hãy tính giá trị nhỏ nhất này.. a Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB.. b Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất... hãy tính
Trang 1GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 2
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
a) Chứng minh : 39 3 11 2 39 3 11 2 3
2
b) Giải hệ phương trình :
2 2
74
x y
Bài 2.
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính giá trị nhỏ nhất này
Bài 3
Gọi (P) là đồ thị của hàm số 1 2
2
y= x và (d) là đồ thị của hàm số 1 1
2
y= x+
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Dùng đồ thị (P) và (d) suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0
Bài 4 Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R M là một điểm lưu động trên cung
AB (M khác A và B) Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất
GIẢI :
Bài 1
a) Ta có : 9 3 11 2 + = 3 3 6 3 9 2 2 2 + + + = 3 3 + 3 3 2 2 + 3 3 2 2 + 2 3
= ( 3 + 2) 3
Tương tự 9 3 11 2 ( 3 − = − 2) 3
2
3 2
b) Giải hệ phương trình :
2 2
74
x y
2 2
74
x y
2 2 74
x y
⇔
2 2 74
x y
x y
2 2 74
x y
x y
2 2
2
Trang 2⇔
2
7 41 5
y y
= −
= −
= − −
⇔
13
5
x x
y
y
= −
= −
Vậy hệ có nghiệm là : 5
7
x y
= −
= −
hoặc
13 5 41 5
x y
= −
= −
Bài 2.
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính giá trị nhỏ nhất này
a) Ta có : ∆’ = m2 – 2m + 5 = m2 – 2m + 1 + 4 = (m – 1)2 + 4 > 0 , với mọi m
vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Ta có : ( )2
1 2
x −x = ( )2
1 2
x −x = ( )2
1 2 4 1 2
x +x − x x = 4m2 – 4(2m – 5) = 4m2 – 8m + 20
= 4(m2 – 2m + 1 + 4) = 4(m – 1)2 + 16 ≥ 16
Vậy x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi m = 1
Bài 3
Gọi (P) là đồ thị của hàm số 1 2
2
y= x và (d) là đồ thị của hàm số 1 1
2
y= x+
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
Bảng giá trị của hàm số 1 2
2
y= x
Bảng giá trị của hàm số 1 1
2
y= x+
Đồ thị (P) và (d)
Trang 3f(x)=(1/2)x^2 f(x)=(1/2)x +1
x(t)=2 , y(t)=t
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x f(x)
b) Lập phương trình hoành độ giao điểm : 1 2
2x+ ⇔ x2 – x – 2 = 0 Vậy số nghiệm của pt này là số giao điểm nếu có của hai đồ thị (P) và (d)
Dựa vào đồ thị , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x = -1 và x = 2 Suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0 có hai nghiệm là x = - 1 ; x = 2
Bài 4 Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R M là một điểm lưu động trên cung
AB (M khác A và B) Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất a) AC.BD không đổi
2
1
2
1 2
y= x+
Trang 4B
O
A M
Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM và DM = DB (1)
Và OC là phân giác của góc ·AOM , OD là phân giác của góc ·MOB
Mà ·AOM và ·MOB kề bù nên suy ra CO ⊥ OD
Mặt khác OM ⊥ CD và OM = R (CD tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có : MC.MD = OM2 = R2 (không đổi) Kết hợp với (1) suy ra : AC.BD = MC.MD = R2 (không đổi) khi M lưu động trên cung AB
b) Vì AC VÀ BD là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B nên AC // BD (AC và BD cùng vuông góc với AB), suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông
2
ABDC AB AC BD
S = + = R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi
Nên S ABDC nhỏ nhất khi và chì khi CD nhỏ nhất
Và CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD hai tiếp tuyến tại A và B
⇔ M là điểm chính giữa của cung AB , MC MD¼ =¼
