ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). a. . 4 9 9 5 3 2 : 4 3 +       − ; b. 1 1 1 4 1 3 1 2 1 19 45 − − −                         ++− ; c. 6291910 920915 27.2.76.2.5 8.3.49.4.5 − − . Bài 2: (6 điểm) a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16; b. Tìm x, biết: 3 12: 2 1 −x = 22 21 c. Tìm x, y, z biết: 15 23 5 2 zyyx − = − và x + z = 2y. Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức d c b a = . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: ∆ HMN cân. Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Hết Họ và tên học sinh: ; SBD: Học sinh trường: ĐỀ CHÍNH THỨC UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). Giải: a. . 4 9 9 5 3 2 : 4 3 +       − 4 9 9 1 : 4 3 4 9 9 5 3 2 : 4 3 +=+       − 0,75đ = 9 4 36 4 9 1 9 . 4 3 ==+ 0,75đ b. 1 1 1 4 1 3 1 2 1 19 45 − − −                         ++− 4 3 1 1 2 1 1 19 45 4 1 3 1 2 1 19 45 1 1 1 + + −=                         ++− − − − 1,0đ = 1 19 19 19 26 19 45 ==− 1,0đ c. 6291910 920915 27.2.76.2.5 8.3.49.4.5 − − 6291910 920915 27.2.76.2.5 8.3.49.4.5 − − = 6.329191910 9.32029.215.2 3.2.73.2.2.5 2.3.23.2.5 − − 01đ ( ) ( ) 73.53.2 32.53.2 1829 21829 − − = 01đ = 8 1 715 910 −= − − 0,5đ Bài 2: (6 điểm) Giải: a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16. 2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16 0,25đ -12x – 20 = 16 0,25đ -12x = 16 + 20 = 36 0,50đ x = 36 : (-12) = -3 0,50đ b. Tìm x, biết: 3 12: 2 1 −x = 22 21 ĐỀ CHÍNH THỨC Nếu 2 1 >x . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0) 0,25đ 3 12: 2 1 −x = 22 21 2 7 : (2x – 1) = 22 21 0,25đ 2x – 1 = 2 7 : 22 21 = 3 11 21 22 . 2 7 = 0,25đ 2x = 3 11 + 1 = 3 14 0,25đ x = 3 14 : 2 = 3 7 > 2 1 0,25đ Nếu 2 1 <x . Ta có: 0,25đ 3 12: 2 1 −x = 22 21 2 7 : (1 - 2x) = 22 21 0,25đ -2x = 3 11 - 1 = 3 8 0,25đ x = 3 8 : (-2) = 2 1 3 4 <− 0,25đ Vậy x = 3 7 hoặc x = 3 4 − 0,25đ c. Tìm x, y, z biết : 15 23 5 2 zyyx − = − và x + z = 2y Từ x + z = 2y ta có: x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 0,25đ hay 2x – y = 3y – 2z 0,25đ Vậy nếu: 15 23 5 2 zyyx − = − thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 ≠ 15). 0,25đ Từ 2x – y = 0 suy ra: x = y 2 1 0,25đ Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. ⇒ x + z + y – 2z = 0 hay y 2 1 + y – z = 0 0,25đ hay y 2 3 - z = 0 hay y = 3 2 z. suy ra: x = 3 1 z. 0,25đ Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = 3 1 z; y = 3 2 z ; với z ∈ R } hoặc {x = 2 1 y; y ∈ R; z = 2 3 y} hoặc {x ∈ R; y = 2x; z = 3x} 0,5đ Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức d c b a = . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ cb = ad suy ra: d c b a = 0,75đ Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: ∆ HMN cân. Giải: a/ Chứng minh CD song song với AB. Xét 2 tam giác: ∆ABK và ∆DCK có: 0,25đ BK = CK (gt) DK ˆ CAK ˆ B = (đối đỉnh) 0,25đ AK = DK (gt) 0,25đ ⇒ ∆ABK = ∆DCK (c-g-c) 0,25đ ⇒ KB ˆ DKC ˆ D = ; mà 0 90BC ˆ ACB ˆ A =+ ⇒ 0 90DC ˆ BBC ˆ ADC ˆ A =+= 0,25đ ⇒ CA ˆ B90DC ˆ A 0 == ⇒ AB // CD (AB ⊥ AC và CD ⊥ AC). 0,25đ b. Chứng minh rằng:  ABH =  CDH Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: 0,25đ BA = CD (do ∆ABK = ∆DCK) AH = CH (gt) 0,25đ ⇒ ABH = CDH (c-g-c) 0,50đ c. Chứng minh: ∆ HMN cân. Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có: 0,25đ AB = CD; CA ˆ B90DC ˆ A 0 == ; AC cạnh chung: ⇒ ABC = CDA (c-g-c) ⇒ DA ˆ CBC ˆ A = 0,25đ mà: AH = CH (gt) và CH ˆ NAH ˆ M = (vì ∆ABH = ∆CDH) 0,50đ ⇒ ∆AMH = ∆CNH (g-c-g) 0,50đ ⇒ MH = NH. Vậy ∆HMN cân tại H 0,50đ Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. A B D M N K C H Giải: Ta có: abcabc = a.10 5 + b.10 4 + c.10 3 + a.10 2 + b.10 + c 0,25đ = a.10 2 (10 3 + 1) + b.10(10 3 + 1) + c(10 3 + 1) 0,50đ = (10 3 + 1)( a.10 2 + b.10 + c) 0,50đ = (1000 + 1)( a.10 2 + b.10 + c) = 1001( a.10 2 + b.10 + c) 0,25đ = 11.91( a.10 2 + b.10 + c)  11 0,25đ Vậy abcabc  11 0,25đ Hết . 11. Hết Họ và tên học sinh: ; SBD: Học sinh trường: ĐỀ CHÍNH THỨC UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học:. 6291910 920915 27. 2 .76 .2.5 8.3.49.4.5 − − 6291910 920915 27. 2 .76 .2.5 8.3.49.4.5 − − = 6.329191910 9.32029.215.2 3.2 .73 .2.2.5 2.3.23.2.5 − − 01đ ( ) ( ) 73 .53.2 32.53.2 1829 21829 − − = 01đ = 8 1 71 5 910 −= − − 0,5đ Bài. UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). a.