Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho góc BCM bằng 2 3góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng 2 3góc ABC.. Chứng minh DCElà tam giác đều 3/ Chứng minh ba điểm D, N, E thẳng hàng
Trang 1TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN
Năm học : 2013-2014 Môn: Toán 7
Câu 1 (6 điểm)
a) Tính
81 81 81 81
b) Tính giá tri của biểu thức 2
6x 5x 2tại x thỏa mãn x 2 1
Câu 2 (5 điểm)
Tìm x y z, , biết 1 3 2
x y z
và x 3y 4z 4
Câu 3 (2 điểm)
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức 15
5
x M
x
Câu 4 (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 0
30 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho góc BCM bằng 2
3góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng 2
3góc ABC Gọi giao điểm của CM và BN là K
1/ Tính góc CKN
2/ Gọi F và I theo thứ tự là hình chiếu của điểm K trên BC và AC Trên tia đối của tia IK lấy điểm D sao cho IK=ID, trên tia KF lấy điểm E sao cho KF = FE EK
Chứng minh DCElà tam giác đều
3/ Chứng minh ba điểm D, N, E thẳng hàng
Trang 2ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 XUÂN DƯƠNG 2013-2014 Câu 1
a) Trong dãy số có
6 3
81 0
9 do đó tích bằng 0 b) Ta có x 2 1
Thay x 1vào biểu thức ta được : 2
6.1 5.1 2 9
Thay x 3vào biểu thức ta được 2
6.3 5.3 2 67
Câu 2
2
Vậy x 5;y 11;z 8
Câu 3
x
lớn nhất khi và chỉ khi
10
5 xlớn nhất
)x 5
thì 10 0
5 x
(1)
+) x 5thì 10 0
5 x
mà
10
5 xcó tử không đổi nên phương trình có giá trị lớn nhất
khi mẫu nhỏ nhất 5 x là số nguyên dương nhỏ nhất khi 5 x 1 x 4
Khi đó 10 10
5 x
(2)
So sánh (1) và (2) thấy 10
5 xlớn nhất bằng 10
Vậy GTLN của M = 11 khi và chỉ khi x=4
Trang 3Câu 4
1) Có 0
60
90 ; 30 )
0 0
0 0
.60 40
.30 20
CBN ABC
BCM ACB
180 120 60
CKN
(hai góc kề bù)
2) KIC DIC cgc( ) CKCDvà DCI KCI (1)
Từ (1) và (2) CDCE DCEcân
DCE ABC DCEđều
3) Xét tam giác vuông ANB có 0 0 0 0
ANB BNC
E
D I
F
K
N M
B
A
C
Trang 4Có CDE đều (cmt) 0
60
CDE
60
CDN CDE
Suy ra :Tia DN trùng với tia DE hay 3 điểm D, N, E thẳng hàng