1 e x dx � đặt 2x Cách 2: � Đs F ( x ) x x x 3 e x C x x e x dx ax bx cx d e x C 1 Lấy đạo hàm hai vế 1 ,sau đồng đẳng thức ta có: a 1 � � b 1 � � c 2 � � d 3 � Đs F ( x ) x x x 3 e x C k) HD đặt t x � t x � 2tdt dx ut � � dv et dt đặt � Đs F ( x) x 1 e x C 31 ux � � � dv dx � sin x l) HD đặt � Đs F ( x) x cot gx ln sin x C � u � � sin x � 1 � cos x � �dv dx � dx dx � � sin x 2� sin x � � sin x � m) HD đặt � sin x d cos x sin x sin x dx � dx � 2 x cos x cos x cos x ln C cos x 1 dx � � sin x sin cos x cos x F ( x) � ln C sin x cos x Đs Phương pháp 4: Phương pháp dùng nguyên hàm phụ PHƯƠNG PHÁP: B1: Tìm hàm số g(x) B2: Xác định nguyên hàm hàm số f ( x) �g ( x) : �F ( x ) G ( x) A( x) C1 � �F ( x ) G ( x) B ( x) C2 I B3: Giải hệ (I) ta được: F ( x) A( x) B( x) C họ nguyên hàm f(x) Ví dụ: sin x dx � cos x sin x 1) cos x dx 4 � sin x cos x 2) ex dx x x � e e 3) Giải 1) Đặt f ( x) sin x cos x sin x 32 Chọn hàm phụ g ( x) cos x cos x sin x Gọi F(x), G(x) nguyên hàm f(x) g(x) d cos x sin x cos x sin x F ( x) G ( x) � dx � ln cos x sin x C1 cos x sin x cos x sin x cos x sin x F ( x) G ( x) � dx x C2 cos x sin x �F ( x) G ( x) ln cos x sin x C1 �� � F ( x) x ln cos x sin x C �F ( x) G ( x) x C2 cos x f ( x) sin x cos x 2) Đặt sin x g ( x) sin x cos x Chọn hàm phụ Gọi F(x), G(x) nguyên hàm f(x) g(x) cos x sin x F ( x) G ( x) � dx x C1 sin x cos x cos x sin x F ( x) G ( x) � dx sin x cos x cos x sin x � dx 2 2 sin x cos x sin x cos x cos x cos x � dx � dx 2 sin x sin x � cos x cos x � dx � dx � � � 2 � sin x sin x � t1 sin x � dt1 2cos xdx Đặt t2 sin x � dt2 cos xdx 33 F ( x) G ( x ) 2 ln � dt1 dt2 � t ln C2 � � � � t2 � 2 t2 2 � t1 sin x C2 sin x 1� sin x � � F ( x ) �x ln C � � 2� 2 sin x � � ex f ( x) x x e e 3) Đặt e x g ( x) x x e e Chọn hàm phụ Gọi F(x), G(x) nguyên hàm f(x) g(x) d e x e x ex e x F ( x) G ( x) �x x dx � x x F ( x) G ( x ) ln e x e x C1 e e e e ex ex F ( x ) G ( x) �x x dx x C2 e e � F ( x) ln e x e x x C BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: f ( x) sin x cos x sin x sin x 1) f ( x ) 2sin x � 2) cos x 3) f ( x) sin x � ex f ( x) x x e e 4) ĐÁP ÁN 1) F ( x) x ln cos x sin x C 1� � F ( x) � cos x cos x � C sin x ; 2� � 2) HD chọn g ( x) cos x � 34 1� � F ( x) � sin x sin x x � C cos x ; 2� � 3) HD chọn g ( x) cos x � 4) F ( x) ln e x e x x C Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng hệ thức bất định f ( x) Dạng sin x cos x a sin x b cos x 2 2 với �0, a b �0 PHƯƠNG PHÁP Biến đổi f ( x) A a sin x b cos x B a cos x b sin x a sin x b cos x aA bB sin x Ab aB cos x a sin x b cos x Dùng đồng thức: aA bB � � �Ab aB suy A B sin x cos x a cos x b sin x � Adx B � dx a sin x b cos x a sin x b cos x Ax B ln a sin x b cos x C f ( x) Từ ta Ví dụ: f ( x) 4sin x 3cos x sin x 2cos x Giải Ta có: 4sin x 3cos x A sin x 2cos x B cos x 2sin x sin x 2cos x sin x 2cos x A B sin x A B cos x f ( x) Đồng thức ta được: 35 �A B �A �� � A B � �B 1 Khi f ( x) 2� dx Dạng cos x 2sin x � cos x 2sin x � �� f ( x)dx � 2 dx � � sin x cos x � sin x cos x � d sin x cos x x ln sin x cos x C sin x cos x P x cos xdx P x sin xdx � � với P(x) hàm đa thức thuộc R X �R PHƯƠNG PHÁP B1: Ta có P x sin xdx A( x) sin x B( x) cos x C � 1 P x Trong A( x ) B ( x) bậc với B2: Lấy đạo hàm vế , ta được: P x sin x A '( x) B ( x) sin x A( x ) B '( x) cos x C B3: xác định A( x ) B ( x) Ví dụ: f ( x ) x3 sin x Giải Ta có: f ( x)dx � x sin xdx a x � 3 a2 x a3 x a4 sin x b1 x3 b2 x b3 x b4 cos x C Đạo hàm hai vế ta được: x3 sin x � 3a1 x 2a2 x a3 b1 x b2 x b3 x b4 � sin x � � � a1 x3 a2 x a3 x a4 3b1 x 2b2 x b3 � cos x � � � b1 x3 3a1 b2 x 2a2 b3 x a3 b4 � sin x � � � a1 x3 a2 3b1 x a3 2b2 x a4 b3 � cos x � � Đồng thức ta được: 36 b1 � � 3a1 b2 � � 2a2 b3 � � a3 b4 � b1 1 � � b2 � �� b3 � � b4 � a1 � � a2 3b1 � � a3 2b2 � � a4 b3 � a1 � � a2 � � a3 6 � � a4 6 � f ( x )dx x � 3x x sin x x 3x x cos x C ax e � sin bxdx Dạng ax e � cos bxdx với a, b �0 PHƯƠNG PHÁP e sin bxdx A sin bx B cos bx e B1: Ta có � ax ax C 1 Với A, B số B2: Lấy đạo hàm vế , ta được: e ax sin bx � e ax Aa Bb sin bx Ba Ab cos bx � � � B3: sử dụng đồng thức xác định A B Ví dụ: f ( x ) e x cos x Giải Ta có : f ( x) e x cos x x e cos x 1 x x �� f ( x)dx �e x cos x dx � e dx � e cos xdx 2 e cos xdx a cos x b sin x e � x x C Lấy đạo hàm ta : e x cos x 2a sin x 2b cos x e x a cos x b sin x e x x � a 2b cos x b 2a sin x � � �e 37 Đồng thức ta được: � a a 2b � � � �� � b 2a � � b � �1 �x �� f ( x)dx � cos x sin x � e C �2 10 � ax P x � e dx � Dạng với P(x) hàm đa thức thuộc R X a �0 Ví dụ: f ( x) x3 x2 x � e2 x Giải 2x � x x e x dx ax bx cx d e x C 1 Lấy đạo hàm hai vế , ta được: 2x x2 x e2 x � 2ax3 3a 2b x 2b 2c x c 2d � e2 x � � Sau đồng đẳng thức ta có: 2a a 1 � � � � 3a 2b b 1 � � �� � 2b 2c 2 c 2 � � � � c 2d d 3 � � Vậy F ( x ) x x x 3 e x C BÀI TẬP Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1) f ( x) 5sin x 2sin x cos x 2) f ( x) x 1 sin x f x x 1 cos x 3) ĐÁP ÁN 1) HD 5sin x a 2sin x cos x b 2cos x sin x F ( x) ln � tan x 1 � ln � tan x 1� � � x C Đs: 38 f ( x )dx a x 2) HD � a2 x a3 x a4 sin x b1 x b2 x b3 x b4 cos x C 1� 3� �1 3 �3 F ( x) � x x � cos x � x � sin x C 2� 8� �2 �4 Đs: 3) HD Đs: f ( x )dx a x � a2 x a3 sin x b1 x b2 x b3 cos x C F ( x) x x 1 sin x x 1 cos x C III BÀI TẬP THỰC HIỆN: BÀI TẬP I: Tìm nguyên hàm hàm số sau: x x cos 3 2) x x 6sin 8sin 3 5) cos x 8) 5sin x cos x 12 cos3 1) tan x cos x 2 4) sin x cos x 7) cos 4x 3) sin x cos x 6) sin 2x sin x cos x 9) sin x cos x Hướng dẫn đáp án: � tan xdx tan x x C 2 tan x tan x 1) ; 2) 12 cos3 � 12 cos � � � x x x� � 3x cos � cos 3cos � 3cos x 3 3� � ; x x� cos � dx 3� cos xdx 3sin x C 3� sin x cos x 1 2 2 2 3) sin x cos x sin x cos x cos x sin x ; dx tan x cot x C � sin x cos x cos x sin x 1 cos x dx cot x tan x C 2 2 2 � 4) sin x cos x sin x cos x ; sin x cos x 39 ... � 4) CMR hàm số: �2 ln( x 1) , x �0 �2 f ( x ) �x x2 � ,x � Dạng 2: Xác định giá trị tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a,b) PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa TH1: (a,b) B1: Xác... nguyên hàm HS f(x) (a,b), ĐK là: F’(x)=f(x) ∀x∈(a,b); dùng đồng thức hàm đa thức để tìm giá tri tham số TH2: [a,b] B1: Xác định F’(x),F’(a+),F’(b-) Để HS F(x) nguyên hàm HS f(x) (a,b), ĐK... x f x , x � a, b � � � �F ’ a f a � � �F ’ b f b giá trị tham số Ví dụ: �x F ( x) � ax+b � VD1: Xác định a,b để hàm số : khi x �1 x 1 2x x �1 � f ( x)