Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB.. Đường thẳng qua trung điểm H của đoạn OB cắt đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của MN, vẽ AK vuông góc với MN, BI cắt AK tại D.
Trang 1GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 6
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Chứng minh A = 40 2 57− − 40 2 57+ là số nguyên
Bài 2.
Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2
a) Phân tích B thành nhân tử
b) Tìm các cặp số (x ; y) thỏa B = 0 và x – y + 4 = 0
Bài 3.
Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2
a) Tìm giá trị của m biết x = 1 và y = 5
b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Bài 4.
Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = – 5
b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x x1 2−2x1−2x2 đạt giá trị lớn nhất
Bài 5
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H của đoạn OB cắt đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của MN, vẽ AK vuông góc với MN, BI cắt AK tại D
a) Tứ giác DMBN là hình gì ?
b) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN
c) Biết AM.AN = 3R2 và AN = R 3 Tính diện tích tam giác AMN
GIẢI Bài 1.
Chứng minh A = 40 2 57− − 40 2 57+ là số nguyên
Ta có : 40 2 57+ = 32 + 25 + 2.5.4 2 = (4 2 )2 + 2.5.4 2 + 52 = (4 2 + 5)2
và 40 2 57− = 57 40 2− = 32 2.5.4 2 25− + = (4 2)2−2.4 2.5 5+ 2 = (4 2 5)− 2
= (4 2 5)− 2
Vậy A = 4 2 5− − (4 2 + 5) = – 10 : là số nguyên
Bài 2.
Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2
a) Phân tích B thành nhân tử
Ta có B = 2 1 1 2 49 2
2
y − xy+ x − x =
− −
=
= (y−3x y) ( −4x)
Trang 2b) Tìm các cặp số (x ; y) thỏa B = 0 và x – y + 4 = 0
Ta có : ( 3 ) ( 4 ) 0
4 0
x y
− + =
3 0
4 0
4 0
y x
y x
x y
− =
− =
− + =
⇔ 3 0
4 0
y x
x y
− =
− + =
4 0
4 0
x y
− =
− + =
6
x
y
=
=
hoặc
4 3 16 3
x y
=
=
Bài 3.
Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2
a) Tìm giá trị của m biết x = 1 và y = 5
Với x = 1 và y = 5 thì ta có : 5 = m2 – 6m + 12 ⇔ m2 – 6m + 7 = 0 ⇔ 3 2
3 2
m m
= +
= −
b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Ta có : y = ax2 nếu a > 0, nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Mà a = m2 – 6m + 9 + 3 = (m – 3)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị m
Vậy hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x >0
Bài 4.
Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = – 5
Ta có : m = – 5 thì pt trở thành : 2x2 - 8x + 8 = 0 ⇔ 2(x2 - 4x + 4) = 0 ⇔ 2(x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2 b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x x1 2−2x1−2x2 đạt giá trị lớn nhất
Pt (1) có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt khi và chỉ khi ∆’ = (m + 1)2 – 2(m2 + 4m + 3) > 0
⇔ – m2 – 6m – 5 > 0 ⇔ m2 + 6m + 5 < 0 ⇔ (m + 1)(m + 5) < 0 ⇔ – 5 < m < – 1 (*)
Khi đó theo định lí Vi-et :
1 2
2
1 2
1
4 3
2
b m
x x
a
x x a
+ = − = − −
Do đó :
x1.x2 – 2x1 – 2x2 = x1.x2 – 2(x1 + x2) =
2
m + m+ +2(m+1) = 2 8 7
2
m + m+ = ( 7)( 1)
2
m+ m+
Vì m phải tìm thỏa (*) nên với điều kiện này thì (m + 7)(m + 1) < 0
Suy ra M =
2
m + m+
=
2
=
2
9 ( 4) 9
m
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9
2 khi và chỉ khi m = – 4 thỏa (*)
Trang 3Bài 5
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H của đoạn OB cắt đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của MN, vẽ AK vuông góc với MN, BI cắt AK tại D a) Tứ giác DMBN là hình gì ?
b) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN
c) Biết AM.AN = 3R2 và AN = R 3 Tính diện tích tam giác AMN
c) Biết AM.AN = 3R2 và AN = R 3⇒ AM = R 3 = AN
suy ra tam giác AMN cân tại A
Trong tam giác vuông ABN có AN = R 3 ; AB = 2R ⇒ sin· 3
2
AN ABN
AB
= = ⇒ ·ABN = 60o
⇒ ·AMN = 60o (cùng chắn cung AN)
Vậy tam giác AMN cân có một góc 60o là tam giác đều cạnh bằng R 3
Diện tích AMN = 3 2 3
4
R (đvdt)
M'
D
K
I
N
H A
M
điểm của DB, tứ giác MDNB có hai đường
chéo MN và DB cắt nhau tại trung điểm I của
mỗi đường , nên DMBN là hình bình hành
Do đó : MD // NB (1)
MD, AK là hai đường cao của tam giác AMN,
nên D là trực tâm của tam giác AMN