dap an toan a1 6 6 2016

Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM Khoa KHCB-Bộ mơn Tốn Câu Ý Đáp án mơn: TỐN A1 (MATH130101) Ngày thi: 06/06/2016 Nội dung Thang điểm 0,5 i 5π 5π + = cos + i sin 2 6 ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ + k2π + k2π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ z = cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ , k = 0,6 7 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ z7 = − a L=e b 0,5 ⎛ x+3 ⎞ lim x ln⎜ ⎝ x+1 ⎠⎟ x→+∞ ⎛ x+3 ⎞ lim x⎜ −1 ⎝ x+1 ⎟⎠ L = e x→+∞ 0,5 ⎛ 2x ⎞ lim ⎜ ⎟ = e x→+∞⎝ x+1⎠ = e lim y = e ⇒ y = e Ta có a x→+∞ 0,5 TCN 1,0 g(x) − g(0) ln(1+ 3x ) = lim =3 x→0 x→0 x−0 x2 Ta có cơng thức Taylor hàm h(x) lân cận điểm x = g'(0) = lim h(x) = b 0,5 ∞ ∞ x −1 x −1 ( −1) x − n+1 n ⎛ x − 1⎞ ⎛ x − 1⎞ = =⎜ −1 = ( ) ) ∑ ∑ ⎟ ⎜ ⎟ n+1 ( ⎝ ⎠ x − ⎞ ⎝ ⎠ n=0 ⎛ 2+ x n=0 3 ⎜ 1+ ⎟ ⎝ ⎠ n 0,5 Suy h (2016) n 2015 −1) ( (1) = 2016 ( 2016 )! 0,5 b b 3dx 3dx = lim ∫ ∫ b→+∞ x − 6x + 10 b→+∞ ( x − 3)2 + 1 I = lim a = lim [ arctan(x − 3)] = b b→+∞ π − arctan(−2) 0,5 0,5 0,5 Khi x → + : b Mà ∫ x + 3x −  > (1) (x − 2)(x + 3) 5(x − 2) 9 dx = 5(x − 2) ∫ dx hội tụ α = < (2) (x − 2) 0.5 Từ (1) (2) suy J hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2) a 0,5 ⎛ 4n − n + ⎞ =2≠0 2n + n n ⎟⎠ Ta có lim ⎜ n→∞ ⎝ ∞ 4n − n + Suy ∑ phân kỳ (theo tiêu chuẩn điều kiện cần) n=1 2n + n n b Đặt X = x + ta có chuỗi ∞ n n=1 Xn ∑2 n (2) Bán kính hội tụ chuỗi (2) R = lim n→∞ ⎡ n+1 n + ⎤ an = lim ⎢ ⎥=2 an+1 n→∞ ⎣ n n ⎦ 0,5 0,5 Tại X = ta có chuỗi số ∞ ∑ n=1 Tại X = −2 ta có chuỗi số ∞ ∑ phân kỳ n 0,5 ( −1)n chuỗi đan dấu, hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz 0,5 n=1 n ∞ Kết luận: Miền hội tụ chuỗi ∑ n=1 c ( x + 1)n miền n n D = [ −3;1) Các hệ số Fourier a0 = π ∫ −3dx = −π π −9 π −3 −3 nπ an = ∫ −3 cos nxdx = ( sin nx ) −2π = sin n n −π π π 3⎛ nπ n⎞ bn = ∫ −3 sin nxdx = ( cos nx ) −2π = ⎜ cos − ( −1) ⎟ ⎠ n n⎝ −π π Tại x ≠ kπ , x ≠ + l2π , k,l ∈Z ta có khai triển Fourier ∞ −9 3⎛ nπ ⎛ −3 nπ ⎞ n⎞ f (x) = + ∑ ⎜ sin cos nx + ⎜ cos − ( −1) ⎟ sin nx ⎟ ⎠ ⎠ n=1 ⎝ n n⎝   0,25 0,25 0,25 0,25 ... −1)n chuỗi an dấu, hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz 0,5 n=1 n ∞ Kết luận: Miền hội tụ chuỗi ∑ n=1 c ( x + 1)n miền n n D = [ −3;1) Các hệ số Fourier a0 = π ∫ −3dx = −π π −9 π −3 −3 nπ an = ∫ −3