THPT VÕ MINH ĐỨC GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 7 (Thời gian : 120 phút) Bài 1. Cho biểu thức P = 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x x x x x x − + − − ÷ ÷ ÷ − + + a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P Bài 2. Giải hệ phương trình : 4 3 5 y x xy x y xy − = + = Bài 3. a) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta đều có : 1 1 4 a b a b + ≥ + b) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình : 6x 2 + 5y 2 = 74 Bài 4. Cho đường tròn (O ; R). Hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Dây AE cắt CO tại F, dây DE cắt AB tại M. a) Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì ? b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội tiếp được trong đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó. c) Chứng minh các đường thẳng OE, BF, CM đồng quy Bài 5. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 và abc ≠ 0 thì : 9 a b b c c a c a b c a b a b b c c a − − − + + + + = ÷ ÷ − − − GIẢI Bài 1 a) Ta có P = 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x x x x x x − + − − ÷ ÷ ÷ − + + = ( ) 2 2 2 2 1 . ( 1)( 1) 2 1 x x x x x x − + − ÷ − ÷ ÷ − + ÷ + = ( ) 2 2 2 ( 2)( 1) ( 1)( 2) .( 1) .( 1) 2( 1) 1 x x x x x x x x − + − − + − + − + = 2 .( 1) 2 x x − − = .( 1)x x− − = .(1 )x x− b) Nếu 0 < x < 1 ⇒ 0 < x < 1 ⇒ 1 – x > 0 suy ra P = .(1 )x x− > 0 * Đặt t = x > 0 ⇒ P = t – t 2 = 2 1 1 1 2. 4 2 4 t t − − + ÷ = 2 1 1 4 2 t − − ÷ ≤ 1 4 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1 4 ⇔ 1 2 t = ⇔ 1 2 x = ⇔ 1 4 x = Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên THPT VÕ MINH ĐỨC * Có thể dùng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau Bài 2. Giải hệ phương trình : 4 3 5 y x xy x y xy − = + = + Dễ thấy x = 0 , y = 0 là một nghiệm của hệ + Nếu x ≠ 0 và y ≠ 0 Thì chia mỗi pt của hệ cho xy , ta được : 1 1 1 4 3 5 x y y x − = + = Đặt u = 1 x ; v = 1 y Hệ ⇔ 1 4 3 5 u v v u − = + = ⇔ 9 7 2 7 u v = = ⇒ 7 9 7 2 x y = = Vậy hệ có nghiệm (0 ; 0) và ( 7 9 ; 7 2 ) * Cách khác : Nhân pt (1) cho 5 rồi trừ từng vế , ta được 2y – 9x = 0 ⇔ y = 9 2 x Thế vào (1) , ta được : 9x 2 – 7x = 0 ⇔ x(9x – 7) = 0 ⇔ 0 7 9 x x = = Tứ đó suy ra nghiệm của hệ : (0 ; 0) và ( 7 9 ; 7 2 ) Bài 3. a) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta đều có : 1 1 4 a b a b + ≥ + (1) (1) ⇔ 4a b ab a b + ≥ + ⇔ ( ) 2 4a b ab+ ≥ (a, b dương) ⇔ (a 2 – 2ab + b 2 ) ≥ 0 : Đúng Vậy (1) cũng đúng b) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình : 6x 2 + 5y 2 = 74 Đặt u = x 2 ≥ 0 , v = y 2 ≥ 0 Ta có 6u + 5x = 74 ⇔ 6u = 74 – 5x ⇔ 74 5 6 v u − = = 12 + 2 5 6 v− Đặt t = 2 5 6 v− ⇒ 6t = 2 – 5v ⇒ 5v = 2 – 6t ⇒ 2 6 5 t v − = = 2 5 t t − − Đặt k = 2 5 t− ⇒ 5k = 2 – t ⇒ t = 2 – 5k Vậy ta có : u = 12 + 2 – 5k = 14 – 5k Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên THPT VÕ MINH ĐỨC v = k – 2 + 5k = 6k – 2 Do đó : 14 5 6 2 u k v k = − = − với k, t, u, v là các số nguyên Vì u = x 2 , x nguyên nên u là số chính phương và 14 – 5k > 0, k nguyên nên k ∈{ 1; 2 } Nên : chọn k = 1 ⇒ u = 9 ⇒ x = ±3 ; v = 4 ⇒ y = ± 2 Nhưng k = 2 thì v = 10 không là số chính phương, nên loại k = 2 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình cần tìm là (3 ; 2) ; (3 ; -2) ; (-3 ; 2) ; (-3 ; -2) Cách khác : 6x 2 + 5y 2 = 74 ⇔ 6(x 2 – 4) = 5(10 – y 2 ) Suy ra : x 2 – 4 = 5u và 10 – y 2 = 6v do đó u = v Vì x 2 = 4 + 5u ≥ 0 ⇔ u ≥ 4 5 − y 2 = 10 – 6v ≥ 0 ⇔ v ≤ 5 3 + Hoặc u = v = 0 thì y 2 = 10 , y nguyên : không xảy ra + Hoặc u = v = 1 thì x 2 = 9 ; y 2 = 4 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình cần tìm là (3 ; 2) ; (3 ; -2) ; (-3 ; 2) ; (-3 ; -2) Bài 4. Cho đường tròn (O ; R). Hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Dây AE cắt CO tại F, dây DE cắt AB tại M. a) Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì ? b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội tiếp được trong đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó. c) Chứng minh các đường thẳng OE, BF, CM đồng quy a) Ta có · » » 1 ( ) 2 FCE EB BD= + (góc nội tiếp chắn cung EBD) · » » 1 ( ) 2 CFE EB BD= + (góc có đỉnh bên trong đường tròn) mà » » CE EB= (E là điểm chính giữa của cung BC) Suy ra : · CFE = · FCE ⇒ ∆ECF cân tại E Chứng minh tương tự : ∆EMC cân tại E Mà hai cạnh CE = EB Nên Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì cân và bằng nhau b) Ta có : góc BCF chắn cung » BD = 90 o góc BCM chắn cung » AC = 90 o suy ra : hai góc BCF và BCM cùng nhìn FM đưới một góc bằng nhau, vậy tứ giác BCFM nội tiếp được trong đường tròn EC = EF = EM = EB suy ra E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFM. c) Ta có OE là trung trực của BC và FM Gọi K là giao điểm của CM và BF , ta chứng minh OE đi qua K.Thật vậy : ∆FKC = ∆MBK (g – c – g) do : + · · FCK MBK= (góc nội tiếp cùng chắn cung FM) Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên K M F E D C B O A THPT VÕ MINH ĐỨC + FC = BM (cmt) + · · CFK BMK= (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) Từ đó suy ra : FK = KM và KB = KC nên K thuộc trung trực OE Bài 5. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 và abc ≠ 0 thì : 9 a b b c c a c a b c a b a b b c c a − − − + + + + = ÷ ÷ − − − Đặt a b x c − = ⇒ 1 c x a b = − ; b c y a − = ⇒ 1 a y b c = − ; c a z b − = ⇒ 1 b z c a = − Và : M = a b b c c a c a b c a b a b b c c a − − − + + + + ÷ ÷ − − − Ta có : M = ( ) 1 1 1a b b c c a c a b x y z c a b a b b c c a x y z − − − + + + + = + + + + ÷ ÷ ÷ − − − = 3 + y z z x x y x y z + + + + + (1) Do a + b + c = 0 nên : a + b = – c ⇔ a 3 + 3ab(a + b) + b 3 = – c 3 ⇔ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (2) Ta có : 2 2 ( )( )b c c a b bc ac a a b a b c y z a b ab ab − − − + − − + − + = + = = − Suy ra : 2 ( )( ) ( ) 2 a b a b c y z a b c c c ab a b x ab ab c − + − − + + − = = − = − Tương tự bằng cách hoán vị vòng quanh, ta được : 2 2z x a y bc + = ; 2 2x y b z ca + = Thay vào (1), áp dụng (2) , ta được : M = 3 + 2 2c ab + 2 2b ca + 2 2a bc = 3 + 3 3 3 2( )a b c abc + + = 3 + 2.3abc abc = 3 + 6 = 9 (đpcm) Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên . THPT VÕ MINH ĐỨC GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 7 (Thời gian : 120 phút) Bài 1. Cho biểu thức P = 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x x. kính AB và CD vuông góc nhau. Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Dây AE cắt CO tại F, dây DE cắt AB tại M. a) Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì ? b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội. kính AB và CD vuông góc nhau. Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Dây AE cắt CO tại F, dây DE cắt AB tại M. a) Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì ? b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội